Browsing by Title

A vast amount of spatio-temporal data has become available with the fast development of information technology and different monitoring systems over the last two decades. Position-aware devices are one of the most dominant sources for collecting movement data. Spatio-temporal information that is derived from the tracking devices enable to build movement patterns from the targets, and to calculate measurable motion parameters such as speed, change of speed or the direction of movement. This study utilized a specific pilot GPS-based monitoring system called Amazonian Riverboat Observation System (AROS) that was built to collect movement data of the local riverboats on the departments of Loreto and Ucayali in Peruvian Amazonia. AROS provides real-time GPS-data with coordinates and timestamp that indicate where and when the collaborating vessels are navigating. As an outcome of this thesis a specific analytical tool called Trajectory Reconstruction and Analysis Tool (TRAT) was developed. TRAT utilizes variety of geographic knowledge discovery methods to extract knowledge from movement data provided by AROS. Also spatio-temporal transportation characteristics in the study area were analyzed based on AROS data from the year 2012 and utilizing TRAT. This thesis focused on studying if there is seasonal and directional variation in transportation characteristics along the Amazonian rivers, and if river morphology affects the navigation. Also connection between water height of the rivers and travel speed of individual journeys was studied. Results of the thesis suggest that navigation along the rivers has seasonal and directional variation, and also the river morphology seems to affect the movement patterns of the vessels. On navigation route that was mostly meandering by river morphology, the downstream navigation was over 40% faster than upstream navigation during high water and intermediate, but during low water there was no difference between navigation directions. Seasonal variation was over 30% faster during high water compared to low water (on downstream direction). On upstream direction the navigation was fastest during low water but seasonal differences were considerably lower compared to downstream navigation. On navigation route that was mostly anastomosing by river morphology, the downstream navigation was approximately 20 % faster during the entire year. Results suggest that there is no seasonal difference in navigation characteristics along the larger and wider rivers, since the travel speeds were quite similar throughout the year. Fitting simple regression model between average travel speed of the journeys and water levels of the river revealed that there seems to be strong connection between travel speed and river height on the route along Ucayali river when travelled downstream (R2=0.73). On other cases that were studied, the results suggest that there is not connection between travel speed characteristics and river height. Comparing the results with earlier studies implied that the results of this thesis seemed to be fairly accurate. However, it is necessary to validate the results by doing cross-validations between data from different years observed with AROS. Transportation is in a key role when trying to find the factors affecting on development of a certain location. Thus transportation as means of accessibility has significant role in variety of contexts such as conversation, land use changes and deforestation. Results of this study could provide more accurate data for studies focusing on previously mentioned topics in the study area. Also utilization of TRAT in other contexts, such as studying global transportation patterns of professional vessels, could be possible by making few modifications to the tool.

The geology of the Eastern Lapland Archean domain (the sudy area of this study) is vaguely known due to high metamorphism and poorly exposed lithologic assemblages. Three new U-Pb age determinations from key locations aim for more profound understanding of the geochronology of the area. Cu-Fe-S stable isotope data for copper sulfides from the Eastern Lapland Archean domain are presented for the first time. The stable isotope analytical method for Cu-Fe-S isotopes is refined and its applicability as a proxy for magmatic Ni-Cu-PGE sulfide deposits is evaluated. It has been suggested that, within an individual mineralized intrusion, negative correlation of δ34S and δ65Cu might be a useful indicator of the economic potential of Ni-Cu-PGE sulfide deposits. Combined S and Fe isotope systematics have also been used to fingerprint for the origin of sulfur. Three new samples were dated using the LA-ICP-MS method on zircon. Most of the Pultoselkä granite data are concordant and yield an age of 2795 ± 6 Ma. The data from the Kontioselkä pegmatite are mostly discordant and define maximum age for the pegmatite at 1766 ± 36 Ma. The Janesselkä gabbro yields an minimum age of 2425 ± 17 Ma, consistent with the 2,4–2,5 Ga age group of mafic magmatism observed widely across the Fennoscandian shield. The established U-Pb data imply distinct metamorphic effects during the Svecofennian and Caledonian orogenies. 28 stable isotope (Cu-Fe-S) data sets were measured from dissolved samples utilizing MC ICP-MS. A micro drilling method was used to extract sulfide cores for the solution work. Collectively the δ65Cu values of analysed sulfides (n = 28) range from -4,65 to 0,29‰, δ56Fe values from -0,21 to 1,44‰, and δ34S values from -1,38 to 11,77‰. Isotope values from magmatic sulfides (n = 7, 2σ) have a restricted range and distinct mean δ65Cu value of -0,99 ± 0,21‰, mean δ56Fe value of 0,16 ± 0,23‰, and mean δ34S value of 2,08 ± 0,3‰, consistent with chondritic compositions. The variation of isotopic values reflects the composition of the sulfide. Overall, they reflect varying crystallization histories and subsequent modification of the samples examined.

