Browsing by department "Department of Mathematics and Statistics"
Now showing items 1-20 of 491
-
(2015)3D-tulostamisella on potentiaalia muuttaa tavaroiden valmistamista merkittävällä tavalla. Mallintaminen parantaa kaikentasoisten oppijoiden ymmärrystä vaikeista, absrakteista asioista ja muuttaa matematiikan monimutkaisia käsitteitä helposti sisällytettäviksi esineiksi. Oppijat arvostavat itse tekemistä ja 3D-tulostaminen on yksi helpoimmista tavoista luoda monimutkaisia esineitä. 3D-tulostaminen vaatii aina tietokoneella luodun kolmiulotteisen mallin, joka voidaan luoda itse tai se voidaan ladata jonkun muun valmiiksi tekemänä. Itse mallien tekemiseen löytyy useita erilaisia ohjelmia, joista monet helppokäyttöiset ovat oppimiskäyttöön ilmaisia. Tietokoneen, jolla mallinnusta tehdään, ei tarvitse olla erityisen suuri laskenteholtaan, ja normaalit kotitietokoneet käyvät ongelmitta. Tärkein hankittava osa on itse 3D-tulostin, joita saa normaalin paperitulostimen kokoisesta aina auton kokoisiin laitteisiin. Kotikäyttöiset mahtuvat hyvin luokkahuoneisiin tai tarvikevarastoon. Tulostimien hinnat ovat viimein tulleet tarpeeksi mataliksi, jotta niiden hankkiminen koulun käyttöön on mahdollista. Työn tarkoituksena on esitellä 3D-tulostin opetusvälineenä ja löytää käyttötarkoituksia ja perusteita sen käytölle. Työn ohessa toteutettiin vapaaehtoisryhmälle 7-luokkalaisia kokeilu, jossa katsottiin miten he kykenevät omaksumaan 3D-mallinnuksen perusteet ja ymmärtävät suunnitellessaan tulevaa tulostamista. Oppilaat käyttivät opetustuokion ajan mallinnusohjelmaa ja heiltä samaan aikaan kysyttiin mielipiteitä ja ajatuksia 3D-mallinnuksen ja tulostamisen käyttämisestä opetuksessa. Oppilaat toivoivat, että oppitunneilla otettaisiin käyttöön 3D-tulostin. Vaikka kysymykset esitettiin nimenomaan matematiikan opetuksen näkökulmasta, esittivät oppilaat ideoita myös muiden kouluaineiden opetukseen. Opetuksessa tekniikkaa voidaan käyttää joko siten, että oppijat käyttävät sitä aktiivisesti jonkin matemaattisen ilmiön oppimiseksi, tai vaihtoehtoisesti opettaja voi käyttää sitä esimerkkikappaleiden tekemiseen. 3D-tulostamisen suuria hyötyjä on se, että sillä voidaan tuottaa laitteen asettamissa rajoissa hyvinkin monimutkaisen muotoisia kappaleita. Esimerkkeinä tällaisista opettajan esimerkkimalleista tutkielmasta löytyy esimerkiksi kolmion pyörähdyskappaleita ja kuution erilaisten lävistäjien havainnollistamiseksi tehty malli. Johtopäätöksenä päädyttiin siihen, että 3-ulotteinen tulostaminen sopii opetuksessa parhaiten opettajan oppimateriaalin tuottamiseen. Oppilaskäytössä laite toimisi parhaiten lähinnä vapaavalintaisissa matematiikan kursseissa. Myös matematiikan oppiminen voisi hyötyä selvästi kolmiulotteisen ajattelun parantumisen muodossa, mutta matematiikan tunneilla ei ole tarpeeksi ylimääräistä aikaa. Paras yhdistelmä voitaisiinkin saada sillä, että koulun teknisten töiden tai kuvaamataidon opettaja opettaisi omiin tunteihinsa liittyen laitteen käyttöä, jolloin matematiikan oppitunneilla kyettäisiin hyödyntämään 3D-tulostamista ilman siihen liittyvää turhan suurta ajallista panostamista.
