Browsing by department "Matematiikan ja tilastotieteen laitos"

3D-tulostamisella on potentiaalia muuttaa tavaroiden valmistamista merkittävällä tavalla. Mallintaminen parantaa kaikentasoisten oppijoiden ymmärrystä vaikeista, absrakteista asioista ja muuttaa matematiikan monimutkaisia käsitteitä helposti sisällytettäviksi esineiksi. Oppijat arvostavat itse tekemistä ja 3D-tulostaminen on yksi helpoimmista tavoista luoda monimutkaisia esineitä. 3D-tulostaminen vaatii aina tietokoneella luodun kolmiulotteisen mallin, joka voidaan luoda itse tai se voidaan ladata jonkun muun valmiiksi tekemänä. Itse mallien tekemiseen löytyy useita erilaisia ohjelmia, joista monet helppokäyttöiset ovat oppimiskäyttöön ilmaisia. Tietokoneen, jolla mallinnusta tehdään, ei tarvitse olla erityisen suuri laskenteholtaan, ja normaalit kotitietokoneet käyvät ongelmitta. Tärkein hankittava osa on itse 3D-tulostin, joita saa normaalin paperitulostimen kokoisesta aina auton kokoisiin laitteisiin. Kotikäyttöiset mahtuvat hyvin luokkahuoneisiin tai tarvikevarastoon. Tulostimien hinnat ovat viimein tulleet tarpeeksi mataliksi, jotta niiden hankkiminen koulun käyttöön on mahdollista. Työn tarkoituksena on esitellä 3D-tulostin opetusvälineenä ja löytää käyttötarkoituksia ja perusteita sen käytölle. Työn ohessa toteutettiin vapaaehtoisryhmälle 7-luokkalaisia kokeilu, jossa katsottiin miten he kykenevät omaksumaan 3D-mallinnuksen perusteet ja ymmärtävät suunnitellessaan tulevaa tulostamista. Oppilaat käyttivät opetustuokion ajan mallinnusohjelmaa ja heiltä samaan aikaan kysyttiin mielipiteitä ja ajatuksia 3D-mallinnuksen ja tulostamisen käyttämisestä opetuksessa. Oppilaat toivoivat, että oppitunneilla otettaisiin käyttöön 3D-tulostin. Vaikka kysymykset esitettiin nimenomaan matematiikan opetuksen näkökulmasta, esittivät oppilaat ideoita myös muiden kouluaineiden opetukseen. Opetuksessa tekniikkaa voidaan käyttää joko siten, että oppijat käyttävät sitä aktiivisesti jonkin matemaattisen ilmiön oppimiseksi, tai vaihtoehtoisesti opettaja voi käyttää sitä esimerkkikappaleiden tekemiseen. 3D-tulostamisen suuria hyötyjä on se, että sillä voidaan tuottaa laitteen asettamissa rajoissa hyvinkin monimutkaisen muotoisia kappaleita. Esimerkkeinä tällaisista opettajan esimerkkimalleista tutkielmasta löytyy esimerkiksi kolmion pyörähdyskappaleita ja kuution erilaisten lävistäjien havainnollistamiseksi tehty malli. Johtopäätöksenä päädyttiin siihen, että 3-ulotteinen tulostaminen sopii opetuksessa parhaiten opettajan oppimateriaalin tuottamiseen. Oppilaskäytössä laite toimisi parhaiten lähinnä vapaavalintaisissa matematiikan kursseissa. Myös matematiikan oppiminen voisi hyötyä selvästi kolmiulotteisen ajattelun parantumisen muodossa, mutta matematiikan tunneilla ei ole tarpeeksi ylimääräistä aikaa. Paras yhdistelmä voitaisiinkin saada sillä, että koulun teknisten töiden tai kuvaamataidon opettaja opettaisi omiin tunteihinsa liittyen laitteen käyttöä, jolloin matematiikan oppitunneilla kyettäisiin hyödyntämään 3D-tulostamista ilman siihen liittyvää turhan suurta ajallista panostamista.