The Finnish spent nuclear fuel repository is currently under construction by Posiva Oy, and the repository will be located in Olkiluoto Island, western Finland. After intensive research of the site from surface drillholes, construction of underground rock characterisation facility named ONKALO began in 2004 in the same location for the purposes of detailed site characterization. Additionally, to ONKALO and research drillholes, 58 deep drillholes provide a large database for the geological, geochemical, geophysical and rock mechanics site characterisation. One of the key aspects of rock mechanics site characterisation is to determine the in situ stress field prevailing at Olkiluoto. Mathematically, the stress field is represented as a tensor with both direction and magnitude. The effect of excessive magnitudes of the tensor can be manifested by oriented fractures on the walls of the drillholes forming a phenomena of borehole breakouts along the drillhole length. The breakouts form when compressive stress, induced by the concentration of the in situ stress around the drillhole, exceeds the rock strength. The breakouts occur on the opposite sides of the walls. Due to the breakouts occurring in the areas of maximum compression around the drillhole walls, both the direction of the minimum (σh) and maximum (σH) horizontal in situ stress components can be inferred along the drillhole. This Master's thesis was set to identify and map the breakouts in the deep drillholes in Olkiluoto using the acoustic and optical imaging data of the deep drillholes. Acoustic and optical televiewers are two of the several geophysical measuring methods used in the drillholes. They produce images of the walls of the drillholes by wave reflection. During the study, different types of breakouts were identified along the drillholes in Olkiluoto: dotted, zipper-like and a mix of the two previous types with different intensities. The locations of the identified breakouts and other features (direction of σh, rock type, foliation) were recorded in a mapping form developed during this work. The mapping results show that in the total of 19 imaged drillholes, 40 breakout sections exist in only 5 drillholes. Geophysical data show that the breakouts are highly dependent on the geology and the majority of the breakouts occur in veined gneiss and in less competent rock types such as deformed or fractured rocks. Most of the breakouts were observed below 600 meters depth. Major group of directions of calculated σH from the mapped breakouts is oriented NE-SW (60-90°/245-270°) and secondary groups are oriented 107-150°/285-325° and 10-40°/190-220°. In some drillholes, the directions are rotated about 40° due to a significant brittle fault zone separating the site of Olkiluoto into stress field domains.

The Sukseton area is located in the northern part of Kittilä municipality, Central Lapland Greenstone Belt, approximately 15 km N from Suurikuusikko gold mine and 5 km NW from Iso-Kuotko orogenic gold deposit, between several large crustal scale thrust and shear zones. This area is a mix of different volcanic formations of Kittilä suite, felsic intrusion of Vuotso Complex and Paleoproterozoic intrusive rocks in the north. In addition to this, several porphyry dykes cut the Kittilä suite volcanic rocks around the area. Exploration work in this area started in the 1980’s when Outokumpu Oy found two minor gold and gold-copper mineralizations. In 2017, Agnico Eagle Finland Oy continued exploration in this area, intending to define the regional geology and the extent of the mineralizations. As a result of this exploration work, this study investigates more closely the regional geology, geochemistry, metamorphism and structural geology of the Sukseton area, as well as the geochronology of associated porphyry dykes. To understand and define the geology of the area, the following methods were used: geological bedrock and exploration trench mapping, interpretation of drill core loggings and several geophysical surveys, optical studies of polished thin sections and U–Pb dating a porphyry dyke sample. The metamorphic conditions of the area were studied through thorough petrological studies. In addition, an extensive geochemical and geotectonic classification of the rocks in the area was conducted. The Sukseton area composes mainly of different tholeiitic basalts and pyroclastic rocks with minor sulphide rich graphitic volcanic sediment and chert sections. Based on this study, these volcanic rocks originate from island arcs and mid-ocean ridges. With the help of geophysical surveys and field measurements, a couple of large fold structures were identified from the eastern part of the study area as well as a large shear zone in the middle of the area striking NE–SW. Porphyry dykes cut the volcanic rocks all around the area giving the minimum age of 1940±18 Ma for the volcanic rocks. Composition of porphyry dykes vary from rhyolites to basalt and they have similar geochemical characteristics with Nyssäkoski type felsic veins. The peak metamorphic conditions in the area represent high-P amphibolite facies metamorphism. Also, hydrothermal alteration is common in Sukseton and it can be metamorphic and magmatic in origin.