-
(2016)Oppilaiden asenteilla ja suhtautumisella matematiikka kohtaan on vaikutus heidän matematiikan oppimistuloksiin. Asenteet syntyvät tavallisesti toistuvien tunnereaktioiden seurauksena, ja ne ovat osa oppilaan omaa matematiikkakuvaa. Affektit on laajempi tapa määritellä asenteet ja niihin liittyvät myös mm. oppilaan uskomukset, motivaatio ja minäpystyvyys. Positiivisilla kokemuksilla saadaan aikaan positiivisia tunnereaktioita ja positiivisista tunnereaktioista ajan kanssa muodostuu positiivisia asenteita. Oppimispelien avulla oppitunnilla on mahdollista luoda tilanteita, joissa oppilailla on hauskaa ja kaikki oppilaat saavat onnistumisen kokemuksia. Tutkimuksen tavoitteena on kuvata ja analysoida kahdeksasluokkalaisten suhtautumista ja asenteita matematiikkaan kohtaan sekä selvittää onko oppimispeleillä mahdollista vaikuttaa oppilaiden asenteisiin positiivisesti. Tutkielman aluksi esitellään teoriaa asenteista ja suhtautumisesta matematiikka kohtaan sekä niiden vaikutuksista matematiikan oppimiseen. Lisäksi teoriaosiossa käsitellään oppimispelien teoriaa ja niiden vaikutuksia oppilaiden asenteisiin. Tutkimusaineisto kerättiin helsinkiläisestä koulusta, jossa tutkittavina ryhminä oli kaksi kahdeksatta luokka ja yksi kahdeksasluokka toimi verrokki ryhmänä. Luokissa oli 20-25 oppilasta ja tutkimus kesti kuusi viikkoa. Tutkimuksen aikana luotiin 11 oppimispeliä tutkittaville ryhmille. Aineistoa kerättiin kyselylomakkeilla, joissa oli kaksi osaa: ensimmäisessä osassa oli väittämiä, joihin oppilaat valitsivat omaa mielipidettään vastaavan hymiö ja toisessa osassa oli avoimia kysymyksiä. Lisäksi haastateltiin luokkien opettajaa täydentämään ja tarkentamaan oppilailta saatua aineistoa. Aineiston kvantitatiivista osiota analysoitiin tilastollisilla menetelmillä ja kvalitatiivista osiota laadullisilla menetelmillä mm. sisällönanalyysillä. Tutkimuksesta saatujen tulosten mukaan tutkimukseen osallistuneissa luokissa osalle oppilaista oli muodostunut jo negatiivisia asenteita matematiikkaa kohtaan, mutta suurimman osan suhtautuminen oli vielä positiivista matematiikkaa kohtaan. Tutkimusjakson aikana ei tapahtunut suuria muutoksia oppilaiden asenteissa matematiikkaa kohtaan, mutta pienet positiiviset muutokset oppilaiden suhtautumisessa matematiikkaan antaa suunta sille, mitä oppimispelien avulla on mahdollista saada aikaan.
-
(Helsingin yliopistoHelsingfors universitetUniversity of Helsinki, 2008)
-
(2014)Työssä tarkastellaan ääriarvoteorian perusteiden pohjalta kahta tunnettua ääriarvojakaumaa ja niiden antamia häntätodennäköisyyksiä havaintoaineistolle, joka esittää osaketuottojen kuukausitappioita. Lukijalla oletetaan olevan hallussa todennäköisyysteorian -ja laskennan perustiedot. Ääriarvoteoriassa ollaan kiinnostuneita jonkin havaintoaineiston otosmaksimien käyttäytymisestä sekä niiden jakaumasta. Kiinnostuksen kohteena on siis harvoin sattuvien tapahtumien todennäköisyydet eli havaintojen häntätodennäköisyydet ja tarkoitus on analysoida tiettyyn hetkeen mennessä havaittuja tapahtumia suurempien tapahtumien todennäköisyyksiä. Tutkielman alussa käydään lävitse ääriarvoteorian muutamia olennaisia tuloksia. Käsiteltävä teoria on nimenomaan klassista ääriarvoteoriaa, jossa havaintojen oletetaan olevan riippumattomia ja samoin jakautuneita. Olennainen tulos ääriarvoteoriassa on se, että mikäli sopivilla vakioilla normeerattu otosmaksimi suppenee jakaumaltaan kohti jotain ei-degeneroitunutta jakaumaa, kun otoskoko kasvaa rajatta, niin tällöin tämän jakauman täytyy olla tyypiltään yksi kolmesta standardista ääriarvojakaumasta Fréchet, Weibull tai Gumbel. Tällöin sanotaan, että otosmaksimin jakauma kuuluu ääriarvojakauman vaikutuspiiriin maksimin suhteen. Teorian käsittelyn jälkeen esitellään ääriarvoteorian kaksi tunnetuinta ääriarvojakaumaa. Ensimmäinen niistä on standardi yleistetty ääriarvojakauma eli ns. GEV-jakauma, joka pitää sisällään nuo kolme edellä mainittua standardia ääriarvojakaumaa. Toinen esiteltävä jakauma on yleistetty Pareto-jakauma eli ns. GP-jakauma, jonka jakaumaperheen jäsenet niinikään kuuluvat GEV-jakauman antamien ääriarvojakaumien vaikutuspiiriin maksimin suhteen. Molempien jakaumien avulla pystytään vähän eri menetelmin tutkimaan ääriarvojen tapahtumista jonkin tietyn havaintoaineiston pohjalta ja ekstrapoloimaan havaintoaineiston alueelle, jota ei paljon tunneta eli ääriarvoalueelle. Teorian ja jakaumien konkretisoimiseksi tutkielmassa käydään esimerkin avulla läpi minkälaisia tuloksia ääriarvojakaumilla voidaan saavuttaa. GEV-jakauman sovitus havaintoaineistoon tapahtuu ns. blokkimaksimimenetelmällä. Siinä aineisto jaetaan vuoden blokkeihin ja kustakin blokista poimitaan suurin osaketappio. Tämän jälkeen GEV-jakauma sovitetaan ns. suurimman uskottavuuden menetelmällä havaintoihin. GP-jakauman sovitus aineistoon tapahtuu ns. ylitemenetelmällä, jossa havaintoihin otetaan mukaan tietyn korkean tason ylittävät havainnot. Tämän jälkeen myös GP-jakauma sovitetaan havaintoihin suurimman uskottavuuden menetelmällä. Tuloksista käy ilmi, että molemmat jakaumat vaikuttavat sopivan suhteellisen hyvin havaintoihin joskin GP-jakauma antaa monipuolisempia tuloksia. Lopuksi kerrataan vielä käsiteltyjä asioita sekä kurotetaan esitellyn teorian ohi kohti yleisempää teoriaa. Klassinen ääriarvoteoria ei riippumattomuus oletuksineen nimittäin sellaisenaan sovi reaalimaailman havaintoaineistoon. Asia on tutkielmassa kuitenkin pääosin sivuutettu esityksen helpottamiseksi.
