Browsing by discipline "Matematiikka"

Tämän tutkielman päätavoitteena on esitellä Monskyn lause ja sen todistamisessa tarvittavat työkalut. Monskyn lause toteaa, ettei neliötä voida osittaa parittomaan määrään kolmioita, joilla on keskenään sama pinta-ala. Tutkielma alkaa kategoriateorian kontekstista, jossa raja ja koraja voidaan määritellä universaaliobjekteina mielivaltaisessa kategoriassa. Ensin on tutustuttava muun muassa kategorian, funktorin ja luonnollisen muunnoksen käsitteisiin. Lopuksi tarkastellaan rajan ja korajan tärkeitä erikoistapauksia. Kolmannessa luvussa määritellään p-adiset kokonaisluvut renkaiden kategorian rajakonstruktiona. Tämän osamääräkuntana saadaan p-adisten lukujen kunta, jonka laskutoimituksiin tutustutaan esimerkkien avulla. Neljäs luku keskittyy epäarkhimedisiin itseisarvoihin, valuaatioihin ja erityisesti p-adiseen valuaatioon. Viidennessä luvussa tarkastellaan valuaatiorenkaita ja niiden yhteyttä kunnan valuaatioon. Keskeisimpinä tuloksina todistetaan Zornin lemma ja siihen nojautuva Chevalleyn lause, josta seuraa, että kunnan valuaatio voidaan aina laajentaa ylikuntaan. Seuraavassa luvussa tätä tulosta sovelletaan 2-adiseen valuaatioon. Viimeisessä luvussa esitellään Spernerin lemma ja sen yleistys, jotka vastaavat Monskyn lauseen todistuksen kombinatorista osuutta. Taso väritetään sen jälkeen kolmella eri värillä siten, että pisteiden värit määräytyvät niiden koordinaattien 2-adisista valuaatioista. Värityksen ominaisuuksista ja Spernerin lemmasta seuraa, että neliön tasaosituksessa on oltava parillinen määrä kolmioita. Lopuksi esitellään Monskyn lauseen yleistyksiä muille monikulmioille ja n-ulotteisille kappaleille.

Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee Eukleideen algoritmia ja joitakin sen sovelluksista ja yleistyksistä. Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko (n. 300 eaa), joka kirjoitti muun muassa teoksen Alkeet. Alkeet on erityisesti geometrian kokonaisteos, mutta se sisältää myös jonkin verran lukuteoriaa, muun muassa Eukleideen algoritmin. Tämä algoritmi on yksi vanhimmista algoritmeista, jotka ovat yleisessä käytössä. Tutkielmassa esitellään Eukleideen algoritmi, jonka avulla voidaan selvittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä ja Diofantoksen yhtälöt, jotka ovat kokonaislukukertoimisia kahden tai useamman muuttujan polynomiyhtälöitä. Tutkielman lopussa esitellään muutamia Eukleideen algoritmin sovelluksia ja algoritmin yleistyksiä muille kuin kokonaisluvuille.

Detta arbete är min Pro Gradu avhandling inom matematik och avhandlingen är gjord som en litteraturstudie. I denna avhandling presenteras den Euklidiska geometrin genom att introducera Euklides fem postulat. Det femte postulatet, parallellpostulatet, behandlas närmare eftersom det länge var kontroversiellt och dess relation till de övriga postulaten var oklar. I denna avhandling behandlas även bristerna i de Euklidiska postulaten på grund av att Euklides har baserat en del av sina bevis endast på gurer samt gjort antaganden som ej explicit bevisats. Det mest kända systemet för den Euklidiska geometrin där alla axiom är explicit formulerade är formulerad av David Hilbert. Hilbert formulerade 16 stycken axiom som indelas i fem grupper: incidensaxiomen, ordningsaxiomen, kontinuitetsaxiomen, kongruensaxiomen och parallellaxiomet. Denna avhandling bygger upp och presenterar den Hyperboliska geometrin genom att presentera några av matematikerna som arbetade med att ställa upp den Hyperboliska geometrin. Detta gjorde de genom att anta att de fyra första postulaten av Euklides gäller. Dessutom presenteras det Hyperboliska axiomet som är negationen av Euklides parallellpostulat och samtidigt det femte antagandet för den Hyperboliska geometrin. I avhandlingen tas det även upp tre stycken olika modeller för den Hyperboliska geometrin. Modellerna som tas upp är: Kleins modell samt Poincarés halvplansmodell och cirkelmodell. Till sist i avhandlingen bevisas det att den sistnämnda modellen är konsistent genom att använda oss av metoden med inversioner i cirklar. Med hjälp av denna metod kan det bevisas att de sex kongruensaxiomen som gäller för den Euklidiska geometrin också gäller för Poincarés cirkelmodell. Avhandlingen avslutas med en diskussion om vad konsistensen av modellen betyder.

