Browsing by Title

Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkimme Dirichlet'n ja Neumannin ongelmia Helmholtzin yhtälölle, ja etsimme näille reuna-arvo-ongelmille ratkaisuja reunaintegraaliyhtälöiden avulla. Tutkittavana alueena on $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, joka on rajoitettu, avoin ja yhtenäinen $\mathbb{R}^3$:n osajoukko. Alueen $\Omega$ reunan $\partial\Omega$ oletetaan olevan $C^2$-pinta. Helmholtzin yhtälö on muotoa $\Delta u(x) + k^2 u(x) = 0,~x\in\mathbb{R}^3$, missä lukua $k$ kutsutaan aaltoluvuksi. Helmholtzin yhtälö on aaltoyhtälön aikaharmoninen muoto ja se kuvaa aallon muutosta paikan funktiona. Luvussa 2 määrittelemme käsiteltävän alueen ja sen reunan sekä käymme läpi muutamia perustuloksia, joita tarvitsemme jatkossa. Lisäksi johdamme aaltoyhtälöstä Helmholtzin yhtälön ja määrittelemme tälle yhtälölle Dirichlet'n ja Neumannin ongelmat sisäalueessa $\Omega$. Luvussa 3 käsittelemme Hölder-avaruuksia $C^{k,\alpha}(G)$, missä $k\in\mathbb{N}_0$ ja $0<\alpha\le 1$, heikosti singulaarisia integraalioperaattoreita ja Fredholmin alternatiivia. Lisäksi määrittelemme kerrospotentiaalit sekä tutkimme niiden jatkuvuusominaisuuksia ja reuna-arvoja. Yksi- ja kaksikerros-potentiaalit toteuttavat Helmholtzin yhtälön joukossa $\mathbb{R}^3\setminus\partial\Omega$. Kerrospotentiaalit ovat tässä työssä merkittävässä osassa reuna-arvo-ongelmien ratkaisemisessa, sillä niiden avulla voimme muuntaa reuna-arvo-ongelmat reunaintegraaliyhtälöiksi ja näin ollen löytää ratkaisut alkuperäisille ongelmille. Luvussa 4 muotoilemme sisäalueen Dirichlet'n ja Neumannin ongelmat toisen lajin reunaintegraaliyhtälöinä. Sisäalueen Dirichlet'n ongelmaa vastaava reunaintegraaliyhtälö voidaan esittää muodossa $(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K})\psi = -2f$ ja sisäalueen Neumannin ongelmaa vastaava reunaintegraaliyhtälö muodossa $(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{K^*})\phi = 2g$. Integraaliyhtälöissä esiintyvät reunaintegraalioperaattorit $\boldsymbol{K}$ ja $\boldsymbol{K^*}$ ovat kompakteja avaruuksissa $C(\partial\Omega)$ ja $C^{0,\alpha}(\partial\Omega)$, kun $0<\alpha< 1$. Tulemme osoittamaan, että sopivalla tiheysfunktion $\psi \in C(\partial\Omega)$ valinnalla kaksikerros-potentiaali $v$ on sisäalueen Dirichlet'n ongelman ratkaisu. Vastaavasti sopivalla tiheysfuktion $\phi \in C(\partial\Omega)$ valinnalla yksikerros-potentiaali $u$ on sisäalueen Neumannin ongelman ratkaisu. Lopuksi tutkimme näiden reuna-arvo-ongelmien ratkeavuutta. Tyypillisesti sisäalueen reuna-arvo-ongelmille ei löydy yksikäsitteistä ratkaisua. Reuna-arvo-ongelmia vastaavat reunaintegraaliyhtälöt ovat yksikäsitteisesti ratkeavia silloin, kun Helmholtzin yhtälössä esiintyvä aaltoluku $k$ ei ole sisäalueen reuna-arvo-ongelman ominaisarvo. Fredholmin alternatiivin avulla voimme tutkia näiden reunaintegraaliyhtälöiden ratkeavuutta. Jos reunaintegraaliyhtälö on ratkeava, niin myös sitä vastaava sisäalueen reuna-arvo-ongelma on ratkeava.