-
(2014)In this thesis we study the theoretical foundations of distributed computing. Distributed computing is concerned with graphs, where each node is a computing unit and runs the same algorithm. The graph serves both as a communication network and as an input for the algorithm. Each node communicates with adjacent nodes in a synchronous manner and eventually produces its own output. All the outputs together constitute a solution to a problem related to the structure of the graph. The main resource of interest is the amount of information that nodes need to exchange. Hence the running time of an algorithm is defined as the number of communication rounds; any amount of local computation is allowed. We introduce several models of distributed computing that are weaker versions of the well-established port-numbering model. In the port-numbering model, a node of degree d has d input ports and d output ports, both numbered with 1, 2, ..., d such that the port numbers are consistent. We denote by VVc the class of all graph problems that can be solved in this model. We define the following subclasses of VVc, corresponding to the weaker models: VV: Input and output port numbers are not necessarily consistent. MV: Input ports are not numbered; nodes receive a multiset of messages. SV: Input ports are not numbered; nodes receive a set of messages. VB: Output ports are not numbered; nodes broadcast the same message to all neighbours. MB: Combination of MV and VB. SB: Combination of SV and VB. This thesis presents a complete classification of the computational power of the models. We prove that the corresponding complexity classes form the following linear order: SB ⊈ MB = VB ⊈ SV = MV = VV ⊈ VVc. To prove SV = MV, we show that any algorithm receiving a multiset of messages can be simulated by an algorithm that receives only a set of messages. The simulation causes an additive overhead of 2∆ - 2 communication rounds, where ∆ is an upper bound for the maximum degree of the graph. As a new result, we prove that the simulation is optimal: it is not possible to achieve a simulation overhead smaller than 2∆ - 2. Furthermore, we construct a graph problem that can be solved in one round of communication by an algorithm receiving a multiset of messages, but requires at least ∆ rounds when solved by an algorithm receiving only a set of messages.
-
(2015)The purpose of this thesis is to compare different classification methods, on the basis of the results for accuracy, precision and recall. The methods used are Logistic Regression (LR), Support Vector Machines (SVM), Neural Networks (NN), Naive Bayes(NB) and a full Bayesian network(BN). Each section describes one of the methods, including the main idea of the methods used, the explanation of each one, the intuition underpinning each method, and their application to simple data sets. The data used in this thesis comprises 3 different sets used previously when learning the Logistic Regression model and the Support vector Machines one, then applied also to the Bayes counterparts, also to the Neural Networks model. The results show that the Bayesian methods are well suited to the classification task they are as good as their counterparts, some times better. While the Support Vectors Machine and Neural Networks are still the best all around, the Bayesian approach can have comparable performance, and, makes a good approximate to the traditional method's power. The results were Logistic Regression has the lowest performance of the methods for classification, then Naive Bayes, next Bayesian networks, finally Support Vector Machines and Neural Networks are the best.
-
(2013)This study presents some of the available methods for haplotype reconstruction and evaluates the accuracy and efficiency of three different software programs that utilize these methods. The analysis is performed on the QTLMAS XII common dataset, which is publicly available. The program LinkPHASE 5+, rule-based software, considers pedigree information (deduction and linkage) only. HiddenPHASE is a likelihood-based software, which takes into account molecular information (linkage disequilibrium). The DualPHASE software combines both of the above mentioned methods. We will see how usage of different available sources of information as well as the shape of the data affects the haplotype inference.
-
(2018)We introduce a new model for contingent convertibles. The write-down, or equity conversion, and default of the contingent convertible are modeled as states of conditional Markov process. Valuation formulae for different financial contracts, like CDS and different types of contingent convertibles, are derived. The Model can be thought of as an extension to reduced form models with an additional state. For practical applications, this model could be used for new type of contingent convertible derivatives in a similar fashion than reduced form models are used for credit derivatives.
