Browsing by discipline "Utbildning av matematiklärare"
Now showing items 81-100 of 179
-
(2012)Tutkielmani aiheena on lukion pitkän matematiikan Derivaatta-kurssin opetuksen kehittäminen kurssin neljän osa-alueen osalta. Osa-alueet ovat raja-arvo, jatkuvuus, derivaatta sekä funktion kulku. Kiinnostuin opetuksen kehittämisestä luettuani useita artikkeleita, joissa pohdittiin matematiikan osaamisen tasoa ja sen laskua. Mielestäni opettaja voi opetustavallaan ja käyttämillään esimerkeillä luoda positiivisen ilmapiirin, joka myös kannustaa oppimaan. Tästä syystä päädyin valitsemaan aiheekseni opetuksen kehittämisen opiskelijoiden kokemusten pohjalta. Mielestäni opiskelijat itse osaavat parhaiten kertoa mitkä asiat tuntuvat vaikeimmilta ja kaipaavat selkeyttä. Tutkimukseni koostuu kahdesta osasta. Ensin teen kyselyn lukion toisen vuoden opiskelijoille, jotka ovat suorittaneet Derivaatta-kurssin noin 1,5 kuukautta ennen kyselyn tekemistä. Tutkimukseni toisessa osassa, kyselyn tulosten analysoinnin jälkeen, kehittelen erilaisia esimerkkejä ja ideoita, joilla kurssin asioita voisi havainnollisemmin opettaa opiskelijoille. Tutkielmani aluksi selvitän hieman aiheeni taustaa sekä selvennän tutkimuskysymyksiä. Tutkimuksellani haen vastauksia seuraaviin kysymyksiin: Oliko kurssin osa-alueen käsite vaikea ymmärtää kurssilla? Muistatko edelleen käsitteen? Osaatko soveltaa määritelmää laskuihin/tehtäviin? Mikä kurssin osa-alueista oli vaikein? Mitä asioita haluaisit kehittää kurssin opetuksessa? Tutkimukseni on kvalitatiivinen kyselytutkimus mutta siinä on myös kvantitatiivisia piirteitä. Opiskelijoille teetettävä kysely koostuu kymmenestä monivalintakysymyksestä, jotka käsittelevät kurssin osa-alueiden vaikeustasoa kurssin aikana ja sen jälkeen. Monivalintakysymyksen jälkeen kysyn vielä kurssin vaikeinta osa-aluetta sekä parannusehdotuksia kurssin opetuksen kehittämiseksi. Analysoin kyselyn erilaisin graafisin kuvauksin sekä luokittelemalla ja teemoittelemalla vastauksia pienemmiksi kokonaisuuksiksi. Teetin kyselyn yhdessä eteläsuomalaisessa lukiossa 53 opiskelijalle. Kyselyn avulla sain selville, että opiskelijat kokivat kurssin vaikeimmaksi asiaksi raja-arvon. Toiseksi vaikeimmaksi asiaksi opiskelijat mielsivät funktion kulun, mikä oli mielestäni melko yllättävää. Derivaatta koettiin helpoimmaksi osa-alueeksi; ainoastaan yhden opiskelijan mielestä se oli kurssin vaikein asia. 41% kaikista osa-alueista tuntui opiskelijoiden mielestä vaikealta tai melko vaikealta, mikä on mielestäni suuri luku. Tutkimus vahvisti myös ennakko-oletukseni siitä, että monet asiat ovat voineet tuntua kurssin aikana melko helpolta mutta muutama kuukausi kurssin jälkeen asiat tuntuvatkin vaikeilta, koska ne ovat jääneet kurssin aikana vain pintamuistiin. Kyselyn tekemisen ja analysoinnin jälkeen kehittelen jokaiselle kurssin osa-alueelle konkreettisia esimerkkejä ja opetusideoita, joiden avulla asioita voi havainnollistaa opiskelijoille. Esimerkkien ideana on, että ne poikkeavat perinteisestä oppikirja-liitutaulu työskentelystä ja kannustavat keskusteluun opettajan ja opiskelijoiden välillä. Johtopäätöksenä voi todeta, että erityisesti raja-arvo ja funktion kulku olivat opiskelijoiden mielestä niitä osa-alueita, jotka tuntuivat vaikeilta. Yksittäisenä asiana erityisen vaikealta opiskelijoiden mielestä tuntui funktion erotusosamäärän raja-arvon määrittäminen.
-
(2015)Työni ensimmäinen osio on teoriaosio, jossa esittelen symmetrian, Fibonaccin lukujonon, kultaisen leikkauksen ja fraktaalit. Esittelen aiheet matemaattisesti ja annan esimerkkejä elollisesta ja elottomasta luonnosta, joista kyseisiä aiheita löytyy. Aiheet on valittu siten, että ne voidaan opettaa yläkoulussa yksinkertaistaen. Teoriataustan lisäksi olen tutkinut eheyttävän opetuksen historiaa ja pohtinut nykypäivän opetusta kouluissa eheyttävän opetuksen kannalta. Esittelen myös uusimmasta opetussuunnitelmasta eheyttävän opetuksen tavoitteet. Teoriataustan ja eheyttävän opetuksen tarkastelun pohjalta olen luonut opetustuokioita, joiden avulla yläkoulussa voidaan toteuttaa eheyttävää opetusta matematiikan ja biologian osalta. Tuokiot on jaettu kolmeen erilaiseen osioon, joissa jokainen esittelee erilaisen tavan yhdistää kahta oppiainetta. Ensimmäisen tuokion tavoitteena on harrastuksen kautta matematiikan integrointi oppilaan omaan elämään. Valitsin aiheeksi mehiläisten matematiikan ja olenkin luonut sen ympärille kokonaisuuden, josta voi hyödyntää kokonaisuuden lisäksi yksittäisiä osia. Toinen osio esittelee matematiikan opettamista luonnossa. Sen tavoite on näyttää, ettei oppimistilanteen tarvitse aina sijoittua luokkahuoneeseen. Tässä osiossa olen hyödyntänyt kiertopistetyöskentelyä. Viimeinen osio on tunnin alun motivoinnit, jotka olen luonut toimimaan esimerkkeinä siitä, miten opettaja voi pienillä teoilla tuoda matematiikan lähemmäs oppilaan arkea. Motivoinneista olen luonut valmiit diaesitykset, jotka on kaikkien käytettävissä. Työni tarkoitus on näyttää opettajille, miten eheyttävää opetusta voi toteuttaa yläkoulussa ja pohtia eheyttävän opetuksen merkitystä. Tutkimuksen mukaan opettajat kaipaavat valmiita opetuspakettaja ja olenkin pyrkinyt luomaan mahdollisimman erilaisia tuokioita, jotta opettajilla olisi mahdollisuus nähdä miten laaja eheyttämisen kenttä on. Nykypäivänä usein eheyttävä opetus toteutetaan kouluissa yksittäisinä teemapäivinä, jolloin oppilaille jää helposti niiden yhteys muuhun opetukseen irralliseksi. Tästä syystä pyrin esittelemään tapoja, miten eheyttävää opetusta voi toteuttaa yläkouluissa matematiikan ja biologian osalta.
