Browsing by discipline "Matematiikan opettajan koulutus"

Työssä käsitellään logistista differentiaaliyhtälöä ja sen sovelluksia populaation kasvun mallinnusta, kasvainten kasvun mallinnusta, SI-mallia ja SIR-mallia. Monissa tilanteissa jonkin suureen muutos riippuu suureen tilasta. Jos suureen arvoa kuvaa jokin derivoituva funktio, niin tämän derivaatta kuvaa suureen muutosnopeutta. Suureen muutoksen riippuvuutta suureen tilasta voidaan ilmaista matemaattisesti differentiaaliyhtälöillä, jotka sitovat funktion derivaatan arvot funktion arvoihin. Differentiaaliyhtälöissä esiintyy aina vähintään yksi tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi pyritään selvittämään tuntematon funktio. Differentiaaliyhtälöt ovat tavallisimpia luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyviä matemaattisia malleja, joita syntyy tilanteissa, joissa esiintyy esimerkiksi ajasta ja paikasta riippuvia suureita. Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen sigmoidinen käyrä, joka on logistisen differentiaaliyhtälön ratkaisu. Logistisen käyrän kuvaaja on S:n muotoinen ja sillä voidaan mallintaa jonkin populaation P kasvua. Aluksi kuvaaja kasvaa lähes eksponentiaalisesti mutta kasvu hidastuu ja pysähtyy lopulta, kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan. Kasvainten kasvun mallinnus on tärkeää, jotta voitaisiin löytää sopivia hoitomenetelmiä ja arvioida menetelmien hyötyjä. Aluksi kasvain kasvaa logistisen mallin mukaan mutta ajan myötä kasvu hidastuu ympäristön rajoittaessa kasvaimen kasvua. Von Bertalanffy (1902-1972) yleisti logistisen mallin Bertalanffyn yhtälöksi, jossa kasvaimen kasvua voidaan seurata tarkastelemalla sen tilavuuden muutoksia. Bertalanffyn yhtälöstä saadaan Gompertzin malli, joka on yksi tärkeimpiä kasvainten kasvua tarkastelevia malleja. SI-mallilla voidaan mallintaa jonkin uuden tuotteen, innovaation tai uudissanan leviämistä. Lisäksi sillä voidaan mallintaa joidenkin tautien tarttumista. SI-mallissa on kuitenkin monia yksinkertaistuksia eikä se ota huomioon esimerkiksi taudista paranemista. SI-mallia on kehitetty SIR-malliksi, joka ottaa huomioon SI-mallin puutteita kuten sen, että tartunnan saanut voi parantua saaden immuniteetin tautia vastaan.

Tutkielmani aiheena on lukion pitkän matematiikan Derivaatta-kurssin opetuksen kehittäminen kurssin neljän osa-alueen osalta. Osa-alueet ovat raja-arvo, jatkuvuus, derivaatta sekä funktion kulku. Kiinnostuin opetuksen kehittämisestä luettuani useita artikkeleita, joissa pohdittiin matematiikan osaamisen tasoa ja sen laskua. Mielestäni opettaja voi opetustavallaan ja käyttämillään esimerkeillä luoda positiivisen ilmapiirin, joka myös kannustaa oppimaan. Tästä syystä päädyin valitsemaan aiheekseni opetuksen kehittämisen opiskelijoiden kokemusten pohjalta. Mielestäni opiskelijat itse osaavat parhaiten kertoa mitkä asiat tuntuvat vaikeimmilta ja kaipaavat selkeyttä. Tutkimukseni koostuu kahdesta osasta. Ensin teen kyselyn lukion toisen vuoden opiskelijoille, jotka ovat suorittaneet Derivaatta-kurssin noin 1,5 kuukautta ennen kyselyn tekemistä. Tutkimukseni toisessa osassa, kyselyn tulosten analysoinnin jälkeen, kehittelen erilaisia esimerkkejä ja ideoita, joilla kurssin asioita voisi havainnollisemmin opettaa opiskelijoille. Tutkielmani aluksi selvitän hieman aiheeni taustaa sekä selvennän tutkimuskysymyksiä. Tutkimuksellani haen vastauksia seuraaviin kysymyksiin: Oliko kurssin osa-alueen käsite vaikea ymmärtää kurssilla? Muistatko edelleen