Stochastic differential equations arise typically in situations where for instance the time evolution of a given quantity has some degree of inherent uncertainty. Dating back to Albert Einstein's work in 1905, stochastic differential equations are widely used in applications such as mathematical physics and financial mathematics. Classical examples include the Black-Scholes model, and Ornstein-Uhlenbeck process as the solution of the Langevin equation. In addition, stochastic differential equations have connections to the theory of deterministic partial differential equations, and the Sobolev space theory of deterministic calculus has its counterpart in the stochastic case as well, leading to the so-called Malliavin calculus, or stochastic calculus of variations. There also exists a considerable research literature of stochastic analysis with respect to other processes than Brownian motion, such as Lévy processes. In this thesis we present an existence and uniqueness theorem for stochastic differential equations with respect to a Brownian motion, under the assumption that the coefficients satisfy Lipschitz and linear growth estimates. The theorem is originally due to Kiyosi Itô. In addition, we present a proof of the continuity of the solution with respect to the initial data, assuming it is deterministic. This theorem was originally proved by Tsukasa Fujiwara and Hiroshi Kunita.

We study growth estimates for the Riemann zeta function on the critical strip and their implications to the distribution of prime numbers. In particular, we use the growth estimates to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which gives an upper bound for the difference between consecutive prime numbers. We also investigate the distribution of prime pairs, in connection which we offer original ideas. The Riemann zeta function is defined as ζ(s) := \sum_{n =1}^{∞} n^{-s} in the half-plane Re s > 1. We extend it to a meromorphic function on the whole plane with a simple pole at s=1, and show that it satisfies the functional equation. We discuss two methods, van der Corput's and Vinogradov's, to give upper bounds for the growth of the zeta function on the critical strip 0 ≤ Re s ≤ 1. Both of these are based on the observation that ζ(s) is well approximated on the critical strip by a finite exponential sum \sum_{n =1}^{T} n^{-s} = \sum_{n =1}^{T} exp\{ -s log n \}. Van der Corput's method uses the Poisson summation formula to transform this sum into a sum of integrals, which can be easily estimated. This yields the estimate ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{\frac{1}{6}} log t), as t → ∞. Vinogradov's method transforms the problem of estimating an exponential sum into a combinatorial problem. It is needed to give a strong bound for the growth of the zeta function near the vertical line Re s = 1. We use complex analysis to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which states that if ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{c}) for some constant c > 0, then for any θ > \frac{1+4c}{2+4c}, and for any function x^{θ} << h(x) << x, we have ψ (x+h) - ψ (x) ∼ h, as x → ∞. The proof of this relies heavily on the growth estimate obtained by the Vinogradov's method. Here ψ(x) := \sum_{n ≤ x} Λ (n) = \sum_{p^k ≤ x} log p is the summatory function of the von Mangoldt's function. From this we obtain by using van der Corput's estimate that the difference between consecutive primes satisfies p_{n+1} - p_{n} < p_{n}^{\frac{5}{8} + \epsilon} for all large enough n, and for any \epsilon > 0. Finally, we study prime pairs, and the Hardy-Littlewood Conjecture on their distribution. More precisely, let π _{2k}(x) stand for the number of prime numbers p ≤ x such that p+2k is also a prime. The following ideas are all original contributions of this thesis: We show that the average of π _{2k}(x) over 2k ≤ x^{θ} is exactly what is expected by the Hardy-Littlewood Conjecture. Here we can choose θ > \frac{1+4c}{2+4c} as above. We also give a lower bound of π _{2k}(x) for the averages over much smaller intervals 2k ≤ E log x, and give interpretations of our results using the concept of equidistribution. In addition, we study prime pairs by using the discrete Fourier transform. We express the function π _{2k}(n) as an exponential sum, and extract from this sum the term predicted by the Hardy-Littlewood Conjecture. This is interpreted as a discrete analog of the method of major and minor arcs, which is often used to tackle problems of additive number theory.

