Browsing by study line "Matematik och tillämpande matematik"

Predator—prey models can be studied from several perspectives each telling its own story about real-life phenomena. For this thesis the perspective chosen, is to include prey—rescue to the standoff between the predator and the prey. Prey--rescue is seen in the nature for many species, but to point one occurrence out, the standoff between a hyena and a lion. When a lion attacks a hyena, the herd of the hyena try to frighten the lion away. The rescue attempt can either be successful or a failure. In this thesis the prey-rescue model is derived for an individual rescuer and for a group of prey. For both cases, the aim is to derive the functional and numerical responses of the predator, but the focus is on the deriving and studying of the functional responses. First, a brief background to motivate the study of this thesis is given. The indroduction goes through the most important aspects of predator—prey modelling and gives an example of a simple, but broadly known Lotka—Volterra predator-prey model. The study begins with the simplest case of prey-rescue, the individual prey—rescue. First, the individual level states, their processes and all the assumptions of the model are introduced. Then, the model is derived and reduced with timescale separation to achieve more interpretable results. The functional response is formed after solving the quasi-equilibrium of the model. It was found that this way of constructing the model gives the popular Holling Type II functional response. Then, it is examined what follows when more and more prey get involved to the standoff trying to rescue the individual being attacked by. This is studied in three different time-scales: ultra—fast, intermediate, and slow timescales. The process of deriving the model and the functional response is like in the simple case of individual prey rescue, but the calculations get more intense. The functional response was found to be uninteresting. In conclusion, the model was adjusted. One of the timescales is left out from the studies in hopes for more interesting results. The derivation came out similar as in the third chapter, but with more advanced calculations and different results of quasi-equilibrium and functional response. The functional response obtained, was found to be worth of studying in a detailed fashion. This detailed study of the functional response obtained, is done last. It was found that different parameter choices affect the shape of the functional response. The parameters were chosen to be biologically relevant. Assuming that the rescue is certain for the group size n = 2, it was found that the functional response took a humpback form for some choices of the other parameters. The parameter ranges, for which the functional response had a humpback shape, were found.

This thesis follows a proof for Selberg’s Central Limit Theorem for log |ζ( 1/2 + it)|. The theorem states that the random variable ( 1/2 log log T )^(−1/2) log |ζ( 1/2 +it)| with T ≤ t ≤ 2T converges to N (0, 1) weakly as T → ∞. The proof we follow is by Kannan Soundararajan and Maxym Radziwill. The intention is to expand on the details that their original work leaves for the reader to fill in. Their proof is a four step approximation. The first step shifts the consideration right from the critical line Im(s) = 1/2. The second step is proving that a random variable based on a related Dirichlet polynomial converges weakly to N (0, 1). The third step ties another Dirichlet polynomial to the one from the previous step. The final step is to tie the Dirichlet polynomial from step 3 to the Riemann Zeta. One way to interpret Selberg’s Central Limit Theorem is that extreme ab- solute values of the Riemann Zeta become proportionally rarer when we look further on the critical line. The function does not linger long around its zeros and it does not stay close to its extreme values for long. Most of its values will have an absolute value close to √ (1/2 log log T) .

Ranskalainen Jean-Michel Bismut esitteli vuonna 1973 stokastisen version niin kutsutusta Pontryagin maksimiperiaatteesta käyttäen ensimmäisenä takaperoisia stokastisia differentiaaliyhtälöitä lineaarisessa tapauksessa. Seuraava harppaus TSDY:n tutkimisessa tapahtui kun kiinalainen Peng Shige ja ranskalainen Ètienne Pardoux julkaisivat vuonna 1990 artikkelin takaperoisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden yleisestä teoriasta. Tutkimus keskittyi tuolloin jatkuva-aikaisiin yhtälöihin, ja diskreettiaikaisia yhtälöitä tarkasteltiin lähinnä apuvälineenä simuloimaan ja approksimoimaan jatkuva-aikaisia yhtälöitä. Tammikuussa 2010 ilmestyneessä artikkelissa Samuel N. Cohen ja Robert J. Elliott tarkastelevat diskreettiaikaisia yhtälöitä sinänsä, ei approksimoinnin välineenä. Vuonna 2018 julkaistussa artikkelissa edellä mainitut Cohen ja Elliott yhdessä Tak Kuen Siun kanssa esittelevät Malliavin laskennan sovelluksia takaperoisiin stokastisiin differenssiyhtälöihin liittyen diskreettiaikaisessa binomimallissa. Tässä työssä esittelen takaperoisten stokastisten differenssiyhtälöiden, lyh. TSDY, teoriaa ja lyhyesti myös stokastisen kontrollin teoriaa. Lähden liikkeelle perusteista; toisen luvun aluksi esittelen sigma-algebran, mitallisen avaruuden, mitallisen kuvauksen, mitan ja mitta-avaruuden käsitteet. Näiden avulla on helppo määritellä todennäköisyysteorian käsitteet todennäköisyysmitta, todennäköisyysavaruus ja satunnaismuuttuja. Siirryn odotusarvon pariin ja yritän hahmotella ajatusta siitä että odotusarvo on aina integraali, myös diskreetissä tapauksessa. Ehdollisen odotusarvon määrittelen Hilbertin avaruuden ortogonaaliprojektiona, luvun päätteeksi määrittelen martingaalin käsitteen. Kolmannessa luvussa käyn läpi arbitraasin käsitteen, ja määrittelen sitä varten salkun, strategian ja omavaraisen strategian käsitteet. Käyn läpi myös martingaalimitan ja binomimallin käsitteet ja lasken esimerkiksi erään riskineutraalin todennäköisyyden. Neljännessä luvussa käyn lyhyesti läpi TSDY:n historiaa ja esittelen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen ja vertailuteoreeman. Lisäksi näytän miten TSDY:tä voi käyttää option arvostukseen, sitä varten näytän myös mitanvaihdon näille yhtälöille. Luvun lopuksi tarkastelen vielä niin kutsuttua ajurifunktiota useampitilaisessa viitekehyksessä ja esittelen epälineaarisen odotusarvon käsitteen. Viimeisessä luvussa kirjoitan myös hieman stokastisesta kontrollista ja käyn lyhyellä esimerkillä läpi näiden liitoskohtaa.