käsitteen? Osaatko soveltaa määritelmää laskuihin/tehtäviin? Mikä kurssin osa-alueista oli vaikein? Mitä asioita haluaisit kehittää kurssin opetuksessa? Tutkimukseni on kvalitatiivinen kyselytutkimus mutta siinä on myös kvantitatiivisia piirteitä. Opiskelijoille teetettävä kysely koostuu kymmenestä monivalintakysymyksestä, jotka käsittelevät kurssin osa-alueiden vaikeustasoa kurssin aikana ja sen jälkeen. Monivalintakysymyksen jälkeen kysyn vielä kurssin vaikeinta osa-aluetta sekä parannusehdotuksia kurssin opetuksen kehittämiseksi. Analysoin kyselyn erilaisin graafisin kuvauksin sekä luokittelemalla ja teemoittelemalla vastauksia pienemmiksi kokonaisuuksiksi. Teetin kyselyn yhdessä eteläsuomalaisessa lukiossa 53 opiskelijalle. Kyselyn avulla sain selville, että opiskelijat kokivat kurssin vaikeimmaksi asiaksi raja-arvon. Toiseksi vaikeimmaksi asiaksi opiskelijat mielsivät funktion kulun, mikä oli mielestäni melko yllättävää. Derivaatta koettiin helpoimmaksi osa-alueeksi; ainoastaan yhden opiskelijan mielestä se oli kurssin vaikein asia. 41% kaikista osa-alueista tuntui opiskelijoiden mielestä vaikealta tai melko vaikealta, mikä on mielestäni suuri luku. Tutkimus vahvisti myös ennakko-oletukseni siitä, että monet asiat ovat voineet tuntua kurssin aikana melko helpolta mutta muutama kuukausi kurssin jälkeen asiat tuntuvatkin vaikeilta, koska ne ovat jääneet kurssin aikana vain pintamuistiin. Kyselyn tekemisen ja analysoinnin jälkeen kehittelen jokaiselle kurssin osa-alueelle konkreettisia esimerkkejä ja opetusideoita, joiden avulla asioita voi havainnollistaa opiskelijoille. Esimerkkien ideana on, että ne poikkeavat perinteisestä oppikirja-liitutaulu työskentelystä ja kannustavat keskusteluun opettajan ja opiskelijoiden välillä. Johtopäätöksenä voi todeta, että erityisesti raja-arvo ja funktion kulku olivat opiskelijoiden mielestä niitä osa-alueita, jotka tuntuivat vaikeilta. Yksittäisenä asiana erityisen vaikealta opiskelijoiden mielestä tuntui funktion erotusosamäärän raja-arvon määrittäminen.

Työni ensimmäinen osio on teoriaosio, jossa esittelen symmetrian, Fibonaccin lukujonon, kultaisen leikkauksen ja fraktaalit. Esittelen aiheet matemaattisesti ja annan esimerkkejä elollisesta ja elottomasta luonnosta, joista kyseisiä aiheita löytyy. Aiheet on valittu siten, että ne voidaan opettaa yläkoulussa yksinkertaistaen. Teoriataustan lisäksi olen tutkinut eheyttävän opetuksen historiaa ja pohtinut nykypäivän opetusta kouluissa eheyttävän opetuksen kannalta. Esittelen myös uusimmasta opetussuunnitelmasta eheyttävän opetuksen tavoitteet. Teoriataustan ja eheyttävän opetuksen tarkastelun pohjalta olen luonut opetustuokioita, joiden avulla yläkoulussa voidaan toteuttaa eheyttävää opetusta matematiikan ja biologian osalta. Tuokiot on jaettu kolmeen erilaiseen osioon, joissa jokainen esittelee erilaisen tavan yhdistää kahta oppiainetta. Ensimmäisen tuokion tavoitteena on harrastuksen kautta matematiikan integrointi oppilaan omaan elämään. Valitsin aiheeksi mehiläisten matematiikan ja olenkin luonut sen ympärille kokonaisuuden, josta voi hyödyntää kokonaisuuden lisäksi yksittäisiä osia. Toinen osio esittelee matematiikan opettamista luonnossa. Sen tavoite on näyttää, ettei oppimistilanteen tarvitse aina sijoittua luokkahuoneeseen. Tässä osiossa olen hyödyntänyt kiertopistetyöskentelyä. Viimeinen osio on tunnin alun motivoinnit, jotka olen luonut toimimaan esimerkkeinä siitä, miten opettaja voi pienillä teoilla tuoda matematiikan