Tutkielmassa esitellään laskennallisten inversio-ongelmien teoriaa erityisesti tilastollista läahestymistapaa käyttäen. Kirjallisuuden ja tieteellisten artikkelien perusteella tutustutaan mittauksen informaatiosisältöön ja esitellään menetelmä inversio-ongelman dimension alentamiseksi. Tätä menetelmää sovelletaan ilmakehän kaukokartoitukseen metaanin tiheysprofiilin ratkaisemisen nopeuttamiseksi.
Laskennallisessa inversio-ongelmassa ratkaistaan yhtälö
y = F(x) + e
missä F: A -> B on suora malli tila-avaruudesta A data-avaruuteen B, x on tuntematon, y on kohinallinen mittaus ja e on esimerkiksi mittausvirheestä johtuvaa kohinaa.
Tilastollisessa inversiossa mallinnetaan kaikkia ongelman parametreja satunnaismuuttujilla. Käyttämällä Bayesin kaavaa saadaan inversio-ongelman ratkaisuksi posterioritodennäköisyysjakauma yhdistelemällä tuntemattoman x prioritodennäköisyysjakaumaa ja mittauksesta saatavaa uskottavuusjakaumaa.
Tutkielmassa rajoitutaan tarkastelemaan reaaliavaruuksien välisiä kuvauksia, mutta tulokset voidaan yleistää koskemaan yleisempiä Hilbertin avaruuksia. Matemaattisena esitietona esitellään lieaarialgebrasta ominais-ja singulaariarvohajotelmat ja näytetään esimerkkinä niiden käyttöä pääkomponenttianalyysissä.
Inversio-ongelmien klassista teoriaa käydään läpi vain pintapuolisesti, ja käsitellään syvemmin tilastollista lähestymistapaa normaalijakautuneita satunnaismuuttujia käyttäen. Annetaan myös joitain esimerkkejä priorien rakentamisesta ja käytöstä. Numeerisista ratkaisumenetelmistä esitellään lyhyesti tutkielmassa käytettävät Levenbergin-Marquardtin algoritmi (LevMar) sekä Markovin ketju Monte Carlo -menetelmä (MCMC).
Mittaus sisältää usein vain rajallisen märän informaatiota. Lähdekirjallisuuden tulosten perusteella esitellään tapa tutkia mittauksen informaatiosisältöä sekä löytää inversio-ongelman informatiivinen aliavaruus (LIS). Näytetään myös tässä aliavaruudessa löydetyn ratkaisun approksimoivan ongelman oikeaa ratkaisua mahdollisimman hyvin. Lopuksi sovelletaan kehitettyä menetelmää Ilmatieteen laitoksen Sodankylän tutkimusasemalla suoritettavan FTIR-mittauksen yksinkertaistettuun versioon sekä vertaillaan täyden ja redusoidun avaruuden ratkaisuja keskenään.
Tutkielma on tehty kokonaisuudessaan Ilmatieteen laitoksella Uudet havaintomenetelmät -yksikön Ilmakehän kaukokartoitus -ryhmässä vuosina 2016-2017.
