Browsing by department "Department of Mathematics and Statistics"

3D-tulostamisella on potentiaalia muuttaa tavaroiden valmistamista merkittävällä tavalla. Mallintaminen parantaa kaikentasoisten oppijoiden ymmärrystä vaikeista, absrakteista asioista ja muuttaa matematiikan monimutkaisia käsitteitä helposti sisällytettäviksi esineiksi. Oppijat arvostavat itse tekemistä ja 3D-tulostaminen on yksi helpoimmista tavoista luoda monimutkaisia esineitä. 3D-tulostaminen vaatii aina tietokoneella luodun kolmiulotteisen mallin, joka voidaan luoda itse tai se voidaan ladata jonkun muun valmiiksi tekemänä. Itse mallien tekemiseen löytyy useita erilaisia ohjelmia, joista monet helppokäyttöiset ovat oppimiskäyttöön ilmaisia. Tietokoneen, jolla mallinnusta tehdään, ei tarvitse olla erityisen suuri laskenteholtaan, ja normaalit kotitietokoneet käyvät ongelmitta. Tärkein hankittava osa on itse 3D-tulostin, joita saa normaalin paperitulostimen kokoisesta aina auton kokoisiin laitteisiin. Kotikäyttöiset mahtuvat hyvin luokkahuoneisiin tai tarvikevarastoon. Tulostimien hinnat ovat viimein tulleet tarpeeksi mataliksi, jotta niiden hankkiminen koulun käyttöön on mahdollista. Työn tarkoituksena on esitellä 3D-tulostin opetusvälineenä ja löytää käyttötarkoituksia ja perusteita sen käytölle. Työn ohessa toteutettiin vapaaehtoisryhmälle 7-luokkalaisia kokeilu, jossa katsottiin miten he kykenevät omaksumaan 3D-mallinnuksen perusteet ja ymmärtävät suunnitellessaan tulevaa tulostamista. Oppilaat käyttivät opetustuokion ajan mallinnusohjelmaa ja heiltä samaan aikaan kysyttiin mielipiteitä ja ajatuksia 3D-mallinnuksen ja tulostamisen käyttämisestä opetuksessa. Oppilaat toivoivat, että oppitunneilla otettaisiin käyttöön 3D-tulostin. Vaikka kysymykset esitettiin nimenomaan matematiikan opetuksen näkökulmasta, esittivät oppilaat ideoita myös muiden kouluaineiden opetukseen. Opetuksessa tekniikkaa voidaan käyttää joko siten, että oppijat käyttävät sitä aktiivisesti jonkin matemaattisen ilmiön oppimiseksi, tai vaihtoehtoisesti opettaja voi käyttää sitä esimerkkikappaleiden tekemiseen. 3D-tulostamisen suuria hyötyjä on se, että sillä voidaan tuottaa laitteen asettamissa rajoissa hyvinkin monimutkaisen muotoisia kappaleita. Esimerkkeinä tällaisista opettajan esimerkkimalleista tutkielmasta löytyy esimerkiksi kolmion pyörähdyskappaleita ja kuution erilaisten lävistäjien havainnollistamiseksi tehty malli. Johtopäätöksenä päädyttiin siihen, että 3-ulotteinen tulostaminen sopii opetuksessa parhaiten opettajan oppimateriaalin tuottamiseen. Oppilaskäytössä laite toimisi parhaiten lähinnä vapaavalintaisissa matematiikan kursseissa. Myös matematiikan oppiminen voisi hyötyä selvästi kolmiulotteisen ajattelun parantumisen muodossa, mutta matematiikan tunneilla ei ole tarpeeksi ylimääräistä aikaa. Paras yhdistelmä voitaisiinkin saada sillä, että koulun teknisten töiden tai kuvaamataidon opettaja opettaisi omiin tunteihinsa liittyen laitteen käyttöä, jolloin matematiikan oppitunneilla kyettäisiin hyödyntämään 3D-tulostamista ilman siihen liittyvää turhan suurta ajallista panostamista.