Kansallisten ja kansainvälisten tutkimusten mukaan geometria on heikoiten osattu matematiikan osa-alue, ja se sisältää paljon eri käsitteitä. Matemaattisen käsitetiedon rakentumiseen on olemassa erilaisia malleja ja tunnetuin näistä on van Hielen-teoria. Käsitetiedon syvyys voidaan jaotella eri tasoille ja eri tyyppiset tehtävät puolestaan vaativat eri tasoista käsitetietoa. Käsitetiedon tasoon voidaan pureutua virheiden tutkimuksen avulla. Mahdollisten virheellisten mentaalimallien ehkäisemiseksi opettajan ennakkokäsityksillä on suuri rooli. Tutkimuksen tavoitteena on tutkia ja analysoida millaisia virheitä perusopetuksen päättövaiheen oppilaat tekevät avaruusgeometrian tehtävissä ja liittyykö avaruusgeometrian osaaminen matematiikan osaamiseen yleisesti. Lisäksi tutkimuksessa tarkastellaan opettajaopiskelijoiden ennakkokäsityksiä 9.-luokkalaisten tekemistä virheistä avaruusgeometrian tehtävissä. Tämän tutkimuksen aineisto koostuu keväällä 2012 Opetushallituksen keräämästä perusopetuksen päättövaiheen matematiikan oppimistulosarvioinnin sensoriaineistosta, joka kattaa 683:n oppilaan vastaukset. Tätä aineistoa täydentää 21:ltä yliopisto-opiskelijalta syksyllä 2017 kerätty yksilö- ja ryhmäaineisto. Opiskelija-aineiston yksilöosuuden muodostaa kaksi avaruusgeometrian tehtävää, joita on testattu myös oppilailta. Yliopisto-opiskelijoiden ryhmäaineisto puolestaan sisältää pohdintoja tutkittavana olevien avaruusgeometrian tehtävien vastausten mahdollisista virheistä. Koko aineisto analysoitiin tilastollisin menetelmin sekä laadullisin menetelmin mm. sisällönanalyysillä. Tutkimuksessa saatujen tulosten mukaan avaruusgeometrian tehtävien osaaminen on yhteydessä lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvien tehtävien osaamiseen. Avaruusgeometrian tehtävissä esiintyneet virheet olivat pääsääntöisesti matemaattiseen käsitetietoon liittyviä virheitä, ja huolimattomuus- tai laskuvirheitä esiintyi aineistossa vähän. Opettajaopiskelijoiden ennakkokäsitykset oppilaiden tekemistä virheistä noudattivat pääsääntöisesti hyvin tutkimuksessa esiin tulleita virheitä. Opettajaopiskelijat osasivat myös jaotella mahdollisia virheitä eri tasoille käsitetiedon syvyyden mukaan, joka kertoo opettajaopiskelijoiden ymmärryksestä matemaattisen käsitetiedon oppimisesta ja opettamisesta.

