Browsing by department "Department of Mathematics and Statistics"

Tutkielmassa pyritään vastaamaan kysymykseen siitä, minkä ulottuvuuden euklidiseen avaruuteen voidaan määritellä bilineaarinen binäärioperaatio siten, että euklidinen avaruus varustettuna tällä laskutoimituksella on jakoalgebra. Työssä ei pyritä täydelliseen vastaukseen vaan päätavoitteena on antaa kysymykseen välttämätön ehto: avaruuden ulottuvuuden täytyy olla luvun kaksi potenssi. Tutkielman johdannossa esitellään ongelma ja annetaan esimerkki siitä, että kolmiulotteisessa avaruudessa ei jakoalgebran rakennetta voida saavuttaa. Työn ensimmäisessä varsinaisessa luvussa esitellään tarpeellinen määrä kategoriateoriaa, jotta algebralliselle topologialle tyypilliset kategorioihin ja funktoreihin liittyvät argumentit joita tutkielmassa käytetään, ovat perusteltuja. Lisäksi määritellään niin kutsuttu Hom-funktori ja esitellään sen perusominaisuuksia. Kyseisen funktorin soveltaminen, dualisointi, johtaa yksinkertaisella tavalla yleisen ketjukompleksin kohomologiaryhmiin. Tässä kohtaa työtä tulee selväksi, että dualisaatio säilyttää lukuisia homologiateoriasta tunnettuja ominaisuuksia ja konstruktioita. Luvun työläin ja tärkein osuus on universaalin kerrointeoreeman todistus. Kyseinen lause selvittää yhteyden kohomologia- ja homologiaryhmien välille ja antaa tavan laskea ketjukompleksin kohomologia- ryhmät sen homologiaryhmien avulla. Luvun loppupuolella esitellään yleisen kohomologiateorian aksiomaattinen määritelmä, jota tarvitaan myöhemmin tutkielmassa sekä tutustutaan tavallisimpiin kohomologiateorioihin. Näitä ovat muun muassa singulaarinen kohomologia ja solukohomologia. Kohomologiaryhmien perustietoihin tutustumisen jälkeen tutkielman neljännessä luvussa aletaan käsittelemään kohomologiaryhmille määriteltyä uutta laskutoimitusta, kuppituloa. Tämä on keskeinen käsite kohomologiateorian kannalta sillä se on varsinaisesti ensimmäinen täysin uusi asia verrattuna homologiateoriaan. Osoitetaan, että kuppitulo määrittelee kohomologiaryhmien porrastettun kertolaskun ja että varustamalla kohomologiaryhmistä muodostettu suora summa tällä laskutoimituksella lopputuloksena on porrastettu rengas, avaruuden kohomologiarengas. Muutaman valottavan esimerkin ja kuppitulon luonnolliseksi toteamisen jälkeen, näytetään että kuppitulo on antikommutatiivinen laskutoimitus jos kerroinrengas on kommutatiivinen. Tutkielman viimeisessä luvussa on kenties työn raskaimmat laskut. Luvun alkupuoli painottuu kahden avaruuden muodostaman tulojoukon kohomologiarenkaan laskemiseen. Künnethin kaava näyttää, että tietyin oletuksin kahden avaruuden kohomologiarenkaiden tensoritulolta tuloavaruuden kohomologiarenkaalle määritelty ristitulokuvaus on rengasisomorfismi. Lopulta laskemme projektiivisen avaruuden kohomologiarenkaan. Soveltamalla tätä tietoa ja Künnethin kaavaa jakoalgebran määräävän bilineaarisen binäärioperaation indusoimaan kohomologiakuvaukseen, saadaan vastaus johdannossa esitettyyn kysymykseen.