In this thesis we study the theoretical foundations of distributed computing. Distributed computing is concerned with graphs, where each node is a computing unit and runs the same algorithm. The graph serves both as a communication network and as an input for the algorithm. Each node communicates with adjacent nodes in a synchronous manner and eventually produces its own output. All the outputs together constitute a solution to a problem related to the structure of the graph. The main resource of interest is the amount of information that nodes need to exchange. Hence the running time of an algorithm is defined as the number of communication rounds; any amount of local computation is allowed. We introduce several models of distributed computing that are weaker versions of the well-established port-numbering model. In the port-numbering model, a node of degree d has d input ports and d output ports, both numbered with 1, 2, ..., d such that the port numbers are consistent. We denote by VVc the class of all graph problems that can be solved in this model. We define the following subclasses of VVc, corresponding to the weaker models: VV: Input and output port numbers are not necessarily consistent. MV: Input ports are not numbered; nodes receive a multiset of messages. SV: Input ports are not numbered; nodes receive a set of messages. VB: Output ports are not numbered; nodes broadcast the same message to all neighbours. MB: Combination of MV and VB. SB: Combination of SV and VB. This thesis presents a complete classification of the computational power of the models. We prove that the corresponding complexity classes form the following linear order: SB ⊈ MB = VB ⊈ SV = MV = VV ⊈ VVc. To prove SV = MV, we show that any algorithm receiving a multiset of messages can be simulated by an algorithm that receives only a set of messages. The simulation causes an additive overhead of 2∆ - 2 communication rounds, where ∆ is an upper bound for the maximum degree of the graph. As a new result, we prove that the simulation is optimal: it is not possible to achieve a simulation overhead smaller than 2∆ - 2. Furthermore, we construct a graph problem that can be solved in one round of communication by an algorithm receiving a multiset of messages, but requires at least ∆ rounds when solved by an algorithm receiving only a set of messages.

This study presents some of the available methods for haplotype reconstruction and evaluates the accuracy and efficiency of three different software programs that utilize these methods. The analysis is performed on the QTLMAS XII common dataset, which is publicly available. The program LinkPHASE 5+, rule-based software, considers pedigree information (deduction and linkage) only. HiddenPHASE is a likelihood-based software, which takes into account molecular information (linkage disequilibrium). The DualPHASE software combines both of the above mentioned methods. We will see how usage of different available sources of information as well as the shape of the data affects the haplotype inference.

Internet mahdollistaa helpon materiaalin jakamisen, ihmisten välisen kommunikoinnin ja uutisten tarjoamisen. Tästä huolimatta tällä hetkellä, ei ole olemassa yhtään suomalaisille aineenopettajille tarkoitettua valtion rahoittamaa ja Opetushallituksen tai opetus- ja kulttuuriministeriön hallinnoimaa internet-sivustoa, joka sisältäisi muun muassa opetusalan uutisia, kommunikointityökaluja ja mahdollisuuden materiaalin jakamiseen ja vastaanottamiseen. Ennen tällaisen sivun toteuttamisen harkitsemista on mielekästä tutkia, mitä mieltä aineenopettajat ovat edellä mainituista ominaisuuksista ja sisällöistä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tutkia helsinkiläisten aineenopettajien mielipidettä liittyen erilaisiin heille tarkoitetun sivuston sisältöihin ja ominaisuuksiin. Tutkitut ominaisuudet ja sisällöt liittyivät opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin. Tutkimus toteutettiin kvantitatiivisen internet-pohjaisen kyselylomakkeen avulla. Lomake toteutettiin Helsingin yliopiston E-lomake-palvelun avulla ja lomakkeen teknisen ja rakenteen suunnittelun pohjana käytettiin Tampereen yliopiston yhteiskuntatieteellisen tietoarkiston KvantiMOTV-sivuston ohjeita. Tutkimus lähetettiin helsinkiläisille aineenopettajille sähköpostilla. Osoitteet kerättiin Helsingin kaupungin opetusviraston kouluhaku-sivun avulla. Lomakkeet lähetettiin vain suomenkielisten yläkoulujen ja yhtenäiskoulujen opettajille. Sähköposteja ei epähuomiossa lähetetty kaikille lukioiden opettajille, vaan ne lähetettiin vain yhtenäiskoulujen yhteydessä olevien lukioiden opettajille. Kyselylomakkeen tärkein osio oli 4-portaisella Likert-asteikolla toteutettu 21-kohtainen väittämäkokoelma. Väittämäkokoelman tarkoitus oli selvittää kuuluvatko niissä mainitut ennalta määritetyt sisällöt ja ominaisuudet heidän mielestään aineenopettajille tarkoitetulle internet-sivustolle. Väittämät jakautuivat opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin liittyviin teemoihin. Tutkimukseen vastasi 239 helsinkiläistä aineenopettajaa, joista 229 henkilön vastaukset hyväksyttiin mukaan tulosten analysointiin. Kyselyyn vastanneista 67% oli naisia. Vastaajista 41% opetti ainakin lukiossa, ja 59% pelkästään peruskoulussa. Kyselyn tuloksien perusteella helsinkiläiset aineenopettajat arvostivat erityisesti materiaaliin liittyviä ominaisuuksia ja sisältöjä. Kommunikaatioon liittyvistä ominaisuuksista vastaajat arvostivat vertaistuen antamisen ja saamisen mahdollistavaa ominaisuutta ja verkostoitumisen mahdollistavaa ominaisuutta. Lisäksi mahdollisuus kommentoida ja kehittää muiden opettajien tekemää opetus-materiaalia oli vastaajien mielestä tärkeä aineenopettajien internet-sivuston potentiaalinen sisältö. Kyselyn otos oli kohtalaisen pieni, eikä kaikilla helsinkiläisillä aineenopettajilla ollut mahdollista vastata siihen. Tuloksia ei voi siis varauksetta yleistää koskemaan kaikkia helsinkiläisiä aineenopettajia. Lisäksi kyselyyn vastanneiden täytyi käyttää internetiä, mikä saattoi vaikuttaa kyselyn otokseen helsinkiläisistä aineenopettajista.