Tämä työ käsittelee projektiivista avaruutta ja projektiivisen geometrian duaalisuusperiaatetta. Aihetta lähestytään lineaarialgebran kautta ja projektiivinen avaruus määritellään yksiulotteisten vektorialiavaruuksien joukkona. Duaalisuusperiaatteen mukaan jokaisesta projektiivisen geometrian lauseesta, joka ilmaisee n-ulotteisen projektiivisen avaruuden aliavaruuksien välisiä sisältyvyyksiä, yhtäsuuruuksia tai epäsuuruuksia, voidaan muotoilla uusi lause kääntämällä lauseessa esiintyvät sisältyvyydet ja muuttamalla jokaisen m-ulotteisen aliavaruuden dimensioksi n-m-1. Näytämme, miksi duaalisuusperiaate on voimassa. Tätä varten määritellään duaalinen projektiivinen avaruus lineaaristen funktionaalien muodostaman vektoriavaruuden avulla. Duaalisuusperiaatteen lisäksi työssä käydään läpi projektiivisen geometrian peruskäsitteitä, kuten projektiivinen piste ja suora. Esitämme pisteet homogeenisilla koordinaateilla. Huomaamme, että toisin kuin euklidisessa geometriassa, pisteet voivat “sijaita äärettömyydessä” ja kahdella suoralla on aina leikkauspiste. Lisäksi määritellään projektiiviset lineaarikuvaukset ja näytetään, että pisteiden kollineaarisuus, suorien konkurrenssi sekä neljän pisteen kaksoissuhde säilyvät näissä kuvauksissa. Kartioleikkaus ja toisen asteen pinta saavat määritelmän symmetristen bilineaaristen muotojen avulla. Paraabeli, ellipsi ja hyperbeli näytetään projektiivisesti ekvivalentteiksi reaalilukujen yli määritellyllä projektiivisella tasolla. Toisin sanoen paraabeli, ellipsi ja hyperbeli ovat projektiivisessa mielessä samoja. Lopuksi laajennetaan duaalisuusperiaate koskemaan toisen asteen pintoja ja kartioleikkauksia sekä esitetään, miten Brianchonin lause voidaan johtaa Pascalin lauseesta duaalisuusperiaatteella.

In this thesis we study the theoretical foundations of distributed computing. Distributed computing is concerned with graphs, where each node is a computing unit and runs the same algorithm. The graph serves both as a communication network and as an input for the algorithm. Each node communicates with adjacent nodes in a synchronous manner and eventually produces its own output. All the outputs together constitute a solution to a problem related to the structure of the graph. The main resource of interest is the amount of information that nodes need to exchange. Hence the running time of an algorithm is defined as the number of communication rounds; any amount of local computation is allowed. We introduce several models of distributed computing that are weaker versions of the well-established port-numbering model. In the port-numbering model, a node of degree d has d input ports and d output ports, both numbered with 1, 2, ..., d such that the port numbers are consistent. We denote by VVc the class of all graph problems that can be solved in this model. We define the following subclasses of VVc, corresponding to the weaker models: VV: Input and output port numbers are not necessarily consistent. MV: Input ports are not numbered; nodes receive a multiset of messages. SV: Input ports are not numbered; nodes receive a set of messages. VB: Output ports are not numbered; nodes broadcast the same message to all neighbours. MB: Combination of MV and VB. SB: Combination of SV and VB. This thesis presents a complete classification of the computational power of the models. We prove that the corresponding complexity classes form the following linear order: SB ⊈ MB = VB ⊈ SV = MV = VV ⊈ VVc. To prove SV = MV, we show that any algorithm receiving a multiset of messages can be simulated by an algorithm that receives only a set of messages. The simulation causes an additive overhead of 2∆ - 2 communication rounds, where ∆ is an upper bound for the maximum degree of the graph. As a new result, we prove that the simulation is optimal: it is not possible to achieve a simulation overhead smaller than 2∆ - 2. Furthermore, we construct a graph problem that can be solved in one round of communication by an algorithm receiving a multiset of messages, but requires at least ∆ rounds when solved by an algorithm receiving only a set of messages.

This study presents some of the available methods for haplotype reconstruction and evaluates the accuracy and efficiency of three different software programs that utilize these methods. The analysis is performed on the QTLMAS XII common dataset, which is publicly available. The program LinkPHASE 5+, rule-based software, considers pedigree information (deduction and linkage) only. HiddenPHASE is a likelihood-based software, which takes into account molecular information (linkage disequilibrium). The DualPHASE software combines both of the above mentioned methods. We will see how usage of different available sources of information as well as the shape of the data affects the haplotype inference.