-
(2013)Matematiikan kouluopetuksen ja oppilaiden yksilöllisten tarpeiden kohtaaminen on ajankohtainen ja vahvoja mielipiteitä herättävä aihe mediassa. Tämä sai miettimään voitaisiinko vastuuta lapsen matemaattisesta kehityksestä siirtää aiempaa enemmän myös vanhemmille. Tämän tutkielman lähtökohtana on selvittää miten lapsen matemaattista kiinnostusta ja ajattelua voidaan tukea ja aktivoida kotioloissa. Tutkimuskysymykset asetettiin seuraavasti: Millaisia ongelmakohtia tehtävätuokioissa syntyy, kun matemaattiset taidot eivät ole rajoittava tekijä? Mitä seikkoja vanhemman kannattaa ottaa huomioon sopivia tehtäviä miettiessä? Mitä vaikutuksia matematiikan harrastamisella kotona on? Tutkimuksen koehenkilönä oli peruskoulun toista luokkaa käyvä poika, jonka arkeen pyrittiin yhdistämään matemaattista toimintaa ja erilaisia ongelmanratkaisutehtäviä. Satunnaisesti toimintaan osallistuivat myös hänen sisarensa. Tutkimus oli luonteeltaan kvalitatiivinen tapaustutkimus ja tutkimusmetodina käytettiin osallistuvaa havainnointia. Aineisto perustui matemaattisten tuokioiden kuvailuun sekä pojan tekemiin tehtäviin ja ilmaisemiin mielipiteisiin. Tutkimuksessa havaittiin tehtävien tekoon vaikuttavan vahvasti sekä positiivisessa että negatiivisessa mielessä aiemmat kokemukset vastaavanlaisista tehtävistä. Myös käytännön kokemus siitä, mitä koulussa tämän ikäiseltä vaaditaan, vaikutti tehtävien suoritukseen ja motivaatioon. Itse tehtävissä suurimmat ongelmat muodostuivat kuitenkin tehtävänantojen ja lauseiden tulkinnoissa, jotka ilman kielentämistä olisivat jääneet huomaamatta. Käytännön haasteita olivat vaikeustasoltaan sopivien tehtävien löytäminen, ajan puute, liian läheiset välit ja kilpakavereiden puute. Matematiikan harrastaminen näkyi arjessa lisääntyvänä havainnointina ja kysymyksien asetteluna. Myös sisarukset halusivat osallistua tehtävien tekoon ja koehenkilön eteenpäin vieminä pohdintoihin osallistui lopulta niin koulukavereita kuin sukulaisiakin. Tutkimuksen perusteella matematiikan harrastaminen kotioloissa lisää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan ja aktivoi ajattelua ainakin tässä yksittäistapauksessa.
-
(Helsingin yliopistoHelsingfors universitetUniversity of Helsinki, 2012)Matematiikan historian käyttäminen opetuksessa ei ole uusi ajatus, onhan sen perään kuulutettu jo satakunta vuotta. Kuitenkin alan teoreettinen ja empiirinen tutkimus on suhteellisen tuore ilmiö, ja suuri osa alan tutkimuksesta onkin vasta viimeisten muutaman vuosikymmenen tuotosta. Tässä tutkielmassa tarkastellaan ajankohtaisen kansainvälisen tutkimuksen joitain keskeisiä teoreettisia näkökohtia sekä katsauksia käytäntöön, myös suomalaisen koulun näkökulmasta. Tutkielman alkupuoli keskittyy teoreettiseen tarkasteluun, jossa esitellään perusteluja matematiikan historian käyttämiseksi kouluopetuksessa sekä myös keskeisiä kriittisiä huomioita sitä kohtaan. Perustelut voidaan luokitella kahteen luokkaan: matematiikan historiankäyttämiseksi opetuksessa matematiikan sisältöjen opettamiseksi tehokkaammin tai monipuolisemmin, esimerkiksi motivoinnin tai muun opiskelijan tunnepuoleen vaikuttamisen kautta, sekä matematiikan historian käyttämiseksi opetuksessa historian itsensä, sen tarjoamien metamatemaattisten näkökulmien ja matematiikkaa inhimillistävän vaikutuksen vuoksi. Meta-matemaattisilla näkökulmilla tarkoitetaan mm. matematiikan filosofisten, kulttuuristen ja yhteiskunnallisten ulottuvuuksien tarkastelua. Edelleen matematiikan historian käyttötapoja opetuksessa voidaan jakaa eriasteisiin luokkiin, kuten historian valaisevaan käyttöön, opetusmoduuleihin sekä historiaan pohjautuvaan opetuksen etenemiseen. Valaiseva käyttö tarkoittaa kaikkea opetusta piristävistä anekdooteista aina aiheeseen perehdyttäviin ja sitä kontekstualisoiviin esi- ja jälkipuheisiin. Opetusmoduuleilla taas tarkoitetaan opetuksessa käytettäviä kokonaisuuksia matematiikan opettamiseen ja oppimiseen sekä mahdollisesti meta-matemaattisten kysymysten työstämiseen historian kautta, esimerkiksi projektein ja tutkimustehtävin. Historiaan pohjautuvassa etenemisessä ei historian läsnäoloa välttämättä tuoda esille suorasti, vaan siinä matematiikan opetus ja oppiminen seuraa historian tarjoamia matemaattisten käsitteiden ja keksintöjen syntymisten ja kehittymisten tarjoamaa polkua, esimerkiksi kognitiivisen mallin opetuksessa etenemisjärjestykselle. Historian käyttämisen eri muodot voidaankin ajatella kahden tekijän, sen perusteiden ( miksi historiaa? ) ja toisaalta sen yleisemmän tavan ( miten historiaa? ) määrittäminä. Lisäksi tarkastellaan historiallisten aineistojen ja alkutekstien opetuksessa käyttämiseen liittyviä etuja ja ongelmakohtia. Katsauksessa käytäntöön esitellään joitain matematiikan historiakäyttöön liittyviä tutkimuksia ja niiden tuloksia. Opettajien suosimia tapoja käyttää historiaa opetuksessaan näyttäisivät olevan paitsi henkilöhistorialliset elementit, myös matematiikan historiallisten ongelmien käsitteleminen. Näiden käyttö onkin perusteltua, sillä tämä mahdollistaa monipuoliset ja moniperusteisen käytön matematiikan historialle, tarjoamalla paitsi matematiikkaa inhimillistävän näkökulman, myös kytkemällä tämän kiinteästi matematiikan sisältöjen oppimiseen. On havaittu, että matematiikan historian käyttäminen opetuksessa aidosti edesauttaa oppilaiden kykyä jäsentää ja muotoilla matematiikkaa koskevia käsityksiään ja pohtimaan meta-matemaattisia kysymyksiä, kuin myös ymmärtämään paremmin matemaattisen tutkimuksen tekemisen luonnetta. Kuitenkin opettajien keskeisimpinä haasteina historian käyttämiselle vaikuttaisivat olevan ensisijaisesti asiantuntemuksen puute sekä ajalliset resurssit. Esimerkiksi helposti käytettävät opetusmateriaalit voisivat auttaa opettajia sisällyttämään historiaa opetukseensa pienellä vaivalla. Myös oppikirjojen suuri vaihtelu matematiikan historiaa koskevien sisältöjen osalta luo osaltaan tilanteen, jossa oppilaiden mahdollisuudet käsitellä matematiikan historiaa koulussa vaihtelevat suuresti. Tutkielman lopuksi esitetään suomalaisessa koulussa vektoreita käsittelevällä lukion pitkän oppimäärän kurssilla tehty kokeilu historiallisen lähteen käyttämisestä, sekä opiskelijoilta saadun palautteen pääkohtia. Mikäli opiskelijat eivät ole tottuneet itselleen vieraiden aineistojen tutkimiseen, olisi hedelmällisintä aloittaa niiden käyttäminen totuttelemalla vähän kerrallaan, isompiin kokonaisuuksiin pikku hiljaa siirtyen. Samoin olisi tärkeää laatia avustavia materiaaleja, kuten sanalistoja hankalista vieraskielisistä sanoista ja matemaattisista käsitteistä, tekstien tulkinnan helpottamiseksi.