Työ kertoo kuinka voimme kehittää lukio-opetuksessa algebran ja geometrian yhdyskohtia. Tämä on tarkoitettu lukion pitkän matematiikan analyyttisen geometrian kurssin yhteyteen, tai lisä materiaalina tämän jälkeen esimerkiksi matematiikka kerhoon. Kerron työssäni ensiksi geometrian aksioomista ja aksiomaattisesta todistamisesta. Seuraavaksi tutkin janojen suhteita, verrantoja ja kolmion sivujen suhteita. Jatkan tästä kuution tilavuuden tuplaamiseen. Tarkoituksena on löytää tapa esittää nämä aiheet jo lukiossa ja tällä tavoin motivoida ja kehittää uusia tapoja käsitellä geometriaa. Työn tarkoitus on olla lisäoppimateriaali lukion opettajalle, jonka avulla hän voi opettaa geometriaa. Kuution tilavuuden tuplaaminen on hyvä motivointi keino ja mielenkiintoinen historian ongelma, joka näyttää millaisia ongelmia matematiikka on kohdannut ajankuluessa. Tämä työ on kokonaisuudessaan noin neljän tai viiden oppitunnin mittainen kokonaisuus. Työssä on erilaisia geometrisia rakennelmia jotka auttavat lukijaa havaitsemaan miten voimme edetä geometriassa eteenpäin. Jokaisessa osiossa on muutamia tehtäviä ja lopussa niiden mallivastaukset. Jokaisessa kappaleessa on myös joitakin esimerkkejä ja kappaleessa kuution tilavuuden tuplaaminen on esitys Neusis konstruktiosta joka on matemaattisesti riittämätön todiste ennen oikeaa todistusta. Kuution tilavuuden tuplaamiseen tarvitaan kuntateoriaa ja käyn läpi termit kunta ja kuntalaajennos. Koko työn voi käydä läpi harpilla ja viivaimella.