-
(2016)Internet mahdollistaa helpon materiaalin jakamisen, ihmisten välisen kommunikoinnin ja uutisten tarjoamisen. Tästä huolimatta tällä hetkellä, ei ole olemassa yhtään suomalaisille aineenopettajille tarkoitettua valtion rahoittamaa ja Opetushallituksen tai opetus- ja kulttuuriministeriön hallinnoimaa internet-sivustoa, joka sisältäisi muun muassa opetusalan uutisia, kommunikointityökaluja ja mahdollisuuden materiaalin jakamiseen ja vastaanottamiseen. Ennen tällaisen sivun toteuttamisen harkitsemista on mielekästä tutkia, mitä mieltä aineenopettajat ovat edellä mainituista ominaisuuksista ja sisällöistä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tutkia helsinkiläisten aineenopettajien mielipidettä liittyen erilaisiin heille tarkoitetun sivuston sisältöihin ja ominaisuuksiin. Tutkitut ominaisuudet ja sisällöt liittyivät opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin. Tutkimus toteutettiin kvantitatiivisen internet-pohjaisen kyselylomakkeen avulla. Lomake toteutettiin Helsingin yliopiston E-lomake-palvelun avulla ja lomakkeen teknisen ja rakenteen suunnittelun pohjana käytettiin Tampereen yliopiston yhteiskuntatieteellisen tietoarkiston KvantiMOTV-sivuston ohjeita. Tutkimus lähetettiin helsinkiläisille aineenopettajille sähköpostilla. Osoitteet kerättiin Helsingin kaupungin opetusviraston kouluhaku-sivun avulla. Lomakkeet lähetettiin vain suomenkielisten yläkoulujen ja yhtenäiskoulujen opettajille. Sähköposteja ei epähuomiossa lähetetty kaikille lukioiden opettajille, vaan ne lähetettiin vain yhtenäiskoulujen yhteydessä olevien lukioiden opettajille. Kyselylomakkeen tärkein osio oli 4-portaisella Likert-asteikolla toteutettu 21-kohtainen väittämäkokoelma. Väittämäkokoelman tarkoitus oli selvittää kuuluvatko niissä mainitut ennalta määritetyt sisällöt ja ominaisuudet heidän mielestään aineenopettajille tarkoitetulle internet-sivustolle. Väittämät jakautuivat opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin liittyviin teemoihin. Tutkimukseen vastasi 239 helsinkiläistä aineenopettajaa, joista 229 henkilön vastaukset hyväksyttiin mukaan tulosten analysointiin. Kyselyyn vastanneista 67% oli naisia. Vastaajista 41% opetti ainakin lukiossa, ja 59% pelkästään peruskoulussa. Kyselyn tuloksien perusteella helsinkiläiset aineenopettajat arvostivat erityisesti materiaaliin liittyviä ominaisuuksia ja sisältöjä. Kommunikaatioon liittyvistä ominaisuuksista vastaajat arvostivat vertaistuen antamisen ja saamisen mahdollistavaa ominaisuutta ja verkostoitumisen mahdollistavaa ominaisuutta. Lisäksi mahdollisuus kommentoida ja kehittää muiden opettajien tekemää opetus-materiaalia oli vastaajien mielestä tärkeä aineenopettajien internet-sivuston potentiaalinen sisältö. Kyselyn otos oli kohtalaisen pieni, eikä kaikilla helsinkiläisillä aineenopettajilla ollut mahdollista vastata siihen. Tuloksia ei voi siis varauksetta yleistää koskemaan kaikkia helsinkiläisiä aineenopettajia. Lisäksi kyselyyn vastanneiden täytyi käyttää internetiä, mikä saattoi vaikuttaa kyselyn otokseen helsinkiläisistä aineenopettajista.
