Browsing by study line "Matematik"

This paper contains Hilbert's Nullstellensatz, one of the fundamental theorems of algebraic geometry. The main approach uses the algebraic proof and all of the necessary background to understand and appreciate the Nullstellensatz. The paper also contains the Combinatorial Nullstellensatz, the proof and some applications. This thesis is aimed at any science student who wants to understand Hilbert's Nullstellensatz or gain intuitive insight. The paper starts with an explanation of the approach: the theorem is first presented in its algebraic form and the proof follows from the given background. After that, there are some more geometric definitions relating to common zero sets or varieties, and then Hilbert's Nullstellensatz is given in a slightly different manner. At the end of the paper some combinatorial definitions and theorems are introduced so that the Combinatorial Nullstellensatz can be proven. From this follows the Cauchy-Davenport theorem. At the very end of the introduction is presented a case of the theorem for the readers who do not yet know what Hilbert's Nullstellensatz is about. The second section of the paper contains all of the algebraic background material. It starts from the most basic definitions of groups and homomorphisms and then continues onto rings, ideals, radicals and quotient rings and relations between them. Some additional theorems are marked with a star to denote that the statement is not necessary for the algebraic proof of Hilbert's Nullstellensatz, but it might be necessary for the geometrical or combinatorial proofs. Since these statements are fully algebraic and mostly contain definitions that have been introduced early in the paper, they are placed in the algebraic section near similar theorems and definitions. The second section also contains fields, algebras, polynomials and transcendental elements. In Sections 3 and 4 we follow the algebraic proof of Daniel Allcock and expand on some steps. Section 3 contains Zariski's Lemma and a form of the Weak Nullstellensatz, along with their proofs. These statements allow us to skip Noetherian and Jacobson rings by finding the necessary conclusions from polynomial rings over fields. This section also includes an existence conclusion that also can be found in other literature under the name of Weak Nullstellensatz. Afterwards, Section 4 follows Allcock's proof of Hilbert's Nullstellensatz, working from the Weak Nullstellensatz and applying the Rabinowitsch trick. Section 5 explains how the Nullstellensatz brings together algebra and geometry. It is split up into three parts: first some preliminary definitions and theorems are defined. One of the fundamental definitions is a variety, which is simply the common zero set of some polynomials. After the new definitions we again meet Hilbert's Nullstellensatz and show that it is equivalent to the previous form. Using the newfound equivalence we show that varieties constitute a topology and consider the dimension of such spaces. Lastly, we show the equivalence of algebra homomorphisms and the corresponding variety morphisms. Section 6 slightly diverges and considers the Combinatorial Nullstellensatz introduced by Noga Alon. This theorem resembles Hilbert's Nullstellensatz, yet is different when looked at carefully. We consider the original proof by Alon, and additionally show how the Combinatorial Nullstellensatz follows from Hilbert's Nullstellensatz, using the paper by Goel, Patil and Verma. We conclude the paper by proving the Cauchy-Davenport theorem, using the Combinatorial Nullstellensatz. This paper does not delve deep in any particular topic. Quite the contrary, it connects many different theorems and shows equivalences between them while referencing additional reading material.

Electrical impedance tomography is a differential tomography method where current is injected into a domain and its interior distribution of electrical properties are inferred from measurements of electric potential around the boundary of the domain. Within the context of this imaging method the forward problem describes a situation where we are trying to deduce voltage measurements on a boundary of a domain given the conductivity distribution of the interior and current injected into the domain through the boundary. Traditionally the problem has been solved either analytically or by using numerical methods like the finite element method. Analytical solutions have the benefit that they are efficient, but at the same time have limited practical use as solutions exist only for a small number of idealized geometries. In contrast, while numerical methods provide a way to represent arbitrary geometries, they are computationally more demanding. Many proposed applications for electrical impedance tomography rely on the method's ability to construct images quickly which in turn requires efficient reconstruction algorithms. While existing methods can achieve near real time speeds, exploring and expanding ways of solving the problem even more efficiently, possibly overcoming weaknesses of previous methods, can allow for more practical uses for the method. Graph neural networks provide a computationally efficient way of approximating partial differential equations that is accurate, mesh invariant and can be applied to arbitrary geometries. Due to these properties neural network solutions show promise as alternative methods of solving problems related to electrical impedance tomography. In this thesis we discuss the mathematical foundation of graph neural network approximations of solutions to the electrical impedance tomography forward problem and demonstrate through experiments that these networks are indeed capable of such approximations. We also highlight some beneficial properties of graph neural network solutions as our network is able to converge to an arguably general solution with only a relatively small training data set. Using only 200 samples with constant conductivity distributions, the network is able to approximate voltage distributions of meshes with spherical inclusions.