lähemmäs oppilaan arkea. Motivoinneista olen luonut valmiit diaesitykset, jotka on kaikkien käytettävissä. Työni tarkoitus on näyttää opettajille, miten eheyttävää opetusta voi toteuttaa yläkoulussa ja pohtia eheyttävän opetuksen merkitystä. Tutkimuksen mukaan opettajat kaipaavat valmiita opetuspakettaja ja olenkin pyrkinyt luomaan mahdollisimman erilaisia tuokioita, jotta opettajilla olisi mahdollisuus nähdä miten laaja eheyttämisen kenttä on. Nykypäivänä usein eheyttävä opetus toteutetaan kouluissa yksittäisinä teemapäivinä, jolloin oppilaille jää helposti niiden yhteys muuhun opetukseen irralliseksi. Tästä syystä pyrin esittelemään tapoja, miten eheyttävää opetusta voi toteuttaa yläkouluissa matematiikan ja biologian osalta.

Tiivistelmä - Referat - Abstract Tavoitteet. Eräs tapa käsitellä affekteja on jakaa ne uskomuksiin, asenteisiin ja tunteisiin. Aiempien tutkimusten mukaan affektit ovat keskeisessä osassa esimerkiksi matemaattisessa ongelmanratkaisussa suoriutumisessa ja yhteydessä siihen, millaisia tavoitteita opiskelija itselleen asettaa. Affekteja voidaan jäsentää valenssin ja aktivaation kautta. Tässä tutkimuksessa selvitetään, millaisia matemaattiseen todistamiseen liittyviä tunteita opiskelijat tyypillisesti kokevat matematiikan yliopisto-opintojen alkuvaiheessa. Tavoitteena oli jäsentää Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssilaisten todistamiseen liittyviä tunteita valenssin ja aktivaation käsitteiden avulla todistamisen oppimisen kannalta hyödyllisiin ja haitallisiin. Mielenkiinnon kohteena olivat lisäksi keinot, joita opiskelijat käyttivät negatiivisista tunteista selviytymiseen. Kiinnostavaa oli myös, miten opiskelijat raportoimiaan tunteita selittivät, ja muuttuivatko opiskelijoiden näkemykset todistamisesta kurssin kuluessa. Menetelmät. Tämän tutkimuksen kohdejoukkona olivat 440 syksyn 2019 Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssin opiskelijat. Aineisto saatiin Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen osaston matematiikan opetuksen tutkimusryhmältä (vastuullinen tutkija Johanna Rämö) ja se koostui opiskelijoiden kirjallisista avovastauksista kysymykseen: ”Millaisia tunteita koet, kun sinun on todistettava jotain matematiikassa?”. Opiskelijoiden vastaukset analysoitiin laadullisella aineistolähtöisellä sekä teoriaohjaavalla sisällönanalyysilla. Tulokset ja johtopäätökset. Todistamiseen liittyi paljon erilaisia tunteita, joista suurin osa lukeutui tätä tutkimusta ohjanneen teoreettisen viitekehyksen mukaan todistamisen oppimisen kannalta hyödyllisiin. Positiivisia tunteita raportoitiin jonkin verran enemmän kuin negatiivisia tunteita. Myös opiskelijoiden käyttämät keinot negatiivisista tunteista selviytymiselle olivat lähes yksinomaan oppimista edistäviä strategioita. Opiskelijoiden asenteet kurssin kuluessa muuttuivat niin ikään todistamisen oppimisen kannalta edulliseen suuntaan. Yleisimmin koetuista tunteista haaste, mielenkiinto, epävarmuus, turhautuminen sekä vaikeus ja hankaluus painottuivat todistamisen alkupuolella, ja onnistumista, mielihyvää sekä iloa koettiin, kun todistustehtävä valmistui. Todistustehtävien tekemiseen näyttää opetteluvaiheessa liittyvän vaihtelevia tunteita. Toiseksi eniten mainintoja positiivisten aktivoivien tunteiden jälkeen saivat negatiiviset ei-aktivoivat tunteet, joten haasteeksi jää, miten oppimisen kannalta haitallisia tunteita kokeneiden opiskelijoiden todistamisen oppimista olisi mahdollista edistää massakurssilla.