This thesis starts from the Matsuda and Abrams paper 'Timid Consumers: Self-Extinction Due to Adaptive Change in Foraging and Anti-predator Effort.' Matsuda and Abrams show an example of evolutionary suicide due to the evolution of prey timidity in a predator-prey model with a Holling type II functional response. The key assumption they use to obtain evolutionary suicide is that the predator population size is kept constant. In this thesis, we relax this assumption by introducing a second type of prey to the model and investigate whether evolutionary suicide may still occur according to the evolution of timidity in the first prey species. To study this in the long-term, we use the theory of adaptive dynamics. Firstly, we analyse the limit case where the predator dynamics depend only upon the second prey species. Predators still hunt the evolving prey either as a snack or for entertainment without gaining any energy. Under this hypothesis, our model reproduces Matsuda and Abrams' results both qualitatively and quantitatively. Moreover, the introduction of the second type of prey allows for the appearance of limit cycles as dynamical attractors. We detect a fold bifurcation in the stability of the limit cycles when the first type of prey timidity increases. Thus, we are able to construct an example of evolutionary suicide on a fold bifurcation of limit cycles. Furthermore, we perform critical function analysis on the birth rate of the evolving prey as a function of prey timidity. We derive general conditions for the birth rate function that assure the occurrence of evolutionary suicide. Secondly, we analyse the full model without making any simplifying assumptions. Because of the analytical complexity of the system we use numerical bifurcation analysis to study bifurcations of the internal equilibria. More specifically, we utilize the package MatCont to carry out equilibria continuation. In this way, we are able to estimate the range of parameters where the results of Matsuda and Abrams' model hold. Starting from the parameter set that reproduce Matsuda and Abrams' results quantitatively we track the fold bifurcation and show that evolutionary suicide occurs for a considerably wide range of parameters. Moreover, we find that in the full model evolutionary suicide may also occur through a subcritical Hopf bifurcation.

In this thesis we formulate and analyze a structured population model, with infectious disease dynamics, based on a similar life-cycle as with individuals of the Hamilton-May model. Each individual is characterized by a strategy vector (state dependent dispersal), and depending on the infectious status of the individual, it will use a strategy accordingly. We begin by assuming that every individual in the population has the same strategy, and as the population equilibriates we consider a mutant, with it's own strategy, entering the population, trying to invade. We apply the theory of Adaptive dynamics to model the invasion fitness of the mutant, and to analyze the evolution of dispersal. We show that evolutionary branching is possible, and when such an event happens, the evolutionary trajectories, described by the Canonical equation of Adaptive dynamics, of two strategies evolve into the extinction of one branch. The surviving branch then evolves to the extinction of the disease.

Mobiililiittymien käyttö on muuttunut viimeisen puolen vuosikymmenen aikana huomattavasti mobiilidatan käytön kasvaessa merkittävästi ja ala on edelleen jatkuvassa murroksessa. Tällaisessa muuttuvan markkinan tilanteessa on tärkeää niin markkinaviranomaisille kuin alan yrityksillekin ymmärtää kuluttajien mielipiteitä ja toimintaa. Tässä tutkielmassa selvitetään kuluttajatyytymättömyyteen sekä operaattorin vaihtoon vaikuttavia tekijöitä mobiiliviestintäalalla Pohjoismaissa. Tekijöiden selvittämiseen käytetään logistista regressiomallia suurimman uskottavuuden estimoinnilla ja tulokset varmennetaan Exact logistisella regressiomallilla aineiston vinoumasta johtuen. Tutkielman aineistona käytetään Euroopan Komission keräämää eri toimialoihin liittyvää kyselyaineistoa. Taustateorian osalta tutkielmassa syvennytään kuluttajatyytymättömyyden käsitteeseen sekä tyytymättömän kuluttajan toimintamahdollisuuksiin. Kuluttajatyytymättömyyttä havaittiin kasvattavan mobiililiittymän kanssa koetut ongelmatilanteet sekä vastaajan matala luottamus alan toimijoihin ja vähentävän vastaajan suomalaisuus sekä erittäin hyvä taloudellinen tilanne. Operaattorin vaihdon todennäköisyyttä havaittiin kasvattavan mobiililiittymän kanssa koettujen ongelmatilanteiden aiheuttama aineellinen tai henkinen suuri haitta sekä Tanska vastaajan kotimaana. Vaihdon todennäköisyyttä laski Ruotsi vastaajan kotimaana ja internetin harva käyttö. Tulokset olivat yhdensuuntaisia molemmilla estimointimenetelmillä kummassakin mallinnuskohteessa.

