Browsing by Title

Riccatin yhtälö on ensimmäisen kertaluvun epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Riccatin yhtälöstä on muodostettavissa toisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen differentiaaliyhtälö, ja vastaavasti toisen kertaluvun lineaarisesta differentiaaliyhtälöstä voidaan muodostaa Riccatin yhtälö. Eräs esimerkki Riccatin yhtälöiden yhteydessä usein esiintyvästä toisen kertaluvun lineaarisesta differentiaaliyhtälöstä on Besselin yhtälö. Yhden tunnetun ratkaisun avulla voidaan Riccatin yhtälöstä muodostaa ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö ja Bernoullin differentiaaliyhtälö. Jos puolestaan kaksi tai kolme ratkaisua Riccatin yhtälöön tunnetaan, voidaan Riccatin yhtälön ratkaisu muodostaa näiden avulla. Lisäksi yhtälön neljän ratkaisun kaksoissuhde on vakio. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden lisäksi Riccatin yhtälöön liittyy läheisesti eräs lineaarinen differentiaaliyhtälösysteemi. Tämän ratkaisun avulla voidaan muodostaa Riccatin yhtälön ratkaisu ja toisaalta kyseinen differentiaaliyhtälösysteemi voidaan ratkaista Riccatin yhtälön avulla. Eräissä Suomen lukioissa on mahdollista opiskella differentiaaliyhtälöiden kurssi, ja eräitä Riccatin yhtälöitä olisi mahdollista sisällyttää näille kursseille. Sopivan haastavat separoituvat Riccatin yhtälöt soveltuvat kyseisille kursseille sellaisenaan, minkä lisäksi on mahdollista esitellä tapoja muodostaa Riccatin yhtälöstä ensimmäisen ja toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, ja ratkoa Riccatin yhtälöitä näiden avulla.

Tutkielmassa pyritään kehittämään differentiaalimuotojen ja de Rhamin kohomologiaryhmien teoriaa Riemannin pinnoilla. Työn huipennuksena tämän teorian avulla osoitetaan Riemannin pintojen uniformisaatio. Tämä tulos kertoo, että yhdesti yhtenäiset Riemannin pinnat ovat konformisesti ekvivalentteja joko pallon, tason tai yksikkökiekon kanssa. Erityisesti jokainen Riemannin pinta on pallon, tason tai yksikkökiekon tekijäavaruus. Työn ensimmäisessä varsinaisessa luvussa esitellään Riemannin pinta ja sillä määritellyt analyyttiset kuvaukset. Tämän jälkeen analyyttisille kuvauksille johdetaan yleistyksiä muutamista kompleksianalyysin tuloksista. Luvun vaativin ja merkittävin osuus on peiteavaruuden käsite. Osoittautuu, että Riemannin pinta on aina jonkin yhdesti yhtenäisen Riemannin pinnan tekijäavaruus. Loppuluvussa tutkitaan möbiuskuvausten muodostamia ryhmiä ja kuinka niiden avulla saadaan pallosta, tasosta tai yksikkökiekosta muita Riemannin pintoja. Kolmannessa luvussa määritellään Riemannin pinnan tangetti- ja kotangenttiavaruudet sekä sileät differentiaalimuodot. Nämä luovat perustan de Rhamin kohomologiateorialle. Työssä todistetaan kohomologiaryhmien avulla merkittäviä tuloksia Riemannin pintojen rakenteista. Tämän lisäksi luvussa tutkitaan tarkemmin differentiaalimuotojen ominaisuuksia. Neljännen luvun alkupuolella huomio painottuu Poissonin yhtälön ratkaisemiseen kompaktilla Riemannin pinnalla. Ratkaisun löytymisen jälkeen kohomologiaryhmien väliset yhteydet johdetaan vaivattomasti ja nämä yhteydet osoittavat pallon olevan konformista ekvivalenssia vaille ainoa genus 0 kompakti Riemannin pinta. Tämän lisäksi torus on konformista ekvivalenssia vaille ainoa genus 1 kompakti Riemannin pinta. Luvun loppupuolella ratkaistaan Poissonin yhtälö epäkompaktilla Riemannin pinnalla, minkä jälkeen on koottuna riittävät tiedot tutkielman kohokohtaa varten. Tämä saavutetaan Poissonin yhtälön ratkaisun, peiteavaruuksien ominaisuuksien ja möbiusryhmistä osoitettujen tietojen avulla.