Characteristicclassesofferanindispensablefamilyoftopological invariantsinthetheoryofvector bundles, appearing inthe intersectionofdifferential geometry, algebraic topology, andalgebraic geometry. Asthemainfocusof thisworkaretwofundamental setsof characteristicclasses: the ChernclassesandtheCherncharacterclasses. Thetwosetsascharacteristicclassesof complex vectorbundlesareabundantlyencounteredinvariousmathematical contexts. Furthermore,both enjoyaxiomaticdefinitionswhichcharacterizethemuniquelyascohomologyclasses. Forvectorbundlesoversmoothmanifolds,Chern–Weil theoryisanentirelygeometricframeworkin concretelyreproducingcharacteristiccohomologyclasses.ThefundamentalconstructioninChern WeiltheoryforvectorbundlesistheChern–Weilhomomorphism.Thisisanalgebrahomomorphism mappingelementsofthealgebraofinvariantpolynomialsongl(n,C)todeRhamcohomologyclasses onthebasemanifoldof avectorbundle, obtainedfromevaluatingthe invariantpolynomialson localcurvatureformsassociatedtoaconnection. Inthiswork,wereviewthenecessarybackgroundinordertodefinetheaforementionedmapprop erly, andwebrieflystudy its implications. Thecontentof thework includesanintroductionto smoothfiberbundles, thebasicsof thenotionsof connectionsandcurvatureonvectorbundles, aswell as the theoryof thealgebraof invariantpolynomials ongl(n,C). After this, thework finallyculminates intheChern–Weilconstructionanditsconsequences.Morespecifically,wewill verifythatthecharacteristicclassesobtainedviatheChern–Weilmapsatisfyageneralaxiomatic definitionthatisindependentofthegeometricapproachchosenhere.Afterwards,theremainingdis cussiontreatssomebasiccharacteristicsandapplicationsoftheChernclasses,aswellastheChern characterasanaturalringhomomorphismfromtopologicalK-theorytodeRhamcohomology.

Työ käsittelee tunnettujen virtausdynamiikan yhtälöiden, Navier-Stokesin yhtälöiden ja Eulerin yhtälöiden välistä yhteyttä ja näiden ratkaisujen välisiä suppenemisehtoja. Työn ensimmäisessä kappaleessa esitellään työlle tärkeät perustiedot sisältäen esimerkiksi heikon derivaatan ja Sobolev-avaruuksien määritelmät ja useamman tärkeän funktioavaruuden ja jälkilauseiden määritelmät. Työn toinen kappale käsittelee tarkemmin Navier-Stokesin yhtälöitä ja Eulerin yhtälöitä. Kappaleessa esitellään ensin Navier-Stokesin yhtälöiden määritelmät ja sen jälkeen esitellään määritelmä ratkaisun olemassaololle. Kappaleen päätteeksi esitellään myös Eulerin yhtälön määritelmä. Neljännessä kappaleessa esitellään tutkielman pääaihe, eli Navier-Stokesin ja Eulerin yhtälöiden ratkaisujen välinen yhteys viskositeettitermin lähestyessä nollaa. Kappaleessa esitellään Tosio Katon tulos, jossa annetaan ekvivalentteja ehtoja sille, että Navier-Stokesin yhtälön heikko ratkaisu suppenee viskositeetin supetessa kohti Eulerin yhtälön ratkaisua. Tämä tulos todistetaan tutkiel- massa yksityiskohtaisesti. Lopuksi työn viimeisessä kappaleessa esitellään James. P. Kelliherin lisäykset Katon tuloksiin, jotka näyttävät, että Navier-Stokesin yhtälön ratkaisun u gradientti ∇u voidaan korvata ratkaisun u pyörteisyydellä ω(u). Kuten aiemmassa kappaleessa, niin myös tämä tulos esitellään yksityiskohtaisesti työssä. Työssä on vaadittu laajaa ymmärrystä monelta eri matematiikan osa-alueelta. Työn toinen kappale sisältää pitkälti analyysin metodeja sivuten muun muassa funktionaalianalyysiä ja funktioavaruuksien teoriaa. Kolmannessa ja neljännessä kappaleessa keskitytään pitkälti osittais- differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Lisäksi työssä käsitellään laajalti myös reaalianalyysin aiheita. Päälähteinä työssä on käytetty Lawrence C. Evansin ”Partial Differential Equations” -teosta, Tosio Katon artikkelia ”Remarks on Zero Viscosity Limit” ja James P. Kelliherin artikkelia ”On Kato’s conditions for vanishing viscosity limit”.