I den här avhandlingen behandlas cellulära automater och speciellt deras reversibilitet. Avhandlingens fokus ligger vid att bevisa att reversibilitetsproblemet är oavgörbart för tvådimensionella cellulära automater, med andra ord att det inte existerar en algoritm för att bestämma om en tvådimensionel cellulär automat är reversibel. Avhandlingen inleds med introduktionen av grundläggande definitioner och begrepp gällande cellulära automater. I kapitel 2 undersöker vi existensen av Edens trädgård-konfigurationer hos cellulära automater. En Edens trädgård-konfiguration är en konfiguration som endast kan förekomma som startkonfiguration hos den cellulära automaten ifråga. Vi bevisar också Edens trädgård-satsen som ursprungligen presenterades av Edward F. Moore och John Myhill. Tillsammans med Curtis-Hedlund-Lyndon satsen som presenteras i kapitel 3, möjliggör Edens trädgård-satsen beviset av att en cellulär automat är reversibel om och endast om dess globala funktion är injektiv. Detta bevis presenteras i kapitel 3 och utgör en grundläggande ingredient i beviset av att reversibilitetsproblemet är oavgörbart för tvådimensionella cellulära automater. I kapitel 4 bekantar vi oss med begrepp som krävs för att förstå vad oavgörbarhet innebär. Begrepp som behandlas är bl.a. Turingmaskin och algoritm. Kapitel 5 inleds med introduktionen av kaklingsproblemet samt diverse viktiga definitioner i anknytning till detta problem. Här presenteras och bevisas också en sats som utgör det sista grundantagandet i beviset av reversibilitetsproblemets oavgörbarhet för tvådimensionella cellulära automater. Detta bevis behandlas i avhandlingens sista kapitel.

System logs are the diagnostic window to the state of health of the server. Logs are collected to files from which system administrators can monitor the status and events in the server. The logs are usually unstructured textual messages which are difficult to go through manually, because of the ever-growing data. Natural language processing contains different styles and techniques for a computer to interpret textual data. Word2vec and fastText are popular word embedding methods which project words to vectors of real numbers. Doc2vec is the equivalent for paragraphs and it is an extension to Word2vec. With these embedding models I will attempt to create an anomaly detector to assist the log monitoring task. For the actual anomaly detection, I will utilize Independent component analysis (ICA), Hidden Markov Model (HMM) and Long short-term memory to dig deeper in to the vectorized event log messages. The embedding models are then reviewed for their performance in this task. The results of this study show that there is no clear difference between the success of Word2vec and fastText, but it seems that Doc2vec does not work well with the short messages the event logs contain. The anomaly detector would still need some tuning in order to work reliably in production, but it is a decent attempt to achieve useful tool for event log analysing.

The increasing demand for comprehensive datasets to address complex diseases has resulted in a widespread popularity of biobank-based research. However, the collection of biobank-level data may be susceptible to biases when fundamental aspects of study design, such as sampling approach, are overlooked. FinnGen is a large-scale cohort study aiming to improve diagnoses and prevent diseases through genetic research by combining biobank data with registry data.However, FinnGen’s hospital-based recruitment strategy makes FinnGen suffer from selection bias and thus epidemiologically less representative of its sampling population. In this study, we examine the profound impact of selection bias in FinnGen. We use well-established epidemiological methods and leverage representative data on the Finnish population to try and correct for the bias. By comparing key demographic characteristics and association statistics of interest between FinnGen and a comprehensive registry-based study, FinRegistry, we highlight the extent to which selection bias within FinnGen results in distorted association estimates and a dataset that is highly non - representative of its underlying population. In response to these findings, we estimate Iterative Proportional Fitting (IPF) weights to estimate association statistics that are representative of the true sampling population of FinnGen and unaffected by selection bias. By comparing weighted associations estimated in the FinnGen with associations estimated using FinRegistry data, we infer that the use of our IPF weights mitigates volunteer bias in FinnGen.

Riccatin yhtälö on ensimmäisen kertaluvun epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Riccatin yhtälöstä on muodostettavissa toisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen differentiaaliyhtälö, ja vastaavasti toisen kertaluvun lineaarisesta differentiaaliyhtälöstä voidaan muodostaa Riccatin yhtälö. Eräs esimerkki Riccatin yhtälöiden yhteydessä usein esiintyvästä toisen kertaluvun lineaarisesta differentiaaliyhtälöstä on Besselin yhtälö. Yhden tunnetun ratkaisun avulla voidaan Riccatin yhtälöstä muodostaa ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö ja Bernoullin differentiaaliyhtälö. Jos puolestaan kaksi tai kolme ratkaisua Riccatin yhtälöön tunnetaan, voidaan Riccatin yhtälön ratkaisu muodostaa näiden avulla. Lisäksi yhtälön neljän ratkaisun kaksoissuhde on vakio. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden lisäksi Riccatin yhtälöön liittyy läheisesti eräs lineaarinen differentiaaliyhtälösysteemi. Tämän ratkaisun avulla voidaan muodostaa Riccatin yhtälön ratkaisu ja toisaalta kyseinen differentiaaliyhtälösysteemi voidaan ratkaista Riccatin yhtälön avulla. Eräissä Suomen lukioissa on mahdollista opiskella differentiaaliyhtälöiden kurssi, ja eräitä Riccatin yhtälöitä olisi mahdollista sisällyttää näille kursseille. Sopivan haastavat separoituvat Riccatin yhtälöt soveltuvat kyseisille kursseille sellaisenaan, minkä lisäksi on mahdollista esitellä tapoja muodostaa Riccatin yhtälöstä ensimmäisen ja toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, ja ratkoa Riccatin yhtälöitä näiden avulla.

