Browsing by Title

Tässä työssä tutkitaan fysiikan opettajaopiskelijoiden käsityksiä elektronin ja fotonin ontologioista. Erityisesti tutkitaan näissä käsityksissä tapahtuvia muutoksia kvanttifysiikan perusteita opettavan kurssin aikana. Tutkimuksessa on analysoitu 38 Helsingin yliopiston fysiikan opettajaopiskelijan vastauksia fenomenografiseen Kvanttifysiikan käsitetestiin, jolla tutkitaan käsityksiä kvanttiolioiden dualistisesta luonteesta sekä erityisesti pienen intensiteetin kaksoisrakokokeesssa havaittavien ilmiöiden kuten lokalisoitumisen ja interferenssin merkityksistä. Vastaukset on kerätty kahdelta sisällöiltään oleellisesti yhteneväiseltä opettajaopiskelijoille suunnatulta kurssilta peräkkäisiltä lukukausilta, ja käsitetestiin on vastattu kurssin alussa ja kurssiopetuksen päätyttyä. Vastausten analysoinnissa on sovellettu pääasiassa yhden muuttujan tilastollisia testejä kuten Marginaalisen homogeenisuuden testiä, McNemarin ja Wilcoxonin testejä, Spearmanin ja Kendallin korrelaatiokertoimia sekä Kruskal-Wallis- ja Mann-Whitney -testejä asianmukaisine merkitsevyyskorjauksineen mutta lisäksi monimuuttujaista varianssianalyysiä ryhmien mahdollisten erojen löytämiseksi. Kurssin aikana opiskelijat ovat oppineet mieltämään fotonien paikallistumisen valokuvauslevylle viittaavan fotonien hiukkasmaiseen luonteeseen. Lisäksi kvanttimekaniikan todennäköisyystulkintaa mukailevat käsitykset ovat vahvistuneet samoin kuin elektronien ja varsinkin fotonien ei-jatkuvaan olemassaoloon liittyvät käsitykset. Klassisenkaltaiseen hiukkaskuvaan viittaavissa kysymyksissä havaittiin tuon käsitysmallin kannatuksen vähenevän erityisesti toisella tutkituista kursseista.

Argumentoinnista luonnontieteen opetuksen kontekstissa on julkaistu paljon tutkimuksia viimeisen parinkymmenen vuoden aikana. Argumentointitaitojen nähdään luonnontieteen opetuksessa lisäävän oppilaiden ymmärrystä luonnontieteen käytännöistä sekä auttavan mallien, teorioiden ja selitysten rakentamisessa. Myös oppilaiden tieteellisen kielen käytön, kriittisen ajattelun ja päättelykyvyn on koettu parantuvan.Tutkimukset ovat kuitenkin keskittyneet lähes kokonaan oppilaiden argumentointiin. Opettajan roolin on nähty olevan lähinnä oppilaiden kannustaminen omien argumenttien tekemiseen ja argumentoinnin opettaminen sopivia pedagogisia strategioita käyttäen. Opettaja toimii kuitenkin jatkuvasti esimerkkinä asiantuntijan argumentoinnista omalla argumentoinnillaan. Siksi on tärkeää kiinnittää huomiota myös opettajien argumentointiin. Tässä tutkimuksessa on analysoitu kahden fysiikan opettajan lukion oppitunneilla käyttämiä argumentteja. Aineistona on käytetty videoituja sähköstatiikan oppitunteja. Argumentit on ensin luokiteltu rakenteellisesti Toulminin argumentaatioteorian avulla, jonka jälkeen on tarkasteltu niiden fysikaalista pätevyyttä Nousiaisen neliportaista mallia käyttäen, sekä argumenteissa käytettyjä moodeja. Vaikka oppitunnit olivat luentomallisia, niissä esiintyi useita eri moodeja. Esimerkiksi matemaattisia moodeja esiintyi tasaisesti kaikissa argumentin osissa, ja jopa niin, että usein koko argumentti oli täysin matemaattinen. Opettajien argumenteista melkein neljäsosa (9/38) jäi kokonaan ilman perustelua, ja perustelun sisältäneistä argumenteistakaan kaikki eivät olleet fysikaalisesti päteviä. Esimerkiksi toisen opettajan argumenteista vain alle puolet (8/21) täyttivät fysikaaliselle pätevyydelle asetetut ehdot. Analysointivaiheessa tuli selväksi, että argumentteja pitää käsitellä multimodaalisina, jotta ei menetettäisi oleellista tietoa opettajien argumentoinnista. Tuloksista nähdään myös, että rakenteellisesti hyvä argumentti saattaa olla sisällöllisesti riittämätön. Tästä syystä argumenttien rakenteen lisäksi tulisi aina tarkastella erikseen myös argumenttien sisältöä. Vaikka molemmat opettajat olivat kokeneita fysiikan opettajia, oli argumentoinnissa paljon parannettavaa. Tutkielman pohdintaosiossa esitetään muutama ehdotus fysiikan opettajien argumentointitaitojen parantamiseksi.