Sileät monistot laajentavat matemaattisen analyysin keinoja euklidisista avaruuksista yleisemmille topologisille avaruuksille. De Rhamin lause lisää tähän vielä yhteyden algebralliseen topologiaan näyttämällä, että tietyt monistojen topologiset invariantit voidaan karakterisoida joko analyysin tai topologian keinoin. Toisin sanottuna moniston analyyttiset ominaisuudet paljastavat jotain sen topologisista ominaisuuksista ja päinvastoin. Tässä gradussa esitetään De Rhamin lauseelle kaksi todistusta. Ensimmäinen niistä todistaa lauseen sen klassisessa muodossa, joka vaatii vain monistojen ja singulaarihomologian perusteorian ymmärtämisen. Toinen todistus on muotoiltu hyvin yleisesti lyhteiden avulla; tarvittava lyhteiden teoria esitellään lähes kokonaan tekstissä. Tämä rakenne jakaa tekstin luontevasti kahtia. Ensimmäisessä osassa kerrataan ensin lyhyesti de Rhamin kohomologian ja singulaarihomologian perusteet. Seuraavaksi esitellään singulaarikohomologia sekä ketjujen integrointi monistoilla, jotka johtavat klassisen de Rhamin lauseen todistukseen. Toisessa osassa tutustutaan aluksi esilyhteiden ja lyhteiden teoriaan. Sitten esitellään lyhdekoho- mologiateoriat ja niiden yhteys ensimmäisen osan kohomologiaryhmiin. Lopulta näytetään, että kaikki lyhdekohomologiateoriat ovat yksikäsitteisesti isomorfisia keskenään. De Rhamin kohomologian ja singulaarikohomologian tapauksessa tälle isomorfismille annetaan lisäksi suoraviivainen konstruktio.

In this thesis we study extension results related to compact bilinear operators in the setting of interpolation theory and more specifically the complex interpolation method, as introduced by Calderón. We say that: 1. the bilinear operator T is compact if it maps bounded sets to sets of compact closure. 2.\bar{ A} = (A_0,A_1) is a Banach couple if A_0,A_1 are Banach spaces that are continuously embedded in the same Hausdorff topological vector space. Moreover, if (Ω,\mathcal{A}, μ) is a σ-finite measure space, we say that: 3. E is a Banach function space if E is a Banach space of scalar-valued functions defined on Ω that are finite μ-a.e. and so that the norm of E is related to the measure μ in an appropriate way. 4. the Banach function space E has absolutely continuous norm if for any function f ∈ E and for any sequence (Γ_n)_{n=1}^{+∞}⊂ \mathcal{A} satisfying χ_{Γn} → 0 μ-a.e. we have that ∥f · χ_{Γ_n}∥_E → 0. Assume that \bar{A} and \bar{B} are Banach couples, \bar{E} is a couple of Banach function spaces on Ω, θ ∈ (0, 1) and E_0 has absolutely continuous norm. If the bilinear operator T : (A_0 ∩ A_1) × (B_0 ∩ B_1) → E_0 ∩ E_1 satisfies a certain boundedness assumption and T : \tilde{A_0} × \tilde{B_0} → E_0 compactly, we show that T may be uniquely extended to a compact bilinear operator T : [A_0,A_1]_θ × [B_0,B_1]_θ → [E_0,E_1]_θ where \tilde{A_j} denotes the closure of A_0 ∩ A_1 in A_j and [A_0,A_1]_θ denotes the complex interpolation space generated by \bar{A}. The proof of this result comes after we study the case where the couple of Banach function spaces is replaced by a single Banach space.