-
(2013)Työ tutkii matematiikan opetusta Japanissa ja sitä, mitä elementtejä siitä voisi ottaa käyttöön matematiikan opetukseen Suomessa. Japani on tunnettu korkeasta teknologiasta ja luonnontieteiden osaamisesta ja se, kuten Suomikin, pärjää hyvin kansainvälisissä matematiikan oppimista tutkivissa vertailuissa. Japanin ja Suomen kulttuurit poikkeavat paljon toisistaan, joten työssä tutkitaan matematiikan opetusta perusteellisesti aina kulttuurieroista lähtien. Niiden lisäksi työssä käsitellään mm. japanilaista yhteiskuntaa, opetussuunnitelmaa, oppikirjoja ja oppituntien rakennetta. Japanin kulttuuri on yhteisöllinen ja hierarkkinen, jossa sosiaaliset suhteet ja keskinäinen arvojärjestys näkyy arkipäivässä ja kielessä. Koulutus on kuitenkin tasa-arvoinen, ja kaikilta oppilailta odotetaan kovaa työtä hyvien tulosten saavuttamiseksi. Japanissa koulutus on tärkeä, ja 95% yläkoululaisista jatkaa lukioon, joista noin puolet edelleen nelivuotiseen yliopistoon. Japanilaiset arvostavat ahkeruutta, itsekuria, kiitollisuutta ja ryhmätyötaitoja. Ryhmässä työskentely onkin japanilaisille tyypillinen tapa jo kouluissa. Ryhmäkoot ovat suuria, joten tehtävien ratkominen ja pohtiminen tapahtuu usein yhdessä koko ryhmän voimin. Matematiikan tunneilla tyypillistä on aloittaa tunti avoimella ongelmalla, johon pyritään löytämään ratkaisu yhdessä. Japanissa matematiikan tunnit ovat ongelmanratkaisupainotteisia. Toisin kuin Suomessa, Japanissa valtakunnallisen opetussuunnitelman ohessa julkaistaan hyvin yksityiskohtaisia ohjeita siitä, mitä asioita kustakin aihealueesta tulisi tuoda esille. Myös oppikirjat noudattavat näitä ohjeita. Opettajilla on kuitenkin vapaus päättää, millaisia tunteja he pitävät. Japanilaiset opettajat osallistuvat usein opettajien väliseen yhteistyöhön, jota kutsutaan nimellä lesson study. Lesson studyssa saman oppiaineen opettajat kokoontuvat yhteen suunnittelemaan tietyn aiheen tuntia pohtien aiheen haasteita ja mahdollisuuksia. Yksi opettajista pitää tunnin muiden seuratessa ja ottaessa ylös muistiinpanoja. Näin voidaan yhteistyössä kokeilla ja tutkia monia eri menetelmiä ja tapoja opettaa jotakin tiettyä aihetta. Matematiikan opetus Japanissa ja Suomessa eroaa monella tavalla. Kulttuurierot ovat suuret, mutta joitakin Japanin matematiikan opetuksen ominaisuuksia voisi hyödyntää myös Suomessa. Japanilaiselle opetukselle ominaista ongelmalähtöistä työskentelyä, aiheeseen johdatusta ja avoimia ongelmia voisi käyttää Suomen matematiikan tunneilla nykyistä enemmän. Toinen sovellettava ominaisuus on lesson study -menetelmä, jota opettajat voisivat harjoittaa niin oman koulun sisällä kuin laajemminkin yhteistyössä useiden koulujen kanssa. Jo opetusharjoittelussa samansisältöisiä tunteja voisi suunnitella yhdessä useamman harjoittelijan kanssa. Vaikka opettajien välinen yhteistyö ja uusien menetelmien sulava käyttöönotto onkin tärkeää, saattaa lesson study kuitenkin taistella vastaan suomalaisten opettajien käsitystä itsenäisestä työskentelystä. Monet matematiikan opetuksen erot johtuvat kulttuurieroista, mutta hieman soveltamalla eroista voi kuitenkin oppia ja saada uusia välineitä Suomen matematiikan opetukseen.
-
(2015)Albanialainen peruskoulu muistuttaa rakenteeltaan suomalaista peruskoulua, mutta sosioekonomiset ja kulttuurilliset taustat antavat albanialaiselle koulujärjestelmälle ja oppilaille aivan erilaiset lähtökohdat kuin mihin suomalaiset ovat tottuneet. Aiemmat tutkimukset liittyen albanialaiseen koululaitokseen ovat tuoneet esille oppilaiden matematiikan heikon tason, oppilaiden vahvan avaruudellisen hahmottamiskyvyn, opettajien arvostuksen ja positiivisen asenteen koulua kohtaan, vaikkakin työrauhaongelmia esiintyy. Monimenetelmällisessä tutkimuksessa, jossa oli käytössä sekä laadullista että määrällistä aineiston analysointia sekä etnografista kuvailua, halusin selvittää millaista matematiikkaa kolmasluokkalaisten albanialaisten oppilaiden piirroksissa esiintyy ja millainen tunneilmapiiri heidän tunneillaan vallitsee. Tutkimukseen osallistui 47 oppilasta. Tutkimus suoritettiin piirrostutkimuksena kevätlukukauden loppupuolella 2012 Elbasanissa, Albaniassa. Piirrosaineisto analysoitiin valmiin kriteeristön avulla. Analysointi jakautui kahteen osaan: matematiikkaan ja tunneilmapiiriin. Analysoinnissa toin esille luokittelujen mukaisesti piirroksissa esiintyneet keskeiset piirteet. Tutkimuksen piirroksissa matematiikan osalta esiintyi enemmistönä lukualueen 0 – 100 lukuja, mikäli lukuja ylipäänsä oli tuotu piirroksissa esille. Luokan A piirroksissa geometria oli vahvemmin läsnä, kun taas luokan B oppilaat olivat keskittyneet peruslaskutoimituksiin. Molempien luokkien matematiikan kompleksisuus jäi rutiinitehtävien tasolle. Tunneilmapiiriltään oppilaat olivat piirtäneet itsensä iloisiksi, mikäli ilmeet tuotiin esiin. Samoin opettaja oli kuvattu iloisena, mikäli kasvojen ilmeet olivat tunnistettavissa. Vahvin piirre ja samalla yhteinen kaikille piirroksille oli opettajan hiljainen läsnäolo – puhe- tai ajatuskuplia ei opettajalle oltu piirretty.
