Tämä tutkielma käsittelee itseisarvoa, valuaatiota ja täydellisiä metrisiä avaruuksia. Pohjatietona oletetaan algebran perustiedot, esimerkiksi Algebra I -kurssi.
Tutkielmassa perehdytään ensin itseisarvon määritelmään. Luvussa 2 määritellään myös valuaatio ja katsotaan mitä erilaisia itseisarvoja on mahdollista löytää rationaalilukujen kunnalle. Tutustutaan myös p-adiseen valuaatioon, jonka avulla määritellään p-adinen itseisarvo. Luvussa 2 todistetaan Ostrowskin lause eli että kaikki epätriviaalit itseisarvot ovat ekvivalentteja joko p-adisen itseisarvon tai tavallisen itseisarvon kanssa.
Luvussa 3 määritellään metriikka yleisesti sekä itseisarvon määrittelemä metriikka. Metriikan avulla määritellään metrinen avaruus ja Cauchyn jonot. Luvussa 3 myös tutustutaan hieman jonojen suppenemiseen, erityisesti niihin ominaisuuksiin joita tarvitaan tutkielman edetessä. Tässä luvussa myös tarkastellaan epäarkhimedisesta metriikasta johtuvaa kahta ominaisuutta: kaikki kolmiot ovat tasakylkisiä ja jokainen avoimen kuulan piste on sen keskipiste.
Luvussa 4 määritellään mikä on metrisen avaruuden täydellistymä. Lopussa esimerkkinä täydellistämme rationaalilukujen joukon reaalilukujen joukoksi.
Luvussa 5 otetaan lukua 6 varten katsaus lukuteoriaan. Määritellään kongruenssi, koherentti jono ja osoitetaan, että ratkaisuja on mahdollista laajentaa koherentteihin jonoihin.
Luvussa 6 osoitetaan, että rationaalilukujen joukko ei ole täydellinen p-adisen itseisarvon suhteen. Tämän jälkeen konstruoidaan p-adisten lukujen joukko täydellistämällä rationaalilukujen joukko. Luvussa 6 myös laajennamme p-adisen itseisarvon ja valuaation p-adisten lukujen joukolle. Lopuksi osoitetaan, että saatu p-adisten lukujen joukko on täydellinen.