The evolution of number systems, demonstrating the remarkable cognitive abilities of early humans, exemplifies the progress of civilization. Rooted in ancient Mesopotamia and Egypt, the origins of number systems and basic arithmetic trace back to tally marks, symbolic systems, and position-based representations. The development of these systems in ancient societies, driven by the needs of trade, administration, and science, showcases the sophistication of early mathematical thinking. While the Roman and Greek numeral systems emerged, they were not as sophisticated or efficient as their Mesopotamian and Egyptian counterparts. Greek or Hellenic culture, which preceded the Romans, played a crucial role in mathematics, but Europe's true impact emerged during the Middle Ages when it played a pivotal role in the development of algorithmic arithmetic. The adoption of Hindu-Arabic numerals, featuring a placeholder zero, marked a paradigm shift in arithmetic during the Middle Ages. This innovative system, with its simplicity and efficiency, revolutionized arithmetic and paved the way for advanced mathematical developments. European mathematicians, despite not being the primary innovators of number systems, contributed significantly to the development of algorithmic methods. Techniques such as division per galea, solutions for quadratic equations, and proportional reduction emerged, setting the foundation for revolutionary inventions like Pascal's mechanical calculator. Ancient mathematical constants such as zero, infinity, and pi played deeply influential roles in ancient arithmetic. Zero, initially perceived as nothing, became a crucial element in positional systems, enabling the representation of larger numbers and facilitating complex calculations. Infinity, a limitless concept, fascinated ancient mathematicians, leading to the exploration of methods to measure infinite sets. Pi, the mysterious ratio of a circle's circumference to its diameter, sparked fascination, resulting in ingenious methods to compute its value. The development of ancient computational devices further highlights the remarkable ingenuity of early mathematicians, laying the groundwork for future mathematical advancements. The abacus, with its ability to facilitate quick calculations, became essential in trade and administration. The Antikythera mechanism, a 2nd-century astronomical analog computer, showcased the engineering skill of ancient Greeks. Mechanical calculators like the slide rule and Pascaline, emerging during the Renaissance, represented significant developments in computational technology. These tools, driven by practical needs in commerce, astronomy, and mathematical computations, paved the way for future mathematical breakthroughs. In conclusion, the evolution of number systems and arithmetic is a fascinating narrative of human ingenuity and innovation. From ancient Mesopotamia to the Renaissance, this journey reflects the intertwined nature of mathematics, culture, and civilization.

