Browsing by study line "Teacher in Mathematics"
Now showing items 21-40 of 94
-
(2023)Integraalilaskenta on merkityksellisessä roolissa Suomen lukioiden pitkän matematiikan opetussuunnitelman sisällöissä. Monet opiskelijat mieltävät integraalilaskennan yhdeksi lukion matematiikan haasteellisimmista aihepiireistä. Integraalilaskennassa tehtäviä virheitä ja muodostuvia virhekäsityksiä on tärkeää tutkia, jotta saadaan selville mistä muodostuneet virhekäsitykset ovat peräisin. Tässä tutkielmassa tarkastellaan kahta integraalilaskentaa käsittelevää ylioppilaskoetehtävää kahdelta eri koekerralta. Tehtävistä tarkastellaan oppilaiden tekemiä integraalilaskennan virheitä ja muodostetaan niiden pohjalta käsitys olemassa olevista virhekäsityksistä. Tehtävistä esitellään tämän lisäksi oppilaiden saamia pistekeskiarvoja ja arvioidaan niiden avulla tehtävien yleistä haasteellisuutta verrattuna kokeiden muihin tehtäviin. Tutkielma alkaa opetussuunnitelman integraalilaskennan osuuksien esittelyllä, jonka jälkeen käydään läpi integraalilaskenta matemaattisesti opetussuunnitelmassa esitettyjen sisältöjen osalta. Tutkielman neljännessä luvussa tarkastellaan virheen ja virhekäsityksen eroa matematiikassa sekä tarkastellaan integraalilaskennasta aiemmissa tutkimuksissa löydettyjä tyypillisiä virhekäsityksiä. Aiempien tutkimusten perusteella virhekäsitykset voidaan luokitella niille tyypillisten virheiden mukaan kolmeen virhekäsitysten kategoriaan; käsitteellisiin, proseduraalisiin ja teknisiin. Tutkimus päättyy johtopäätöksiin ja luotettavuuden arviointiin. Tutkimuksen perusteella ylioppilaskokelaat toteuttavat integroinnin mekanismia hyvin, mutta ilman syvällistä ymmärrystä integraalin käsitteestä. Syvemmän ymmärryksen puute voidaan havaita kokelaiden heikosta taidosta tunnistaa integroitavaa funktiota. Heikko taito tunnistaa integroitava funktio on yleisin syy tutkimuksen kokelasratkaisuissa johtaneisiin virheisiin. Kokelasratkaisujen perusteella havaitaan myös kokelaiden puutteellinen ymmärrys matemaattisten merkintöjen ja kirjainten merkityksestä, sillä niitä on käytetty väärin monin eri tavoin. Kokelaiden ymmärrys määrätyn integraalin käsitteestä ja toteuttamisesta vaikuttaa olevan hyvällä tasolla. Virhekäsitysten muodostumisen ehkäisemisen kannalta tutkimuksen tulokset ovat merkittäviä. Tutkimuksen tulokset eivät viittaa suoraan siihen, että virhekäsitykset muodostuisivat integraalilaskennan opiskelun aikana. Virhekäsitysten muodostuminen voi olla seurausta pidempi aikaisista puutteellisista opiskelu- tai opetusmenetelmistä.
-
(2022)Tämän työn tarkoituksena on tutkia suomalaisten lukio-opiskelijoiden integraalilaskennan osaamista. Osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnalta saadulla datalla, joka sisältää pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tehtäväkohtaisia pisteitä aikaväliltä 2009–2021. Työssä esitellään hieman integraalilaskennan teoriaa ja perehdytään lyhyesti lukion integraalilaskennan kurssiin. Työn tutkimuksen pääasialliseksi kohteeksi valikoitui 19 pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävää, jotka olivat kaikki pääasiassa integraalilaskentaa sisältäviä. Näitä tehtäviä analysoitiin esimerkiksi niiden keskimääräisen ratkaisuprosentin avulla. Ratkaisuprosentti valittiin siitä syystä, että vuosien 2009 ja 2021 välillä tehtävien maksimipisteet ovat voineet olla 6, 9 tai 12 pistettä. Tehtävät luokiteltiin kolmeen luokkaan: perustehtävät, soveltavat tehtävät ja analyyttiset tehtävät. Jokaisen luokan sisällä tutkittiin, mitkä tehtävistä olivat niistä saatujen pisteiden perusteella helpoimpia ja mitkä vaikeimpia. Lisäksi tutkittiin sitä, miten tehtävän valinta vaikutti tehtävän osaamiseen. Tutkimuksessa verrattiin myös integraalitehtävien osaamista muihin pitkän matematiikan tehtävien osaamiseen. Tutkimuksen perusteella integraalilaskennassa opiskelijat hallitsevat parhaiten perustehtäviä ja soveltavia tehtäviä. Näiden tehtävien osaaminen on lähes yhtä hyvää. Kaikki soveltavat tehtävät liittyivät pinta-alan laskemiseen. Tutkimuksen perusteella voidaan sanoa, että integraalin ja pinta-alan yhteys on opiskelijoilla hallussa. Erityisesti puolisuunnikassäännön osaaminen oli muihin tehtäviin verrattuna hyvällä tasolla. Vaikeuksia aiheuttavat hankalien funktioiden, kuten murto- ja itseisarvofunktioiden, integrointi. Myös monissa analyyttisissä tehtävissä, joissa mitattiin esimerkiksi muiden matematiikan osa-alueiden yhdistämistä integraalilaskentaan, esiintyi niistä saatujen pisteiden perusteella vaikeuksia. Kaikissa matematiikan ylioppilaskokeissa on ollut tehtävien osalta valinnan varaa. Tutkimuksessa huomattiin, että tehtävän valinta ei välttämättä vaikuta tehtävän osaamiseen, kun otetaan huomioon kaikki integraalitehtävät. Kuitenkin pienen otoksen perusteella, kohtuullisesti tai paremmin osattuja tehtäviä valitaan enemmän. Integraalitehtävien osaaminen keskimäärin on tutkimuksen perusteella heikompaa kuin muiden ylioppilaskoetehtävien osaaminen keskimäärin. Tämä käy ilmi vertaamalla integraalitehtävien ratkaisuprosenttia kokeiden muihin tehtäviin. Vaikuttaisi siis siltä, että integraalilaskenta on keskimääräistä vaikeampi matematiikan osa-alue lukiolaisille.
