Browsing by Author "Mynttinen, Sonja"

Ranskalainen Jean-Michel Bismut esitteli vuonna 1973 stokastisen version niin kutsutusta Pontryagin maksimiperiaatteesta käyttäen ensimmäisenä takaperoisia stokastisia differentiaaliyhtälöitä lineaarisessa tapauksessa. Seuraava harppaus TSDY:n tutkimisessa tapahtui kun kiinalainen Peng Shige ja ranskalainen Ètienne Pardoux julkaisivat vuonna 1990 artikkelin takaperoisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden yleisestä teoriasta. Tutkimus keskittyi tuolloin jatkuva-aikaisiin yhtälöihin, ja diskreettiaikaisia yhtälöitä tarkasteltiin lähinnä apuvälineenä simuloimaan ja approksimoimaan jatkuva-aikaisia yhtälöitä. Tammikuussa 2010 ilmestyneessä artikkelissa Samuel N. Cohen ja Robert J. Elliott tarkastelevat diskreettiaikaisia yhtälöitä sinänsä, ei approksimoinnin välineenä. Vuonna 2018 julkaistussa artikkelissa edellä mainitut Cohen ja Elliott yhdessä Tak Kuen Siun kanssa esittelevät Malliavin laskennan sovelluksia takaperoisiin stokastisiin differenssiyhtälöihin liittyen diskreettiaikaisessa binomimallissa. Tässä työssä esittelen takaperoisten stokastisten differenssiyhtälöiden, lyh. TSDY, teoriaa ja lyhyesti myös stokastisen kontrollin teoriaa. Lähden liikkeelle perusteista; toisen luvun aluksi esittelen sigma-algebran, mitallisen avaruuden, mitallisen kuvauksen, mitan ja mitta-avaruuden käsitteet. Näiden avulla on helppo määritellä todennäköisyysteorian käsitteet todennäköisyysmitta, todennäköisyysavaruus ja satunnaismuuttuja. Siirryn odotusarvon pariin ja yritän hahmotella ajatusta siitä että odotusarvo on aina integraali, myös diskreetissä tapauksessa. Ehdollisen odotusarvon määrittelen Hilbertin avaruuden ortogonaaliprojektiona, luvun päätteeksi määrittelen martingaalin käsitteen. Kolmannessa luvussa käyn läpi arbitraasin käsitteen, ja määrittelen sitä varten salkun, strategian ja omavaraisen strategian käsitteet. Käyn läpi myös martingaalimitan ja binomimallin käsitteet ja lasken esimerkiksi erään riskineutraalin todennäköisyyden. Neljännessä luvussa käyn lyhyesti läpi TSDY:n historiaa ja esittelen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen ja vertailuteoreeman. Lisäksi näytän miten TSDY:tä voi käyttää option arvostukseen, sitä varten näytän myös mitanvaihdon näille yhtälöille. Luvun lopuksi tarkastelen vielä niin kutsuttua ajurifunktiota useampitilaisessa viitekehyksessä ja esittelen epälineaarisen odotusarvon käsitteen. Viimeisessä luvussa kirjoitan myös hieman stokastisesta kontrollista ja käyn lyhyellä esimerkillä läpi näiden liitoskohtaa.