Tutkielmassa pyritään kehittämään differentiaalimuotojen ja de Rhamin kohomologiaryhmien teoriaa Riemannin pinnoilla. Työn huipennuksena tämän teorian avulla osoitetaan Riemannin pintojen uniformisaatio. Tämä tulos kertoo, että yhdesti yhtenäiset Riemannin pinnat ovat konformisesti ekvivalentteja joko pallon, tason tai yksikkökiekon kanssa. Erityisesti jokainen Riemannin pinta on pallon, tason tai yksikkökiekon tekijäavaruus. Työn ensimmäisessä varsinaisessa luvussa esitellään Riemannin pinta ja sillä määritellyt analyyttiset kuvaukset. Tämän jälkeen analyyttisille kuvauksille johdetaan yleistyksiä muutamista kompleksianalyysin tuloksista. Luvun vaativin ja merkittävin osuus on peiteavaruuden käsite. Osoittautuu, että Riemannin pinta on aina jonkin yhdesti yhtenäisen Riemannin pinnan tekijäavaruus. Loppuluvussa tutkitaan möbiuskuvausten muodostamia ryhmiä ja kuinka niiden avulla saadaan pallosta, tasosta tai yksikkökiekosta muita Riemannin pintoja. Kolmannessa luvussa määritellään Riemannin pinnan tangetti- ja kotangenttiavaruudet sekä sileät differentiaalimuodot. Nämä luovat perustan de Rhamin kohomologiateorialle. Työssä todistetaan kohomologiaryhmien avulla merkittäviä tuloksia Riemannin pintojen rakenteista. Tämän lisäksi luvussa tutkitaan tarkemmin differentiaalimuotojen ominaisuuksia. Neljännen luvun alkupuolella huomio painottuu Poissonin yhtälön ratkaisemiseen kompaktilla Riemannin pinnalla. Ratkaisun löytymisen jälkeen kohomologiaryhmien väliset yhteydet johdetaan vaivattomasti ja nämä yhteydet osoittavat pallon olevan konformista ekvivalenssia vaille ainoa genus 0 kompakti Riemannin pinta. Tämän lisäksi torus on konformista ekvivalenssia vaille ainoa genus 1 kompakti Riemannin pinta. Luvun loppupuolella ratkaistaan Poissonin yhtälö epäkompaktilla Riemannin pinnalla, minkä jälkeen on koottuna riittävät tiedot tutkielman kohokohtaa varten. Tämä saavutetaan Poissonin yhtälön ratkaisun, peiteavaruuksien ominaisuuksien ja möbiusryhmistä osoitettujen tietojen avulla.

Rietveld refinement and synchrotron powder diffraction are both rather unknown for the common geologist, although very powerful methods in academic and industry applications. The aim of the study is to resolve phase composition of a complex geological sample and investigate the capabilities of the methods. Complex granitic rock, tirilite was selected for quantitative phase analysis to be carried out by Rietveld refinement utilizing Synchrotron Radiation X-Ray powder diffraction at the Swiss Light Source (SLS) synchrotron radiation facility maintained by Paul Scherrer Institute (PSI). Samples were measured using Vibrating Sample Holder (VSH), a novel sample handling approach developed originally for Martian exploration by NASA. This invention was further modified and developed with PSI and Stenman Minerals Ab for synchrotron beamline setup to answer increased demand of industrial diffraction analyses. The new approach might serve industrial as well as academic interest. A large bulk sample of tirilite were processed for the study. The sample was divided to different weight fractions using heavy liquid separation to reduce the number of mineral phases present in a powder diffraction sample. The motif for this was to decrease the number of diffraction peaks within a diffractogram for achieving better refinement for individual mineral phases. Mineral phases were recognized from the separate weight fractions. Each mineral in a rock was first refined from the weight fraction in which it was most represented. Refinements were carried out against database structure references. After refining the structure- and profile parameters of the present phases from the weight fractions, they were used as structural references for whole rock refinement. Quality of the refinements were compared to chemical analyses carried out by WD-XRF and ICP-MS. Correlation between analysed and refined chemical composition and lattice parameter references and refinement quality parameters suggests that the method is not limited for determination of accurate modal compositions. Also, a set of crystallographic parameters can be both accurately and precisely derived from the refinements: lattice parameters, compositions, and site occupancies. Determination of inter-site cation distribution can be used for geothermobarometry and samples can be measured faster than before. The method seems a promising new application of synchrotron powder diffraction for academic and industry applications.