Matematiikan historian käyttäminen opetuksessa ei ole uusi ajatus, onhan sen perään kuulutettu jo satakunta vuotta. Kuitenkin alan teoreettinen ja empiirinen tutkimus on suhteellisen tuore ilmiö, ja suuri osa alan tutkimuksesta onkin vasta viimeisten muutaman vuosikymmenen tuotosta. Tässä tutkielmassa tarkastellaan ajankohtaisen kansainvälisen tutkimuksen joitain keskeisiä teoreettisia näkökohtia sekä katsauksia käytäntöön, myös suomalaisen koulun näkökulmasta. Tutkielman alkupuoli keskittyy teoreettiseen tarkasteluun, jossa esitellään perusteluja matematiikan historian käyttämiseksi kouluopetuksessa sekä myös keskeisiä kriittisiä huomioita sitä kohtaan. Perustelut voidaan luokitella kahteen luokkaan: matematiikan historiankäyttämiseksi opetuksessa matematiikan sisältöjen opettamiseksi tehokkaammin tai monipuolisemmin, esimerkiksi motivoinnin tai muun opiskelijan tunnepuoleen vaikuttamisen kautta, sekä matematiikan historian käyttämiseksi opetuksessa historian itsensä, sen tarjoamien metamatemaattisten näkökulmien ja matematiikkaa inhimillistävän vaikutuksen vuoksi. Meta-matemaattisilla näkökulmilla tarkoitetaan mm. matematiikan filosofisten, kulttuuristen ja yhteiskunnallisten ulottuvuuksien tarkastelua. Edelleen matematiikan historian käyttötapoja opetuksessa voidaan jakaa eriasteisiin luokkiin, kuten historian valaisevaan käyttöön, opetusmoduuleihin sekä historiaan pohjautuvaan opetuksen etenemiseen. Valaiseva käyttö tarkoittaa kaikkea opetusta piristävistä anekdooteista aina aiheeseen perehdyttäviin ja sitä kontekstualisoiviin esi- ja jälkipuheisiin. Opetusmoduuleilla taas tarkoitetaan opetuksessa käytettäviä kokonaisuuksia matematiikan opettamiseen ja oppimiseen sekä mahdollisesti meta-matemaattisten kysymysten työstämiseen historian kautta, esimerkiksi projektein ja tutkimustehtävin. Historiaan pohjautuvassa etenemisessä ei historian läsnäoloa välttämättä tuoda esille suorasti, vaan siinä matematiikan opetus ja oppiminen seuraa historian tarjoamia matemaattisten käsitteiden ja keksintöjen syntymisten ja kehittymisten tarjoamaa polkua, esimerkiksi kognitiivisen mallin opetuksessa etenemisjärjestykselle. Historian käyttämisen eri muodot voidaankin ajatella kahden tekijän, sen perusteiden ( miksi historiaa? ) ja toisaalta sen yleisemmän tavan ( miten historiaa? ) määrittäminä. Lisäksi tarkastellaan historiallisten aineistojen ja alkutekstien opetuksessa käyttämiseen liittyviä etuja ja ongelmakohtia. Katsauksessa käytäntöön esitellään joitain matematiikan historiakäyttöön liittyviä tutkimuksia ja niiden tuloksia. Opettajien suosimia tapoja käyttää historiaa opetuksessaan näyttäisivät olevan paitsi henkilöhistorialliset elementit, myös matematiikan historiallisten ongelmien käsitteleminen. Näiden käyttö onkin perusteltua, sillä tämä mahdollistaa monipuoliset ja moniperusteisen käytön matematiikan historialle, tarjoamalla paitsi matematiikkaa inhimillistävän näkökulman, myös kytkemällä tämän kiinteästi matematiikan sisältöjen oppimiseen. On havaittu, että matematiikan historian käyttäminen opetuksessa aidosti edesauttaa oppilaiden kykyä jäsentää ja muotoilla matematiikkaa koskevia käsityksiään ja pohtimaan meta-matemaattisia kysymyksiä, kuin myös ymmärtämään paremmin matemaattisen tutkimuksen tekemisen luonnetta. Kuitenkin opettajien keskeisimpinä haasteina historian käyttämiselle vaikuttaisivat olevan ensisijaisesti asiantuntemuksen puute sekä ajalliset resurssit. Esimerkiksi helposti käytettävät opetusmateriaalit voisivat auttaa opettajia sisällyttämään historiaa opetukseensa pienellä vaivalla. Myös