Rietveld refinement and synchrotron powder diffraction are both rather unknown for the common geologist, although very powerful methods in academic and industry applications. The aim of the study is to resolve phase composition of a complex geological sample and investigate the capabilities of the methods. Complex granitic rock, tirilite was selected for quantitative phase analysis to be carried out by Rietveld refinement utilizing Synchrotron Radiation X-Ray powder diffraction at the Swiss Light Source (SLS) synchrotron radiation facility maintained by Paul Scherrer Institute (PSI). Samples were measured using Vibrating Sample Holder (VSH), a novel sample handling approach developed originally for Martian exploration by NASA. This invention was further modified and developed with PSI and Stenman Minerals Ab for synchrotron beamline setup to answer increased demand of industrial diffraction analyses. The new approach might serve industrial as well as academic interest. A large bulk sample of tirilite were processed for the study. The sample was divided to different weight fractions using heavy liquid separation to reduce the number of mineral phases present in a powder diffraction sample. The motif for this was to decrease the number of diffraction peaks within a diffractogram for achieving better refinement for individual mineral phases. Mineral phases were recognized from the separate weight fractions. Each mineral in a rock was first refined from the weight fraction in which it was most represented. Refinements were carried out against database structure references. After refining the structure- and profile parameters of the present phases from the weight fractions, they were used as structural references for whole rock refinement. Quality of the refinements were compared to chemical analyses carried out by WD-XRF and ICP-MS. Correlation between analysed and refined chemical composition and lattice parameter references and refinement quality parameters suggests that the method is not limited for determination of accurate modal compositions. Also, a set of crystallographic parameters can be both accurately and precisely derived from the refinements: lattice parameters, compositions, and site occupancies. Determination of inter-site cation distribution can be used for geothermobarometry and samples can be measured faster than before. The method seems a promising new application of synchrotron powder diffraction for academic and industry applications.

Aerosolihiukkasten kasvu kokoon, missä niillä voi olla merkitystä ilmastolle, riippuu ilmakehässä olevien kaasujen ominaisuuksista ja pitoisuuksista sekä hiukkastenvälisestä koagulaatiosta. Hiukkasessa tapahtuvilla kemiallisilla reaktioilla on myös vaikutusta yhdisteiden tiivistymiseen ja haihtumiseen hiukkasesta. Tässä tutkielmassa perehdytään rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaation vaikutukseen aerosolihiukkasten kasvunopeuteen, kun hiukkasen halkaisija on välillä 3-20 nm, mikä on tärkein kokoalue aerosolihiukkasen kasvun kannalta. Tarkastelun kohteena ovat klusterit, jotka koostuvat yhdestä rikkihappomolekyylistä ja yhdestä dimetyyliamiinimolekyylistä aina klusteriin joka koostu neljästä rikkihappo- ja dimetyyliamiinimoleekylistä. Työssä kehitettiin kaksi uutta versiota MABNAG-mallista, joka mallintaa aerosolihiukkasten kasvua kaasujen tiivistymisen kautta: ensimmäinen kehitetty versio sisälsi rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaation aerosolihiukkasiin ja toisessa versiossa dimetyyliamiinin käsittely muutettiin aikaisemmasta tavasta, missä hiukkas- ja kaasufaasien oletettiin olevan jatkuvasti termodynaamisessa tasapainossa, tapaan missä dimetyyliamiinin tiivistyminen ratkaistaan yhdisteen massavuota kuvaavasta differentiaaliyhtälöstä. Kumpaakin uutta versiota verrattiin alkuperäiseen versioon ja muutoksia mallinnetussa aerosolihiukkasten kasvussa analysoitiin. Rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaation vaikutukset MABNAG-mallista saatuihin aerosolihiukkasten kasvunopeuksiin olivat kahdenlaisia. Kun rikkihapon kaasufaasin pitoisuus oli 10^6 cm-3, eivät tutkitut klusterit juurikaan vaikuttaneet aerosolihiukkasten kasvunopeuteen. Korkeammilla rikkihappopitoisuuksilla (tässä työssä 10^7 cm-3 ja 10^8 cm-3) klusterit nostivat kasvunopeutta parhaimmillaan hieman yli viisikymmentä prosenttia, mutta tyypillisemmin 10-40 % riippuen simulaatioon asetettujen yhdisteiden kaasufaasin pitoisuuksista. Tulokset eivät kuitenkaan olleet täysin linjassa keskenenään, vaan esimerkiksi ammoniakin kaasufaasin pitoisuuden kasvattaminen saattoi pienintää kasvunopeutta verrattuna pienempään ammoniakkipitoisuuteen. Kokonaisuutena saadut tulokset osoittavat, että rikkihappo-dimetyyliamiiniklustereiden koagulaatio on otettava huomioon viimeistään mallinnettaessa aerosolihiukkasten kasvua systeemeissä, missä rikkihapon ja dimetyyliamiinin kaasufaasin pitoisuudet ovat suurempia kuin 10^6 cm-3. kertaluokka. Dimetyyliamiinin tiivistymisen laskentatapaa tutkittaessa tultiin tulokseen, että oletus välittömästä termodynaamisesta tasapainosta on pätevä tyypillisillä mallin sisäänsyöttöasetuksilla. Tuloksissa havaittiin pieniä poikkeamia yhdisteiden hiukkasfaasin massoissa eri yhdisteiden välillä, mutta mikään näistä ei ollut riitttävän suuri saamaan aikaa eroavaisuuksissa hiukkasen säteessä ajan funktiona.