Siilinjärvi carbonatite in the eastern Finland is an Archaean intrusion. It is mined for the phosphorus bearing apatite used in fertilizers. Saarinen open pit is a satellite mine of the main Särkijärvi open pit. Siilinjärvi carbonatite is the lowest grade apatite ore in the world being excavated and the largest industrial mineral mine in Finland with approx. 11 Mt ore mined yearly making up almost 70 percent of the industrial minerals mined in Finland. The Siilinjärvi carbonatite is a north-south trending and nearly vertical intrusion within basement gneisses. The complex consists of a continuous rock series between end members of nearly pure glimmerite and carbonatite. During the intrusion, the glimmerite-dcarbonatite has metasomatically altered the adjacent country rocks resulting a fenite halo of varying thickness. The purpose of this M. Sc. thesis was to produce a geological map and study the petrography and geochemistry of the rock types of the complex in the Saarinen area. The bedrock surface of Saarinen open pit area was mapped in detail with a GNSS receiver and data was edited with LeapFrog, ArcMap and QGIS. 24 rock samples were collected and thin sections were prepared for petrographic analysis. ICP-MS analysis was made of 20 rock samples to obtain whole rock geochemical data. Sludge sampling was carried out which produced 299 samples from 51 drill holes down to maximum 24 metres from the surface. Sludge samples were analysed with ICP-OES. Geological mapping showed that the most carbonate rich rock types of the complex are located in the middle of the complex. The different rock types of the complex are oriented along the main direction of the formation. Fenite occurs on the edge of the complex and as xenoliths within the glimmerite-carbonatite series rocks. Petrography studies showed that nearly all of the samples shared the same mineral constitution, only the modal proportions of different minerals vary. The main minerals are phlogopite, calcite, richterite and apatite. Geochemical whole rock analysis indicated that the phosphorus content of the rocks studied is highest in the rock types containing 10-50% carbonates. The trace element and REE compositions of the samples differ from average carbonatite, especially Nb, La, Ce and Y contents are lower. The geochemical analysis of sludge samples showed that the rock types are not continuous across long depths.

Maantieteen ylioppilaskirjoitukset sähköistyivät ensimmäisten joukossa syksyllä 2016. Sähköistymisen myötä maantie- teen ylioppilaskoe tarjoaa uusia monipuolisempia tehtävätyyppejä ja geomedia-aineistoja. Painopisteenä ovat aineisto- jen soveltaminen ja tulkitseminen. Geomedialla tarkoitetaan maantieteellisiä lähteitä, kuten karttoja, tilastoja ja kuvia. Pro gradu -tutkielmani tavoitteena on selvittää kuinka kokelaat osaavat ratkaista uudentyyppisiä soveltavia luonnon- maantieteen tehtäviä ja hallitsevat geomedian käytön osana vastausta. Lisäksi tutkin millaisiin kognitiivisen ajattelun taitoihin tehtävänannot ohjaavat. Tutkimukseni avulla saadaan viitteitä lukionsa päättävien oppilaiden geomediatai- doista, vastausten laadusta sekä pystytään kehittämään ylioppilaskirjoituksia entistä parempaan suuntaan. Työssäni tutkitaan kahta luonnonmaantieteen tehtävää syksyltä 2016 ja keväältä 2017 (N=400). Geomedian käyttöä tutkitaan koko aineistosta ja kokelaiden kirjallisista vastauksista käytetään osaa aineistosta (N=140). Tehtävänannot luokitellaan uudistetun Bloomin taksonomian avulla ajattelun eri tasoille. SOLO-taksonomian avulla luokitellaan sekä kirjalliset että kuvalliset