Työssä tutkitaan aloittavien matematiikan yliopisto-opiskelijoiden derivaatan ymmärrystä ja virhekäsityksiä. Aloittavilla matematiikan yliopisto-opiskelijoilla tarkoitetaan opiskelijoita, jotka ovat syksyllä 2017 aloittaneet opiskelun Helsingin yliopistossa matemaattisten tieteiden kandiohjelman opiskelijoina tai matematiikan, fysiikan ja kemian opettajan kandiohjelman opiskelijoina. Työssä esitetään derivaatan määritelmä ja siihen liittyviä muita määritelmiä ja lauseita. Työssä esitellään myös matemaattiseen tietoon ja ymmärrykseen liittyviä didaktisia käsitteitä kuten konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto, proseduuri, prosessi ja prosepti sekä representaatio. Lisäksi työssä perehdytään David Tallin (2004) matematiikan kolmeen maailmaan ja pohditaan sitä derivaatan näkökulmasta. Derivaatan ymmärryksestä ja virhekäsityksistä aikaisemmin tehdyt tutkimukset ovat työn teoriapohja. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että derivaatta on opiskelijoille vaikea käsite, eikä sitä ymmärretä syvällisesti (Bezuidenhout, 1998). Opiskelijoilla on haasteita derivaatan graafisen representaation tulkinnassa ja sen ymmärtämisessä (Maharaj, 2013). Lisäksi lukiossa jäädään derivaatan ymmärryksessä proseptuaalis-symboliseen maailmaan, kun taas yliopistossa tavoitteena on päästä aksioomaattis-formaaliin maailmaan (Hähkiöniemi, 2006). Taustateoriana esitellään myös lukion ja yliopiston oppimistavoitteita derivaattaan liittyen sekä perehdytään kahteen lukion Derivaatta-kurssin oppikirjaan. Tutkimuksen aineisto kerättiin kyselylomakkeen avulla syyskuussa 2017. Kyselylomakkeessa oli derivaattaan liittyviä tehtäviä, joissa testattiin opiskelijoiden derivaatan konseptuaalista ja proseduraalista tietoa sekä graafisen ja sanallisen representaation ymmärrystä. Kyselyyn vastasi 41 aloittavaa matematiikan yliopisto-opiskelijaa, joista suurin osa oli kirjoittanut ylioppilaaksi vuoden 2017 keväällä. Vastanneet opiskelijat eivät olleet suorittaneet yliopiston analyysin kursseja ennen kyselyyn vastaamista. Tutkimuksessa päädytään seuraaviin tuloksiin. Derivaatta on vaikea käsite aloittaville matematiikan yliopisto-opiskelijoille. Konseptuaalisessa tiedossa on puutteita ja proseduraalista tietoa käytetään sitä enemmän. Derivaatan sanallinen ymmärrys on hyvää ja derivaatta hahmotetaan yleisimmin tangentin kulmakertoimena. Sen sijaan derivoituvuuden ja jatkuvuuden välisen suhteen ymmärtäminen yksittäisillä opiskelijoilla on melko heikkoa. Opiskelijoiden yleisin virhekäsitys jatkuvuuteen liittyen on, että funktion jatkuvuus ei vaikuta funktion derivoituvuuteen. Myös derivaatan määritelmän ymmärtäminen on erittäin haastavaa opiskelijoille, eli heidän konseptuaalinen tietonsa derivaatasta on heikkoa. Lisäksi derivaatan graafisen representaation ymmärrys on melko heikkoa.

Amenability is a notion that occurs in the theory of both locally compact groups and Banach algebras. The research on translation-invariant measures during the first half of the 20th century led to the definition of amenable locally compact groups. A locally compact group G is called amenable if there is a positive linear functional of norm 1 in L^∞(G)^* that is left-invariant with respect to the given group operation. During the same time the theory of Hochschild cohomology for Banach algebras was developed. A Banach algebra A is called amenable if the first Hochschild cohomology group H^1(A, X^*) = {0} for all dual Banach A-bimodules X^*, that is, if every continuous derivation D : A → X^* is inner. In 1972 B. E. Johnson proved that the group algebra L^1(G) for a locally compact group G is amenable if and only if G is amenable. This result justifies the terminology amenable Banach algebra. In this Master's thesis we present the basic theory of amenable Banach algebras and give a proof of Johnson's theorem.