-
(2023)Tässä työssä tutkitaan integraalitehtävien osaamista ennen ja jälkeen sähköisen ylioppilaskoeuudistuksen vuosina 2016-2020. Osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnalta saaduilla pistejakaumilla kyseisiltä vuosilta. Työn teoriaosuus sisältää, mitä integraalista opetetaan yliopistossa, sekä miten integraali näkyy kahdessa uusimmassa lukion opetussuunnitelmassa ja yhdessä oppikirjassa. Lisäksi tutustutaan aikaisempiin tutkimuksiin integraalin osaamisesta. Tutkielmaan rajatulla aikavälillä matematiikan ylioppilaskokeissa on ollut kuusi puhtaasti integraaliin liittyvää tehtävää, joista neljä on ollut ennen sähköistä ylioppilaskoeuudistusta ja kaksi jälkeen sähköisen ylioppilaskouudistuksen. Kaksi tehtävää on ylioppilaskokeen A-osion tehtäviä, kaksi B1-osan tehtäviä ja kaksi B2- osan tehtävää. Lisäksi työssä esitellään kaikki tehtävät ja esitellään jokaiselle tehtävälle yksi ratkaisutapa. Tutkimuksessa verrattiin A-osan tehtävien osaamista toisiinsa, B1-osan tehtävien osaamista toisiinsa ja B2-osan tehtävien osaamista toisiinsa pistejakaumien avulla, sekä verrattiin integraalitehtävien osaamista muiden matematiikan ylioppilaskokeen tehtävien osaamiseen. Integraalitehtäviä osattiin heikommin kuin muita matematiikantehtäviä. Tutkimuksessa huomattiin, että integraalitehtävät eivät olleet muuttuneet rakenteeltaan sähköisen ylioppilaskoeuudistuksen aikana ainakaan vielä. Sähköisistä apuvälineistä ei ollut ratkaisuissa erityistä hyötyä verrattuna aikaisempaan. Tutkimuksen luotettavuuteen vaikuttaa vähäinen otanta, sekä ylioppilaskokeiden tehtävien keskinäiset eroavuudet kirjoituskerroittain, sekä tehtäviin vastaajien vaihtuvuus
-
(2023)Tässä maisterintutkielmassa esitellään hyperbolinen geometria tasolla, joka on ymmärrettävä lukiolaiselle. Hyperbolinen geometria on negatiivisesti kaareutuvan pinnan geometriaa, jossa pätevät muut euklidisen geometrian aksioomat, mutta Eukleideen aksioomista viides, niin kutsuttu paralleeliaksiooma, ei päde. Hyperbolisen geometrian syntytarina alkoi jo ennen ajanlaskun alkua Eukleideen Alkeiden julkaisusta, mutta todistettiin vasta 1800-luvulla. Pinnan kaarevuuden lisäksi hyperbolisen geometrian erityisominaisuuksia on se, että kolmion kulmien summa on aidosti alle 180 astetta ja sen seurauksena yksikään nelikulmio ei ole suorakulmio. Lisäksi, esimerkiksi tietyn suoran kanssa yhdensuuntaisia suoria voi olla loputon määrä suoran ulkopuolisen pisteen kautta. Tutkielman sisältö on lähes kokonaan suunnattu lukiotasoiselle lukijalle. Ainoastaan Esitietoja-lukuun sisältyy myös tutkielmaan liittyviä esitietoja, jotka eivät ole tarkoitettu lukiolaiselle, kuten geometrian osa lukion opetussuunnitelmassa. Aihetta lähestytään Saccherin nelikulmion todistuksen kautta, jossa jokainen välivaihe on ymmärrettävissä lukiogeometrian lauseiden kautta. Aiheeseen johdattelevan todistuksen jälkeen esitellään hyperbolisen geometrian ominaisuuksia ja Poincarén- sekä Beltrami-Kleinin kiekkomallit hyperbolisen pinnan kuvaamiseksi. Lopussa lukijalle on tarjolla harjoitustehtäviä liittyen todistamiseen, tiedonhakuun ja GeoGebralla piirtämiseen.
-
(2021)Tutkielman lähtökohtana oli etsiä keinoja hyödyntää mobiililaitteita suomalaisen koulun matematiikan opetuksessa. Keinoksi valikoitui Ismo Kiesiläisen kehittämä kamerakynän pedagogiikka, jonka ideana on ilmaista ajattelua videokuvaamisen avulla. Kamerakynän pedagogiikan käyttämistä matematiikan opetuksessa on haastavampaa kuin esimerkiksi kemian opetuksessa. Helpotusta tähän haasteeseen etsitään hollantilaisesta matematiikan opetuksen teoriasta nimeltä realistinen matematiikan opetus (RME), joka on Hans Freuthendalin aikaansaannosta. Tässä tutkielmassa tavoitteena on soveltaa RME:tä kamerakynän pedagogiikkaan. Kamerakynän pedagogiikasta ei ole tutkimusta, joten sitä tarkastellaan muun muassa Pekrunin akateemisten tunteiden tutkimuksen kautta. Ensimmäisessä osassa selvitetään, miten RME on kehittynyt, mitä RME tarkoittaa ja mitkä ovat sen periaatteet sekä miten RME näkyy matematiikan tehtävissä. Toisessa osassa ensin kerrotaan, mitä kamerakynän pedagogiikka tarkoittaa, sitten tarkastellaan tutkimusten kautta, mitä hyötyä siitä on oppimisessa ja lopuksi käydään läpi, mitä kamerakynän pedagogiikka on käytännössä matematiikan näkökulmasta. Tutkielman kolmannessa osassa tarkastellaan, miltä kamerakynän pedagogiikka näyttää RME:n näkökulmasta. Lopuksi on esitetty kaksi kamerakynätehtävää yläkoulun matematiikan opetukseen. Tutkielman perusteella kamerakynätyöskentely sopii yhdeksi keinoksi toteuttaa realistisen matematiikan opetuksen periaatteita ja tavoitteita. Tätä varten tarvitaan enemmän ideoita tehtäviin ja näiden tehtävien kokeilua käytännön työssä.