-
(2014)Suomen ylioppilastutkinto sähköistyy vaiheittain vuosien 2016 ja 2019 välillä. Matematiikan kokeet sähköistetään kokeista viimeisenä. Mediakeskustelua hallitsevan käsityksen mukaan tekniikka ei ole vielä kehittynyt niin paljon, että sen käyttäminen olisi vaivatonta kokelaalle matematiikan kokeessa. Tutkimuksen mukaan valtaosa lukiolaisista tahtoisi tehdä nimenomaan matematiikan kokeen vielä perinteisin menetelmin. Tämän takia on tärkeää pohtia, mitä tieto- ja viestintätekniikalla on tarjota matematiikan ylioppilaskokeelle sekä myös matematiikan lukio-opetukselle. Olennaista olisi löytää ne työvälineet, jotka ovat välttämättömiä lukiolaiselle matemaattiseen työskentelyyn. Työkalujen tulisi olla sellaisia, että niiden käyttö on lukiolaiselle helppoa ja tehokasta. Ylioppilaskokeessa sallituista ohjelmistoista tässä työssä on valittu tutkittavaksi GeoGebra-niminen dynaaminen matematiikkaohjelmisto. Työn ensimmäisessä osuudessa perehdytetään lukija ylioppilastutkinnon sähköistämiseen. Läpi käydään Suomen ylioppilaskokeen sähköistämisen aikataulua, käyttöön soveltuvan laitteiston ja ohjelmistojen esittelyä sekä erityishuomioita juuri matematiikan sähköistyvään kokeeseen liittyen. Tässä osuudessa esitellään myös muiden eurooppalaisvaltioiden käytäntöjä matematiikan sähköisistä koejärjestelmistä. Ennen varsinaista tutkimusosuutta tutustutetaan lukija käytettävyystutkija Jakob Nielsenin yleiseen käytettävyysteoriaan, jota hyödynnetään työssä myöhemmin. Varsinaista tutkimusosuutta pohjustetaan määrittelemällä matemaattisten työvälineiden kriteeristö, joka perustuu voimassaolevaan lukion opetussuunnitelman perusteisiin sekä Ylioppilastutkintolautakunnan määräyksiin nykyisessä matematiikan ylioppilaskokeessa. Laaditun kriteeristön osat ovat algebralliset, laskennalliset, graafiset, todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen sekä logiikan työvälineet opetussuunnitelmaan perustuen, minkä lisäksi listaa täydennetään Ylioppilastutkintolautakunnan määräysten nojalla puhtaaksikirjoitusvälineillä, laskimella ja kaavakokoelmalla. Varsinainen tutkimusosuudessa GeoGebran työalueiden (algebraikkuna, CAS, laskentataulukko, piirtoalue) työvälineitä ja komentoja luodataan edellä mainitun kriteeristön läpi. Tarkoitus on selvittää, miten GeoGebran välineistö soveltuu matematiikan sähköisen ylioppilaskokeen ratkaisemiseen. Ylioppilaskokeen tehtävien pitäisi suoraan pohjautua opetussuunnitelman sisältöön. GeoGebran käytettävyyttä tutkitaan tarkistelemalla Nielsenin käytettävyyden elinkaaren osatekiijöitä. Lisäksi yhtä Nielsenin edullisen käytettävyyssuunnittelun meneltelmää – heuristista läpikävelyä eli asiantuntijan tekemää ohjelmistotarkastelua – on käytetty ohjelmiston käytettävyysongelmien listaamiseksi. Nielsenin mainitsemista jokaisen ohjelmiston tärkeistä ominaisuuksista on tutkittu käyttäjälle sopivaa kieltä, käyttöohjeita ja tukea sekä yhtenäisyyttä. Lopuksi pohditaan tieto- ja viestintätekniikan vaikutusta laajemmin lukiomatematiikan opetukseen. Keskeisimpinä tuloksina havaittiin, että GeoGebran työvälineiden avulla on mahdollista ilmaista lähes kaikkia opetussuunnitelman osa-alueita. Suurimmat puutteet ilmenivät kolmiulotteisen avaruuden mallintamisessa ja puhtaaksikirjoittamisessa. GeoGebra ei kuitenkaan ole ainut sallittu työväline ylioppilaskokeessa, joten muiden ohjelmistojen työvälineillä on mahdollista kompensoida puutteita. Yleisesti ottaen GeoGebran käytettävyys oli hyvä. Ajoittain käytettävyysongelmia koitui muun muassa komentojen toimimattomuudesta ja suoritusnopeuden hidastumisesta. Tutkimuksen tuloksia ei voida kuitenkaan suoraan yleistää, sillä tutkimuksessa ei tehty esimerkiksi lainkaan käyttäjätestausta lukiolaisilla. Tutkimuksen tarkoituksena oli tehdä alustava selvitys siitä, miten GeoGebraa voisi hyödyntää, kun matematiikan ylioppilaskoe tehdään sähköisesti. Tutkimuksen perusteella molemmilla ohjelmilla on mahdollista suorittaa ylioppilaskoe kokonaisuudessaan. Voidaan olettaa, että sähköisen ohjelmiston käyttö matemaattisten tehtävien ratkaisemiseen ja vastauksen muotoilemiseen helpottuu, kun niiden käyttöä harjoitellaan.
-
(2014)Matematiikka-ahdistus tarkoittaa sellaista negatiivista tunnereaktiota, joka häiritsee matemaattisten tai numeeristen tehtävien suorittamista. Sitä esiintyy suurella osalla ihmisistä ja voimakkaimmillaan se on yleensä yläkoulussa. Matematiikka-ahdistus vaikeuttaa uuden asian oppimista matematiikantunneilla ja saa lisäksi henkilön vaikuttamaan kyvyttömämmältä matematiikassa kuin onkaan. Matematiikka-ahdistuksesta kärsivillä on taipumus pyrkiä välttämään matematiikkaa, mikä heikentää heidän saavutuksiaan entisestään. Matematiikka-ahdistuksen hoitokeinot vaativat runsaasti ylimääräisiä resursseja, joten olisi järkevää kiinnittää huomiota tapoihin, joilla matematiikka-ahdistusta voidaan ennaltaehkäistä tavallisessa luokkaopetuksessa. Opettajan asenteet vaikuttavat oppilaisiin voimakkaasti. Abstraktin ajattelun kehittymistä tulee tukea erityisen hyvin. Oppilaita tulee ohjata käsitteiden ymmärtämiseen ulkoa muistamisen sijaan. Luokkaan pitäisi saada luotua keskusteleva ja miellyttävä oppimisympäristö ja arvioinnin tulee olla kannustavaa, painottuen mielellään muuhun kuin kokeiden pitämiseen. Matematiikka-ahdistusta tarkasteltiin tässä tutkimuksessa tapaustutkimuksen keinoin tutustuen lähemmin yhden 8.-luokkalaisen nuoren, Minnan, kokemuksiin ja ajatuksiin. Informantti valikoitui tutkimukseen saatuaan korkeimmat pisteet matematiikka-ahdistusta mittaavassa kyselytutkimuksessa. Varsinainen aineisto kerättiin kolmessa kahdenkeskisessä tapaamisessa Minnan kanssa haastattelujen ja toiminnan kautta. Tapaamisissa haluttiin selvittää, miten Minnan matematiikka-ahdistus on kehittynyt, millaiseksi hän kokee matematiikan ja sen opiskelun ja miten hän opiskelee matematiikkaa. Kerätyn aineiston perusteella voidaan olettaa, että Minnan ahdistavien kokemusten ja epäonnistumisten merkittävimpänä syynä on ollut liiallinen kiire opittavien asioiden läpikäymisessä. Minnan matemaattinen itseluottamus on heikko, hänellä ei vaikuta olevan sisäistä motivaatiota matematiikan oppimiseen, hän on lähes kokonaan lakannut yrittämästä ymmärtää opittavia asioita, mutta näyttää siltä, että hän voisi saada siihen eväitä konkreettisista välineistä. Minnalla on merkittäviä aukkoja ala-asteella opetetuissa asioissa, mikä vaikeuttaa hänen matematiikanopiskeluaan yläasteella ja todennäköisesti myös jatkossa. Päästäkseen eroon matematiikka-ahdistuksesta Minnan tulisi saada lisää onnistumisen kokemuksia, luopua ulkoaopettelun strategiasta, paikata jo syntyneet aukot ja oppia kohtaamaan eteen tuleva matematiikka rohkeasti.