Internet mahdollistaa helpon materiaalin jakamisen, ihmisten välisen kommunikoinnin ja uutisten tarjoamisen. Tästä huolimatta tällä hetkellä, ei ole olemassa yhtään suomalaisille aineenopettajille tarkoitettua valtion rahoittamaa ja Opetushallituksen tai opetus- ja kulttuuriministeriön hallinnoimaa internet-sivustoa, joka sisältäisi muun muassa opetusalan uutisia, kommunikointityökaluja ja mahdollisuuden materiaalin jakamiseen ja vastaanottamiseen. Ennen tällaisen sivun toteuttamisen harkitsemista on mielekästä tutkia, mitä mieltä aineenopettajat ovat edellä mainituista ominaisuuksista ja sisällöistä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tutkia helsinkiläisten aineenopettajien mielipidettä liittyen erilaisiin heille tarkoitetun sivuston sisältöihin ja ominaisuuksiin. Tutkitut ominaisuudet ja sisällöt liittyivät opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin. Tutkimus toteutettiin kvantitatiivisen internet-pohjaisen kyselylomakkeen avulla. Lomake toteutettiin Helsingin yliopiston E-lomake-palvelun avulla ja lomakkeen teknisen ja rakenteen suunnittelun pohjana käytettiin Tampereen yliopiston yhteiskuntatieteellisen tietoarkiston KvantiMOTV-sivuston ohjeita. Tutkimus lähetettiin helsinkiläisille aineenopettajille sähköpostilla. Osoitteet kerättiin Helsingin kaupungin opetusviraston kouluhaku-sivun avulla. Lomakkeet lähetettiin vain suomenkielisten yläkoulujen ja yhtenäiskoulujen opettajille. Sähköposteja ei epähuomiossa lähetetty kaikille lukioiden opettajille, vaan ne lähetettiin vain yhtenäiskoulujen yhteydessä olevien lukioiden opettajille. Kyselylomakkeen tärkein osio oli 4-portaisella Likert-asteikolla toteutettu 21-kohtainen väittämäkokoelma. Väittämäkokoelman tarkoitus oli selvittää kuuluvatko niissä mainitut ennalta määritetyt sisällöt ja ominaisuudet heidän mielestään aineenopettajille tarkoitetulle internet-sivustolle. Väittämät jakautuivat opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin liittyviin teemoihin. Tutkimukseen vastasi 239 helsinkiläistä aineenopettajaa, joista 229 henkilön vastaukset hyväksyttiin mukaan tulosten analysointiin. Kyselyyn vastanneista 67% oli naisia. Vastaajista 41% opetti ainakin lukiossa, ja 59% pelkästään peruskoulussa. Kyselyn tuloksien perusteella helsinkiläiset aineenopettajat arvostivat erityisesti materiaaliin liittyviä ominaisuuksia ja sisältöjä. Kommunikaatioon liittyvistä ominaisuuksista vastaajat arvostivat vertaistuen antamisen ja saamisen mahdollistavaa ominaisuutta ja verkostoitumisen mahdollistavaa ominaisuutta. Lisäksi mahdollisuus kommentoida ja kehittää muiden opettajien tekemää opetus-materiaalia oli vastaajien mielestä tärkeä aineenopettajien internet-sivuston potentiaalinen sisältö. Kyselyn otos oli kohtalaisen pieni, eikä kaikilla helsinkiläisillä aineenopettajilla ollut mahdollista vastata siihen. Tuloksia ei voi siis varauksetta yleistää koskemaan kaikkia helsinkiläisiä aineenopettajia. Lisäksi kyselyyn vastanneiden täytyi käyttää internetiä, mikä saattoi vaikuttaa kyselyn otokseen helsinkiläisistä aineenopettajista.