-
(2024)Kun suoraa ympyräkartiota leikataan tasolla, muodostuu tasokäyriä, joita kutsutaan kartioleikkauksiksi. Tässä maisterintutkielmassa tutustutaan kartioleikkauksiin sekä tutkitaan niiden esiintymistä koulumaailmassa. Tutkielma keskittyy surkastumattomiin kartioleikkauksiin eli ellipsiin, paraabeliin ja hyperbeliin. Jokainen surkastumaton kartioleikkaus esitellään täsmällisesti omassa luvussaan keskeisimpien määritelmien ja lauseiden kautta. Teoriaa havainnollistetaan kuvin ja esimerkein. Kartioleikkauksia tarkastellaan standardimuodon, parametriesityksen ja napakoordinaattiesityksen kautta. Perusopetuksen ja lukion opetussuunnitelman perusteissa surkastumattomista kartioleikkauksista mainitaan ympyrä ja paraabeli. Kartioleikkauksia voi havainnollistaa opetuksessa kontekstuaalisuutta, GeoGebraa, lisättyä todellisuutta ja matematiikkavälineitä hyödyntäen. Vuosina 2019–2024 matematiikan lyhyen oppimäärän ylioppilaskokeissa oli joitakin tehtäviä kartioleikkauksista, kun taas pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa kartioleikkaustehtäviä oli lähes jokaisessa. Kevään 2021 ylioppilaskoe oli ainoa pitkän matematiikan koe, jossa ei esiintynyt yhtäkään tehtävää kartioleikkauksista. Kartioleikkaustehtäviä esiintyi kaikissa ylioppilaskokeen osissa, ja niistä oli sekä perustehtäviä että soveltavia tehtäviä.
-
(2022)Tässä tutkielmassa käsittelemme kartioleikkauksien määritelmiä, niiden yhteyttä lineaarialgebraan sekä kartioleikkauksia lukio- ja perusopetuksessa. Aluksi käymme läpi kartioleikkausten muodostumisen geometrisesti, sekä niiden yhtälöt standardimuodossa. Sitten siirrymme tutkimaan kartioleikkausten määritelmää tarkemmin. Tavoitteena on myös näyttää lukijalle paraabelin, ellipsin ja hyperbelin yhteyksiä, sekä esitellä kartioleikkauksiin liittyviä käsitteitä kuten eksentrisyys. Tutkielmassa perehdymme tarkemmin siihen, että miten lineaarialgebraa voidaan hyödyntää kartioleikkauksten tutkimisessa. Käytännössä esiintyvät kartioleikkaukset eivät ole aina standarimuodossa, mutta ne voidaan siirtää tai kiertää matriisien avulla takaisin siihen muotoon. Ilmaisemalla kartioleikkaukset niiden yleisessä muodossa, voimme siirtää niitä xy-koordinaatistosta johonkin toiseen koordinaatistoon, jonka avulla pystymme ilmaisemaan ne taas standardimuodossa. Lopuksi käymme vielä läpi miten kartioleikkaukset näkyvät opetuksessa, esimerkiksi ylioppilaskirjoituksissa.
-
(2020)Tutkimuksen tavoitteena oli validoida katseenseurantatutkimukseen liittyvä parametri, katsesynkronia, joka kertoo kahden tai useamman henkilön katseiden synkroniasta eli siitä, katsovatko henkilöt samassa järjestyksessä eri kohteita. Katsesynkronian validointi tehtiin tutkimalla sitä, mitkä tapahtumat johtivat korkeaan katsesynkroniaan, minkälaista vuorovaikutusta sen aikana oli ja mitkä tapahtumat päättivät sen. Samalla pyrittiin tutkimaan katsesynkronian yhteyttä yhdistyneeseen tarkkaavaisuuteen, johon liittyvät tutkimukset käsittelevät sitä lähes poikkeuksetta vain kahden henkilön välisenä vuorovaikutuksena, mikä johtuu ilmiön monimutkaisuudesta. Katseenseurantalaitteisto ja uusi parametri sen sijaan tarjoavat mahdollisuuden tutkia yhdistynyttä tarkkaavaisuutta kolmen tai useamman henkilön välisenä vuorovaikutuksena. Tutkimuksessa tarkastellaan matematiikan ongelmanratkaisuun liittyvällä oppitunnilla neljän yhdeksäsluokkalaisen oppilaan ryhmää, jossa keskitytään kolmen oppilaan katseisiin. Oppilaiden katseet tallennettiin katseenseurantalaseilla, jotka eivät rajoittaneet liikkumista. Katsevideoita analysoimalla saatiin katsesynkroniakuvaajat, joita analysoitiin kvalitatiivisesti syventymällä kuvaajien huippuihin. Tutkimalla huippujen aikaista oppilaiden välistä vuorovaikutusta äänitallenteiden ja videomateriaalien avulla saatiin vastaukset tutkielman tutkimuskysymyksiin. Korkeaan katsesynkroniaan johtavat tapahtumat olivat suurelta osin opettajan intervention seurauksia, mikä kertoo opettajan tärkeästä roolista motivaatiota ylläpitävänä tekijänä. Korkean katsesynkronian aikana oppilaiden välinen vuorovaikutus oli monipuolista ja se sisälsi monia vuorovaikutuksen muotoja, joista puhe ja osoittavat eleet olivat yleisimpiä. Katsesynkronian päättyminen johtui ajoittain oppilaiden toiminnan muutoksesta, ja joskus toiminta pysyi samana, vaikka katsesynkronia laski. Yhdistyneen tarkkaavaisuuden ja korkean katsesynkronian välillä löydettiin vahva yhteys. Korkean katsesynkronian aikana oppilaat ohjasivat toistensa tarkkaavaisuutta lukuisilla tavoilla, jotka viittaavat yhdistyneeseen tarkkaavaisuuteen.