-
(2016)Työni ensimmäinen osio esittelee origamien matemaattista puolta. Esittelen siinä origamiaksioomat, janan ja kulman jakoa, säännöllisiä monikulmioita ja monitahokkaita sekä fraktaaleja. Origamiaksioomia lukuunottamatta kaikki aiheet esiintyvät tai voisivat esiintyä yläkoulun matematiikassa. Esittelen janan ja kulman jakamisen kaikilla luvuilla kahden ja kymmenen välillä. Ainoastaan kulman jako seitsemällä jää puuttumaan. Säännöllisistä monikulmioista käsittelen kolmion, neliön ja viisi-, kuusi- sekä kahdeksankulmiot. Monitahokkaista käsittelen tarkemmin Platonin kappaleet ja lisäksi esittelen muutaman muun puolisäännöllisen kappaleen. Fraktaalit-osiossa käsittelen kahta origameilla helposti toteutettavaa itsesimilaarista objektia. Olen käsitellyt aiheet yläkoulun matematiikan opettajille suunnatusti ja annan jokaisen aiheen kohdalla taitteluohjeita ja/tai tarkempia matemaattisia perusteluja. Tutkielman toisessa osassa käsittelen origameja matematiikan opetuksessa. Poimin peruskoulun opetussuunnitelman perusteista origameja puoltavia tekstejä ja esittelen origametriaa ja sen menestyksen avaimia. Origametria on projekti, jolla geometriaa opetetaan origamien avulla ja se on saavuttanut suurta menestystä niissä kouluissa, joissa sitä on kokeiltu. Opetussuunnitelman ja origametrian innoittamana olen suunnitellut oppitunteja, jotka tuovat vaihtelua opetukseen ja kehittävät opetussuunnitelman ja origametrian korostamia taitoja. Tuntisuunnitelmat pohjautuvat niihin matematiikan aiheisiin ja käsitteisiin, jotka esittelin ensimmäisessä osiossa. Suunnittelemillani oppitunneilla tutustutaan lukusuoraan fraktaalien avulla, opitaan murtolukuja murtojanoilla parin tai pienryhmän parissa, tutustutaan säännöllisiin ja puolisäännöllisiin monitahokkaisiin tutkivan oppimisen kautta ja taitellaan säännöllisiä monikulmioita kiertävänä rastipistetyöskentelynä. Jokainen tunti on erilainen ja suunniteltu siten, että sen ympärille saa helposti rakennettua muita origamitunteja. Tutkielman tavoitteena on tuoda esille origamien matemaattista ja matematiikan opetuksessa hyödynnettävää puolta. Kokemukseni mukaan osa opettajista ei osaa yhdistää origameja matematiikan opetukseen, vaan ne yhdistetään enemmänkin kuvataiteeseen, muotoiluun ja arkkitehtuuriin. Suunnittelemani oppitunnit ovatkin aiheiltaan kaukana toisistaan juuri sen vuoksi, että se auttaisi opettajia huomaamaan, kuinka monipuolisesti origameja voidaan hyödyntää matematiikan eri käsitteiden oppimisessa.
-
(2018)Japanin kulttuurihistoriallisen kehityksen aikana shintolaisuus ja buddhalaisuus ovat toimineet merkittävinä suunnannäyttäjinä japanilaisten elämänkatsomuksessa. Maata aina ajanlaskun alkumetreiltä katkeamattomasti hallinneen Japanin keisarisuvun on uskottu polveutuvan suoraan auringonjumalatar Amaterasusta, jonka olemusta Japanin valkotaustaista kansallislippua koristavan punaisen ympyrän ajatellaan edustavan. Geometrisena kuviona ympyrällä on siten ollut maassa erityislaatuinen asema, minkä takia ei olekaan yllättävää, että ympyrä ja siihen liittyvät tutkimukset ovat olleet myös feodaaliajalla harjoitetun matemaattisen toiminnan keskiössä. Aina 1800-luvulle asti suurin osa Japaniin saapuneista kulttuurivaikutteista oli kiinalaista alkuperää; kalenteri- ja kirjoitusjärjestelmä, maatalous, buddhalaisuus sekä maan hallinnollinen ja oikeudellinen järjestelmä oli kaikki kehitetty kiinalaisen sivistysvaltion näyttämän esimerkin pohjalta. Feodaaliaikaisessa Japanissa korkeamman tason oppineisuuden kehittyminen oli pitkälti buddhalaisten munkkien ansiota, sillä he pitivät itsensä ajan tasalla tieteen viimeisistä edistysaskelista ja levittivät tietouttaan eteenpäin. Matematiikan osalta merkittävin kehitysvaihe feodaaliaikaisen Japanin historiassa tapahtui Edo-kaudella harjoitetun sulkeutumispolitiikan aikana. Maata vuosisadan ajan vavahduttaneiden sisällissotien päätyttyä maahan oli viimein laskeutunut rauha, mikä sai samurait asettamaan miekkansa tuppeen ja keskittymään oman henkisen pääomansa kehittämiseen. Oppineiden samuraiden työn tuloksena sai alkunsa wasan-matematiikkana tunnettu japanilainen matematiikan suuntaus, jonka lähtökohtana olivat Kiinasta peräisin olleet matemaattiset opit, mutta joka kehittyi japanilaisten käsissä nopeasti omille urilleen. Wasan-matematiikka kukoisti aina vuoden 1868 Meiji-restauraatioon saakka, kunnes Japanissa alettiin järjestelmällisesti omaksua lännestä peräisin olevia oppeja, mukaan lukien länsimaista matematiikkaa. Vuosisadan kuluessa aikaisemmin samuraiden asuttamasta feodaaliyhteiskunnasta kehittyi yksi maailman suurimmista teknologia- ja talousmahdeista, jonka matematiikan oppimistulokset ovat kansainväliselläkin tasolla huippuluokkaa.