vastaukset. Lopuksi tuloksia verrataan keskenään. Tutkimuksessa kiinnitettiin huomiota eten- kin kuvien ja diagrammien tuottamiseen, aineiston hyödyntämiseen ja viittaamiseen sekä kokelaiden valmiuksiin pär- jätä sähköisissä ylioppilaskirjoituksissa. Tutkimuksessa käytetyt luonnonmaantieteen tehtävät ovat rakennettu niin, että ne sisältävät monipuolisesti erilaisia ajattelun taitoja mittaavia tehtäviä. Siirryttäessä tehtävissä eteenpäin vaaditaan kokelailta korkeamman ajattelutaitojen käyttöä. Tehtävissä tulee soveltaa geomedia-aineistoa, kirjoittaa esseitä ja tulkita aineistoa. Saatujen tuloksien perus- teella kokelaiden geomedian käyttötaidot vaativat vielä harjoittelua ja kuvien tuottaminen osana sähköistä koetta koe- taan vielä haastavana. Omaa ajattelua olisi kaivattu enemmän ja moni vastaus vaikutti ulkomuistista tuotetulta. Haas- tavaksi koettiin rakentaa johdonmukainen, selkeä ja jäsennelty vastaus. Vastaukset sijoittuivat suurimmaksi osaksi yh- den rakenteen vastaustasolle. Vastaustaso nousi korkeammalle SOLO-tasolle tehtävänannon vaatiessa korkeamman ajattelun taitotasoa. Geomedia oli selvästi kokelaille vielä uusi asia. Parhaimmillaan itse tuotetut kuvat olivat informa- tiivisia ja tukivat kirjallista vastausta. Kuvat olivat joko itse piirrettyjä, kuvankaappauksia tai muokattuja kuvankaap- pauksia. Itse tuotetut diagrammit olivat selkeitä ja helppolukuisia sekä esittivät tehtävänannossa kysytyn asian hyvin, mutta niidentulkinta koettiin haastavaksi. Aineistoon ja itse tuotettuihin kuviin oli viitattu harvakseltaan.

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä sitä, miten geometria ilmenee lukion matematiikassa. Aineistona on käytetty lukion matematiikan oppikirjoja, lukion matematiikan ylioppilaskirjoituksia ja lukion valtakunnallisia opetussuunnitelman perusteita. Tutkimuksessa viitataan myös peruskoulun yläluokkien matematiikan osa-alueeseen geometria. Tutkielmassa on tarkoitus vastata seuraaviin kolmeen tutkimuskysymykseen: Miten geometrian opetus lukiossa eroaa pitkän ja lyhyen oppimäärän osalta? Miten erot näkyvät oppikirjoissa, opetussuunnitelmassa ja ylioppilaskirjoituksissa? Millaisia geometrian tietoja ja taitoja tarvitaan ylioppilaskoetehtävien ratkaisemiseen? Tutkimusaineiston analysoinnissa merkittävässä roolissa olivat tutkijan luomat taulukot, jotka ovat tutkimuksen liitteenä. Lisäksi syvällisemmin on analysoitu ylioppilaskokeiden tehtäviä, joiden haastavuutta ja syvällisyyttä on tarkasteltu Bloomin taksonomian teoriapohjaan verraten. Lukion matematiikan pitkä ja lyhyt oppimäärä eroavat geometria-kurssin osalta toisistaan tiettyjen sisältöalueiden osalta. Eroavaisuudet ovat hyvin yhtenäiset, kun tarkastellaan geometria-kurssien oppikirjoja ja verrataan niitä opetussuunnitelman perusteisiin. Olennaisimmat erot ovat seuraavat. Lyhyessä oppimäärässä matemaattisena sisältönä esiintyy geometria koordinaatistossa - aihealue, joka puuttuu pitkästä oppimäärästä. Lyhyen oppimäärän OPS asettaa käytännön läheisten geometrian ongelmien ratkaisun tavoitteeksi pitkästä oppimäärästä poiketen. Tätä selkeää eroa ei voida tehdä oppikirjavertailun perusteella. Toisaalta lyhyen oppimäärän oppikirjoista ja OPS:sta puuttuvat lähes kokonaan pitkään verrattuna seuraavat sisältöalueet ja käsitteet: sini- ja kosinilause, kappaleiden yhdenmuotoisuus, geometristen lauseiden todistaminen, kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava, kuvioiden ja kappaleiden kulmat (syventävämmän matematiikan kannalta), kulmiin liittyvät tarkemmat määritykset, ympyrä ja siihen liittyvät suorat sekä palloon liittyvät