We study growth estimates for the Riemann zeta function on the critical strip and their implications to the distribution of prime numbers. In particular, we use the growth estimates to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which gives an upper bound for the difference between consecutive prime numbers. We also investigate the distribution of prime pairs, in connection which we offer original ideas. The Riemann zeta function is defined as ζ(s) := \sum_{n =1}^{∞} n^{-s} in the half-plane Re s > 1. We extend it to a meromorphic function on the whole plane with a simple pole at s=1, and show that it satisfies the functional equation. We discuss two methods, van der Corput's and Vinogradov's, to give upper bounds for the growth of the zeta function on the critical strip 0 ≤ Re s ≤ 1. Both of these are based on the observation that ζ(s) is well approximated on the critical strip by a finite exponential sum \sum_{n =1}^{T} n^{-s} = \sum_{n =1}^{T} exp\{ -s log n \}. Van der Corput's method uses the Poisson summation formula to transform this sum into a sum of integrals, which can be easily estimated. This yields the estimate ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{\frac{1}{6}} log t), as t → ∞. Vinogradov's method transforms the problem of estimating an exponential sum into a combinatorial problem. It is needed to give a strong bound for the growth of the zeta function near the vertical line Re s = 1. We use complex analysis to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which states that if ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{c}) for some constant c > 0, then for any θ > \frac{1+4c}{2+4c}, and for any function x^{θ} << h(x) << x, we have ψ (x+h) - ψ (x) ∼ h, as x → ∞. The proof of this relies heavily on the growth estimate obtained by the Vinogradov's method. Here ψ(x) := \sum_{n ≤ x} Λ (n) = \sum_{p^k ≤ x} log p is the summatory function of the von Mangoldt's function. From this we obtain by using van der Corput's estimate that the difference between consecutive primes satisfies p_{n+1} - p_{n} < p_{n}^{\frac{5}{8} + \epsilon} for all large enough n, and for any \epsilon > 0. Finally, we study prime pairs, and the Hardy-Littlewood Conjecture on their distribution. More precisely, let π _{2k}(x) stand for the number of prime numbers p ≤ x such that p+2k is also a prime. The following ideas are all original contributions of this thesis: We show that the average of π _{2k}(x) over 2k ≤ x^{θ} is exactly what is expected by the Hardy-Littlewood Conjecture. Here we can choose θ > \frac{1+4c}{2+4c} as above. We also give a lower bound of π _{2k}(x) for the averages over much smaller intervals 2k ≤ E log x, and give interpretations of our results using the concept of equidistribution. In addition, we study prime pairs by using the discrete Fourier transform. We express the function π _{2k}(n) as an exponential sum, and extract from this sum the term predicted by the Hardy-Littlewood Conjecture. This is interpreted as a discrete analog of the method of major and minor arcs, which is often used to tackle problems of additive number theory.

Feuerbachin lause liittyy euklidisen tasogeometrian keinoin todistettavaan tulokseen kolmion yhdeksän pisteen ympyrästä. Feuerbachin lause osoittaa kolmion yhdeksän pisteen ympyrän olevan tangenttina kolmion sisäympyrälle ja sen kolmelle sivuympyrälle. Sisäympyröiden sivuamistapauksen todistaminen vaatii lisäksi inversiivigeometrian keinoja. Ensimmäisen luvun johdannon jälkeen toisessa luvussa esitetään Eukleideen Alkeissa esitettyjä postulaatteja, määritelmiä ja lauseita todistuksineen, joita tarvitaan yhdeksän pisteen ympyrän ja Feuerbachin lauseen todistamiseen. Näitä seuraa Eulerin suoran todistus sekä yhdeksän pisteen ympyrään liittyvät todistukset. Kolmannessa luvussa esitellään inversiivigeometriaa ja erityisesti määritellään inversiokuvaus, niiltä osin kuin Feuerbachin lauseen todistamisen kannalta on tarpeen. Neljännessä luvussa esitetään Feuerbachin lause todistuksineen.

