Browsing by Author "Kaarre, Johanna"

Työssä käsitellään logistista differentiaaliyhtälöä ja sen sovelluksia populaation kasvun mallinnusta, kasvainten kasvun mallinnusta, SI-mallia ja SIR-mallia. Monissa tilanteissa jonkin suureen muutos riippuu suureen tilasta. Jos suureen arvoa kuvaa jokin derivoituva funktio, niin tämän derivaatta kuvaa suureen muutosnopeutta. Suureen muutoksen riippuvuutta suureen tilasta voidaan ilmaista matemaattisesti differentiaaliyhtälöillä, jotka sitovat funktion derivaatan arvot funktion arvoihin. Differentiaaliyhtälöissä esiintyy aina vähintään yksi tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi pyritään selvittämään tuntematon funktio. Differentiaaliyhtälöt ovat tavallisimpia luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyviä matemaattisia malleja, joita syntyy tilanteissa, joissa esiintyy esimerkiksi ajasta ja paikasta riippuvia suureita. Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen sigmoidinen käyrä, joka on logistisen differentiaaliyhtälön ratkaisu. Logistisen käyrän kuvaaja on S:n muotoinen ja sillä voidaan mallintaa jonkin populaation P kasvua. Aluksi kuvaaja kasvaa lähes eksponentiaalisesti mutta kasvu hidastuu ja pysähtyy lopulta, kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan. Kasvainten kasvun mallinnus on tärkeää, jotta voitaisiin löytää sopivia hoitomenetelmiä ja arvioida menetelmien hyötyjä. Aluksi kasvain kasvaa logistisen mallin mukaan mutta ajan myötä kasvu hidastuu ympäristön rajoittaessa kasvaimen kasvua. Von Bertalanffy (1902-1972) yleisti logistisen mallin Bertalanffyn yhtälöksi, jossa kasvaimen kasvua voidaan seurata tarkastelemalla sen tilavuuden muutoksia. Bertalanffyn yhtälöstä saadaan Gompertzin malli, joka on yksi tärkeimpiä kasvainten kasvua tarkastelevia malleja. SI-mallilla voidaan mallintaa jonkin uuden tuotteen, innovaation tai uudissanan leviämistä. Lisäksi sillä voidaan mallintaa joidenkin tautien tarttumista. SI-mallissa on kuitenkin monia yksinkertaistuksia eikä se ota huomioon esimerkiksi taudista paranemista. SI-mallia on kehitetty SIR-malliksi, joka ottaa huomioon SI-mallin puutteita kuten sen, että tartunnan saanut voi parantua saaden immuniteetin tautia vastaan.