This thesis provides a proof and some applications for the famous result in topology called the Borsuk-Ulam theorem. The standard formulation of the Borsuk-Ulam theorem states that for every continuous map from an n-sphere to n-dimensional Euclidean space there are antipodal points that map on top of each other. Even though the claim is quite elementary, the Borsuk-Ulam theorem is surprisingly difficult to prove. There are many different kinds of proofs to the Borsuk-Ulam theorem and nowadays the standard method of proof uses heavy algebraic topology. In this thesis a more elementary, geometric proof is presented. Some fairly fundamental geometric objects are presented at the start. The basics of affine and convex sets, simplices and simplicial complexes are introduced. After that we construct a specific simplicial complex and present a method, iterated barycentric subdivision, to make it finer. In addition to simplicial complexes, the theory we are using revolves around general positioning and perturbations. Both of these subjects are covered briefly. A major part in our proof of the Borsuk-Ulam theorem is to show that a certain homotopy function F from a specific n + 1-manifold to the n-dimensional Euclidean space can be by approximated another map G. Moreover this approximation can be done in a way so that the kernel of G is a symmetric 1-manifold. The foundation for approximating F is laid with iterated barycentric subdivision. The approximation function G is obtained by perturbating F on the vertices of the simplicial complex and by extending it locally affinely. The perturbation is done in a way so that the image of vertices is in a general position. After proving the Borsuk-Ulam theorem, we present a few applications of it. These examples show quite nicely how versatile the Borsuk-Ulam theorem is. We prove two formulations of the Ham Sandwich theorem. We also deduce the Lusternik-Schnirelmann theorem from the Borsuk- Ulam theorem and with that we calculate the chromatic numbers of the Kneser graphs. The final application we prove is the Topological Radon theorem.

Brennanin konjektuuri on matemaattinen hypoteesi, jonka muotoili J. E. Brennan vuonna 1978. Hypoteesissa on tarkoitus arvioida konformikuvauksen derivaatan moduulin integraalin potenssia avoimessa yksikkökiekossa. Brennan onnistui myöhemmin löytämään rajoja tälle potenssille, ja vuonna 1999 Daniel Bertilsson onnistui löytämään väitöskirjassaan lisää rajoja kyseiselle potenssille, mutta päähypoteesi pysyy avoimena. Tässä tutkielmassa esitellään määritelmiä, lauseita ja muita matemaattisia tuloksia, joita hyödyntämällä konjektuurin integraalin potenssille on onnistuttu löytämään rajoja. Johdantokappaleessa esitellään mielenkiinnon kohteena oleva matemaattinen ongelma, ja lisäksi siinä mainitaan muutama matemaattinen käsite, jotka ovat oleellisia tämän tutkielman kannalta. Nämä käsitteet ovat Koeben distortiolause, analyyttinen funktio ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Toisessa kappaleessa käydään läpi taustatietoja, jotka on hyvä tietää tässä tutkielmassa. Ensiksi kyseisessä kappaleessa palautetaan mieleen mikä on kompleksiluku ja kerrotaan niiden kahdesta ilmaisutavasta. Ensimmäinen tapa ilmaista kompleksiluku on ilmaista se luvun reaali- ja imaginaariosan avulla, ja toinen tapa esittää kompleksiluku on käyttämällä moduulia, siniä ja kosinia. Tässä toisessa tavassa käytetään myös kompleksiluvun argumenttia, joka on moduulin ja reaaliakselin välinen kulma. Toisessa kappaleessa esitellään myös kompleksisen differentioituvuuden ja analyyttisen funktion käsitteet, jotka molemmat ovat hyvin tärkeitä kompleksianalyysissa. Kyseisessä kappaleessa mainitaan myös Cauchy-Riemannin yhtälöt, biholomorfinen funktio ja joitain topologisia käsitteitä. Lisäksi myös siinä käydään läpi yksi kompleksiseen differentioituvuuteen ja Cauchy-Riemannin yhtälöihin liittyvä lause. Kappaleen lopussa tutustutaan myös Koebe funktioon ja yhteen lauseeseen, jossa yleistä juurifunktiota ja funktion jatkuvia haaroja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan S- ja Sigma- luokkiin, jotka ovat tutkielmassa käsiteltäviä kuvausluokkia. S-luokan alkiot ovat kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita, niiden arvo pisteessä 0 on 0 ja derivaatan arvo pisteessä 0 on 1. Sigma-luokan alkiot ovat puolestaan kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita sellaisten kompleksilukujen joukossa, joiden moduuli on suurempi kuin 1. Lisäksi tämän luokan funktioiden raja-arvo äärettömyyspisteessä on ääretön, ja derivaatan arvo äärettömyyspisteessä on 1. Sigma-luokan alkiot voidaan myös ilmaista suppenevana sarjana. Kappaleessa 3 käydään myös läpi Alue lause, Bieberbachin lause ja Koebe ¼- lause, ja kappaleen lopussa tutustutaan paremmin esimerkkeihin funktiosta, jotka kuuluvat kuvausluokkaan S. Neljännessä kappaleessa käydään läpi distrotiolauseita, joita ovat hyvin tärkeitä tämän tutkielman kannalta. Lisäksi kappaleessa tutustutaan Kasvulauseeseen, Yhdistettyyn kasvudistortiolauseeseen, Säteittäiseen distortiolauseeseen ja näiden todistuksiin. Viidennessä eli viimeisessä kappaleessa palataan Brennanin konjektuurin määritelmään ja käydään läpi derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Kappaleen lopussa kerrotaan myös Koebe derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri.