erikoistilavuudet. Ylioppilaskirjoituksissa lyhyen oppimäärän kannalta korostuvat tehtävissä juuri OPS:ssa mainitut geometrian kurssin keskeiset sisällöt, geometriaa koordinaatistossa -aihealuetta lukuun ottamatta. Pitkän oppimäärän kokeet eivät noudata niin selkeää linjaa OPS:n keskeisten sisältöjen suhteen. Suuren osan lyhyen oppimäärän ylioppilaskoetehtävistä pystyisi ratkaisemaan myös peruskoulun yläluokkien tiedoin, tosin usein syventävin sellaisin. Suurin osa tehtävistä sijoittui Bloomin taksonomian tasoille kolme ja neljä, eli tehtävissä tuli joko käyttää oikeaa kaavaa tehtävän ratkaisuun tai pilkkoa ongelma pienempiin osiin ja ymmärtää osien merkitys kokonaisratkaisun kannalta. Pitkän oppimäärän tehtävät sijoittuivat keskimääräisesti Bloomin taksonomian tasolle neljä ja tehtävissä piti normaalisti joko soveltaa ja pilkkoa tietoa tai jopa luoda uutta tietoa annettujen tietojen pohjalta. Vain muutama pitkän oppimäärän tehtävistä oli mahdollista ratkaista lyhyen oppimäärän tiedoin. Pitkän oppimäärän tehtävät ovat joko liian haastavia tai niiden matemaattiset sisältöalueet eivät kuuluneet lyhyen oppimäärän sisältöihin.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan, onko matematiikan ylioppilaskirjoitusten geometria tehtävissä tapahtunut muutosta kokeiden sähköistymisen seurauksena. Tarkastelussa on mukana pitkän ja lyhyen matematiikan kirjoitus kerrat kevät 2016 -- kevät 2021, joista kevät 2016 -- syksy 2018 ovat olleet ennen sähköistymistä ja kevät 2019 -- kevät 2021 ovat olleet sähköisiä kokeita. Tutkimuksessa vastataan kahteen tutkimuskysymykseen: "Onko geometrian tehtävät muuttuneet sähköistymisen seurauksena ja jos on, niin miten muutos on nähtävissä?" ja "Miten geometria tehtävien osuus on muuttunut pisteytyksessä?". Ensimmäiseen kysymykseen tutkimus pyrkii vastaamaan tarkastelemalla sähköistä ympäristöä ja sen mukana tulleita apuvälineitä. Sen lisäksi syvällisempää tarkastelua varten jokainen tehtävä on arvioitu Bloomin taksonomian asteikolla. Asteikon avulla tehtäviä ja niiden haastavuutta on vertailtu keskenään. Seuraavaan kysymyksen vastaamiseen tukimuksessa on käytössään ylioppilastutkintolauttakunnalta saatu data lyhyen ja pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tuloksista. Datasta on nostettu esille geometria tehtävistä saatujen pisteiden prosentuaalinen osuus kokeiden pisteytyksessä, johon on vaikuttanut kokeessa esiintyvien tehtävien määrä ja niistä saadut pisteet. Jokaiselle kokeelle on laskettu myös geometria tehtävistä saatujen pisteiden painotettu keskiarvo, joka kertoo tehtävien haastavuudesta. Datassa on ollut laskettuna myös CORR-menettelyn avulla Pearson korrelaatiot tehtävien välille, sekä korrelaatiot kokeista saatujen pisteiden kanssa. Tutkimuksessa nostetaan esille geometrian tehtävistä saatujen pisteiden korrelaatiot kokeesta saatujen pisteiden kanssa. Korrelaatio antaa arvion siitä, kuinka hyvin tehtävien haastavuus on ollut linjassa kokeen muiden tehtävien kanssa. Tulosten avulla tutkija vertailee sähköisiä ja ei-sähköisiä kokeita keskenään ja nostaa esille merkittävimmät muutokset niiden välillä. Tutkimuksessa käydään läpi myös geometrian ja ylioppilaskirjoitusten historiaa, jonka tarkoituksena on pohjustaa tutkimuksessa käsiteltävää aihetta. Tutkimuksessa on käyty myös läpi, mitkä tehtävät tutkimus laskee geometrian tehtäviksi hyödyntäen lukion perusopetussuunitelmissa esiintyviä geometrian kursseja. Ylioppilastutkintolauttakunnan tarjoama data antaa ymmärtää, että pitkän matematiikan tehtävät olisivat helpottuneet samalla, kun niiden määrä on vähentynyt. Lyhyessä matematiikassa