-
(2015)Tässä tutkielmassa tarkastellaan matematiikan ja taiteen yhteyksiä geometrian maailmassa. Tutkielman tarkoituksena on nostaa esiin sellaisia käsitteitä ja teemoja, joita voidaan käsitellä yhtäältä niin kuvataiteen kuin matematiikankin oppitunneilla. Tutkielma pyrkii omalta osaltaan edistämään matematiikan ja kuvataiteen ainerajojen ylittämistä. Täydellistä ja kokonaisuuden tyhjentävää esitystä matematiikan ja taiteen yhteyksistä ei voida tässä tutkielmassa antaa, sillä tällaisen kokonaiskuvan rakentaminen ei mahtuisi pro gradu -tasoisen tutkielman sivuille. Tässä tutkielmassa nostetaan esiin opetuksellisesti mielenkiintoisia teemoja. Sellaisia teemoja, joita on mahdollista käyttää esimerkiksi lukio-opetuksessa. Tutkielmassa on kolme päälukua, joissa käsitellään pääosin euklidiseen ja epäeuklidiseen geometriaan liittyviä aiheita. Ensimmäisen luvun alussa annetaan lyhyt historiallinen katsaus matematiikan ja taiteen yhteyksiin. Lisäksi tarkastelemme millaisia työkaluja matemaatikot ovat historian saatossa voineet luoda taiteilijoiden avuksi. Perspektiiviopin ollessa yksi merkittävin työkalu, keskittyy tutkielman toinen luku kokonaisuudessa perspektiivin käsitteeseen. Perspektiiviä tarkastellaan historiallisesta, matemaattisesta ja taiteellisesta näkökulmasta. Kolmas luku käsittelee epäeuklidista geometriaa. Tässä luvussa annetaan esimerkki eräästä hyperbolisen geometrian mallista. Tarkastelemme erityisesti Poincarén kiekkomallia. Yhteys matematiikan ja taiteen välille saadaan lopuksi esittelemällä M.C. Escherin Circle limit –teokset. Tutkielma on pyritty kirjoittamaan siten, että sitä pystyisi seuraamaan matemaatikkojen lisäksi taiteilijat. Matemaattisia esitietoja ei siis välttämättä tarvita. Geometrian lukiotasoinen tietämys on kuitenkin suositeltavaa kokonaisuuden paremman ymmärtämisen varmistamiseksi.
-
(2014)Työssä käsitellään kuvataiteessa esiintyvää matematiikkaa ja suunnitellaan perusopetukseen soveltuva opetuskokonaisuus, jossa kuvataidetta hyödynnetään matematiikan opetuksessa. Tavoite on suunnitella mahdollisimman monipuolinen kokonaisuus, josta riittää materiaalia niin yksittäisten oppituntien kuin kokonaisen valinnaisen kurssinkin tarpeisiin. Opetuskokonaisuuden on myös tarkoitus olla vaatimustasoltaan joustava siten, että sitä voidaan helposti muokata eri tasoisten oppilaiden tarpeita vastaavaksi. Ennen opetuskokonaisuuden suunnittelua työssä käydään läpi mm. perspektiivin matematiikkaa, kultaisen leikkauksen ja Fibonaccin lukujen perusominaisuuksia ja geometrisia konstruktioita, sekä hyperbolista geometriaa. Matemaattisia esitietoja ei varsinaisesti tarvita, mutta vektorilaskennasta ja geometriasta olisi hyvä olla jonkin verran lukiopohjaa syvempi tietämys.
-
(2015)Tavoitteet. Käsitykset matematiikasta ovat osa oppilaan matematiikkakuvaa, ja ne vaikuttavat vahvasti matematiikan oppimiseen. Käsitykset voidaan nähdä vastauksena kysymykseen 'Mitä matematiikka on?'. Perinteinen ainejakoinen opetus ei mahdollista kunnollista yhteyksien luomista oppiaineiden välille, mikä taas on tavoitteena oppiaineiden integraatiossa. Oppiaineiden integraatiolla pyritään käsittelemään todellisen maailman ilmiöitä, ja siten laajentaa oppilaiden käsityksiä. Oppiaineiden integraatio on nousevana teemana opetussunnitelmauudistuksissa. Oppiaineiden integraatiota on formaalin opetussuunnitelman ohjaaman kouluopetuksen sijaan huomattavasti helpompi toteuttaa nonformaaleissa oppimisympäristöissä, kuten koulun kerhotoiminnan piirissä. Menetelmät. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on kartoittaa 4.– 6.-luokkalaisten käsityksiä matematiikasta sekä selvittää, voidaanko oppiaineiden integraatiolla nonformaalissa tiedekerhossa vaikuttaa näihin käsityksiin. Tutkimuksen avulla pyritään saamaan tietoa oppiaineiden integraation sekä tiedekerhojen kannattavuudesta. Tutkimuksen aineiston keruu suoritettiin syksyn 2014 aikana kahdessa pääkaupunkiseudun alakoulussa, joista kerhoon osallistui yhteensä 21 oppilasta. Kerhot järjestettiin kuuden viikon jaksoissa, puolitoista tuntia kerrallaan. Lisäksi toisessa kouluista aineistoa kerättiin 17 kerhoon osallistumattomalta oppilaalta. Aineistoa kerättiin lomakekyselyillä, havainnoimalla, sekä haastatteluilla. Aineistoa analysoitiin sekä kvalitatiivisin että kvantitatiivisin keinoin. Tulokset ja johtopäätökset. Kerholaisten käsitykset matematiikasta eivät osoittautuneet kovinkaan yksiselitteisiksi, vaan edustivat monia aspekteja. Tutkimuksen aikana kerholaisten käsityksissä ei myöskään tapahtunut suuria muutoksia, mutta kerho tarjosi osallistujille elämyksiä matematiikan parissa. Kerholaiset myös oppivat kerhojen aikana uusia asioita matematiikasta, vaikka oppiminen ei varsinaisena tavoitteena ollutkaan.
-
(2017)Denna pro-gradu avhandling behandlar temat matematiskt begåvade elever. I avhandlingen beskrivs vad som menas med begåvade elever och vilka olika typer av begåvade elever det finns. Vidare behandlar den hur begåvade elever beaktas i det finländska skolsystemet. I avhandlingen tas även upp ett antal exempel på olika undervisningsmetoder som kan användas för att stöda begåvade elevers inlärning. I anslutning till avhandlingen gjordes även en forskning som gick ut på att undersöka hur medvetna lärare är då det kommer till begåvade elever, samt hur bra lärare själva upplever att de beaktar begåvade elever i sin undervisning och vilka metoder de använder, målgruppen var matematiklärare i Svenskfinland och undersökningen gjordes med en enkät som skickades ut till 96 matematiklärare. Forskningen gick vidare ut på att undersöka hur tidigare elever upplevde matematikundervisningen i högstadiet, och hur bra de upplevde att läraren beaktade begåvade elever. Målgruppen för denna undersökning var finlandssvenskar, och undersökningen genomfördes med en enkät som delades via utvalda medier.