Tässä pro gradu- tutkielmassa selvitetään, löytyykö fysiikan ylioppilaskokeeseen osallistuneiden kokelaiden tuloksissa eroja, kun kokelaat on luokiteltu opinnoissa käytetyn oppikirjasarjan perusteella. Tutkimusaineistona on käytetty fysiikan ylioppilaskokeiden tuloksia aikavälillä kevät 2008 — kevät 2013, ja samalta ajalta palautettuja ylioppilakokeen tarkastuslomakkeen liitesivuja. Tarkastuslomakkeen liitesivuissa kokeen esitarkastajan tulee ilmoittaa opinnoissa käytetyt oppikirjat. Oppikirjatieto ja ylioppilaskokeen tulokset on yhdistetty lukion numeron perusteella. Kokelaat on luokiteltu sen perusteella, mikä oppikirja heillä on ollut käytössä opinnoissaan. Mahdollisessa kertauskurssissa käytettyä kirjaa ei ole huomioitu. Jos kokelaan lukiossa fysiikan kursseissa on käytetty eri kirjasarjoihin kuuluvia kirjoja, on kokelas luokiteltu kuuluvaksi ryhmään Useita kirjasarjoja käyttäneet. Poikkeus tähän on tehty kevään 2013 osalta, jolloin usealla koululla oli käytössä Empiria kirjasarja, joka ei ollut ehtinyt täysin valmistua. Analyysi on tehty niiltä osin, kun kirjasarja on ollut valmis. Tutkimusaineistosta on rajattu pois kokelaat, joiden kokeen esitarkastaja ei ollut ilmoittanut opinnoissa käytetyksi oppikirjaa. Hyväksymiskriteerinä on ollut myös kokelaslajiin 1 kuuluminen, eli kokelaisiin, jotka ovat suorittamassa fysiikan ylioppilaskoetta ensimmäistä kertaa ja ovat tekemässä tutkintoa lukio-opintojensa perusteella. Käytetyn oppikirjan mukaisten ryhmien välisiä tuloksia on analysoitu tekemällä yksisuuntainen varianssianalyysi. Varianssianalyysin selitettävänä muuttujana on käytetty tehtäväkohtaisia tuloksia sekä saatuja kokonaispisteitä, ja selittävänä muuttujana oppikirjaluokittelusta saatua ryhmää. Ylioppilaskokeen tehtävät on luokiteltu sen mukaan, minkä kurssin aihealueeseen ne lukion opetussuunnitelman perusteiden kurssikuvauksen perusteella kuuluvat. Varianssianalyysissä havaitut erot on laskettu kumulatiivisesti yhteen sen mukaan, mitä aihealuetta analysoitu tehtävä on käsitellyt. Tällä tavalla lasketulla erojen summalla on kuvattu erojen toistuvuutta. Tämän erojen määrän kumulatiivisen summan perusteella eri kirjoja käyttäneiden ryhmien välillä on pieniä eroja aihealueittain. Merkittävin ero tuloksissa oli kevään 2013 tutkinnossa Empiria-kirjasarjaa käyttäneiden ja muiden kokelaiden välillä. Kyseisten lukioiden tulosten vertailu koko tarkastelujaksolla paljasti kuitenkin sen, että vastaava ero oli saavutettu kaksi kertaa aikaisemminkin keväinä 2008 ja 2010. Kirja ei siis tässä tapauksessa voi olla selittävä tekijä. Tämä herättää kysymyksen, voiko kirja ylipäätään selittää ylioppilaskokeen menestystä? Mikä siis voisi selittää sen miksi tietyssä aihealueessa menestyvät lukiot päätyvät käyttämään eri kirjoja, kuin toisessa aihealueessa menestyvät?

