Skip to main content
Login | Suomeksi | På svenska | In English

Laplace-muunnos ja sen soveltaminen differentiaaliyhtälöiden teoriaan

Show full item record

Title: Laplace-muunnos ja sen soveltaminen differentiaaliyhtälöiden teoriaan
Author(s): Heino, Roy Samuel
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Discipline: Teaching of Mathematics
Language: Finnish
Acceptance year: 2014
Abstract:
Työssä esitellään Laplace-muunnoksena tunnettu integraalimuunnos. Se on yksi yleisimmin käytössä olevista integraalimuunnoksista, minkä taustat pohjautuvat Eulerin ja Lagrangen käänteistä Laplace-muunnosta muistuttaviin integraaleihin. Muunnos sai nimensä kehittäjänsä ranskalaisen matemaatikon Pierre-Simon Laplace (1749-1827) mukaan. Työn alussa esitellään Laplace-muunnoksen syntyyn liittyvää historiaa sekä palautetaan mieleen joitain esitietoja liittyen integraalin suppenemiseen ja jatkuvuuden käsitteeseen. Tämän jälkeen perehdytään varsinaiseen asiaan, eli Laplace-muunnoksen määritelmään ja sen ominaisuuksiin. Käydään läpi kuinka muodostuvat derivaatan ja integraalin Laplace-muunnokset sekä lopulta tutkitaan käänteisen Laplace-muunnoksen määritelmää ominaisuuksineen. Laplace-muunnos muuntaa t:n funktion f, s:n funktioksi F, minkä ratkaiseminen esimerkiksi osamurtohajotelman avulla on huomattavasti alkuperäistä helpompaa. Lopulta F(s) palautetaan käänteisen Laplace-muunnoksen avulla takaisin t:n funktioksi f, mikä on differentiaaliyhtälön ratkaisu. Käänteismuunnoksen ja kompleksisen Laplace-muunnoksen määrittelyssä käytän apuna Fourier'n muunnoksen teoriaa. Työssä käsitellään myös konvoluution sekä yksikköaskelfunktion käsitteitä ja niiden Laplace-muunnoksia. Tavoitteena on osoittaa kuinka kyseinen menetelmä helpottaa tietyntyyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemista. Varsinkin sähkötekniikassa ja elektroniikassa kyseinen integraalimuunnos on erittäin tärkeä työväline. Työn lopussa sovelletaan opittua erityyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun sekä elektroniikan piirien, eritoten RLC-piirien yhteydessä ilmenevien differentiaaliyhtälöiden teoriaan.


Files in this item

Files Size Format View
Gradu2014RoyHeino.pdf 424.0Kb PDF

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record