-
(2014)Megaminx on dodekaedrinmuotoinen pulmapeli, jonka kaikki 12 sivua ovat erivärisiä. On olemassa myös kuuden värin versioita, joissa vastakkaiset sivut ovat samanvärisiä. Jokaisella sivulla on yksi keskuspala, 5 kulmapalaa ja 5 särmäpalaa. Keskuspalat pysyvät paikallaan, mutta muita paloja voi liikuttaa toistensa suhteen, jolloin yhdellä sivulla voi olla useita erivärisiä paloja. Tehtävänä on palauttaa palat paikoilleen niin, että jokainen sivu olisi yksivärinen. Tässä työssä esitellään tehtävän ratkaisulle eräs algoritmi ja todistetaan, että se toimii kaikissa tapauksissa. Johdantoluvussa esitellään Megaminx. Toisessa luvussa käydään läpi Megaminxin matemaattinen tausta ja tarvittavia ryhmäteorian käsitteitä. Luvussa 3 esitetään siirtosarjat, joilla pulmapeli saadaan ratkaistua, ja osoitetaan, että esitetyt siirtosarjat riittävät kaikissa tapauksissa. Kaksi siirtosarjaa siirtää paloja oikeille paikoilleen, toinen särmäpaloja ja toinen kulmapaloja. Vastaavasti kaksi siirtosarjaa kääntää paloja oikeaan asentoon, niistäkin toinen särmäpaloja ja toinen kulmapaloja. Neljännessä luvussa tarkastellaan siirtosarjojen syntyä ja vaihtoehtoisia ratkaisutapoja. Liitteissä A ja B käydään vielä läpi nurkka- ja särmäpalojen kombinaatiot, joihin viitataan luvun 3 todistuksissa, kombinaatioiden määrä ja konjugoivat siirrot.
-
(2013)Yliopistoissa, erityisesti teknillisellä alalla, opinnot etenevät keskimäärin tavoiteaikaa hitaammin. Hidas eteneminen myöhentää opiskelijoiden tulevaa työuraa, ja hitaalla etenemisellä voi olla kauaskantoisia vaikutuksia. Opiskelijat listaavat suurimmiksi esteiksi opintojen etenemiselle epämotivoivat kurssit sekä ajankäytön ongelmat, ja myös huonot opetusmenetelmät mainitaan opintoja hidastavaksi ongelmaksi. Näiden havaintojen perusteella on kiinnitettävä erityistä huomiota opiskelijoiden motivoimiseen ja parempiin opetusmenetelmiin, jotka helpottaisivat kurssien joustavamman suorittamisen. Tutkimuksessa kehitettiin teknillisen alan fysiikan peruskursseja opetusmetodeiltaan paremmiksi. Tutkimus toteutettiin fysiikan kursseja kehittämällä, mutta tässä tutkimuksessa keskityttiin osa-alueeseen, jolla matematiikan ja siihen verrattavien aineiden osaaminen on oleellista. Kurssiongelmat fysiikan suurilla massakursseilla ovat samanlaisia kuin matematiikan massakursseilla, ovathan näiden aineiden kurssikäytännöt paljon toisiaan vastaavat. Kurssit sijoittuivat opinnoissa ensimmäiselle ja toiselle opiskeluvuodelle ja niille osallistui noin 250 opiskelijaa. Kurssien aikaisempia käytäntöjä voi kuvata erittäin traditionaalisiksi; pääpaino on ollut oikeiden vastausten siirtämisessä opettajalta opiskelijoille. Opiskelijat ovat pitäneet aikaisempia kurssikäytäntöjä toimimattomina. Ensimmäisessä vaiheessa pilotoitiin sähköisiä laskuharjoituksia STACK-järjestelmää hyödyntäen pienemmän testiryhmän avulla. Toisessa vaiheessa pilotoinnin tulosten perusteella kehitettiin kaikilla opiskelijoilla käytössä ollut tietotekniikkaa hyödyntävä laskuharjoituskäytäntö massaluentojen oheen. Kehityksen tukena oli laskuharjoituskäytännön lisäksi myös pienempiä muutoksia, kuten Moodle-kurssialusta, älykynällä toteutetut vinkitykset sekä tietokonevälitteinen ohjausmahdollisuus. Tutkimuksen kahden vaiheen lopputuloksena kehitettiin kurssikäytäntömalli, joka kannusti opiskelijoita laskemaan tehtäviä huolellisemmin ja joka johti parempiin tuloksiin kurssin tentissä. Aikaisemmilla kursseilla havaittu laskuharjoitusten kopioiminen poistui laskuharjoitusten siirtyessä osittain sähköisiksi. Myös laskuharjoitusten vaikutus tenttipisteisiin kasvoi. Tutkimuksen aikana löydettiin sekä opiskelijoita että opettajia miellyttänyt malli lähi- ja etäopetuksen yhdistämisestä laskuharjoituksissa.
-
(2016)Tavoitteet. Minäpystyvyyden on todettu olevan olennainen osa oppimista ja suoriutumista annetuista tehtävistä. Jos oppilas uskoo omiin kykyihinsä ja jaksaa ponnistella vastoinkäymisistä huolimatta, hän pääsee parempiin tuloksiin kuin samalla osaamistasolla oleva oppilas, joka ei usko itseensä. Sama pätee myös matematiikan oppimisessa ja tämä teoria onkin tämän tutkielman pohjana. Tutkimuksen tarkoituksena on kartoittaa yhdeksäsluokkalaisten minäpystyvyyttä ja selvittää, vastaako oppilaiden omat käsitykset heidän todellista osaamistaan. Tärkeänä osana tutkimusta on vertailla sukupuolten välisiä eroja minäpystyvyyden, matematiikasta pitämisen sekä osaamisen kohdalla. Matemaattisen osaamisen mittariksi valikoitui yhtälönratkaisu, sillä se on yksi haastavimmista aiheista yläkoulussa, mutta kuitenkin tärkeä asia hallita. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui syksyllä 2015 erään helsinkiläisen koulun kaksi yhdeksättä luokkaa, yhteensä 40 oppilasta. Tutkimus suoritettiin kahdessa osassa, ensimmäinen osio oli 21 väitettä sisältävä lomake koskien minäpystyvyyttä ja toiseen osioon kuului kolme yhtälönratkaisuun liittyvää tehtävää. Aineistoa analysoitiin kvantitatiivisen tutkimuksen menetelmin. Tulokset ja johtopäätökset. Tutkimuksessa saatujen tulosten mukaan yhdeksäsluokkalaisten poikien minäpystyvyys on korkeammalla tasolla kuin tyttöjen. Samankaltaisia tuloksia on saatu myös aiemmissa tutkimuksissa. Sen sijaan matematiikasta pitämisen osalta tytöillä oli hieman poikia korkeampi tulos. Osaamisen paremmuus jakautui sukupuolten kesken riippuen mittarista. Tätä tutkimusta varten laaditusta yhtälönratkaisutestistä pojat saivat korkeammat pisteet kuin tytöt, mutta yhtälökurssin arvosanojen keskiarvo oli tytöillä poikia parempi. Yhtälönratkaisutesti tuotti molempien sukupuolien edustajille melko suuria vaikeuksia eikä oppilaat yltäneet yhtä hyviin suorituksiin kuin yhtälökurssilla.