Säilymislauseina tunnetut tulokset kuvailevat malliteoriassa erilaisia yhteyksiä kaavojen syntaktisen rakenteen ja kaavat toteuttavien mallien semanttisten ominaisuuksien välillä. Esimerkiksi jokainen ensimmäisen kertaluvun logiikan eksistentiaalis-positiivinen kaava säilyy homomorfismien suhteen. Käänteiseen suuntaan jokainen homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan loogisesti yhtäpitävästi esittää myös eksistentiaalis-positiivisessa muodossa. Parannuksena tähän on Benjamin Rossman osoittanut, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan esittää eksistentiaalis-positiivisessa muodossa ilman tarvetta kaavan kvanttoriasteen kasvamiselle. Tässä tutkielmassa Rossmanin menetelmää kehitetään hieman eteenpäin osoittamalla, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismien suhteen säilyvä kaava on mahdollista muuttaa eksistentiaalis-positiiviseen muotoon sellaisella tavalla, että tuloksena olevan kaavan syntaktista rakennetta saadaan rajattua alkuperäisen kaavan rakenteen avulla ja että tuloksena olevan kaavan kvanttoriasteeksi riittää pelkkä alkuperäisen kaavan eksistenssikvanttoreista laskettu kvanttoriaste. Todistuksen työvälineenä esitellään eräs yleistys malliteoriassa perinteisesti käytetyistä ja erilaisten mallirakenteiden vertailuun soveltuvista kahden pelaajan peleistä.

Machine learning is by no means a novel field, but a recent boom in interest has led to a rapid increase in funding for related research. Because of this, many pure-mathematicians may find themselves trying to transition to this currently lucrative area of research. Thus, there is some demand for literature which helps ease this transition for mathematicians with a geometry or topology background. In this thesis we provide an introduction to contemporary machine learning research for a geometrically or topologically inclined individual. We do so by tracing the study of manifolds from their inception to modern machine learning. The thesis begins with a brief history of manifolds to motivate the examination of a proof of the Whitney embedding theorem. The theorem is then proved in detail, following texts from Adachi and Mukherjee on differential geometry. Later, a brief introduction to manifold learning introduces the reader to the manifold hypothesis and connects the classical study with its machine learning counterpart. Then, we provide a canonical introduction to neural networks after which we share rigorous mathematical definitions. Finally, we introduce the necessary preliminaries and subsequently prove the universal approximation theorem with injective neural networks. While we consider the Whitney embedding theorem as having applications in machine learning research, the universal approximation theorem with injective neural networks has clearer uses beyond mathematics. The studies of inverse problems and compressed sensing are two areas for which injectivity is a necessary condition for the well-posedness of common questions. Both fields have many deep applications to scientific and medical imaging. Injectivity is also a prerequisite for a function to preserve the topological properties of its domain.