Aerosolihiukkasten kasvu kokoon, missä niillä voi olla merkitystä ilmastolle, riippuu ilmakehässä olevien kaasujen ominaisuuksista ja pitoisuuksista sekä hiukkastenvälisestä koagulaatiosta. Hiukkasessa tapahtuvilla kemiallisilla reaktioilla on myös vaikutusta yhdisteiden tiivistymiseen ja haihtumiseen hiukkasesta. Tässä tutkielmassa perehdytään rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaation vaikutukseen aerosolihiukkasten kasvunopeuteen, kun hiukkasen halkaisija on välillä 3-20 nm, mikä on tärkein kokoalue aerosolihiukkasen kasvun kannalta. Tarkastelun kohteena ovat klusterit, jotka koostuvat yhdestä rikkihappomolekyylistä ja yhdestä dimetyyliamiinimolekyylistä aina klusteriin joka koostu neljästä rikkihappo- ja dimetyyliamiinimoleekylistä. Työssä kehitettiin kaksi uutta versiota MABNAG-mallista, joka mallintaa aerosolihiukkasten kasvua kaasujen tiivistymisen kautta: ensimmäinen kehitetty versio sisälsi rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaation aerosolihiukkasiin ja toisessa versiossa dimetyyliamiinin käsittely muutettiin aikaisemmasta tavasta, missä hiukkas- ja kaasufaasien oletettiin olevan jatkuvasti termodynaamisessa tasapainossa, tapaan missä dimetyyliamiinin tiivistyminen ratkaistaan yhdisteen massavuota kuvaavasta differentiaaliyhtälöstä. Kumpaakin uutta versiota verrattiin alkuperäiseen versioon ja muutoksia mallinnetussa aerosolihiukkasten kasvussa analysoitiin. Rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaation vaikutukset MABNAG-mallista saatuihin aerosolihiukkasten kasvunopeuksiin olivat kahdenlaisia. Kun rikkihapon kaasufaasin pitoisuus oli 10^6 cm-3, eivät tutkitut klusterit juurikaan vaikuttaneet aerosolihiukkasten kasvunopeuteen. Korkeammilla rikkihappopitoisuuksilla (tässä työssä 10^7 cm-3 ja 10^8 cm-3) klusterit nostivat kasvunopeutta parhaimmillaan hieman yli viisikymmentä prosenttia, mutta tyypillisemmin 10-40 % riippuen simulaatioon asetettujen yhdisteiden kaasufaasin pitoisuuksista. Tulokset eivät kuitenkaan olleet täysin linjassa keskenenään, vaan esimerkiksi ammoniakin kaasufaasin pitoisuuden kasvattaminen saattoi pienintää kasvunopeutta verrattuna pienempään ammoniakkipitoisuuteen. Kokonaisuutena saadut tulokset osoittavat, että rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaatio on otettava huomioon viimeistään mallinnettaessa aerosolihiukkasten kasvua systeemeissä, missä rikkihapon ja dimetyyliamiinin kaasufaasin pitoisuudet ovat suurempia kuin 10^6 cm-3. kertaluokka. Dimetyyliamiinin tiivistymisen laskentatapaa tutkittaessa tultiin tulokseen, että oletus välittömästä termodynaamisesta tasapainosta on pätevä tyypillisillä mallin sisäänsyöttöasetuksilla. Tuloksissa havaittiin pieniä poikkeamia yhdisteiden hiukkasfaasin massoissa eri yhdisteiden välillä, mutta mikään näistä ei ollut riitttävän suuri saamaan aikaa eroavaisuuksissa hiukkasen säteessä ajan funktiona.