-
(2016)Tutkielmassa tarkastellaan matematiikan historiallista kehitystä, uusimpia opetussuunnitelmia New Math-liikkeen ideoiden pohjalta luotuja opetussuunnitelmia. Historiaa käydään läpi aina varhaishistoriasta 1700-luvulle ja verrataan tätä matematiikan historiallista kehitystä opetussuunnitelmiin pohjautuvaan matematiikan opetuksen etenemiseen Opetushallituksen ohjeiden Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 ja Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 pohjalta. 1960- ja 1970-luvuilla vaikuttaneen New Math -liikkeen ideoiden synnyttämät opetussuunnitelmat tuovat erilaisen näkökulman matematiikan opetuksen etenemiseen lähtökohtien ollessa lähes täysin vastakohtaiset nykyisiin opetussuunnitelmiin ja matematiikan historialliseen kehitykseen verrattaessa. Suomalaisittain New Math tunnetaan nimellä Uusi matematiikka ja muistetaan kenties parhaiten joukko-opin sisällyttämisestä peruskouluun jo alaluokilta asti. Tutkielmassa edetään ensin tarkastellen yleistä matematiikan historiaa ja kulttuurien filosofisia lähtökohtia matematiikan kehittymiselle. Puhtaasta historian tarkastelusta siirrytään opetussuunnitelmien vaiheittaiseen tutkimiseen samalla vertaillen opetussuunnitelmien mukaista etenemistä historialliseen kehitykseen. Tutkielmassa edetään lähtien peruskoulun alaluokista (1-2) siirtyen keskimmäisten vuosiluokkien (3-6) kautta yläluokille (7-9), jonka jälkeen tarkastellaan lukion opetussuunnitelmaa pääasiallisesti keskittyen pitkään oppimäärään. New Math -liikkeen historiaa ja vaikutusta opetussuunnitelmiin käydään läpi erillisessä kappaleessa samalla verraten tätä muutosta uusimpiin opetussuunnitelmiin ja matematiikan historialliseen kehitykseen.
-
(2012)Tässä matematiikan opettajalinjan pro gradu -tutkielmassa tutkitaan monikulmiolukuja sekä Eulerin viisikulmiolukulausetta. Tutkielma rakentuu kahdesta osasta, joista esimmäisessä käsitellään aiheita matemaattisesti ja toisessa pohditaan opettajan näkökulmasta, miten monikulmiolukuja voisi soveltaa yläkoulun matematiikassa. Matemaattisen osion kahdessa ensimmäisessä luvussa tarkastellaan monikulmiolukuja sekä niiden ominaisuuksia. Ensimmäinen luku käsittelee monikulmiolukuja yleisesti, kun taas toisessa luvussa syvennytään enemmän yhteen monikulmiolukuryhmään, viisikulmiolukuihin. Toisessa luvussa näytetään joitakin ensimmäsessä luvussa monikulmioluvuille yleisesti saatuja tuloksia viisikulmioluvuille sekä esitellään muun muassa yleistetyt viisikulmioluvut, jotka ovat tärkeässä osassa tutkielman kolmannessa luvussa. Matemaattisen osion viimeisessä luvussa todistetaan kahdella tavalla Eulerin viisikulmiolukulause sekä näytetään sen merkitys kokonaislukujen ositusten kannalta. Tutkielman pedagoginen osa on monikulmiolukuja käsittelevä opetuspaketti, jonka tarkoituksena on tukea yläkoululaisten matemaattista ajattelua. Paketti sisältää monikulmiolukuihin liittyvän historiaosion, teoriaa sekä tehtäviä. Teoriaosuudet on tarkoitettu lähinnä opettajien käyttöön, mutta niistä ei löydy kattavia todistuksia joka asiaan. Matemaattinen osa on kuitenkin tarkoitettu täydentämään opetuspakettia niin, että tarvittaessa puuttuvan todistuksen voi etsiä sieltä. Paketin tehtävät ovat eritasoisia, ja ne sopivat siksi hyvin eriyttämiseen. Paketin sisältö ei kuitenkaan sovi suoraan mihinkään perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa oleviin matematiikan sisältöihin, joten opetuspaketin käyttöönotto tavallisessa luokkaopetuksessa ei välttämättä onnistu. Paketti soveltuu kuitenkin loistavasti esimerkiksi matematiikkakerhotoimintaan.
-
(2016)Tässä työssä tutkitaan neliön tasaosittamiseen liittyvää Monskyn lausetta sekä esitellään sen todistamisessa tarvittava matemaattinen koneisto. Monskyn lause on matemaattinen lause, joka yhdistää kaksi toisistaan näennäisesti erillistä matematiikan osa-aluetta. Lauseen mukaan neliötä ei voida osittaa parittomaan määrään kolmioita, joilla on keskenään sama pinta-ala. Päämääränä on esitellä Monskyn lauseen todistamiseen tarvittava koneisto sekä itse lause ja tämän todistus. Monskyn lauseen merkittävyys piilee siinä, että sen todistus rakentuu kahdesta (tai kolmesta) osasta, jotka yhdistävät kaksi näennäisesti erillistä matematiikan osa-aluetta, topologian ja algebran. Todistuksen topologinen osuus tiivistyy niin kutsuttuun Spernerin lemmaan, josta on työssä esitetty useampi versio. Todistuksen algebrallinen osuus puolestaan sisältää valuaatiot ja näiden laajennukset. Valuaatioista työssä perehdytään erityisesti 2-adiseen valuaatioon sekä Chevalleyn lauseeseen, jonka avulla pystytään rationaalilukujen kunnassa määritelty 2-adinen valuaatio laajentamaan reaalilukujen kuntaan. Ensimmäisessä luvussa johdatellaan aiheeseen käymällä läpi, miten ongelma neliön tasaosittamisesta parittomaan määrään kolmioita on saanut alkunsa ja kuinka Monskyn lauseen todistus on pala palalta vuosien saatossa saavuttanut yleistetyn muotonsa. Toisessa ja kolmannessa luvussa luodaan matemaattinen koneisto Monskyn lauseen todistamiselle erityistapauksessa, kun neliön kärkipisteiden koordinaatit ovat rationaalilukuja. Näissä luvuissa lukija perehdytetään Spernerin lemmaan, valuaatioihin ja näiden ominaisuuksiin sekä 2-adisen valuaation käsitteeseen. Kappaleiden keskeisiä käsitteitä ovat muun muassa täydellisyys, valuaatio ja 2-adinen valuaatio. Neljännessä luvussa esitetään ja todistetaan Chevalleyn lauseesta välittömästi seuraava tulos, jonka avulla pystymme laajentamaan minkä tahansa valuaation mistä tahansa kunnasta tämän kunnan alikuntaan. Tuloksen ansiosta Monskyn lause on mahdollista yleistää. Viidennessä ja samalla viimeisessä luvussa päästään viimein varsinaiseen Monskyn lauseen todistukseen. Luvun alussa todistusta pohjustetaan vielä muutamilla valuaation ominaisuuksiin pohjautuvilla lemmoilla. Alaluvussa 5.1. todistetaan Monskyn lause nojautuen Spernerin lemmaan sekä luvussa aiemmin esitettyyn 2-adisen valuaation ominaisuuksiin perustuvaan lemmaan 5.4.. Lopuksi, alaluvuissa 5.2.-5.4. käsitellään vielä muutamia tunnettuja tuloksia liittyen muiden monikulmioiden tasaosituksiin.
Now showing items 81-100 of 179