-
(2018)This thesis can be regarded as a light, but thorough, introduction to the algebraic approach to quantum statistical mechanics and a subsequent test of this framework in the form of an application to Bose-Einstein condensates. The success of the algebraic approach to quantum statistical mechanics hinges upon the remarkable properties of special operator algebras known as C^*-algebras. These algebras have unique characterization properties which allows one to readily identify the mathematical counterparts of concepts in physics while at the same time maintaining mathematical rigour and clarity. In the first half of this thesis, we focus on abstract C^*-algebras known as the canonical commutation relation algebras (CCR algebras) which are generated by elements satisfying specific commutation relations. The main result in this section is the proof of a certain kind of algebraic uniqueness of these algebras. The main idea of the proof is to utilise the underlying common structure of any of the CCR algebras and explicitly construct an isomorphism between the generators of these algebras. The construction of this isomorphism involves the use of abstract Fourier analysis on groups and various arguments concerning bounded operators. The second half of the thesis concerns the rigorous set-up of the formation of Bose-Einstein condensation. First, one defines the Gibbs grand canonical equilibrium states, and then we specialize to studying the taking of the thermodynamic limit of these systems in various contexts. The main result of this section involves two main elements. The first is that by fixing the temperature and density of the system while varying its activity and volume, there exists a limiting state corresponding to the taking of the thermodynamic limit. The second element concerns the existence of a critical density after which the limiting state begins to show the physical characteristics of Bose-Einstein condensation. The mathematical issues one faces with Bose-Einstein condensation are mainly related to the unboundedness of the creation and annihilation operators and the definition of the algebra that we are working on. The first issue is relevant to all areas of mathematical physics, and one deals with it in the standard ways. The second issue is more nuanced and is a direct result of the first issue we mentioned. In particular, we would like to define the states on an algebra which contains the operators that we are interested in. The problem is that these operators are unbounded, and, as a result, one must instead use the CCR algebra and show by extension that we can, in fact, also use the unbounded operators in this state.
-
(2012)Työ kertoo kuinka voimme kehittää lukio-opetuksessa algebran ja geometrian yhdyskohtia. Tämä on tarkoitettu lukion pitkän matematiikan analyyttisen geometrian kurssin yhteyteen, tai lisä materiaalina tämän jälkeen esimerkiksi matematiikka kerhoon. Kerron työssäni ensiksi geometrian aksioomista ja aksiomaattisesta todistamisesta. Seuraavaksi tutkin janojen suhteita, verrantoja ja kolmion sivujen suhteita. Jatkan tästä kuution tilavuuden tuplaamiseen. Tarkoituksena on löytää tapa esittää nämä aiheet jo lukiossa ja tällä tavoin motivoida ja kehittää uusia tapoja käsitellä geometriaa. Työn tarkoitus on olla lisäoppimateriaali lukion opettajalle, jonka avulla hän voi opettaa geometriaa. Kuution tilavuuden tuplaaminen on hyvä motivointi keino ja mielenkiintoinen historian ongelma, joka näyttää millaisia ongelmia matematiikka on kohdannut ajankuluessa. Tämä työ on kokonaisuudessaan noin neljän tai viiden oppitunnin mittainen kokonaisuus. Työssä on erilaisia geometrisia rakennelmia jotka auttavat lukijaa havaitsemaan miten voimme edetä geometriassa eteenpäin. Jokaisessa osiossa on muutamia tehtäviä ja lopussa niiden mallivastaukset. Jokaisessa kappaleessa on myös joitakin esimerkkejä ja kappaleessa kuution tilavuuden tuplaaminen on esitys Neusis konstruktiosta joka on matemaattisesti riittämätön todiste ennen oikeaa todistusta. Kuution tilavuuden tuplaamiseen tarvitaan kuntateoriaa ja käyn läpi termit kunta ja kuntalaajennos. Koko työn voi käydä läpi harpilla ja viivaimella.
-
(2013)Tutkimuksen tavoitteena oli selvittää, kuinka matematiikan opintonsa aloittava pääaineopiskelijat osaavat ratkaista Turun ammattikorkeakoulun suunnitteleman alkutestin tehtäviä, millaisia virheitä opiskelijat tekevät ja miten varmoja opiskelijat ovat omasta osaamisestaan. Lisäksi tavoitteena oli selvittää, miten sukupuoli tai lukiomenestys vaikuttaa vastausvarmuuteen. Aiemmat tutkimuksen osoittavat, että ero osaamisessa sukupuolten välillä ei ole ollut suuri, mutta miehet ovat olleet itsevarmempia. Tutkimus toteutettiin kyselytutkimuksena syksyllä 2012 matematiikan opintoihin orientoivalla viikolla ennen varsinaisia yliopisto-opintoja ja tutkimuksen näyte koostui 124 matematiikan opiskelijasta. Testissä kysyttiin taustatietona opiskelijan aikaisemmista opinnoista, jonka lisäksi piti ratkaista 20 erilaista lukiotason tehtävää. Matematiikan opiskelijat menestyivät testissä yleisesti hyvin, mutta heikommin kuin teknillisen korkeakoulun opiskelijat, kun he tekivät saman testin vuonna 2002. Miehet ja naiset olivat keskimäärin melko samalla tasolla, mutta miehet olivat keskimäärin varmempia osaamisestaan. Aikaisempi lukiomenestys myös vaikutti vastausvarmuuteen siten, että ylioppilaskirjoituksissa arvosanan L saaneet olivat keskimäärin varmempia vastauksistaan kuin arvosanan E tai M saaneet. Myös lukion päättötodistuksesta arvosanan 10 olivat varmempia vastauksistaan kuin arvosanan 9, 8 tai 7. Kun opiskelijoiden yksittäisiä vastauksia tarkasteli, löytyi niistä monia mielenkiintoisia ja yllättäviä virheitä. Peruslaskutehtävissä oli monilla L:n opiskelijoilla ongelmia eikä trigonometria ollut monella hallussa. Ylioppilaskirjoituksissa sallittujen apuneuvojen käyttö näkyi opiskelijoiden osaamattomuudessa nyt, kun niitä ei ollut lupa käyttää.