-
(2021)Tämän tutkimuksen tavoitteena on kehittää lukion pitkän matematiikan valinnainen kurssi, jonka aiheena on rahapelaamisen matematiikka. Tutkimuksessa haluttiin saada vastauksia siihen, että onko tällainen kurssi tarpeellinen, mitä tällaisen kurssin suunnittelussa pitää ottaa huomioon ja soveltuuko tällainen kurssi lukion pitkään matematiikkaan. Kurssin tavoitteena on ennaltaehkäistä ja lisätä tietoisuutta nuorten rahapelaamisesta ja tarjota mielekästä matematiikan oppimiskokemusta. Aiemmat tutkimukset ovat osoittaneet, että tällaisen kurssin sisällyttäminen matematiikan opetukseen ei ainoastaan ole mahdollista, mutta sillä on myös positiivisia vaikutuksia nuorten rahapelaamiskäyttäytymistä ajatellen. Kurssin suunnittelu toteutettiin kehittämistutkimuksen avulla. Kurssin teoriapohja kerättiin kahdella teoreettisella ongelma-analyysilla, joista toinen keskittyi matematiikan ja matematiikan opetuksen teoriaan ja toinen rahapelaamisen matematiikkaan. Näiden lisäksi tehtiin empiirinen ongelma-analyysi lukion opetussuunnitelman perusteille 2019, jonka avulla teoriaosuutta rajattiin. Näiden pohjalta kehitettiin tuotos eli rahapelaamisen matematiikan kurssisuunnitelma lukion pitkään matematiikkaan ja yksi esimerkki kurssin oppitunnista. Kehittämisprosessi kuvattiin yksityiskohtaisesti ongelma-analyyseistä tuotoksen kehitykseen. Tutkimuksen tulokseksi saatiin, että tällainen kurssi voisi olla tarpeellinen lisä lukion matematiikan opetukseen. Rahapelaamisen määrä on kasvanut Suomessa 1990-luvulta lähtien tähän päivään asti, mutta sen ehkäisyyn ei ole panostettu tarpeeksi. Koska nuoret ovat kaikista ikäryhmistä alttiimpia rahapeliongelmille, koulu voisi olla juuri oikea paikka missä rahapelaamisen ehkäisyä voitaisiin lisätä. Kurssin suunnittelussa pitäisi kuitenkin olla varovainen siinä, että asian esittää oikealla tavalla, ettei kurssin opetus lisäisi ongelmallista rahapelikäyttäytymistä nuorten keskuudessa ennaltaehkäisemisen sijaan. Kurssi soveltuisi hyvin pitkän matematiikan lukion opetukseen, koska se on suunniteltu mielekästä oppimista ajatellen ja sen matemaattiset aiheet eivät ylitä lukiolaisen ymmärtämisen kapasiteettia, vaan päinvastoin niiden pitäisi tuoda mielenkiintoa matematiikan opiskeluun. Tämän tutkimuksen luettuaan kuka tahansa matematiikan opettaja voi opettaa kurssin rahapelaamisen matematiikasta.
-
(2024)Tutkielman tavoitteena oli selvittää, minkälaisia virheitä lukiolaiset tekevät kertolaskusäännön tehtävissä sekä tutkia, tunnistavatko he toisistaan riippuvat ja riippumattomat tapahtumat. Aihetta on tärkeä tutkia, sillä kertolaskusääntö on yksi todennäköisyyden laskusäännöistä ja luo siten perustan todennäköisyyksien laskuille. Tutkielma alkaa teoriaosuudella, jossa ensiksi käydään läpi todennäköisyyslaskennan teoriaa ja tämän jälkeen virheiden sekä virhekäsitysten teoriaa. Teoriaosuuden jälkeen esitellään lyhyesti pitkän matematiikan ylioppilaskoe. Tutkimuksessa käydään läpi viisi pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää ja ne analysoidaan. Työn lopuksi esitellään tehtäväpaketti tukemaan kertolaskusäännön opiskelua. Tutkimustuloksista havaittiin, että yleisimmät kertolaskusäännön virheet johtuivat vaikeuksista erottaa toisistaan riippuvat ja riippumattomat tapahtumat toisistaan. Virheistä noin 14% johtui tästä. Toinen yleinen virhe, mikä tuloksista nousi esille, oli sekaannukset kerto- ja yhteenlaskusäännön välillä. Virheistä noin 9% johtui tästä. Opettajan on tärkeä tiedostaa nämä yleiset virhetyypit, jotta voi osaltaan ennaltaehkäistä niiden syntymistä.