We study quasiminimal classes, i.e. abstract elementary classes (AECs) that arise from a quasiminimal pregeometry structure. For these classes, we develop an independence notion, and in particular, a theory of independence in M^{eq}. We then generalize Hrushovski's Group Configuration Theorem to our setting. In an attempt to generalize Zariski geometries to the context of quasiminimal classes, we give the axiomatization for Zariski-like structures, and as an application of our group configuration theorem, show that groups can be found in them assuming that the pregeometry obtained from the bounded closure operator is non-trivial. Finally, we study the cover of the multiplicative group of an algebraically closed field and show that it provides an example of a Zariski-like structure.

Tutkielmassa esitellään fregeläisen logiikan yleistys ja todistetaan yhdenmukaisia malleja koskevia tuloksia. Kun fregeläisessä logiikassa lauseiden referenssien joukossa on tasan kaksi alkiota - tosi ja epätosi - fregeläisen logiikan yleistyksessä kyseisen joukon mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa. Referenssejä kutsutaan tilanteiksi, ja lisäksi oletetaan, että tilanteita on vähintään kaksi. Tuloksena on logiikka, joka on loogisesti kaksiarvoinen mutta ontologisesti ei. Yhdenmukainen malli tekee syntaktisesta ja semanttisesta seurauskuvauksesta samat. Aluksi osoitetaan, että eräällä syntaktisella seurauskuvauksella on yhdenmukainen malli. Tämän jälkeen todistetaan, että kyseinen malli on ylinumeroituva. Viimeiseksi näytetään, että sellaisia syntaktisia seurauskuvauksia, joilla on yhdenmukainen malli, on ylinumeroituvasti.

This thesis covers the factorization properties of number fields, and presents the structures necessary for understanding a proof on Iwasawa's theorem. The first three chapters aim to construct a ring of integers for arbitrary number fields, and prove that such a ring exists. We prove that our ring of integers is a Dedekind ring, giving us unique factorization on the set of prime ideals. We prove that there exists an isomorphism between principal and factorial divisors and ideals, define an equivalence relation on the set of all divisors, and show that the equivalence classes form the ideal class group. The class number of a field is defined as the order of the ideal class group. We define ramification of primes, and the invariants related to a prime P called the ramification index, inertia degree and decomposition number. We expand on the Galois theory of finite extensions, by introducing a topology on an infinite algebraic Galois extension, and a Galois correspondence between closed subgroups and intermediate fields. We show how to define the decomposition- and inertia group in the infinite case. The maximal unramified field extension, the Hilbert class field, whose Galois group is isomorphic to the ideal class group, is introduced. We introduce a p-adic metric on the ring of integers with the help of valuations, and construct the p-adic integers as a completion with regards to the metric. We prove some structure results for this ring. The lambda-modules are constructed as a limit of modules over group rings, where the group rings are generated by the p-adic integers, and a suitable multiplicative cyclic group. The final result is a proof of Iwasawa’s theorem as found in Washington, Introduction to Cyclotomic fields. We view the Galois group of the p-adic extension as a lambda-module, and from the structure theorems of lambda-modules, we prove results that carry on to the galois groups of the intermediate fields, culminating in a formula for the exact power of p, that divides the class number of the n-th intermediate field.

Gabrielin torvi on kolmiulotteinen matemaattinen kappale, jonka pinta-ala on ääretön, mutta jonka tilavuus on korkeintaan piin suuruinen. Kappaleen olemassaolon huomasi italialainen fyysikko Evangelista Torricelli. Gabrielin torven olemassaolo hämmensi 1600-luvun matemaatikkoja, koska matemaattiset metodit ja tieto eivät olleet vielä kehittyneet niin paljon, että Gabrielin torven kaltaisille kappaleille olisi pystytty antamaan ymmärrettäviä todisteita. Kappaleen nimi viittaa kristillisen mytologian tuomiopäivään, jolloin arkkienkeli Gabriel puhaltaa torveensa ja tunnettu, äärellinen maailmamme loppuu yhdistyen päättymättömään jumalaiseen todellisuuteen. Nimi kuvaa kappaletta hyvin, sillä Gabrielin torvessa yhdistyy äärellinen ja ääretön mielenkiintoisella tavalla. Kochin lumihiutale on Gabrielin torven analogia tasossa. Se on tasokuvio, jonka pinta-ala on äärellinen, mutta sen piirin pituus on ääretön. Tämän kaiken ja muut lumihiutaleen mielenkiintoiset ominaisuudet löysi ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch vuonna 1904. Kochin löydökset olivat merkittävä etappi fraktaalitutkimuksen saralla. Gabrielin torvea ja Kochin lumihiutaletta voisi ensisilmäyksellä luulla paradokseiksi, mutta sitä ne eivät kuitenkaan ole. Sekä torvea, että lumihiutaletta voi käyttää peruskoulun ja lukion matematiikan opetuksessa elävöittämään opiskelua ja tuomaan lisää syvyyttä käsitteisiin.