-
(2018)Työssä tutkitaan aloittavien matematiikan yliopisto-opiskelijoiden derivaatan ymmärrystä ja virhekäsityksiä. Aloittavilla matematiikan yliopisto-opiskelijoilla tarkoitetaan opiskelijoita, jotka ovat syksyllä 2017 aloittaneet opiskelun Helsingin yliopistossa matemaattisten tieteiden kandiohjelman opiskelijoina tai matematiikan, fysiikan ja kemian opettajan kandiohjelman opiskelijoina. Työssä esitetään derivaatan määritelmä ja siihen liittyviä muita määritelmiä ja lauseita. Työssä esitellään myös matemaattiseen tietoon ja ymmärrykseen liittyviä didaktisia käsitteitä kuten konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto, proseduuri, prosessi ja prosepti sekä representaatio. Lisäksi työssä perehdytään David Tallin (2004) matematiikan kolmeen maailmaan ja pohditaan sitä derivaatan näkökulmasta. Derivaatan ymmärryksestä ja virhekäsityksistä aikaisemmin tehdyt tutkimukset ovat työn teoriapohja. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että derivaatta on opiskelijoille vaikea käsite, eikä sitä ymmärretä syvällisesti (Bezuidenhout, 1998). Opiskelijoilla on haasteita derivaatan graafisen representaation tulkinnassa ja sen ymmärtämisessä (Maharaj, 2013). Lisäksi lukiossa jäädään derivaatan ymmärryksessä proseptuaalis-symboliseen maailmaan, kun taas yliopistossa tavoitteena on päästä aksioomaattis-formaaliin maailmaan (Hähkiöniemi, 2006). Taustateoriana esitellään myös lukion ja yliopiston oppimistavoitteita derivaattaan liittyen sekä perehdytään kahteen lukion Derivaatta-kurssin oppikirjaan. Tutkimuksen aineisto kerättiin kyselylomakkeen avulla syyskuussa 2017. Kyselylomakkeessa oli derivaattaan liittyviä tehtäviä, joissa testattiin opiskelijoiden derivaatan konseptuaalista ja proseduraalista tietoa sekä graafisen ja sanallisen representaation ymmärrystä. Kyselyyn vastasi 41 aloittavaa matematiikan yliopisto-opiskelijaa, joista suurin osa oli kirjoittanut ylioppilaaksi vuoden 2017 keväällä. Vastanneet opiskelijat eivät olleet suorittaneet yliopiston analyysin kursseja ennen kyselyyn vastaamista. Tutkimuksessa päädytään seuraaviin tuloksiin. Derivaatta on vaikea käsite aloittaville matematiikan yliopisto-opiskelijoille. Konseptuaalisessa tiedossa on puutteita ja proseduraalista tietoa käytetään sitä enemmän. Derivaatan sanallinen ymmärrys on hyvää ja derivaatta hahmotetaan yleisimmin tangentin kulmakertoimena. Sen sijaan derivoituvuuden ja jatkuvuuden välisen suhteen ymmärtäminen yksittäisillä opiskelijoilla on melko heikkoa. Opiskelijoiden yleisin virhekäsitys jatkuvuuteen liittyen on, että funktion jatkuvuus ei vaikuta funktion derivoituvuuteen. Myös derivaatan määritelmän ymmärtäminen on erittäin haastavaa opiskelijoille, eli heidän konseptuaalinen tietonsa derivaatasta on heikkoa. Lisäksi derivaatan graafisen representaation ymmärrys on melko heikkoa.
-
(2015)We show that the embedding of a matrix game in a mechanistic population dynamical model can have important consequences for the evolution of how the game is played. In particular, we show that because of this embedding evolutionary branching and multiple evolutionary singular strategies can occur, which is not possible in the conventional theory of matrix games. We show that by means of the example of the hawk-dove game.
-
(2012)Amenability is a notion that occurs in the theory of both locally compact groups and Banach algebras. The research on translation-invariant measures during the first half of the 20th century led to the definition of amenable locally compact groups. A locally compact group G is called amenable if there is a positive linear functional of norm 1 in L^∞(G)^* that is left-invariant with respect to the given group operation. During the same time the theory of Hochschild cohomology for Banach algebras was developed. A Banach algebra A is called amenable if the first Hochschild cohomology group H^1(A, X^*) = {0} for all dual Banach A-bimodules X^*, that is, if every continuous derivation D : A → X^* is inner. In 1972 B. E. Johnson proved that the group algebra L^1(G) for a locally compact group G is amenable if and only if G is amenable. This result justifies the terminology amenable Banach algebra. In this Master's thesis we present the basic theory of amenable Banach algebras and give a proof of Johnson's theorem.