oppikirjojen suuri vaihtelu matematiikan historiaa koskevien sisältöjen osalta luo osaltaan tilanteen, jossa oppilaiden mahdollisuudet käsitellä matematiikan historiaa koulussa vaihtelevat suuresti. Tutkielman lopuksi esitetään suomalaisessa koulussa vektoreita käsittelevällä lukion pitkän oppimäärän kurssilla tehty kokeilu historiallisen lähteen käyttämisestä, sekä opiskelijoilta saadun palautteen pääkohtia. Mikäli opiskelijat eivät ole tottuneet itselleen vieraiden aineistojen tutkimiseen, olisi hedelmällisintä aloittaa niiden käyttäminen totuttelemalla vähän kerrallaan, isompiin kokonaisuuksiin pikku hiljaa siirtyen. Samoin olisi tärkeää laatia avustavia materiaaleja, kuten sanalistoja hankalista vieraskielisistä sanoista ja matemaattisista käsitteistä, tekstien tulkinnan helpottamiseksi.

Tutkimuksessa analysoidaan yliopisto-opiskelijoiden kevään 2018 Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssilla tekemiä kirjallisia ja suullisia itsearviointeja. Ensimmäisenä tavoitteena oli selvittää, millä tekijöillä opiskelijat perustelevat osaamistansa matematiikassa, ja kuinka yleisiä eri perustelut ovat. Toisena tavoitteena oli selvittää, kuinka monipuolisesti yksittäiset opiskelijat perustelevat osaamistansa. Viimeisenä tavoitteena oli selvittää, millä tavalla samojen opiskelijoiden kirjallisesti ja suullisesti suorittamat itsearvioinnit eroavat toisistaan. Tutkimuksen teoriaosassa esitellään monipuolisesti aiempaa itsearvioinnin piiriin kuuluvaa tutkimusta niin itsearvioinnin hyötyjen, käytännön toteutuksen kuin sen vastaanoton kannalta. Lisäksi osiossa esitellään tutkimuksen analyysin pohjana käytettävää aiempaa tutkimusta itsearviointiprosessista. Tutkimusaineisto koostui kolmesta kurssilla suoritetusta itsearviointiharjoituksesta. Opiskelijoiden itsearvioinneista tunnistettiin perusteluja osaamiselle, jotka luokiteltiin aluksi teorialähtöisen sisällönanalyysin periaatteita noudattaen, mutta uusien teemojen noustessa esille itsearviointeja analysoitiin vielä aineistolähtöisesti. Luokiteltu aineisto kvantifioitiin laskemalla eri perustelujen esiintymiskerrat, mikä mahdollisti eri perusteluiden yleisyyden vertailun. Luokitellun aineiston avulla selvitettiin, kuinka moneen luokkaan yksittäisen opiskelijan perusteluita sisältyi, mikä mahdollisti yksittäisen opiskelijan perusteluiden monipuolisuuden selvittämisen. Kirjallisia ja suullisia itsearviointeja verrattiin edellä kuvatulla tapaa perustelujen monipuolisuuden näkökulmasta. Luokittelun pohjalta opiskelijoiden osaamisen perustelut jakaantuivat kahdeksaan eri luokkaan: ulkopuolisilta henkilöiltä saatu palaute, ulkopuolisista lähteistä saatu palaute, sisäinen palaute, harjoitustehtävät, harjoituksen tai rutiinin puute, aiempi opiskelu, ongelmattomuus sekä uskomukset ja mielipiteet. Oppilaan tuntemuksista ja kokemuksista muodostuva sisäinen palaute sekä harjoitustehtävät osoittautuivat yleisimmiksi perusteluiksi. Yksittäinen opiskelija perusteli osaamistansa keskimäärin neljään eri luokkaan kuuluvin perusteluin. Kirjalliset ja suulliset itsearvioinnit eivät oleellisesti eronneet perusteluiden monipuolisuuden kannalta, mutta suullinen itsearviointi auttoi joitakin opiskelijoita tuottamaan runsassanaisempia itsearviointeja. Tutkimuksen perusteella matematiikan yliopisto-opiskelijoilla on keskimäärin riittävät valmiudet perustella omaa osaamistansa jo yhdellä ensimmäisistä matematiikan kursseista. Harjoitustehtävät ja opiskelijoiden sisäiset tuntemukset vaikuttavat tulosten perusteella olevan avainasemassa opiskelijan muodostaessa kuvaa omista taidoistansa.