Työ kertoo kuinka voimme kehittää lukio-opetuksessa algebran ja geometrian yhdyskohtia. Tämä on tarkoitettu lukion pitkän matematiikan analyyttisen geometrian kurssin yhteyteen, tai lisä materiaalina tämän jälkeen esimerkiksi matematiikka kerhoon. Kerron työssäni ensiksi geometrian aksioomista ja aksiomaattisesta todistamisesta. Seuraavaksi tutkin janojen suhteita, verrantoja ja kolmion sivujen suhteita. Jatkan tästä kuution tilavuuden tuplaamiseen. Tarkoituksena on löytää tapa esittää nämä aiheet jo lukiossa ja tällä tavoin motivoida ja kehittää uusia tapoja käsitellä geometriaa. Työn tarkoitus on olla lisäoppimateriaali lukion opettajalle, jonka avulla hän voi opettaa geometriaa. Kuution tilavuuden tuplaaminen on hyvä motivointi keino ja mielenkiintoinen historian ongelma, joka näyttää millaisia ongelmia matematiikka on kohdannut ajankuluessa. Tämä työ on kokonaisuudessaan noin neljän tai viiden oppitunnin mittainen kokonaisuus. Työssä on erilaisia geometrisia rakennelmia jotka auttavat lukijaa havaitsemaan miten voimme edetä geometriassa eteenpäin. Jokaisessa osiossa on muutamia tehtäviä ja lopussa niiden mallivastaukset. Jokaisessa kappaleessa on myös joitakin esimerkkejä ja kappaleessa kuution tilavuuden tuplaaminen on esitys Neusis konstruktiosta joka on matemaattisesti riittämätön todiste ennen oikeaa todistusta. Kuution tilavuuden tuplaamiseen tarvitaan kuntateoriaa ja käyn läpi termit kunta ja kuntalaajennos. Koko työn voi käydä läpi harpilla ja viivaimella.

The decreasing number of births has caused concerns among researchers and decision-makers and is currently a hot topic in Finland. The most commonly used fertility index, the total fertility rate (TFR), has been rapidly decreasing during the last seven years and reached an all-time low rate of 1.49 children per woman in 2017. The total fertility rate is a synthetic measure that is sensitive to changes in the timing of births and it does not necessarily reflect underlying changes in the level of fertility. A reduction in the total fertility rate could reflect that women are postponing their childbearing while the final number of children they ultimately will have remains unchanged, or, it could reflect that women actually are having less children. The aim with this thesis is to conclude to what extent the decrease in the total fertility rate is due to fertility timing and whether the expressed concern is truly valid. This thesis is a descriptive study produced in collaboration with Statistics Finland. Age-specific fertility rates were calculated by birth order, region and level of education based on data maintained by Statistics Finland. The produced contributions to the decrease in the total fertility rate were analysed by demographic decomposition, tempo-adjusted fertility rates were calculated to adjust for fertility timing and the completed cohort fertility rate for cohorts not yet reached age 44 was estimated mainly by a new Bayesian forecasting method. In addition, high quality fertility data from the Human Fertility Database was used to build a prior belief of already known demographic information about plausible age patterns of fertility. The results confirmed that the main reason for the rapid decrease in the total fertility rate in 2010-2017 was decreasing first order births mainly at ages 25-29. The massive decrease in first order births was observed in both urban and rural areas and by all levels of education, but particularly for higher educated women. Overall, fertility rates at younger ages have experienced a long-term decline while fertility rates at older ages have been increasing. Nevertheless, the fertility rates at ages 30-37 have in recent years also started to decrease. The tempo-adjusted TFR did show a period tempo effect of on average 0.17 live births per woman, but since the adjusted TFR also did decrease since 2010, the possibility that women only postpone but not reduce their number of births is not enough as the only explanation to the all-time low period fertility observed. The cohort fertility forecasts did in fact confirm that women actually are reducing their lifetime number of children. Women currently in their childbearing age have delayed or even eschewed entry to motherhood to such an extent that their average lifetime number of children is very unlikely to remain close to 2 children, which has been the approximately constant level observed over the last thirty years. The completed cohort fertility rate is instead likely to decline dramatically and fall below 1.50 children for women currently in their late 20s. Thus, the decrease in the total fertility rate in 2010-2017 does reflect a massive cohort quantum effect and the expressed concern about the decreasing number of births is indeed very much valid.