Tämän maisterintutkielman ensisijaisena tarkoituksena on esitellä menetelmä riskihenkivakuutuksen yhden vuoden kokonaiskorvausmenon mallintamiseen ja viidentoista eri jälleenvakuutusratkaisun vertailuun VaR-riskimittarin avulla. Riskihenkivakuutuksella eli kuolemanvaravakuutuksella tarkoitetaan sellaista vakuutusta, jossa vakuutusyhtiö maksaa sovitun korvaussumman edunsaajalle, jos vakuutettu sattuu kuolemaan vakuutuskauden aikana. Tällöin vakuutettu riski on henkilön kuolema. Koska tutkielman koodi on liitteissä, esitettyjä menetelmiä on mahdollista soveltaa myös muille henkivakuutusaineistoille ja jälleenvakuutusratkaisuille. Tutkielmassa esitellään lisäksi menetelmät riskihenkivakuutusaineiston simuloimiseksi ja jälleenvakuutussopimusten hintojen arvioimiseksi, mutta ne eivät ole tutkielman keskeisimpiä osuuksia ja on toteutettu siitä syystä karkeilla tilastollisilla malleilla. Simulaatiotutkimuksen aineisto simuloitiin erään espanjalaisen vakuutusyhtiön anonymisoidun riskihenkivakuutusaineiston pohjalta, josta arvottiin vakuutetuille ikä, sukupuoli ja korvaussumma. Pseudoaineistosta simuloitiin Monte Carlo -menetelmällä yhden vuoden aikana tapahtuvat kuolemat 8000 kertaa. Vuosittaisista kuolemista eriteltiin ensi- ja jälleenvakuuttajan kokonaiskorvausmenon osuudet, joista määritettiin kvantiilit (VaR-luottamustasot 90 %, 95 %, 99 % ja 99,5 %) valituille jälleenvakuutusratkaisuille. VaR arvoihin lisättiin jälleenvakuutussopimusten hinta-arviot ja niitä vertailtiin toisiinsa kuvaajien avulla. Tutkielman ensisijainen tulos on riskihenkivakuutuksen mallintamisen ja jälleenvakuutussopimusten vertailun mahdollistavan mallin esittäminen. Lisäksi simulaatiotutkimuksessa lasketut VaR arvot voivat antaa suuntaa-antavan tuloksen siitä, miten eri jälleenvakuutussopimukset vertaantuvat keskenään, mutta ei vastaa suoraan kysymykseen, mikä on ensivakuuttajalle edullisin jälleenvakuutus.

Sijoitustuotot ajatellaan usein normaalijakautuneiksi. Tällöin riskiä mitataan keskihajonnalla eli volatiliteetilla. Kun luovutaan normaalijakaumaoletuksesta, mitä tukee havainnot historiallisista sijoitustuotoista, voidaan rakentaa sijoitusten riskin mittamiseen tarkoitettujen riskimittojen teoriaa. Riskimittojen toivottavia ominaisuuksia ovat mm. monotonisuus, käteisinvarianssi, positiivinen homogeenius ja konveksisuus. Mikäli riskimitalla on nämä ominaisuudet, sanomme, että se on koherentti. Volatiliteetti ei ole monotoninen tai käteisinvariantti, joten sitä ei voida pitää kovin hyvänä riskimittana. Lisäksi se on symmetrinen, jolloin myös erityisen suuret tuotot lisäävät sijoituksen riskillisyyttä volatiliteetin mielessä. Volatiliteetin symmetrisyysongelman ratkaiseva value-at-risk on monotoninen, käteisinvariantti ja positiivisesti homogeeni, mutta se ei ole konveksi. Tällöin se voi rankaista hajauttamisesta. Sen sijaan maksimaalinen riskimitta sekä odotettu vaje ovat esimerkkejä koherenteista riskimitoista. Sijoituksen itsenäinen riski ei kuitenkaan ole vielä erityisen kiinnostava, kun siirrytään portfoliokontekstiin. Tässä yhteydessä voidaan soveltaa erilaisia riskinallokointimenetelmiä sen selvittämiseen, mikä on yksittäisten portfoliossa olevien sijoitusten kontribuutio portfolion kokonaisriskiin valitun riskimitan suhteen. Tällaisia menetelmiä on useita, mutta yksikään niistä ei toteuta kaikkia kolmea riskinallokointimenetelmiltä toivottua ominaisuutta. Nämä ominaisuudet ovat yhtäläisen kohtelun ominaisuus, vahvan monotonisuuden ominaisuus sekä ydinyhteensopivuuden ominaisuus. Sovelluksena edellä esitetystä teoriasta tutustutaan Eufex Eläkevarainhoito -erikoissijoitusrahaston riskiprofiiliin. Tutkimuksessa esitetty teoria pyrkii vastaamaan esimerkiksi seuraaviin kysymyksiin: - Paljonko tulee varata käteisvaroja, että johonkin sijoitukseen liittyvä riski on hyväksyttävä? - Minkä sijoituksen painoa tulisi vähentää portfoliosta, mikäli halutaan vähentää portfolion riskitasoa? - Kuinka suuren osan pankin kokonaisriskistä kukin sen osasto tuottaa?