Albanialainen peruskoulu muistuttaa rakenteeltaan suomalaista peruskoulua, mutta sosioekonomiset ja kulttuurilliset taustat antavat albanialaiselle koulujärjestelmälle ja oppilaille aivan erilaiset lähtökohdat kuin mihin suomalaiset ovat tottuneet. Aiemmat tutkimukset liittyen albanialaiseen koululaitokseen ovat tuoneet esille oppilaiden matematiikan heikon tason, oppilaiden vahvan avaruudellisen hahmottamiskyvyn, opettajien arvostuksen ja positiivisen asenteen koulua kohtaan, vaikkakin työrauhaongelmia esiintyy. Monimenetelmällisessä tutkimuksessa, jossa oli käytössä sekä laadullista että määrällistä aineiston analysointia sekä etnografista kuvailua, halusin selvittää millaista matematiikkaa kolmasluokkalaisten albanialaisten oppilaiden piirroksissa esiintyy ja millainen tunneilmapiiri heidän tunneillaan vallitsee. Tutkimukseen osallistui 47 oppilasta. Tutkimus suoritettiin piirrostutkimuksena kevätlukukauden loppupuolella 2012 Elbasanissa, Albaniassa. Piirrosaineisto analysoitiin valmiin kriteeristön avulla. Analysointi jakautui kahteen osaan: matematiikkaan ja tunneilmapiiriin. Analysoinnissa toin esille luokittelujen mukaisesti piirroksissa esiintyneet keskeiset piirteet. Tutkimuksen piirroksissa matematiikan osalta esiintyi enemmistönä lukualueen 0 – 100 lukuja, mikäli lukuja ylipäänsä oli tuotu piirroksissa esille. Luokan A piirroksissa geometria oli vahvemmin läsnä, kun taas luokan B oppilaat olivat keskittyneet peruslaskutoimituksiin. Molempien luokkien matematiikan kompleksisuus jäi rutiinitehtävien tasolle. Tunneilmapiiriltään oppilaat olivat piirtäneet itsensä iloisiksi, mikäli ilmeet tuotiin esiin. Samoin opettaja oli kuvattu iloisena, mikäli kasvojen ilmeet olivat tunnistettavissa. Vahvin piirre ja samalla yhteinen kaikille piirroksille oli opettajan hiljainen läsnäolo – puhe- tai ajatuskuplia ei opettajalle oltu piirretty.