Tämän gradun keskeisin asia on uusiutumisteoria. Uusiutumisteoria on todennäköisyysteoriaa, ja siinä tarkastellaan tilanteita niin sanotusti takaperin. Eli voidaan vaikka simuloida tiettyä tilannetta erittäin monta kertaa, ja laskea tuloksen perusteella vastaus. Esimerkki tästä on tilanne, jossa tarkastellaan, kuinka monta kertaa olisi heitettävä noppaa, jotta saadaan sama lukuarvo viisi kertaa peräkkäin. Tällainen on haastavampaa laskea klassisen todennäköisyyslaskennan metodein, koska otannan kokoa ei ole tiedossa. Tutkielman tarkoituksena on, että tutkielman lukija joko saisi ymmärrystä siitä, mitä uusiutumisteoria on, tai hänen tietämyksensä syvenisi. Tämä on toteutettu niin, että tutkielman alussa on pyritty selittämään matemaattisia asioita, joita käytetään myöhemmin tutkielmassa, jotta tutkielma olisi luettavissa mahdollisimman monelle eri matematiikan osaamistasoiselle ihmiselle. Todistusten seuraaminen ihmiselle, joka on matematiikan opinnoissaan vasta alkuvaiheessa voi olla erittäin haastavaa, mutta esimerkit on pyritty kirjoittamaan niin, että ne olisivat kenelle vain luettavissa. Gradussa on kaksi matemaattisesti haastavampaa kappaletta. Toisessa johdetaan keskeinen uusiutumislause ja todistetaan se, ja toisessa johdetaan uusiutumislause epätäydelliseksi uusiutumislauseeksi, ja osoitetaan, kuinka uusiutumisteoria on mukana vakuutusmatematiikan riskiteoriassa. Keskeisen uusiutumislauseen todistus tehdään niin, että ensin johdetaan tämä lause yksinkertaisemmista uusiutumislauseista ja määritellään uusiutumisfunktio. Tämän jälkeen määritellään Blackwellin uusiutumislause ja todistetaan se. Tämän jälkeen voidaan osoittaa, että lauseet ovat matemaattisesti ekvivalentteja sopivin oletuksin, ja kun se on osoitettu, on keskeinen uusiutumislause todistettu. Työn lopussa käsitellään esimerkkejä. Yksi näistä on koneiden hajoamiseen liittyvä uusiutumisteoreettinen tehtävä, ja sen lisäksi esitetään kaksi uusiutumisteoriaan liittyvää paradoksia. Vaikka näissäkin voi olla haastaviakin todistuksen osia, erityisesti molempien paradoksien todistuksissa, on jokainen esimerkki muotoiltu jokaiselle luettavaan muotoon. Nämä kaksi kappaletta ovat ne kappaleet, jotka kannattaa lukea, jos ei ole ikinä kuullut uusiutumisteoriasta. Yllä mainitussa esimerkissä on tilanne, jossa on tehdas ja tehtaassa on kone, jossa on yksi kriittinen osa, joka hajoaa helposti. Jos osa huolletaan ennen hajoamista, maksaa se 200 euroa. Jos taas osa ehtii hajota ennen huoltoa ja se pitää korjata, hajottaa se samalla konetta, ja kustannukseksi tulee tällöin 2600. Koneen osan hajoaminen on tasajakautunutta kahden vuoden ajanjaksolle. Tällöin uusiutumisteorian avulla on mahdollista ratkaista, mikä on optimaalisin huoltoväli koneelle.

Vastuuvelka on keskeinen termi vakuutusmatematiikassa. Vakuutuksen vastuuvelalla hetkellä t tarkoitetaan summaa, joka vakuutusyhtiöllä tulee sillä hetkellä olla varattuna kyseisen vakuutuksen korvauksiin. Vastuuvelkaan vaikuttavat useat tekijät, kuten vakuutukseen liittyvä korvaussumma, korkoutuvuus ja kuolevuus. Tässä työssä käsitellään erilaisten henkivakuutusten vastuuvelkoja. Vakuutuksen hinta on yksinkertaisimmillaan nettokertamaksu. Tässä tapauksessa vakuutettu maksaa kerralla kaikki vakuutusmaksut ja tämä maksu on ekvivalenssiperiaatteen mukaan vakuutetulle maksettavien korvausten nykyarvon odotusarvo, toisin sanoen pääoma-arvo. Pääoma-arvo riippuu korvausten suuruuden lisäksi korkotasosta ja kuolevuudesta. Vakuutusmaksut voidaan myös jakaa pidemmälle aikavälille tai niihin voi sisältyä korvausten pääoma-arvon lisäksi muita kuluja. Elossaolevan vakuutetun vakuutustekninen vastuuvelka tietyllä ajanhetkellä on tulevien korvausten ja kulujen senhetkinen pääoma-arvo vähennettynä tulevien vakuutusmaksujen senhetkisellä pääoma-arvolla. Vastuuvelkaa voidaan ajatella vakuutussopimuksen arvona. Vastuuvelkaa voidaan kuvata Thielen differentiaaliyhtälöllä. Thielen yhtälö voidaan johtaa yksinkertaisissa tapauksissa suoraan derivoimalla vastuuvelkaa tai laajemmin tarkastelemalla vastuuvelan muutosta lyhyellä aikavälillä ja muodostamalla differentiaaliyhtälö erotusosamäärän raja-arvosta. Thielen yhtälön avulla voidaan tarkastella vastuuvelan ja siis vakuutussopimuksen arvon muutoksia. Toisaalta jos oletetaan, että vakuutusyhtiölle syntyy vakuutusaikana vastuuvelkaan suhteutettuja kuluja, tarvitaan Thielen yhtälöä myös vakuutuksen hinnoitteluun.