-
(2021)Joissain käyttökohteissa havaintoaineistoon sovitettavan jakauman hännän paksuuden valinta ei ole täysin suoraviivaista. Jakauman valinta tulee kuitenkin aina perustella jollain tavalla. Kirjallisuudessa alustavan arvion luomiseksi on ehdotettu keskiylitysfunktioiden hyödyntämistä. Keskiylitysfunktiot pohjautuvat vakuutus- ja finanssimatemaattisissa sovelluksissa käytettyihin odotettu tappio -riskimittoihin, joita hyödynnetään sijoitussalkkujen riskillisyyden mittaamisessa. Keskiylitysfunktioiden kuvaajien pohjalta voidaan mallintamiseen valita alustavasti joko kevyt- tai paksuhäntäinen jakauma. Tutkielman tavoitteena on esitellä lukijalle miten keskiylitysfunktioita voidaan käyttää jakauman hännän tyypin määräämisessä ja mihin matemaattiseen teoriaan keskiylitysfunktioiden käyttö pohjautuu. Tämän lisäksi esitetään keskiylitysfunktioiden ominaisuuksia ja niiden käyttöä tilastollisissa mallinnustilanteissa esimerkkejä hyödyntäen. Tutkielman toisessa luvussa esitetään todennäköisyysteorian perusteisiin kuuluvia määritelmiä ja tutkielmassa käytettäviä merkintätapoja. Kolmannessa luvussa esitetään todistuksitta tutkielmassa tarvittavan ääriarvoteorian lauseita ja määritelmiä, joiden päälle keskiylitysfunktioiden käyttämä teoria myöhemmin pohjautuu. Tutkielman neljännessä luvussa keskiylitysfunktiolle esitetään analyyttinen määritelmä ja lasketaan tämän lisäksi joillekin tunnetuille jakaumille keskiylitysfunktion analyyttinen esitysmuoto. Analyyttista määritelmää hyödyntäen todistetaan propositio, joka kertoo millaisia ominaisuuksia keskiylitysfunktiolla on mielivaltaisella epänegatiivisella jakaumalla. Neljännessä luvussa todistetaan myös että jakauman häntäfunktio voidaan esittää keskiylitysfunktioita käyttämällä ja esitetään kaksi riskienhallinnassa usein käytettyä tapaa havainnollistaa tappioiden vakavuutta: VaR-luku ja odotettu tappio. Tutkielman viidennessä luvussa syvennytään vakuutus- ja finanssimatemaattisissa sovelluksissa esiintyvien paksuhäntäisten satunnaismuuttujien maailmaan. Luvun lopuksi esitetään tutkielmassa tehtyjen huomioiden sekä kirjallisuuden pohjalta yhteenveto keskiylitysfunktion käyttäytymisen ja jakauman hännän paksuuden välisestä yhteydestä. Tutkielman kuudennessa luvussa esitetään yhteenveto kirjallisuudessa esiintyvistä keskiylitysfunktioiden hyödyntämistavoista. Kirjallisuuskatsauksen muodossa pyritään esittämään lukijalle kattavasti miten keskiylitysfunktion kuvaajia voidaan havaintoaineiston pohjalta piirtää ja mitä piirretyistä kuvaajista voidaan lukea. Luvussa myös sovelletaan tutkielman tuloksia ja kirjallisuuden huomioita kahteen vakuutussovelluksissa kerättyyn aineistoon.
-
(2023)Tässä tutkielmassa tarkastellaan kielentämistä matemaattisen ajattelun työvälineenä sekä pureudutaan yleisiin virhekäsityksiin todennäköisyyslaskennassa. Lisäksi käsitellään miniteorioita näiden virhekäsitysten selittäjinä. Lopuksi on laadittu ja luokiteltu yksi tehtävä jokaista virhekäsitystä kohden. Näiden tehtävien tarkoitus on paljastaa virhekäsitys, ja antaa mahdollisuus korjata se. Kielentäminen on tärkeä osa jokaisen ammattilaisen ja erityisesti asiantuntijan ammattia. Mikäli ammattilainen ei pysty selittämään tietoaan siten että muutkin ymmärtävät sen, ei hänen laajasta osaamisestaan ole juuri hyötyä. Onkin harmi, että kielentämistä opetetaan matematiikassa oikeastaan vasta lukiotasolla. Onkin siksi tärkeää, että varsinkin lukioon laaditaan kielentämisen tehtäviä. Näin säästyy opettajien työtä ja oppijat saavat mahdollisuuden rehellisesti tutustua kielentämiseen työkaluna. Tutkielma perustuu kielentämisen, virhekäsitysten ja oppimisen luokittelun teoriaan. Kielentämisessä on kyse matemaattisen ajattelun sanoittamisesta ja oman ajattelun jäsentämisestä. Kielentämisen suhteen tutkielma nojaa Jorma Joutsenlahden työhön aiheen saralla. Virhekäsitysten selittämiseksi on tässä työssä valittu miniteoriat, joiden osalta nojataan Guy Claxtonin työhön. Oppimisen luokittelua käydään läpi alkaen Bloomin taksonomiasta ja päätyen Wilsonin taksonomian kautta Jorma Joutsenlahden laatimaan kolmiportaiseen taksonomiaan. Tämä on oleellista, sillä laaditut tehtävät on tämän jälkeen luokiteltu juuri Joutsenlahden taksonomian mukaisesti, jotta niiden käyttö olisi mahdollisimman helppoa. Virhekäsitysten korjaamiseksi laaditut tehtävät sisältävät perustelut, miksi ne voisivat toimia kyseisen virhekäsityksen korjaamiseksi. Tehtäviä on laadittu yksi jokaista virhekäsitystä kohden. Näitä virhekäsityksiä on kahdeksan kappaletta. Tutkielman perimmäinen tarkoitus onkin esittää tieteellisesti perusteltuja työkaluja virhekäsitysten korjaamiseen, tässä erityisesti kielentämisen keinoin.