Työssä tarkastellaan Pohjois-Haagan Yhteiskoulussa järjestettävää lyhyen matematiikan opiskelijoille suunnattua Matematiikan tekniset apuvälineet -kurssia. Tutkielman toisessa luvussa tutustetaan lukija kyseisen koulukohtaisen kurssin sisältöihin ja tavoitteisiin. Sisällöt liittyvät matematiikan opiskelussa käytössä oleviin ohjelmistoihin, joista tärkeimpinä nousevat Abitti-kaavaeditori sekä GeoGebra. Kurssin järjestämiseen on keskeisesti liittynyt uudistunut sähköinen ylioppilaskoe, joten myös sen rakenne esitetään. Kolmas luku käsittelee teoriaa teknologian käyttämisestä matematiikan opetuksessa ja opiskelussa. Keskeisenä osana teoriaa on Ranskassa alkunsa saanut instrumentaalinen lähestymistapa. Se käsittelee todella lyhyesti ja pelkistettynä opiskelijan ohjelmiston käyttöönottamista. Luvussa tarkastellaan myös aikaisemmissa tutkimuksissa havaittuja teknologian vaikutuksia tunteisiin ja eri sukupuoliin, joihin instrumentaalinen lähestymistapa ei vastaa. Myös hyödyllisyyden määritelmä oppimisen ja opettamisen näkökulmasta esitetään. Tutkimus- ja kehittämiskysymykset esitetään omassa luvussaan selkeästi. Tutkielman tarkoituksena on muun muassa tutkia kurssin hyödyllisyyttä opiskelijoiden näkökulmasta sekä heidän muuttuneiden asenteiden perusteella. Instrumentaaliseen lähestymistapaan liittyen tarkoituksena on havaita instrumentin syntyminen ja erilaisia instrumentaalisen orkestraation tyyppejä. Lisäksi tutkimuksessa tarkastellaan sukupuolten välisiä mahdollisia eroja edellä mainittujen tavotteiden ja kurssin kehittämisen lisäksi. Viidennessä luvussa kuvaillaan kurssin valmistelua ja toteutusta. Kurssin suunnittelua ja kurssimateriaalin laadintaa kuvaillaan sekä eri opetusryhmien välisiä eroja avataan tässä luvussa. Kurssimateriaaliin liittyvät keskeisesti viikottaiset tehtävät, jotka löytyvät myös tutkielman liittenä. Lisäksi esitetään tutkimusmenetelmät, joiden avulla pyritään vastaamaan tutkimus- ja kehityskysymyksiin. Aineistona käytetään opiskelijoiden vastauksia kyselyihin, heidän palauttamiaan tehtäviään sekä havaintoja oppituntien aikana. Kyselyjen vastauksia tarkastellaan pääasiassa tilastollisin keinoin, esimerkiksi toistettujen mittausten t-testin avulla sekä sen epäparametrisella vastineella eli Wilcoxonin testillä. Tulokset-luvussa esitetään tutkimuksessa saatuja tuloksia, jotka perustuvat pitkälti opiskelijoiden vastauksiin eri kyselyihin. Kyselyjen vastaukset on esitetty kunkin tehtäväpaketin osalta erikseen, mutta myös vertauksia on tehty, mikäli toistuvia muuttujia on mitattu. Tutkimus antaa esimerkiksi viitteitä teknologian käytön itsevarmuuden merkitsevästi muuttuneen kurssin suorittamisen aikana, mikä antaa samalla viitteitä kurssin hyödyllisyydestä. Myös sukupuolten välisistä eroista saatiin viitteitä, esimerkiksi naisten miehiä positiivisemmasta asenteesta matematiikan aineen opiskelua kohtaan. Viimeisessä luvussa pohditaan tutkimuksen tuloksien luotettavuutta sekä mahdollisia jatkotutkimuksia. Tuloksia tarkasteltaessa on syytä pitää mielessä tutkimukseen osallistuneiden opiskelijoiden pieni määrä, erityisesti miesten osalta.

