Elliptisillä osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on tärkeä rooli eri ilmiöiden mallinnuksessa. Klassisesti ajatellen ilmiötä mallintavan differentiaaliyhtälön ratkaisun on vaadittu olevan klassisesti derivoituva. Tästä vaatimuksesta voidaan kuitenkin luopua. Ratkaisun kasite yleistetään Lp-avaruuksien, tarkemmin Sobolev-avaruuksien, teorioiden avulla. Yleistetylle ratkaisulle käytetään nimitystä heikko ratkaisu.
Luvussa 1 käsitellään Sobolev-avaruudet, jotka tarjoavat pohjan heikkojen ratkaisujen käsitteelle. Painopiste Sobolev-avaruuksien teoriassa on upotuslauseissa, joilla osoitetaan elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön määrittävän operaattorin spektri diskreetiksi. Lisäksi upotuslauseita voi käyttää osoittamaan heikon ratkaisun klassinen derivoituvuus tietyissä tapauksissa.
Luvussa 2 esitellään miten elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisun käsite saadaan yleistettyä. Sen jälkeen osoitetaan Hilbert-avaruuksien teorian avulla, että heikkoja ratkaisuja on olemassa. Lopuksi tutkitaan heikkojen ratkaisujen säännöllisyyttä ja klassista derivoituvuutta riippuen annetun osttaisdifferentiaaliyhtälöprobleeman alkuasetelmista.