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä sitä, miten geometria ilmenee lukion matematiikassa. Aineistona on käytetty lukion matematiikan oppikirjoja, lukion matematiikan ylioppilaskirjoituksia ja lukion valtakunnallisia opetussuunnitelman perusteita. Tutkimuksessa viitataan myös peruskoulun yläluokkien matematiikan osa-alueeseen geometria. Tutkielmassa on tarkoitus vastata seuraaviin kolmeen tutkimuskysymykseen: Miten geometrian opetus lukiossa eroaa pitkän ja lyhyen oppimäärän osalta? Miten erot näkyvät oppikirjoissa, opetussuunnitelmassa ja ylioppilaskirjoituksissa? Millaisia geometrian tietoja ja taitoja tarvitaan ylioppilaskoetehtävien ratkaisemiseen? Tutkimusaineiston analysoinnissa merkittävässä roolissa olivat tutkijan luomat taulukot, jotka ovat tutkimuksen liitteenä. Lisäksi syvällisemmin on analysoitu ylioppilaskokeiden tehtäviä, joiden haastavuutta ja syvällisyyttä on tarkasteltu Bloomin taksonomian teoriapohjaan verraten. Lukion matematiikan pitkä ja lyhyt oppimäärä eroavat geometria-kurssin osalta toisistaan tiettyjen sisältöalueiden osalta. Eroavaisuudet ovat hyvin yhtenäiset, kun tarkastellaan geometria-kurssien oppikirjoja ja verrataan niitä opetussuunnitelman perusteisiin. Olennaisimmat erot ovat seuraavat. Lyhyessä oppimäärässä matemaattisena sisältönä esiintyy geometria koordinaatistossa - aihealue, joka puuttuu pitkästä oppimäärästä. Lyhyen oppimäärän OPS asettaa käytännön läheisten geometrian ongelmien ratkaisun tavoitteeksi pitkästä oppimäärästä poiketen. Tätä selkeää eroa ei voida tehdä oppikirjavertailun perusteella. Toisaalta lyhyen oppimäärän oppikirjoista ja OPS:sta puuttuvat lähes kokonaan pitkään verrattuna seuraavat sisältöalueet ja käsitteet: sini- ja kosinilause, kappaleiden yhdenmuotoisuus, geometristen lauseiden todistaminen, kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava, kuvioiden ja kappaleiden kulmat (syventävämmän matematiikan kannalta), kulmiin liittyvät tarkemmat määritykset, ympyrä ja siihen liittyvät suorat sekä palloon liittyvät erikoistilavuudet. Ylioppilaskirjoituksissa lyhyen oppimäärän kannalta korostuvat tehtävissä juuri OPS:ssa mainitut geometrian kurssin keskeiset sisällöt, geometriaa koordinaatistossa -aihealuetta lukuun ottamatta. Pitkän oppimäärän kokeet eivät noudata niin selkeää linjaa OPS:n keskeisten sisältöjen suhteen. Suuren osan lyhyen oppimäärän ylioppilaskoetehtävistä pystyisi ratkaisemaan myös peruskoulun yläluokkien tiedoin, tosin usein syventävin sellaisin. Suurin osa tehtävistä sijoittui Bloomin taksonomian tasoille kolme ja neljä, eli tehtävissä tuli joko käyttää oikeaa kaavaa tehtävän ratkaisuun tai pilkkoa ongelma pienempiin osiin ja ymmärtää osien merkitys kokonaisratkaisun kannalta. Pitkän oppimäärän tehtävät sijoittuivat keskimääräisesti Bloomin taksonomian tasolle neljä ja tehtävissä piti normaalisti joko soveltaa ja pilkkoa tietoa tai jopa luoda uutta tietoa annettujen tietojen pohjalta. Vain muutama pitkän oppimäärän tehtävistä oli mahdollista ratkaista lyhyen oppimäärän tiedoin. Pitkän oppimäärän tehtävät ovat joko liian haastavia tai niiden matemaattiset sisältöalueet eivät kuuluneet lyhyen oppimäärän sisältöihin.