Luonnontieteellisillä aloilla on kansainvälisesti työvoimapulaa pätevistä työntekijöistä, ja on myös ennustettu, että tämä puute on kasvamassa tulevaisuudessa. Myös kiinnostus luonnontieteiden opiskeluun on laskussa, samoin luonnontieteellisten aineiden opintotulokset. Jotta luonnontieteellisillä aloilla olisi jatkossa tarpeeksi osaajia, tulisi luonnontieteellisten alojen opiskelijoiden määrää lisätä, ja tätä kautta lisätä luonnontieteellisiltä aloilta valmistuneiden määrää. Jotta fysiikan opiskelijoiden määrää voidaan lisätä, tulisi fysiikan aineenvalinnan relevanssitekijöitä kartoittaa, jotta niitä voidaan hyödyntää opetuksessa. Fysiikan aineenvalinnan relevanssitekijöitä luokiteltiin tässä tutkielmassa Stuckeyn ja kumppanien luoman relevanssimallin avulla. Tätä relevanssimallia on hyödynnetty aiemminkin opetuksen relevanssitutkimuksessa, sekä opetuskokonaisuuksien kehityksessä. Tämän relevanssimallin mukaan relevanssin määritelmä on monimuotoinen, ja sitä voidaan tarkastella useasta eri näkökulmasta, henkilökohtaisesta, yhteiskunnallisesta, sekä ammatillisesta. Tähän relevanssimalliin lisättiin tässä tutkielmassa vielä episteeminen näkökulma. Tutkielmaa varten kerättiin aineistoa Helsingin yliopiston fysiikan opiskelijoiden, sekä fysiikan aineenopettaja opiskelijoiden keskuudesta syksyllä 2022 (N = 40). Tutkimusmenetelmänä oli kyselylomaketutkimus, ja korrelaation analyysimenetelmänä T-testi. kyselylomake oli laadittu Likert-asteikko muotoon. Tutkielman päätutkimuskysymyksinä olivat: mitkä relevanssitekijät vaikuttivat eniten opiskelijoiden aineenvalintaan, sekä millaista korrelaatiota eri relevanssin ulottuvuuksien välillä on havaittavissa. Tulokset osoittivat, että fysiikan aineen valinneet opiskelijat arvostivat sitä, että fysiikka on heille henkilökohtaisesti kiinnostavaa, sekä tulevan ammatin mielekkyyttä. Aineenvalintaan vaikuttaneita tekijöitä ilmeni kaikkien relevanssin ulottuvuuksien välillä, mutta erityisesti henkilökohtainen ja episteeminen ulottuvuus korostuivat tuloksissa.