Tämän maisterintutkielman ensisijaisena tarkoituksena on esitellä menetelmä riskihenkivakuutuksen yhden vuoden kokonaiskorvausmenon mallintamiseen ja viidentoista eri jälleenvakuutusratkaisun vertailuun VaR-riskimittarin avulla. Riskihenkivakuutuksella eli kuolemanvaravakuutuksella tarkoitetaan sellaista vakuutusta, jossa vakuutusyhtiö maksaa sovitun korvaussumman edunsaajalle, jos vakuutettu sattuu kuolemaan vakuutuskauden aikana. Tällöin vakuutettu riski on henkilön kuolema. Koska tutkielman koodi on liitteissä, esitettyjä menetelmiä on mahdollista soveltaa myös muille henkivakuutusaineistoille ja jälleenvakuutusratkaisuille. Tutkielmassa esitellään lisäksi menetelmät riskihenkivakuutusaineiston simuloimiseksi ja jälleenvakuutussopimusten hintojen arvioimiseksi, mutta ne eivät ole tutkielman keskeisimpiä osuuksia ja on toteutettu siitä syystä karkeilla tilastollisilla malleilla. Simulaatiotutkimuksen aineisto simuloitiin erään espanjalaisen vakuutusyhtiön anonymisoidun riskihenkivakuutusaineiston pohjalta, josta arvottiin vakuutetuille ikä, sukupuoli ja korvaussumma. Pseudoaineistosta simuloitiin Monte Carlo -menetelmällä yhden vuoden aikana tapahtuvat kuolemat 8000 kertaa. Vuosittaisista kuolemista eriteltiin ensi- ja jälleenvakuuttajan kokonaiskorvausmenon osuudet, joista määritettiin kvantiilit (VaR-luottamustasot 90 %, 95 %, 99 % ja 99,5 %) valituille jälleenvakuutusratkaisuille. VaR arvoihin lisättiin jälleenvakuutussopimusten hinta-arviot ja niitä vertailtiin toisiinsa kuvaajien avulla. Tutkielman ensisijainen tulos on riskihenkivakuutuksen mallintamisen ja jälleenvakuutussopimusten vertailun mahdollistavan mallin esittäminen. Lisäksi simulaatiotutkimuksessa lasketut VaR arvot voivat antaa suuntaa-antavan tuloksen siitä, miten eri jälleenvakuutussopimukset vertaantuvat keskenään, mutta ei vastaa suoraan kysymykseen, mikä on ensivakuuttajalle edullisin jälleenvakuutus.

Sijoitustuotot ajatellaan usein normaalijakautuneiksi. Tällöin riskiä mitataan keskihajonnalla eli volatiliteetilla. Kun luovutaan normaalijakaumaoletuksesta, mitä tukee havainnot historiallisista sijoitustuotoista, voidaan rakentaa sijoitusten riskin mittamiseen tarkoitettujen riskimittojen teoriaa. Riskimittojen toivottavia ominaisuuksia ovat mm. monotonisuus, käteisinvarianssi, positiivinen homogeenius ja konveksisuus. Mikäli riskimitalla on nämä ominaisuudet, sanomme, että se on koherentti. Volatiliteetti ei ole monotoninen tai käteisinvariantti, joten sitä ei voida pitää kovin hyvänä riskimittana. Lisäksi se on symmetrinen, jolloin myös erityisen suuret tuotot lisäävät sijoituksen riskillisyyttä volatiliteetin mielessä. Volatiliteetin symmetrisyysongelman ratkaiseva value-at-risk on monotoninen, käteisinvariantti ja positiivisesti homogeeni, mutta se ei ole konveksi. Tällöin se voi rankaista hajauttamisesta. Sen sijaan maksimaalinen riskimitta sekä odotettu vaje ovat esimerkkejä koherenteista riskimitoista. Sijoituksen itsenäinen riski ei kuitenkaan ole vielä erityisen kiinnostava, kun siirrytään portfoliokontekstiin. Tässä yhteydessä voidaan soveltaa erilaisia riskinallokointimenetelmiä sen selvittämiseen, mikä on yksittäisten portfoliossa olevien sijoitusten kontribuutio portfolion kokonaisriskiin valitun riskimitan suhteen. Tällaisia menetelmiä on useita, mutta yksikään niistä ei toteuta kaikkia kolmea riskinallokointimenetelmiltä toivottua ominaisuutta. Nämä ominaisuudet ovat yhtäläisen kohtelun ominaisuus, vahvan monotonisuuden ominaisuus sekä ydinyhteensopivuuden ominaisuus. Sovelluksena edellä esitetystä teoriasta tutustutaan Eufex Eläkevarainhoito -erikoissijoitusrahaston riskiprofiiliin. Tutkimuksessa esitetty teoria pyrkii vastaamaan esimerkiksi seuraaviin kysymyksiin: - Paljonko tulee varata käteisvaroja, että johonkin sijoitukseen liittyvä riski on hyväksyttävä? - Minkä sijoituksen painoa tulisi vähentää portfoliosta, mikäli halutaan vähentää portfolion riskitasoa? - Kuinka suuren osan pankin kokonaisriskistä kukin sen osasto tuottaa?