Riskin mittaaminen on sijoittajille, vakuutusyhtiöille ja viranomaisille tärkeää. Riskin mittaaminen, vaikka tuottojakauma tai tulevien korvaustapahtumien jakakauma olisikin tiedossa, on haastavaa, mutta samalla tärkeää. Sijoitusmaailmassa yleisesti käytetään varianssia riskin mittamisessa. Vakuutusyhtiöiden viranomaisvaatimuksissa käytetään rinnakkain kahta eri riskimittaa eli sekä niin sanottua VaR(Value at Risk)-mittaa että ES(Expected Shortfall)-mittaa, jotka molemmat voidaan nähdä saman RVaR(Range Value at Risk)-mitan erikoistapauksina. Riskimitalla olisi toivottavaa olla tiettyjä ominaisuuksia, jotta sen soveltaminen tunnettujen talousteorioiden näkökulmasta olisi mielekästä. Jotta riskimittaa voidaan kutsua rahoitusriskimitaksi, sen tulisi olla monotoninen ja toteuttaa kassainvarianssiominaisuus. Jotta taas riskimitta olisi koherentti sen tulisi näiden lisäksi olla positiivisesti homogeninen ja subadditiivinen. Varianssi ei täytä edes rahoitusriskimitalta vaadittuja ominaisuuksia ja edellämainituista vain ES-mitta on koherentti. Rahoitusriskimitan on siis mitattava suuremmasta riskistä suuremman tappion ja riskittömällä sijoituksella ei saisi olla vaikutusta riskiin. Koherentti mitta takaa näiden lisäksi, että sijoitetulla summalla ei ole vaikutusta riskiin ja toisaalta hajautuksesta voi olla hyötyä, muttei haittaa. Näitä kaikkia ominaisuuksia pidetään yleisesti toivottavina. Työn keskiössä on RVaR-mitta, joka ei toteuta koherentilta mitalta haluttua subadditiivisuusominaisuutta. Osoitetaan kuitenkin, että toimijoiden RVaR-mitoista yhdistetyllä RVaR-mitalla on erityinen subadiitiivinen yhteys. Lisäksi tarkastellaan RVaR-mittaa sekä kilpailullisen riskinjaon että toimijoiden yhteistyössä toteuttaman riskinjaon näkökulmista. Ensimmäinen mainituista on tasapainoteoreettinen näkökulma, jossa jokainen toimija pyrkii minimoimaan omia tappioitaan ja jälkimmäinen Pareto-optimaalinen näkökulma, jossa esimerkiksi konserni jakaa tytäryhtiöidensä riskiä optimaalisella tavalla. Lopulta näytetään, että tietyin edellytyksin tasapainoallokaatio on olemassa ja se on tällöin myös Pareto-optimaalinen. Riskimittojen tarkastelua jatketaan salkunvalintaongelman sovelluksella. Esimerkissä tarkastellaan kolmen riskillisen arvopaperin yhden periodin markkinoita, joilta valitaan kaksi salkkua - toinen yleisesti tunnetun arvopapreiden hinnoittelumallin eli niin sanotun CAP-mallin mukainen varianssin minimoiva salkku sekä kilpaileva salkku. Esimerkki osoittaa varianssin heikon kohdan symmetrisenä riskimittana, joka rankaisee myös suuremmista tuottoarvoista.