Työssä tutkitaan aloittavien matematiikan yliopisto-opiskelijoiden derivaatan ymmärrystä ja virhekäsityksiä. Aloittavilla matematiikan yliopisto-opiskelijoilla tarkoitetaan opiskelijoita, jotka ovat syksyllä 2017 aloittaneet opiskelun Helsingin yliopistossa matemaattisten tieteiden kandiohjelman opiskelijoina tai matematiikan, fysiikan ja kemian opettajan kandiohjelman opiskelijoina. Työssä esitetään derivaatan määritelmä ja siihen liittyviä muita määritelmiä ja lauseita. Työssä esitellään myös matemaattiseen tietoon ja ymmärrykseen liittyviä didaktisia käsitteitä kuten konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto, proseduuri, prosessi ja prosepti sekä representaatio. Lisäksi työssä perehdytään David Tallin (2004) matematiikan kolmeen maailmaan ja pohditaan sitä derivaatan näkökulmasta. Derivaatan ymmärryksestä ja virhekäsityksistä aikaisemmin tehdyt tutkimukset ovat työn teoriapohja. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että derivaatta on opiskelijoille vaikea käsite, eikä sitä ymmärretä syvällisesti (Bezuidenhout, 1998). Opiskelijoilla on haasteita derivaatan graafisen representaation tulkinnassa ja sen ymmärtämisessä (Maharaj, 2013). Lisäksi lukiossa jäädään derivaatan ymmärryksessä proseptuaalis-symboliseen maailmaan, kun taas yliopistossa tavoitteena on päästä aksioomaattis-formaaliin maailmaan (Hähkiöniemi, 2006). Taustateoriana esitellään myös lukion ja yliopiston oppimistavoitteita derivaattaan liittyen sekä perehdytään kahteen lukion Derivaatta-kurssin oppikirjaan. Tutkimuksen aineisto kerättiin kyselylomakkeen avulla syyskuussa 2017. Kyselylomakkeessa oli derivaattaan liittyviä tehtäviä, joissa testattiin opiskelijoiden derivaatan konseptuaalista ja proseduraalista tietoa sekä graafisen ja sanallisen representaation ymmärrystä. Kyselyyn vastasi 41 aloittavaa matematiikan yliopisto-opiskelijaa, joista suurin osa oli kirjoittanut ylioppilaaksi vuoden 2017 keväällä. Vastanneet opiskelijat eivät olleet suorittaneet yliopiston analyysin kursseja ennen kyselyyn vastaamista. Tutkimuksessa päädytään seuraaviin tuloksiin. Derivaatta on vaikea käsite aloittaville matematiikan yliopisto-opiskelijoille. Konseptuaalisessa tiedossa on puutteita ja proseduraalista tietoa käytetään sitä enemmän. Derivaatan sanallinen ymmärrys on hyvää ja derivaatta hahmotetaan yleisimmin tangentin kulmakertoimena. Sen sijaan derivoituvuuden ja jatkuvuuden välisen suhteen ymmärtäminen yksittäisillä opiskelijoilla on melko heikkoa. Opiskelijoiden yleisin virhekäsitys jatkuvuuteen liittyen on, että funktion jatkuvuus ei vaikuta funktion derivoituvuuteen. Myös derivaatan määritelmän ymmärtäminen on erittäin haastavaa opiskelijoille, eli heidän konseptuaalinen tietonsa derivaatasta on heikkoa. Lisäksi derivaatan graafisen representaation ymmärrys on melko heikkoa.

Amenability is a notion that occurs in the theory of both locally compact groups and Banach algebras. The research on translation-invariant measures during the first half of the 20th century led to the definition of amenable locally compact groups. A locally compact group G is called amenable if there is a positive linear functional of norm 1 in L^∞(G)^* that is left-invariant with respect to the given group operation. During the same time the theory of Hochschild cohomology for Banach algebras was developed. A Banach algebra A is called amenable if the first Hochschild cohomology group H^1(A, X^*) = {0} for all dual Banach A-bimodules X^*, that is, if every continuous derivation D : A → X^* is inner. In 1972 B. E. Johnson proved that the group algebra L^1(G) for a locally compact group G is amenable if and only if G is amenable. This result justifies the terminology amenable Banach algebra. In this Master's thesis we present the basic theory of amenable Banach algebras and give a proof of Johnson's theorem.