-
(2023)Tutkielmassa paneudutaan kielentämiseen ja erilaisiin kielentämistehtävätyyppeihin lukion pitkässä matematiikassa. Pohjana itse laadittuihin tehtäviin ovat aikaisemmat tutkielmat ja artikkelit aiheeseen liittyen, sekä viimeisimmät pitkän matematiikan sähköiset ylioppilaskoe tehtävät. Tutkielman aikana laaditaan aiempiin tehtävätyyppeihin nojaten geometrian tehtäviä lukiomatematiikkaan. Tutkielman kirjallisuuskatsauksessa tarkastellaan, mitä on matemaattinen ajattelu ja tieto ja miten kielentämällä voidaan tuoda esiin oppilaiden omaa matemaattista osaamista. Lisäksi tarkastellaan, millä eri menetelmillä voidaan hyödyntää kielentämistä osana opetusta. Lopuksi tarkastellaan, miten kielentäminen on esillä uudessa vuonna 2021 käyttöön otetussa LOPS:ssa. Kielentämistehtävätyyppejä tuodaan esiin aikaisempien tutkielmien pohjalta. Näiden tehtävätyyppien pohjalta laadin itse sopivia tehtäviä pitkän matematiikan geometrian moduuliin. Tehtävissä esiintyy eri tehtävätyyppien piirteitä, jolloin ne eivät täysin tule luokitelluksi vain yhdeksi tehtävätyypiksi. Tehtävät laaditaan niin, että ne soveltuvat niin ylioppilaskokeeseen kuin moduulin aikana pidettäväksi kokeeksi. Tehtävien arvioinnissa ja analyysissä hyödynnetään Joutsenlahden pelkistetympää arvostelua Wilsonin taksonomiasta. Tutkielman aikana laaditut tehtävät luokitellaan kyseisellä menetelmällä. Joutsenlahden asteikko koostuu kolmesta tasosta, jossa Wilsonin taksonomiat on risteytetty toistensa kanssa. Luokittelussa huomioidaan jokaisen taksonomian tason piirteet, joiden mukaan tehtävä tulee jaotelluksi. Lisäksi tehtävien luokittelussa huomioidaan sähköisen ylioppilaskokeen järjestely, jossa tehtäviä on kolmessa eri osassa. Tehtävä tulee jaotelluksi sen mukaan, mikä on korkein ajattelun taso, jota oppilaalta vaaditaan ongelman ratkaisemiseksi. Lisäksi tehtävässä huomioidaan se, onko se soveltuva A vai B osaan pitkän matematiikan koetta.
-
(2021)Ylioppilaslautakunnan (2020) pistejakaumien perusteella lukiolaisten osaaminen todennäköisyys- ja tilastolas- kennan tehtävissä on ollut keskimäärin muita tehtäviä huonompaa vuosina 2011-2020. Tämän maisterintutkiel- man tavoitteena on edistää lukiolaisten todennäköisyys- ja tilastolaskennan osaamista luomalla lukioon sopivaa opiskelumateriaalia kombinatoriikasta. Työn matemaattinen osuus käsittelee lukiossa tarvittavaa kombinatoriikkaa. Osiossa käydään läpi kombinato- riikan peruskäsitteet: tuloperiaate, summaperiaate, kombinaatio ja permutaatio sekä todistetaan niihin liittyviä lauseita. Lisäksi esitellään lyhyesti binomikerroin sekä Pascalin kolmio. Kombinatoriikan itseopiskelu -osio sisältää kasvatustieteellisen teorian, jonka varaan materiaalin valinnat ja linjaukset pohjautuvat. Osiossa keskitytään kombinatoriikan ja ongelmanratkaisun oppimiseen sekä käsitellään teorioita itsenäisen opiskelun näkökulmasta. Matemaattisia representaatioita käydään läpi opiskelumateriaalin sisällön kannalta ja itsearviointia pohditaan lyhyesti. Itseopiskelumateriaali esitellään työn neljännessä osiossa. Osio etenee materiaalin lukujen järjestyksessä viita- ten työn teoriaosion keskeisiin sisältöihin ja niiden näkymiseen materiaalin sisällöissä. Valmis materiaali antaa raamit kombinatoriikan itseopiskeluun soveltuvan materiaalin luomiseen. Se toimii esimerkkinä ja luo mahdol- lisuuksia tutkimusperustaisen opiskelumateriaalin tekemiseen. Materiaalissa olevia ohjeita, esimerkkejä ja teh- tävänantojen tulkintoja voi käyttää sellaisenaan erillisinä osina opetuksen tai itsenäisen opiskelun materiaalina.
-
(2022)Tutkielmassa käydään läpi hyvin lyhyesti ensimmäisiä matemaattisia malleja, joilla on kuvattu maailmankaikkeuden rakennetta. Kirjallisuustutkimuksen lisäksi malleja on tutkittu ja muunneltu nykymatematiikan avulla esitettävään muotoon. Tarkoituksena on löytää varhaisten tähtitieteilijöiden motiiveja ja keinoja mallien rakentamiseksi sekä osoittaa kuinka matematiikka on alkanut muotoutua osaksi tähtitiedettä jo hyvin varhaisessa vaiheessa. Tutkielmassa käydään läpi ne ilmiöt, joita malleilla yritettiin selittää, joitakin filosofisia lähtökohtia tieteenalan kehitykselle sekä tunnetuimpien tähtitieteilijöiden kehittämiä teorioita. Matemaattisina apukeinoina käytetään lähinnä lukiosta tuttua geometriaa, trigonometrisia funktioita ja hieman matriisilaskentaa. Mallien havainnollistamisen apuna on käytetty Geogebralla ja kuvankäsittelyohjelma Gimpillä piirrettyjä kuvia. Tutkielma soveltuu syventäväksi lukemistoksi lukion matematiikkaa ymmärtävälle.
-
(2023)Tämä maisterintutkielma on kehittämistutkimus, jossa kehitetään yläkoulun matematiikan oppitunneille tarinallista opetusta hyödyntävä lineaarifunktioihin keskittyvä oppimateriaali. Työ on rajattu kehittämistutkimuksen yhteen kehittämissykliin. Tämän kehittämistutkimuksen ensimmäisen syklin ongelma-analyysissä huomioidaan tarinallisen opetuksen luomat mahdollisuudet ja haasteet. Lisäksi ongelma-analyysissä tarkastellaan lineaarifunktioiden oppimisen haasteita, perusopetuksen opetussuunnitelman sisältöjä lineaarifunktioista ja vertaillaan kolmea eri oppimateriaalisarjaa keskenään lineaarifunktioiden käsittelyn osalta. Tämän työn tavoitteena on kehittää mahdollisimman toimiva tarinallinen tehtäväkokonaisuus lineaarifunktioista. Ongelma-analyysin pohjalta kehitetyn oppimateriaalin toimivuutta tutkitaan kyselytutkimuksella. Testausosion osallistujina toimii viisi matematiikan aineenopettajaopiskelijaa. Tutkimuksen tulosten perusteella todetaan, että lineaarifunktioihin keskittyvän tarinallisen oppimateriaalin ensimmäinen versio on jo toimiva kokonaisuus. Erityisesti tehtäväpaketin monipuolisuutta pidetään sen vahvuutena. Kyselytutkimuksen perusteella oppimateriaalin tarina kuten myös sen tehtävät koettiin monitahoisiksi. Työn johtopäätöksenä todetaan, että kehitettyä tehtäväpakettia voi kuitenkin jatkojalostaa yhä toimivammaksi kokonaisuudeksi. Tämä vaatii kehittämistutkimuksen toisen kehittämissyklin. Toisen kehittämissyklin myötä tutkimuksen ja tuotteen luotettavuus kasvaisi. Toisen kehittämissyklin tavoitteiksi olisi kannattavaa asettaa oppimateriaalin luettavuuden parantaminen ja sen monialaisuuden kasvattaminen.