Matematiikkaa ja filosofiaa pidetään usein varsin erilaisina oppiaineina. Näillä kahdella oppiaineella on kuitenkin paljon yhteistä, ja tämän opinnäytetyön keskeisimpänä tavoitteena on tuoda esille näitä yhteneväisyyksiä. Työssä suunnitellaan kerhomateriaali matematiikkaa ja filosofiaa yhdistävälle, lukioikäisille suunnitellulle kerholle. Itse kerhoa ei tämän työn puitteissa toteutettu. Työn ensimmäisen luvun johdannon jälkeen toisessa luvussa käydään läpi matematiikkaa ja filosofiaa yhdistäviä teemoja. Näitä yhteisiä teemoja ovat näiden oppiaineiden yhteinen historia, keskinäinen vuorovaikutus ja yhteiset aihealueet. Matematiikalle ja filosofialle selkein, yhteinen aihealue on pätevä päättely. Pätevä päättely otettiin tässä työssä suunnitellun kerhomateriaalin harjoitustehtävien aiheeksi. Kerhomateriaaliin otettiin myös lyhyt katsaus työn ensimmäiseen lukuun kerätyistä matematiikkaa ja filosofiaa yhdistävistä teemoista. Työn kolmannessa luvussa käydään läpi pedagogiikkaa siitä, miten ja miksi matematiikkaa ja filosofiaa voi yhdistää. Käymme lisäksi läpi nykyisen lukion opetussuunnitelman matematiikan ja filosofian yhteisiä tavoitteita ja sisältöjä. Tutkimme myös mitä on olla matematiikassa kompetentti ja miten nämä vaatimukset käyvät yhteen matematiikan ja filosofian yhdistämisen tuomien etujen kanssa. Neljännessa luvussa esitellään työssä suunnitellun varsinaisen kerhomateriaalin rakentuminen ja kerhomateriaaliin otetut harjoitukset. Suunniteltu kerhomateriaali löytyy työn lopusta liitteinä.

Työni ensimmäinen osio esittelee origamien matemaattista puolta. Esittelen siinä origamiaksioomat, janan ja kulman jakoa, säännöllisiä monikulmioita ja monitahokkaita sekä fraktaaleja. Origamiaksioomia lukuunottamatta kaikki aiheet esiintyvät tai voisivat esiintyä yläkoulun matematiikassa. Esittelen janan ja kulman jakamisen kaikilla luvuilla kahden ja kymmenen välillä. Ainoastaan kulman jako seitsemällä jää puuttumaan. Säännöllisistä monikulmioista käsittelen kolmion, neliön ja viisi-, kuusi- sekä kahdeksankulmiot. Monitahokkaista käsittelen tarkemmin Platonin kappaleet ja lisäksi esittelen muutaman muun puolisäännöllisen kappaleen. Fraktaalit-osiossa käsittelen kahta origameilla helposti toteutettavaa itsesimilaarista objektia. Olen käsitellyt aiheet yläkoulun matematiikan opettajille suunnatusti ja annan jokaisen aiheen kohdalla taitteluohjeita ja/tai tarkempia matemaattisia perusteluja. Tutkielman toisessa osassa käsittelen origameja matematiikan opetuksessa. Poimin peruskoulun opetussuunnitelman perusteista origameja puoltavia tekstejä ja esittelen origametriaa ja sen menestyksen avaimia. Origametria on projekti, jolla geometriaa opetetaan origamien avulla ja se on saavuttanut suurta menestystä niissä kouluissa, joissa sitä on kokeiltu. Opetussuunnitelman ja origametrian innoittamana olen suunnitellut oppitunteja, jotka tuovat vaihtelua opetukseen ja kehittävät opetussuunnitelman ja origametrian korostamia taitoja. Tuntisuunnitelmat pohjautuvat niihin matematiikan aiheisiin ja käsitteisiin, jotka esittelin ensimmäisessä osiossa. Suunnittelemillani oppitunneilla tutustutaan lukusuoraan fraktaalien avulla, opitaan murtolukuja murtojanoilla parin tai pienryhmän parissa, tutustutaan säännöllisiin ja puolisäännöllisiin monitahokkaisiin tutkivan oppimisen kautta ja taitellaan säännöllisiä monikulmioita kiertävänä rastipistetyöskentelynä. Jokainen tunti on erilainen ja suunniteltu siten, että sen ympärille saa helposti rakennettua muita origamitunteja. Tutkielman tavoitteena on tuoda esille origamien matemaattista ja matematiikan opetuksessa hyödynnettävää puolta. Kokemukseni mukaan osa opettajista ei osaa yhdistää origameja matematiikan opetukseen, vaan ne yhdistetään enemmänkin kuvataiteeseen, muotoiluun ja arkkitehtuuriin. Suunnittelemani oppitunnit ovatkin aiheiltaan kaukana toisistaan juuri sen vuoksi, että se auttaisi opettajia huomaamaan, kuinka monipuolisesti origameja voidaan hyödyntää matematiikan eri käsitteiden oppimisessa.