Työ aloitetaan tutustumalla Fibonaccin lukuihin. Fibonaccin luvut ovat lukujono, jossa seuraava luku saadaan aina kahden edellisen luvun summana. Fibonaccin luvuille on olemassa myös eksplisiittinen esitys, niin sanottu Binet'n kaava, joka esitellään ja osoitetaan työssä. Binet'n kaavan esittelyn jälkeen sitä helpotetaan vielä tuomalla mukaan kultaiseksi leikkaukseksi nimetty luku. Kultainen leikkaus on aina läsnä, kun puhutaan Fibonaccin luvuista, sillä kahden peräkkäisen Fibonaccin luvun suhde lähestyy kultaista leikkausta, kun Fibonaccin lukujonoa mennään pidemmälle. Fibonaccin lukuihin tutustumisen jälkeen tutustutaan lukujärjestelmiin. Tämä aloitetaan tutustumalla tuttuihin ja yleisesti käytössä oleviin lukujärjestelmiin, kymmenenkantaiseen kymmenjärjestelmä ja kaksikantaiseen binäärijärjestelmä. Lukujärjestelmä on järjestelmä, jonka avulla mikä tahansa positiivinen kokonaisluku voidaan ilmoittaa. Tässä luvussa tuodaan esiin myös määritelmänä täydellinen lukujärjestelmä, jossa jokaisen positiivisen kokonaisluvun esittämisen lisäksi vaaditaan, että esityksiä kullekin luvulle on vain yksi. Luvun lopussa luodaan vielä epätäydellinen lukujärjestelmä, Fibonaccin lukujärjestelmä, jonka kantalukuina toimii Fibonaccin lukujono. Luvussa neljä esitetään ja osoitetaan Zeckendorfin lause ja sen perusteella mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle saatava Zeckendorfin esitys. Zeckendorfin lause kertoo, että mikä tahansa positiivinen kokonaisluku on yksikäsitteisesti esitettävissä summana ei-peräkkäisiä Fibonaccin lukuja. Zeckendorfin lauseen seurauksena luodaan toinen Fibonaccin lukujonoon perustuva lukujärjestelmä, Zeckendorfin lukujärjestelmä, joka on täydellinen. Lukujärjestelmässä vaaditaan esitys vain positiivisille kokonaisluvuille. Tutkielman lopuksi vastataan kysymykseen, entäs sitten negatiiviset kokonaisluvut? Vastauksena kysymykseen aluksi luodaan uusi lukujono nimeltään negafibonacciluvut, joiden avulla saadaan käyttöön myös negatiivisia kokonaislukuja. Lukujonon esittelyn jälkeen luodaan algoritmi, jonka avulla jokaiselle nollasta poikkeavalle kokonaisluvulle löytyy sitä vastaava yksikäsitteinen summa ei-peräkkäisiä negafibonaccilukuja. Tämän avulla saadaan muodostettua yksikäsitteinen esitys mille tahansa nollasta poikkeavalle kokonaisluvulle.

We study quasiminimal classes, i.e. abstract elementary classes (AECs) that arise from a quasiminimal pregeometry structure. For these classes, we develop an independence notion, and in particular, a theory of independence in M^{eq}. We then generalize Hrushovski's Group Configuration Theorem to our setting. In an attempt to generalize Zariski geometries to the context of quasiminimal classes, we give the axiomatization for Zariski-like structures, and as an application of our group configuration theorem, show that groups can be found in them assuming that the pregeometry obtained from the bounded closure operator is non-trivial. Finally, we study the cover of the multiplicative group of an algebraically closed field and show that it provides an example of a Zariski-like structure.

Mendesin et. al. esittää julkaisussa No-arbitrage, leverage and completeness in a fractional volatility model (2015) markkinamallin, jossa osakkeen hinnan volatiliteettiprosessi on rakennettu fraktionaalisesta Brownin liikkeestä. Mendes et. al. todistaa tällaisen markkinamallin olevan arbiraasivapaa. Markkinamallin täydellisyys puolestaan riippuu siitä, onko log-hinnan ja volatiliteettiprosessin satunnaisuus luotu samasta vai kahdesta riippumattomasta prosessista. Tässä työssä käydään läpi nuo todistukset, ja niiden vaatima matematiikka: stokastinen integraali, Itôn kaava ja rahoitusteorian kaksi ensimmäistä päälausetta. Käsittelemme lisäksi Girsanovin lauseen sekä lukuisia ehtoja, joiden pätiessä lokaalista martingaalista muodostettu stokastinen eksponentiaali on martingaali.

Tutkielmassa esitellään fregeläisen logiikan yleistys ja todistetaan yhdenmukaisia malleja koskevia tuloksia. Kun fregeläisessä logiikassa lauseiden referenssien joukossa on tasan kaksi alkiota - tosi ja epätosi - fregeläisen logiikan yleistyksessä kyseisen joukon mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa. Referenssejä kutsutaan tilanteiksi, ja lisäksi oletetaan, että tilanteita on vähintään kaksi. Tuloksena on logiikka, joka on loogisesti kaksiarvoinen mutta ontologisesti ei. Yhdenmukainen malli tekee syntaktisesta ja semanttisesta seurauskuvauksesta samat. Aluksi osoitetaan, että eräällä syntaktisella seurauskuvauksella on yhdenmukainen malli. Tämän jälkeen todistetaan, että kyseinen malli on ylinumeroituva. Viimeiseksi näytetään, että sellaisia syntaktisia seurauskuvauksia, joilla on yhdenmukainen malli, on ylinumeroituvasti.