-
(2021)Työn tavoitteena on tutkia, miten voidaan tuottaa lukiokurssi primitiivistä juurista. Primitiivistä juurista ei ole ennalta materiaalia lukiotasolle, joten työssä joudutaankehittämään metodi yliopistotason materiaalin muuntamiselle lukiotasolle. Työssä esitetään ja todistetaan lukuteorian lauseita. Nämä lauseet on valikoitu sellaisiksi, että ne ovat vähin mitä tarvitaan primitiivisten juurten käsittelyyn. Tämän lisäksi työssä esitellään Diffie-Hellman-avaintenvaihtoprotokolla ja murtamiseen käytettävä Square and multiply - algoritmi. Työssä tuotetaan lukuteorian lukiokurssi primitiivisistä juurista pohjautuen työssä läpikäytyyn materiaaliin. Lukiokurssi tuotetaan vertailemalla analyysin yliopiston ja lukion oppimateriaalien eroavaisuuksia. Näistä eroavaisuuksista pyritään analysoimaan säännönmukaisuuksia, millä yliopis-tontason materiaali voidaan muuntaa lukio-opetukseen sopivaksi. Yliopisto- ja lukiotasoisten oppimateriaalien eroavaisuuksiksi havaittiin sisällön rajaus, matemaattisten merkkien muuntaminen kirjalliseksi kieleksi, opetettavan sisällön järjestys ja painotus todistuksiin yliopistossa sekä painotus esimerkkeihin lukiossa. Nämä havainnot huomioon ottaen, työn matematiikkaosion lauseista muunnettiin lukioympäristöön sopiva kokonaisuus. Tämä kokonaisuus on riittävä pohja lukiokurssin pitämiseen näistä aiheista ja sisältää myös opetuksen aikataulutuksen.
-
(2023)Tässä tutkielmassa tarkastellaan, millaisia virheitä opiskelijoilla ilmenee matematiikan ylioppilaskokeissa sanallista perustelua vaativissa tehtävissä. Lisäksi pyritään löytämään keinoja, joilla esiin tulleita virheitä voitaisi ehkäistä matematiikan opetuksessa. Matematiikan ylioppilaskokeiden sähköistyttyä tehtävien sisällöt ja vaatimukset ovat muuttuneet merkittävästi soveltavammiksi. Kun opiskelijalta esimeriksi vaaditaan sanallisia perusteluja, niin voidaan havaita, ymmärtääkö opiskelija tekemiään laskuja vai toimiiko hän suoraan saatavilla olevien kaavojen ja laskinten orjana, ja tämän vuoksi aihetta on myös tärkeä tutkia. Tutkielman teoriapohja koostuu matematiikan ymmärtämisen sekä kielentämisen tarkastelusta. Matematiikan ajatusprosessin esittäminen sanallisesti vaatii matematiikan rakenteiden pohtimista sekä oman matemaattisen ajattelun jäsentämistä siten, että asian voi ilmaista selkeästi. Opetussuunnitelmassa myös korostetaan päätelmien perustelemista sekä arviointia osana matematiikan osaamista. Tutkielman aineisto koostuu vuosien 2019-2021 sähköisistä pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden kokelasratkaisuista. Tehtävät eivät keskity mihinkään tiettyyn matematiikan aihealueeseen. Tehtävät valikoituivat näin, koska sähköiset ylioppilaskokeet ovat mahdollistaneet pidempiä sanallisia vastauksia vaativia tehtäviä, jotka ovat oleellisia tämän tutkimuksen kannalta. Valittuja sanallista perustelua vaativia tehtäviä on yhteensä viisi, joista jokaisesta poimittiin 100 ratkaisua. Saadusta aineistosta nousi esiin melko erilaisia virheitä, riippuen tarkastellusta tehtävästä ja sen aihealueesta. Yleisimmät virheet liittyivät abstraktien kertoimien käsittelyyn, mistä voidaan päätellä, että opiskelijoilla on vaikeuksia käsitellä funktioita ja polynomeja ilman konkreettisia lukuja. Tämän lisäksi ratkaisut olivat melko suppeita, mikä tuotti hankaluuksia ymmärtää ratkaisijoiden ajatusprosesseja ja niiden oikeellisuutta. Virheiden korjaamiseksi tutkielmassa korostetaan sitä, että opitun soveltamista ja selittämistä sanallisesti tulisi harjoitella koko lukiomatematiikan oppimäärän ajan. Opettajan tulisi siis kiinnittää huomiota omaan opetuspuheeseensa sekä rohkaista opiskelijoita perustelemaan rohkeasti päätelmiään sanallisesti sekä ääneen oppitunneilla että kirjallisesti tehtäviä tehdessään. Tutkielmassa esitellään myös tehtävätyyppejä, joita matematiikan opetuksessa voitaisi käydä läpi, jotta opiskelijoiden perustelu- ja soveltamistaidot voisivat kehittyä paremmin, ja esiin tulleita virheitä voitaisi ehkäistä.