Tutkielmassa tarkastellaan vajaavaisilla tari tekijöillä säädellyn vakuutuksen hinnoittelun vaikutusta vakuutettavien hyvinvointiin. Tutkielmassa esitetään malli vakuutusmarkkinoiden mallintamiseen eri markkina ja hinnoittelun tilanteissa. Hinnoittelun tapauksista käsitellään vakuutuksen riskivastaava hinnoittelu ja säätelyn seurauksena riskivastaavuudesta tingitty hinnoittelu. Tutkittavat markkinatilanteet ovat vapaan kilpailun markkina ja monopolimarkkina. Vapaan kilpailun markkinoilla vakuutusyhtiöt kilpailevat vakuutettavista hinta- tai hinta-määrä-kilpailun keinoin. Vajaavaisilla tari tekijöillä hinnoiteltujen vakuutuksien tuomaa hyvinvointia verrataan riskivastaavien vakuutusten tuomaan hyvinvointiin eri markkinatilanteissa. Riskivastaavasta hinnoittelusta tinkiminen heikentää vakuutuksen mahdollisuuden tuomaa hyvinvointia.

ScRNA-seq captures a static picture of a cell's transcriptome including abundances of unspliced and spliced RNA. RNA velocity methods offer the opportunity to infer future RNA abundances and thus future states of a cell based on the temporal change of these unspliced and spliced RNA. Early RNA velocity methods have shed light on transcriptional dynamics in many biological processes. However, due to strict assumptions in the underlying model, these models are not reliable when analysing and inferring velocity for genes with complex expression dynamics such as genes with transcriptional boosts. These genes can for example be observed in erythropoietic and hematopoietic data. Several new RNA velocity methods have been proposed recently. Among these, veloVI and Pyro-Velocity both employ Bayesian methods to estimate the reaction rate and latent parameters. Thus the problem of estimating RNA velocity is turned into a posterior probability inference, that allows for more flexible inference of model parameters and the quantification of uncertainty. The objectives of this thesis were to investigate newly published RNA velocity methods, veloVI and Pyro-Velocity, in comparison to the established tool scVelo. To achieve this, we applied the methods to data obtained from scRNA-seq of healthy and ERCC6L2 disease bone marrow cells. ERCC6L2 disease can cause bone marrow failure with a risk of progression to acute myeloid leukemia with erythroid predominance. Specifically, we evaluated whether RNA velocity results reflect hematopoietic differentiation, if genes with transcriptional boosts affect the velocity results, and if RNA velocity analysis can indicate why erythropoiesis in ERCC6L2 disease is affected. We find that new RNA velocity methods can not produce velocity estimations that are fully in line with what is known of hematopoiesis in our data. Further, the results suggest that velocity estimations by veloVI are affected by genes with transcriptional boosts. Moreover, RNA velocity methods examined in this thesis are not robust and cannot reliably predict cell transitions based on the estimated velocity. Subsequently, velocity estimations for disease data such as ERCC6L2 disease must be evaluated carefully before drawing any conclusion about the differentiation process. In conclusion, this thesis highlights the need for models that can model complex transcription kinetics. Still, as this field is rapidly growing and promising new methods are being developed, improvement of RNA velocity analysis, in general, is possible.

The Poisson regression is a well known generalized linear model that relates the expected value of the count to a linear combination of explanatory variables. Outliers affect severely the classical maximum likelihood estimator of the Poisson regression. Several robust alternatives for the maximum likelihood (ML) estimator have been developed, such as Conditionally unbiased bounded-influence (CU) estimator, Mallows quasi-likelihood (MQ) estimator and M-Estimators based on transformations (MT). The purpose of the thesis is to study robustness of the robust Poisson regression estimators in different conditions. Another goal is to compare their performance to each other. The robustness of the Poisson regression estimators is investigated by performing a simulation study, where the used estimators are the ML, CU, MQ and MT estimators. The robust estimators MQ and MT are studied with two different weight functions C and H and also without a weight function. The simulation is executed in three parts, where the first part handles a situation without any outliers, in the second part the outliers are in the X space and in the third part the outliers are in the Y space. The results of the simulation show that all the robust estimators are less affected by the outliers than the classical ML estimator, but nevertheless the outliers severely weaken the results of the CU estimator and the MQ based estimators. The MT based estimators and especially the MT and H-MT estimators have by far the lowest medians of the mean squared errors, when the data are contaminated with outliers. When there aren’t any outliers in the data, they compare favorably with the other estimators. Therefore the MT and H-MT estimators are an excellent option for fitting the Poisson regression model.