sähköisissä kokeissa on ollut enemmän geometrian tehtäviä, mutta niiden vaikeudesta ei pysty datan avulla tekemään selkeää johtopäätöstä. Bloomin taksonomian mukaan pitkässä matematiikassa ei ole ollut merkittävää muutosta. Lyhyessä matematiikassa tehtävät ovat yleisesti helpottuneet, mutta vaikeimmat tehtävät löytyvät myös sähköisistä kokeista. Eniten muutosta on ollut itse sähköistymisessä, kun paperisista kokeista on vaihdettu sähköiseen koeympäristöön. Sähköistymisen mukana on tullut uudenlaisia havaintomateriaaleja, apuvälineitä ja tehtävätyyppejä.

Finding shortest paths in planar domains bounded by polygons is a well-studied problem in computational geometry. However, in many applications, only finding the shortest path is not sufficient: we need to be able to generate a list of short paths among which we can choose the route. Simple detours to the shortest path are rarely better than the direct path, and therefore we should return paths that are essentially different. To ensure that, we limit our consideration to locally shortest paths, defined as the paths that cannot be made shorter by infinitesimal perturbations, or more intuitively, the paths that are 'pulled taut' around the obstacles of the domain. We use the first half of the thesis to present the definitions and the basic theory of locally shortest paths. We prove that they are always polygonal chains of certain type, and use this to describe a simple visibility graph based algorithm for finding the kth shortest path, i.e. the kth element in the list of locally shortest paths between given points ordered by length. We prove that there is a unique way to change a locally shortest path continuously by moving its endpoints while keeping the path locally shortest. This result is used to show that the set of locally shortest paths with one fixed endpoint forms a covering space of the planar domain. We use this to to prove a connection between homotopy theory and locally shortest paths: each homotopy class contains exactly one locally shortest path, and that path is the shortest path in its homotopy class. The covering space structure formed by locally shortest paths also gives rise to the idea of tracking the lengths of the locally shortest paths between a fixed point s and a point x, and drawing a map of the points x in which the order of lengths of the paths changes or the type of one of the locally shortest paths changes. The resulting map is the kth shortest path map, a subdivision of the domain into components such that the kth shortest path from s to any point within a single component is essentially the same. We analyze the structure and complexity of this map, concluding that we can use it for efficient queries of kth shortest paths from s to any point x.

Tämä Pro gradu - tutkielma käsittelee harpilla ja viivaimella tehtyjä geometrisiä kuvioita, eli geometrisia konstruktioita. Tutkielma on tehty kirjallisuuskatsauksena ja se tarjoaa syventävää tietoa harpin ja viivaimen taustalla olevasta rikkaasta historiasta sekä moniulotteisesta matematiikasta. Tutkielma on rakennettu alkamaan pohjustavalla historian katsauksella, jonka jälkeen siirrytään tutkimaan matemaattista taustaa. Tutkielma alkaa historiallisella pohjalla, jossa luodaan katsaus yli 2000 vuoden päähän antiikin Kreikkaan ja sitä edeltäviin kulttuureihin. Tutkielmassa edetään jotakuinkin kronologisessa järjestyksessä antiikin ajoista aina 1800 - luvulle asti. Varhaisimmat harppiin ja viivaimeen liittyvät havainnot ulottuvat antiikin Egyptiin asti, jossa ympyröiden ja suorien viivojen piirtämiseen käytettiin