Tiivistelmä – Referat – Abstract Ilmastonmuutos on monimutkainen ja monitieteinen ilmiö, johon liittyy lukematon määrä osittain huonosti tunnettuja vuorovaikutuksia ja takaisinkytkentöjä. Ilmiön ymmärtäminen vaatii huomattavan käsiteviidakon hallitsemista ainakin jollakin tasolla. Koulun merkitys oppijoiden maailmankuvan muokkaajana on keskeinen, mutta suomalaisia tutkimustuloksia koulutien aikana muodostuneista käsityksistä ilmastonmuutoksesta on vähän. Konstruktiivisen oppimiskäsityksen mukaan yksilöt kehittävät ymmärrystään aktiivisesti, olemassa olevien ajatusmalliensa pohjalle. Ihmisellä voi olla tietystä aiheesta samaan aikaan myös useita vaihtoehtoisia käsityksiä. ”Virheellisten” käsitysten erottaminen ”oikeista” ei siis ole yksiselitteistä. Opetuksen tuloksena voi joskus olla kahden perspektiivin tilanne, jossa uusi aines otetaan aikaisempien ideoiden rinnalle. Lähihistoriassa sekä luonnontieteiden tutkimus että opetus ovat olleet näkökulmaltaan reduktionistisia: ajatellaan, että monimutkaiset systeemit voidaan ymmärtää analysoimalla niiden yksinkertaisempia komponentteja. Tästä näkökulmasta maailman voi selittää lineaaristen syy-seuraussuhteiden avulla niin, että luonnosta tulee deterministinen ja ennustettava. Reduktionistinen ajattelu on johtanut huomattavaan tiedon lisääntymiseen, mutta globaalien, monimutkaisten ja kokonaisvaltaisten ongelmien, kuten ilmastonmuutoksen, tarkasteluun lähestymistapa ei riitä. Sen rinnalle tarvittaisiin systeemiajattelua, ajattelutapaa, jossa pyritään selittämään, ymmärtämään ja tulkitseman monimutkaisia ja dynaamisia systeemejä. Maapallon ilmasto muuttuu ja on muuttunut aina. Teollisen aikakauden alettua muutos on kuitenkin ollut ennennäkemättömän nopeaa. On epätodennäköistä, että mitkään ilmastoon vaikuttavista luonnollisista sykleistä selittäisivät havaittua trendiä. Fossiilisten polttoaineiden käytön lisääntyminen on kasvattanut ilmakehän kasvihuonekaasupitoisuutta. Tästä on seurannut ilmakehän ja sen seurauksena myös merien ja maa-alueiden lämpenemistä. Ilmastonmuutosta on käsitelty luonnontieteiden oppitunneilla jo vuosia. Suomalaisten lukion opetussuunnitelman perusteiden yleisissä tavoitteissa mainitaan tietoisuuden kehittäminen ihmisten toiminnan vaikutuksesta maailman tilaan, halu ja kyky toimia demokraattisessa yhteiskunnassa vastuullisesti sekä yhteisenä aihekokonaisuutena kestävä kehitys. Ilmastonmuutos mainitaan erikseen kuitenkin vain oppiainekohtaisissa opetussuunnitelman perusteissa, maantiedon kohdalla. Oppijoiden käsityksiä ilmastonmuutoksesta on tutkittu paljon eri puolilla maailmaa. Ajasta, paikasta ja kouluasteesta riippumatta esiin nousevat samat virhekäsitykset. Näistä yleisin on ns. otsoniaukkoteoria, johon liittyy usein ajatus siitä, että CO2 (tai yleisemmin kasvihuonekaasut) tuhoavat otsonikerrosta. Lisäksi CO2 rinnastui usein ilmansaasteisiin. Toinen virhekäsitysten kokonaisuus liittyy lyhyt- ja pitkäaaltoiseen säteilyyn, joiden erot eivät vaikuta olevan opiskelijoiden ajatusmalleissa minkäänlaisessa roolissa. Myös kasvihuonekaasujen jakaumasta ilmakehässä on usein havaittu vääriä käsityksiä; tyypillisesti niiden ajatellaan muodostavan kerroksen, joka vangitsee ja/tai heijastaa lämpöä. Keväällä 2017 fysiikan ylioppilaskokeessa oli ilmastonmuutokseen liittyvä jokeritehtävä, jonka c-kohdassa piti pohtia syitä siihen, että ilmakehän kohonnut CO2-pitoisuus muuttaa ilmastoa. Tämän työn tutkimusongelmana oli selvittää, millaisia käsityksiä kokelailla oli CO2:n roolista ilmastonmuutoksessa. Tutkimukseen poimittiin 19 lukion abiturienttien kaikki vastaukset. Tutkimusmenetelmänä käytettiin temaattista analyysiä. Tutkimuksessa havaittiin, että fysiikan ylioppilaskokelaiden ymmärrys ilmastonmuutoksen fysikaalisista perusteista on vaihtelevan tasoista. Virheellisistä käsityksistä yleisimpiä olivat muissakin tutkimuksissa havaitut ajatukset, että CO2 heijastaa sähkömagneettista säteilyä, muodostaa ilmakehään kerroksen tai rajapinnan ja tuhoaa otsonikerrosta. Saadut tulokset sopivat yhteen myös oppikirjojen puutteita käsittelevien tulosten ja toisaalta suomalaisten oppikirjojen esitystavan kanssa. Ilmastonmuutos ja saastuminen on tyypillisesti opiskeltu samassa yhteydessä, jolloin niihin liittyvät käsitteet ja mekanismit sekoittuvat helposti. Oppimateriaalin tapa kuvittaa kasvihuoneilmiötä näkyy selkeästi opiskelijoiden vastauksissa ja niihin liitetyissä piirroksissa. Luonnontieteiden opetuksen traditiot eivät myöskään todennäköisesti tue systemaattisen ajattelun kehitystä.