-
(2016)In this thesis we present an algorithm for doing mixture modeling for heterogeneous data collections. Our model supports using both Gaussian- and Bernoulli distributions, creating possibilities for analysis of many kinds of different data. A major focus is spent to developing scalable inference for the proposed model, so that the algorithm can be used to analyze even a large amount of data relatively fast. In the beginning of the thesis we review some required concepts from probability theory and then proceed to present the basic theory of an approximate inference framework called variational inference. We then move on to present the mixture modeling framework with examples of the Gaussian- and Bernoulli mixture models. These models are then combined to a joint model which we call GBMM for Gaussian and Bernoulli Mixture Model. We develop scalable and efficient variational inference for the proposed model using state-of-the-art results in Bayesian inference. More specifically, we use a novel data augmentation scheme for the Bernoulli part of the model coupled with overall algorithmic improvements such as incremental variational inference and multicore implementation. The efficiency of the proposed algorithm over standard variational inference is highlighted in a simple toy data experiment. Additionally, we demonstrate a scalable initialization for the main inference algorithm using a state-of-the-art random projection algorithm coupled with k-means++ clustering. The quality of the initialization is studied in an experiment with two separate datasets. As an extension to the GBMM model, we also develop inference for categorical features. This proves to be rather difficult and our presentation covers only the derivation of the required inference algorithm without a concrete implementation. We apply the developed mixture model to analyze a dataset consisting of electronic patient records collected in a major Finnish hospital. We cluster the patients based on their usage of the hospital's services over 28-day time intervals over 7 years to find patterns that help in understanding the data better. This is done by running the GBMM algorithm on a big feature matrix with 269 columns and more than 1.7 million rows. We show that the proposed model is able to extract useful insights from the complex data, and that the results can be used as a guideline and/or preprocessing step for possible further, more detailed analysis that is left for future work.
-
(2016)Tässä Pro-gradu työssäni käsittelen ammatillisen matematiikan opettamisen haasteita Logistiikan opiskelijoille. He tähtäävät yhdistelmäajoneuvon kuljettajan pätevyyteen ja opetus on 3 vuotinen.Toisen asteen opiskelijat ovat se osa nuorisoa, joka ei koe teoriapainotteisen opetuksen sopivan heille tai eivät ole sopeutuneet suomen koulujärjestelmään. Mukana on suuri joukko erityisopiskelijoita, jotka ovat saaneet tämän leiman jo peruskoulussa. Erityisopiskelijoiden osuus opettamissani ryhmissä on ollut yli 40%. Tämä sisältö perustuu omakohtaisiin havaintoihin ja uusien opetusmenetelmien käyttöönottoon. Toiminnallisuus, pelillisyys, sulautuva oppiminen, työssäoppiminen ja ryhmän merkitys oppimisessa ovat tärkeimpiä kiinnostuksen kohteita. Tavoitteenani on löytää tälle kohderyhmälle soveltuva tapa hankkia ammattiin tarvittavat matemaattiset taidot. Oppiminen on yksilöllinen prosessi ja ison ryhmän keskellä oppija voi jäädä jalkoihin ja siksi ryhmän merkitys korostuu. Oppimisympäristön valinta on osoittautunut myös tärkeäksi motivaation ja jaksamisen kannalta.Yhteiskunta muuttuu ja digitalisoituu vauhdilla. Tieto ei ole enää kirjoissa vaan internetissä. Perinteinen luokka voi tänään olla virtuaalinen. Oppiminen on jatkuva yksilöllinen prosessi ja me opettajat olemme siinä hetken ohjaamassa oikean tiedon äärelle. Tehtävänä on kasvattaa tulevaisuuden kansalaisia tämän päivän keinoin. Ammatillisen koulutuksen tavoitteena on antaa opiskelijoille valmiuksia selvitä työelämän haasteista. Matematiikassa tämä tarkoittaa kykyä soveltaa matematiikkaa työelämässä esille tuleviin haasteisiin. Se voi olla kykyä annostella lääkkeitä, muokata keittiön reseptejä, tai kuorman painon laskemista.Eri ammateissa syntyy inhimillisten virheiden vuoksi vaaratilanteita, jotka voivat aikaansaada korvaamattomia seurauksia inhimillisten kärsimysten tai taloudellisten menetysten muodossa.Tutkimustietoa logistiikan alan virheistä kerätään satunnaisesti ja tiedossani ei ole yhtään tutkimusta, joka kohdistuisi juuri logistiikan laskuvirheisiin. Toisaalta sairaanhoidossa on runsaasti tutkimuksia, joilla pyritään ymmärtämään laskutaidon merkitystä riskien eliminoinnissa. Sairaanhoidossa lääkkeet ja niiden annostelu sisältää monia riskejä ja keskeisintä riskien hallinnassa on henkilöstön osaaminen eli laskutaito. Miksi osa nuorista ei menesty koulussa? Mitkä syyt ovat huonon menestyksen takana? Voiko koulujärjestelmä saada aikaan syrjäytymistä ja motivaation laskua? Mitä voisimme tehdä toisin? Yhteiskunta muuttuu ja sen yksi isoimmista ilmiöistä on sosiaalisen median rooli arjessa. Erityisesti nuoret ovat ottaneet sosiaalisen median omakseen. Tietotekniikka antaa monia mahdollisuuksia havainnollistaa opetettavaa asiaa. Opetettava asia voidaan pukea useaan eri pakettiin. Pelit, verkko-tehtävät, simulaattorit, taulukkolaskenta ja oppimisympäristöt ovat esimerkkejä tietotekniikan antamista mahdollisuuksista rikastaa luokassa tapahtuvaa oppimista. Ammatillinen matematiikka antaa hyvän lähtökohdan kohdistaa opetusta ammattiin liittyviin laskentatehtäviin. Haasteena on kuitenkin ammattien runsaus. Matematiikan opettajan on vaikea löytää valmiita eri ammatteihin nivoutuvia tehtäviä. Ratkaisuna tähän on yhteistyö ammatillisten opettajien kanssa. Heiltä saa tietoa eri ammatteihin liittyvistä 'kipukohdista' eli ammattiin liittyvistä riskeistä, joihin ennakoinnilla ja valmistautumisella voidaan vaikuttaa.