-
(2024)Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää, mitä oppimateriaaleja ja opetusvälineitä lukioiden matematiikan opettajat käyttävät. Lisäksi selvitettiin, kuinka he niitä käyttävät ja mitä mieltä he niistä ovat. Aluksi tutkimuksessa esitellään oppimateriaalien ja opetusvälineiden välisiä eroja ja kuinka niitä voidaan käyttää matematiikan opetuksessa. Tutkimus toteutettiin opettajille suunnatulla kyselytutkimuksella. Kyselyyn osallistuvat lukiot valittiin systemaattisella satunnaisotannalla. Tutkimuksessa havaittiin muun muassa, että opetuksessa sähköinen oppikirja on fyysistä oppikirjaa yleisempi, mutta fyysistä oppikirjaa käytetään sähköistä oppikirjaa enemmän opetuksen suunnittelussa. Eniten käytetty opetusväline on videotykki ja tietokone, mutta yleisin opetusväline on dokumenttikamera. Puolestaan harvinaisin opetusväline on liitutaulu. Tutkimuksessa havaittiin myös se, että opettajat eivät pääsääntöisesti käytä materiaaleja tai opetusvälineitä, joihin he eivät ole tyytyväisiä. Kyselyyn vastasi 57 opettajaa eri lukioista ympäri Suomea. Tämä tutkimus ei siis anna kaiken kattavaa kuvaa kaikkien lukioiden tilanteesta, mutta antaa kuitenkin suuntaa-antavasti tietoa siitä, mitä oppimateriaaleja ja opetusvälineitä lukio-opetuksessa käytetään.
-
(2023)Opettajan työllä on Suomessa vahva yhteiskunnallisesti merkittävä asiantuntija-asema eli opettajan työ mielletään professioksi. Opettajan työ nauttii yhteiskunnan luottamusta koulutusvaatimusten, ammattikunnan autonomian ja eettisten velvoitteiden johdosta. Opettajiin ja oppikirjantekijöihin luotetaan vahvasti, mutta voiko luottamukseen täysin perustaa mitään toimintaa? Tutkin pro gradu tutkielmassani lukion geometrian MAA3 -kurssin oppikirjoja ja vertaan niitä lukion opetussuunnitelman perusteisiin. Tutkielmassani vertaan lukion opetussuunnitelmien perusteiden yhtenevyyttä lukion oppikirjojen sisältöihin. Selvitän myös, mitä taitoja ylioppilaskirjoituksissa olleiden geometrian tehtävien ratkaiseminen on vaatinut ja ovatko nämä taidot yhtenevät opetussuunnitelman perusteiden ja oppikirjojen sisältöjen kanssa. Tutkielmassa käytetään aksiomaattista lähestymistapaa geometrian tutkimiseen. Tasogeometrian aksioomat luovat perustan geometrisille perusajatuksille. Yhdessä aksioomien kanssa käsitteet, piste, suora ja taso antavat teorian, jolla voidaan osoittaa todeksi suuri määrä geometrisia lauseita. Esittelen tutkielman kannalta tarpeelliset euklidisen tasogeometrian aksioomat sekä tasogeometrian peruskäsitteitä, lauseita ja tuloksia. Lauseet ja tulokset on valittu niin, että ne kattavat tutkielmassa käsiteltävien ylioppilastehtävien teoriapohjan. Vertaan tutkielmassani opetussuunnitelman sisältöjä oppikirjoihin ja ylioppilastehtäviin. Kun opetussuunnitelman perusteita verrataan oppimateriaaleihin tai ylioppilastehtäviin, on huomattava, että lukija tulkitsee opetussuunnitelman perusteita oman näkemyksensä mukaan. Opetussuunnitelman perusteiden teksti on varsin tiivistä ja kaikkia sen sisältämiä tavoitteita ja sisältöjä ei ole selkeästi määritelty. Näin ollen tulkintani tutkielmassa ja päätelmäni opetussuunnitelman perusteista ovat omiani ja joku toinen saattaa tulkita opetussuunnitelmien perusteita hieman eri tavalla. Tutkimani oppikirjat noudattelevat opetussuunnitelmien perusteita todella hyvin. Oppikirjat olivat myös ottaneet huomioon opetussuunnitelman perusteiden muutokset ohjelmistojen ja tietolähteiden käytöstä. Oppikirjojen avulla oli myös mahdollista ratkaista tutkimistani seitsemästä ylioppilastehtävästä kuusi. Yhden tehtävän ratkaisemisen mahdollisuus ei ollut täysin selvää, sillä todistamisen taitoa harjoiteltiin tutkimissani oppikirjoissa melko vähän. Myös tutkimieni ylioppilastehtävien sisällöt vastasivat suurilta osin opetussuunnitelman perusteiden sisältöjä. Sisällöistä kuitenkin puuttui suhteen käsite sekä yksikönmuunnokset. Tutkimissani oppikirjoissa oli todella paljon yhteistä, mutta pieniä eroja sisällöissä ja asioiden esitysjärjestyksessä. Kaikki tutkimani kirjat olivat samalta kustantajalta, joten tutkimusta voisi jatkaa myös muiden kustantajien kirjoihin. Oppikirjojen sähköistyminen tuo myös uusia mahdollisuuksia kirjan sisältöjen lisäämiseen ilman, että se lisää kirjan painoa. Tulevissa digikirjoissa sähköistä esitysmuotoa osataan hyödyntää vielä monipuolisemmin kuin tutkimassani digikirjassa. Digitaaliseen oppikirjaan oli jokaisen tehtävän yhteyteen lisätty malliratkaisu välivaiheineen ja havainnekuvineen. Tulevaisuudessa olisikin mielenkiintoista tutkia tuottaako malliratkaisujen olemassaolo positiivisia vai negatiivisia oppimistuloksia. Matematiikan opiskelu onkin sähköistymisen ja ohjelmistojen kannalta murroksessa. Luulenkin, että ohjelmistojen merkitys matematiikan opetussuunnitelmien perusteissa tulee kasvamaan tulevaisuudessa.
Now showing items 21-40 of 94