Tässä Pro-gradu työssäni käsittelen ammatillisen matematiikan opettamisen haasteita Logistiikan opiskelijoille. He tähtäävät yhdistelmäajoneuvon kuljettajan pätevyyteen ja opetus on 3 vuotinen.Toisen asteen opiskelijat ovat se osa nuorisoa, joka ei koe teoriapainotteisen opetuksen sopivan heille tai eivät ole sopeutuneet suomen koulujärjestelmään. Mukana on suuri joukko erityisopiskelijoita, jotka ovat saaneet tämän leiman jo peruskoulussa. Erityisopiskelijoiden osuus opettamissani ryhmissä on ollut yli 40%. Tämä sisältö perustuu omakohtaisiin havaintoihin ja uusien opetusmenetelmien käyttöönottoon. Toiminnallisuus, pelillisyys, sulautuva oppiminen, työssäoppiminen ja ryhmän merkitys oppimisessa ovat tärkeimpiä kiinnostuksen kohteita. Tavoitteenani on löytää tälle kohderyhmälle soveltuva tapa hankkia ammattiin tarvittavat matemaattiset taidot. Oppiminen on yksilöllinen prosessi ja ison ryhmän keskellä oppija voi jäädä jalkoihin ja siksi ryhmän merkitys korostuu. Oppimisympäristön valinta on osoittautunut myös tärkeäksi motivaation ja jaksamisen kannalta.Yhteiskunta muuttuu ja digitalisoituu vauhdilla. Tieto ei ole enää kirjoissa vaan internetissä. Perinteinen luokka voi tänään olla virtuaalinen. Oppiminen on jatkuva yksilöllinen prosessi ja me opettajat olemme siinä hetken ohjaamassa oikean tiedon äärelle. Tehtävänä on kasvattaa tulevaisuuden kansalaisia tämän päivän keinoin. Ammatillisen koulutuksen tavoitteena on antaa opiskelijoille valmiuksia selvitä työelämän haasteista. Matematiikassa tämä tarkoittaa kykyä soveltaa matematiikkaa työelämässä esille tuleviin haasteisiin. Se voi olla kykyä annostella lääkkeitä, muokata keittiön reseptejä, tai kuorman painon laskemista.Eri ammateissa syntyy inhimillisten virheiden vuoksi vaaratilanteita, jotka voivat aikaansaada korvaamattomia seurauksia inhimillisten kärsimysten tai taloudellisten menetysten muodossa.Tutkimustietoa logistiikan alan virheistä kerätään satunnaisesti ja tiedossani ei ole yhtään tutkimusta, joka kohdistuisi juuri logistiikan laskuvirheisiin. Toisaalta sairaanhoidossa on runsaasti tutkimuksia, joilla pyritään ymmärtämään laskutaidon merkitystä riskien eliminoinnissa. Sairaanhoidossa lääkkeet ja niiden annostelu sisältää monia riskejä ja keskeisintä riskien hallinnassa on henkilöstön osaaminen eli laskutaito. Miksi osa nuorista ei menesty koulussa? Mitkä syyt ovat huonon menestyksen takana? Voiko koulujärjestelmä saada aikaan syrjäytymistä ja motivaation laskua? Mitä voisimme tehdä toisin? Yhteiskunta muuttuu ja sen yksi isoimmista ilmiöistä on sosiaalisen median rooli arjessa. Erityisesti nuoret ovat ottaneet sosiaalisen median omakseen. Tietotekniikka antaa monia mahdollisuuksia havainnollistaa opetettavaa asiaa. Opetettava asia voidaan pukea useaan eri pakettiin. Pelit, verkko-tehtävät, simulaattorit, taulukkolaskenta ja oppimisympäristöt ovat esimerkkejä tietotekniikan antamista mahdollisuuksista rikastaa luokassa tapahtuvaa oppimista. Ammatillinen matematiikka antaa hyvän lähtökohdan kohdistaa opetusta ammattiin liittyviin laskentatehtäviin. Haasteena on kuitenkin ammattien runsaus. Matematiikan opettajan on vaikea löytää valmiita eri ammatteihin nivoutuvia tehtäviä. Ratkaisuna tähän on yhteistyö ammatillisten opettajien kanssa. Heiltä saa tietoa eri ammatteihin liittyvistä 'kipukohdista' eli ammattiin liittyvistä riskeistä, joihin ennakoinnilla ja valmistautumisella voidaan vaikuttaa.

This thesis presents a workflow for analysis of exome sequencing data aiming at identification of single nucleotide variants (SNVs) causing recessively inherited mitochondrial disease in children. Several variant selection criteria that are consistent with such group of genetic disorders are applied along the workflow in relation to mode of inheritance, allele frequency and the Finnish ancestry of the patients. These are combined with knowledge of nuclear-encoded mitochondrial proteins and prediction of pathogenic variants, narrowing down the total set of SNVs found in a patient to those most likely to be causative. Patient exomes are analysed individually (n=1 studies). The bioinformatic resources used for implementation include public and in-house databases of mitochondrial nuclear genes, human genetic variation and exome controls, as well as software tools for prediction of pathogenic SNVs and mitochondria-targeting proteins. Exome variant data from a cohort of 49 molecularly undiagnosed children were analysed through the workflow, leading to the identification of mitochondrial disease-causing SNVs located in nuclear genes for 10 of the patients. Therefore, a success rate of 20% was achieved. The workflow has been an important element in the use of exome sequencing as a new research tool at the Wartiovaara group of the Research Program for Molecular Neurology, Faculty of Medicine, University of Helsinki.