Många elever i grundskolan anser att fysiken är ganska ointressant. Problemet ofta är att de inte förstår att fysiken faktiskt har med deras egen vardag att göra. Det kan vara svårt för en elev att uppfatta och förstå vad som händer på en atomnivå. Genom att använda sig av vardagliga exempel och ta ner fysiken till en vardaglig nivå väcker man intresse hos eleverna. I bästa fall förstå eleverna fysikaliska fenomen bättre då man tar exempel ur vardagen. Eleverna kan bättre förstå ämnet. Den nya läroplanen har försökt att poängtera att det är viktigt att ta upp vardagliga fenomen i fysikundervisningen, så vi är påväg mot rätt håll. Denna avhandling förklarar fysiken bakom vardagliga fenomen. Fenomenen är tagna från många olika vardagliga sammanhang, som till exempel nyheter och idrott. Elever har olika intressen och därför är det viktigt att ta fenomen från olika sammanhang, så att alla elever kan känna att detta berör just mig och min vardag. Detta material visar också hur man kan utgå från ett fenomen och sedan gå till fysiken, istället för att först fundera på formler och sedan tillämpningar. Många elever har tappat intresset då man talar om formler och är inte lika uppmärksamma sedan när man talar om olika fenomen (om man gör det).

Työn päätavoitteena on osoittaa viidennen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavan mahdottomuus. Ratkaisukaava on mahdollista muodostaa vain polynomeille, jotka ovat juurtamalla ratkeavia. Juurtamalla ratkeavan polynomin kukin juuri voidaan ilmaista kerroinkunnan alkioiden muodostamana päättyvänä lausekkeena, joka käyttää vain kunnan laskutoimituksia ja juurenottoa. Työn lähtökohdaksi otetaan kuntien laajennukset ja ennen kaikkea polynomin kerroinkunnan laajennukset polynomin juurilla. Kun kerroinkuntaa laajennetaan juuri kerrallaan, syntyy useiden sisäkkäisten kuntalaajennusten torni, jonka huipulla on polynomin kaikki juuret sisältävä polynomin juurikunta. Galois'n teorian keskeisimpiä työvälineitä ovat automorfismit eli kunnan isomorfismit itselleen. Sellaiset laajennuskunnan automorfismit, jotka kiinnittävät laajennuksen lähtökunnan, muodostavat laajennuksen Galois'n ryhmän. Myös polynomille on mahdollista määritellä Galois'n ryhmä: polynomin Galois'n ryhmä on sen juurikunnan Galois'n ryhmä polynomin kerroinkunnan suhteen. Osoittautuu, että kukin Galois'n ryhmän alkio on samaistettavissa jonkin polynomin juurten permutaation kanssa, joten Galois'n ryhmä on siis aina symmetrisen ryhmän aliryhmä. Työn loppupuolella keskiöön nousevat juurilaajennukset eli kunnan laajennukset kunnan alkioiden juurroksilla. Kun sopivaan juurilaajennukseen sovelletaan kuudennessa luvussa todistettavaa Galois'n teorian peruslausetta, osoittautuu, että juurtamalla ratkeavan polynomin Galois'n ryhmästä löytyy aina tietty sisäinen rakenne, jota kutsutaan ratkeavuudeksi. Viimeisessä luvussa osoitetaan, että polynomin Galois'n ryhmän ratkeavuus on välttämätön ja riittävä ehto polynomin juurtamalla ratkeavuudelle. Viiden ja sitä useamman alkion symmetrinen ryhmä ei kuitenkaan ole ratkeava, mutta on olemassa polynomeja, joiden Galois'n ryhmä se on. Näin ollen polynomeille, joiden aste on viisi tai sitä korkeampi, ei ole mahdollista muodostaa yleistä ratkaisukaavaa. Työn päättää esimerkki viidennen asteen polynomista, joka ei ole juurtamalla ratkeava.