-
(2015)Työssä on pyritty kartoittamaan toimintaympäristö ja asetetut vaatimukset: aikuisoppilaitoksen opiskelija-aines, suomalainen näyttötutkintojärjestelmä, vallitsevat pedagogiset oppimiskäsitykset, sähköalan perustutkinnon osaamistaitovaatimukset matematiikan suhteen sekä sähkötekniikan matemaattisten lainalaisuuksien suhteen, aikuisoppilaitoksen opetussuunnitelman tarjoamat puitteet matematiikan opetukselle. Lisäksi on kuvattu, mitä on tehty opiskelijoiden parissa: opiskelijoiden motivointi, matematiikan tuntisuunnitelma, koejärjestelyt, esimerkkejä opetuksellisista tilanteista
-
Analysis of exome variant data for identifying causative SNVs of infantile mitochondrial disorders (2013)This thesis presents a workflow for analysis of exome sequencing data aiming at identification of single nucleotide variants (SNVs) causing recessively inherited mitochondrial disease in children. Several variant selection criteria that are consistent with such group of genetic disorders are applied along the workflow in relation to mode of inheritance, allele frequency and the Finnish ancestry of the patients. These are combined with knowledge of nuclear-encoded mitochondrial proteins and prediction of pathogenic variants, narrowing down the total set of SNVs found in a patient to those most likely to be causative. Patient exomes are analysed individually (n=1 studies). The bioinformatic resources used for implementation include public and in-house databases of mitochondrial nuclear genes, human genetic variation and exome controls, as well as software tools for prediction of pathogenic SNVs and mitochondria-targeting proteins. Exome variant data from a cohort of 49 molecularly undiagnosed children were analysed through the workflow, leading to the identification of mitochondrial disease-causing SNVs located in nuclear genes for 10 of the patients. Therefore, a success rate of 20% was achieved. The workflow has been an important element in the use of exome sequencing as a new research tool at the Wartiovaara group of the Research Program for Molecular Neurology, Faculty of Medicine, University of Helsinki.
-
(2013)The subject of this Master's Thesis is Shannon-McMillan-Breiman theorem, a famous and important result in information theory. Since the theorem is a statement about ergodic stochastic processes and its proof utilises Birkho 's ergodic theorem, a whole chapter has been devoted to ergodic theory. Ergodic theory has developed into a large branch of mathematics, and so the Chapter 1 is only a brief glance at the subject. Nevertheless, we will prove one of the most important theorems in ergodic theory, the before-mentioned Birkho 's ergodic theorem. This theorem is a strong statement about the average behaviour of certain stochastic processes (or dynamical systems), and it can be seen as a generalisation of the Strong Law of Large Numbers. Chapter 2 discusses information theory and the Shannon-McMillan-Breiman theorem. No previous knowledge about information theory is assumed, and therefore the chapter starts with an introduction to information theory. All fundamental de nitions and theorems concerning the entropy of discrete random variables are provided. After this introduction, we study the entropy of stochastic processes, which in turn leads us to the Asymptotic Equipartition Property (the AEP). Informally, a stochastic process has the AEP if almost all sample paths belong to a rather thin set, called the set of typical sequences, which despite having few elements contains most of the probability mass. Then we prove that independent and identically distributed processes have the AEP, and consider its consequences and applications such as data compression. After this, we present the Shannon-McMillan-Theorem which states that stationary, ergodic processes with infite state space have the AEP. The rest of the thesis is then devoted to the rather long, but interesting proof of the theorem.
Now showing items 1-20 of 491