köysiä ja puutikkuja. Egyptiläisten maanmittauksista luotu geometrinen perintö siirtyi antiikin Kreikkaan, jossa matemaatikko Eukleides kokosi kuuluisaan Alkeet - teokseensa geometrian peruskulmakivet. Geometrialle luotiin aksiomaattinen ja todistuksiin perustuva rakenne, joka nojasi hyvin vahvasti harpin ja viivaimen käyttöön. Teoksessa esitettyjen lauseiden rakenne noudatti kaavaa ongelma – todistus – konstruktio, jossa todistukset perustuivat alussa määritettyihin perusolettamuksiin. Antiikin aikaisen historian jälkeen luodaan katsaus harppiin ja viivaimeen työvälineinä sekä näihin liittyviin klassisiin ongelmiin. Harppi ja viivain työvälineinä mahdollistivat geometrialle ominaisten yksinkertaisten kuvioiden, eli suoran ja ympyrän piirtämisen, joten niiden asettaminen konstruktioiden peruspilareiksi oli loogista. Jo antiikin Kreikan aikana tietyt harppi – viivain – ongelmat osoittautuivat vaikeiksi eikä niitä osattu ratkaista Eukleideen määrittämin keinoin. Näitä siihen aikaan ratkaisemattomia ongelmia kutsutaan myös klassisiksi ongelmiksi ja näitä ovat kuution kahdentaminen, ympyrän neliöiminen sekä kulman jakaminen kolmeen osaan. Tutkielmassa avataan näihin liittyvää antiikin aikaista myyttistä historiaa sekä eritellään lyhyesti erilaisia ratkaisuyrityksiä. Klassiset ongelmat kiinnostivat matemaatikoita ja amatöörejä yli 2000 vuotta, kunnes vasta 1700 - ja 1800 - luvulla oli riittävät matemaattiset työkalut näiden todistamiseen mahdottomiksi harpilla ja viivaimella. Tässä tutkielmassa lähdetään rakentamaan matemaattista pohjaa harppi – viivain – konstruktioille matemaatikko ja filosofi René Descartesin 1600 - luvulla luoman analyyttisen geometrian avulla. Samalla kuljetetaan rinnalla koko ajan Alkeiden konstruktioiden algoritmista ideologiaa. Tavoitteena on lähteä muodostamaan vastausta kysymykseen: mitkä kaikki tason pisteet ja tarkemmin vielä mitkä luvut voidaan konstruoida harpilla ja viivaimella? Puhuttaessa konstruoituvuudesta, puhutaan sellaisista karteesisen koordinaatiston pisteistä, joiden koordinaattien luvut voidaan harpin ja viivaimen avulla konstruoida. Joukko-opillisesti konstruoituvat luvut lähdetään rakentamaan rationaaliluvuista neliöllisinä kuntalaajennuksina. Tarkastelun tuloksena huomataan, että harpilla ja viivaimella voidaan konstruoida ainoastaan peruslaskutoimituksilla sekä neliöjuurioperaatioilla saatuja lukuja. Lopuksi osoitetaan teorian valossa antiikin Kreikan kolme klassista ongelmaa mahdottomaksi. Konstruoituvien lukujen jälkeen palataan tutkimaan harppiin ja viivaimeen liittyviä ekvivalenssiteorioita. Harppeja ja viivaimia on olemassa käyttötarkoituksen mukaan erilaisia. Esimerkiksi antiikin Kreikan aikainen euklidinen harppi ei säilytä pituuttaan samalla tavalla kuin nykyisin kouluissakin käytetty moderni harppi, jonka jalat voidaan lukita tiettyyn pituuteen. Ne ovat kuitenkin konstruktioiden näkökulmasta ekvivalentteja työkaluja, eli niillä voidaan tehdä samat operaatiot. Tämä osoitetaan tutkimalla Alkeiden kirjan 1 kahta ensimmäistä propositiota. Lisäksi 1600 - ja 1700 - luvuilla geometriassa nousi uusi mielenkiintoinen tulos: kaikki, mikä voidaan tehdä harpilla ja viivaimella, voidaan myös tehdä pelkästään harpilla. Tämän lauseen nimi on Mohrin ja Mascheronin teoreema ja siihen tutustutaan tutkielmassa myös tarkemmin. Lopuksi luodaan teorian valossa vielä lyhyt katsaus säännöllisiin monikulmioihin. Tässä osoitetaan neliö, säännöllinen viisikulmio sekä säännöllinen kahdeksankulmio konstruoituviksi. Keskeiseksi teemaksi nousee säännöllisten monikulmioiden keskuskulma ja sen konstruoitavuus.