Tutkielmassa esitellään Eulerin gammafunktio ja siihen liittyviä keskeisiä tuloksia. Gammafunktio on kertomafunktion yleistys reaaliluvuille lukuun ottamatta ei-positiivisia kokonaislukuja. Tutkielma liittyy matemaattisen analyysin alaan, joka käsittelee reaaliarvoisia funktioita. Tutkielmassa käytetään lauseita, jotka on todistettu matematiikan perusopinnoissa, joten ne oletetaan tunnetuiksi. Kertomafunktion yleistäminen oli 1600-luvulla merkittävä interpolaatio-ongelma, jota pohtivat monet suuret matemaatikot. Vuonna 1729 Euler ratkaisi ongelman esittämällä gammafunktion äärettömänä tulona ja seuraavana vuonna esitti sen integraalimuodon. Tämä integraalimuoto esitellään nykyisin yleensä ensimmäisenä, kun puhutaan gammafunktiosta. Tutkielman alussa perustellaan, miksi gammafunktio on sellainen kuin se on. Gammafunktion eri esitysmuotoja esitellään kronologisessa järjestyksessä tukeutuen oivaltaviin näkökulmiin, minkä jälkeen gammafunktio määritellään tarkasti. Gammafunktioon liittyvät keskeiset lauseet todistetaan. Tärkeimpänä lauseena Bohrin-Mollerupin lause, jonka mukaan kaikista kertomafunktion yleistyksistä vain gammafunktio on logaritmisesti konveksi. Viidennessä luvussa todistetaan gammafunktiolle Weierstrassin tuloesitys, johon liittyy oleellisesti myös Eulerin-Mascheronin vakio. Weierstrassin tuloesitystä käytetään tutkielmassa muissa todistuksissa. Tämän jälkeen esitellään joitakin esimerkkejä ja sovelluksia. Gammafunktiota sovelletaan erittäin laajasti monilla aloilla. Se on keskeinen työkalu toki analyysissä, mutta myös tilastotieteessä, todennäköisyyslaskennassa ja lukuteoriassa. Tutkielmassa esitellään vain osa näistä sovelluksista. Gammafunktion avulla saadaan laskettua myös n-ulotteisen pallon tilavuus. Tutkielman lopuksi esitellään kompleksiarvoinen gammafunktio. Luvussa esitellään myös gammafunktion yhteys Riemannin zetafunktioon. Tämä analyyttisen lukuteorian sovellus on gammafunktion yksi tärkeimmistä sovelluksista.

Ultrasonic guided lamb waves can be used to monitor structural conditions of pipes and other equipment in industry. An example is to detect accumulated precipitation on the surface of pipes in a non-destructive and non-invasive way. The propagation of Lamb waves in a pipe is influenced by the fouling on its surface, which makes the fouling detection possible. In addition, multiple helical propagation paths around pipe structure provides rich information that allows the spatial localization of the fouled area. Gaussian Processes (GP) are widely used tools for estimating unknown functions. In this thesis, we propose machine learning models for fouling detection and spatial localization of potential fouled pipes based on GPs. The research aims to develop a systematic machine learning approach for ultrasonic detection, interpret fouling observations from wave signals, as well as reconstruct fouling distribution maps from the observations. The lamb wave signals are generated in physics experiments. We developed a Gaussian Process Regression model as a detector, to determine whether each propagation path is going across the fouling or not, based on comparison with clean pipe. This binary classification can be regarded as one case of the different fouling observations. Latent variable Gaussian Process models are deployed to model the observations over the unknown fouling map. Then Hamiltonian Monte Carlo sampling is utilized to perform full Bayesian inference for the GP hyper-parameters. Thus, the fouling map can be reconstructed based on the estimated parameters. We investigate different latent variable GP models for different fouling observation cases. In this thesis, we present the first unsupervised machine learning methods for fouling detection and localization on the surface of pipe based on guided lamb waves. In these thesis we evaluate the performance of our methods with a collection of synthetic data. We also study the effect of noise on the localization accuracy.

Gaussin-Bonnet'n lause on differentiaaligeometriassa keskeinen tulos, joka on nimetty Carl Friedrich Gaussin ja Pierre Ossian Bonnet'n mukaan. Lause liittää avaruuden geometrian ja topologian toisiinsa, hyödyntäen geometrisia ja topologisia invariantteja, eli sopivissa muunnoksissa muuttumattomia suureita. Ensimmäisessä luvussa esitellään sileät monistot ja ensimmäisiä perustavanlaatuisia askelia differentiaaligeometrian suuntaan. Aiheen geometrinen luonne ei pelkkien sileiden monistojen tapauksessa nouse vielä ilmiselvästi esiin, vaikka tangenttivektorit ja -avaruudet pystytäänkin jo määrittelemään. Siinä missä topologinen monisto yleistää euklidisen avaruuden ''hyvät'' topologiset ominaisuudet, saadaan sileisiin monistoihin siirryttäessä käyttöön myös keinoja käsitellä suuntia sekä tehdä differentiaalilaskentaa. Perusmääritelmien lisäksi käsitellään muita tärkeitä tuloksia, kuten differentiaalimuotoja ja pintapuolisesti monistoilla integroimisen teoriaa. Toisessa luvussa tartutaan varsinaiseen Riemannin geometriaan ja edetään sileistä monistoista Riemannin monistoihin. Vihdoin selkeämpi geometrisyys tulee esille, kun monistoille määritelty Riemannin metriikka mahdollistaa etäisyyksistä ja kaarevuudesta puhumisen. Konnektioiden avulla mahdollistetaan sileä siirtymä tangenttiavaruudesta toiseen ja päästään käsiksi suunnistetun derivaatan yleistykseen kovarianttiin derivaattaan sekä euklidisen avaruuden suoran viivan yleistyksiin geodeeseihin. Tämän koneiston avulla pystytään määrittelemään monta eri tilanteisiin sopivaa kaarevuuden käsitettä, joiden avulla avaruuden muodosta saadaan tietoa. Viimeisessä, kolmannessa, luvussa määritellään muutamia aiempiin aiheisiin kuulumattomia Gaussin-Bonnet'n lauseen kannalta tarpeellisia käsitteitä. Tilan säästämiseksi algebrallista topologiaa vaativat todistukset sivuutetaan. Lisäksi ''Umlaufsatzin'' eli kiertokulmalauseen todistus sivuutetaan. Lopuksi todistetaan Gaussin-Bonnet'n kaava ja sen avulla itse Gaussin-Bonnet'n lause. Gaussin-Bonnet'n lause on erittäin merkittävä tulos mm. siksi, että se yhdistää niin erilaiset suureet toisiinsa: lokaalista geometriasta kumpuavan Gaussin kaarevuden ja Eulerin karakteristikan, joka on globaali topologinen invariantti. Gaussin-Bonnet'n lause toimii vain 2-ulotteisten monistojen tapauksessa, mutta sille on olemassa monia korkeampiulotteisia yleistyksiä. Näiden yleistysten avulla joitain lauseen geometrisistä ja topologisista seurauksista saadaan hyödynnettyä muissakin monistoissa. Näitä edistyneempiä tuloksia ja muuta, esoteerisempaa, Riemannin geometriaa ei tässä tutkielmassa käsitellä.