Browsing by Title

Tämän tutkimuksen tavoite on selvittää kirjallisuuteen perehtyen, millaisia virhekäsityksiä yläkouluikäisillä oppilailla on yhtälön ratkaisuun liittyen. Kirjallisuuden pohjalta muodostetaan näkemys siitä, mistä erilaiset virheelliset käsitykset johtuvat ja millä tavoin virheelliset käsitykset ovat selitettävissä. Kerätyn aineiston pohjalta muodostetaan ajatus siitä, mitä yhtälöiden opetuksessa tulisi ottaa huomioon, jotta virheellisiä käsityksiä voitaisiin välttää ja yhtälöiden opiskelu olisi menestyksekästä. Laajan aineiston keruun perusteella tarkasteltavat virhekäsitykset on jaettu viiteen eri luokkaan. Näitä ovat algebralliset kirjaimet, yhtäsuuruusmerkki, erilaiset luvut, operaatiomerkit ja yhtälön ratkaisuun liittyvät perusperiaatteet. Virhekäsityksien syitä selitetään ja analysoidaan pääosin didaktisen katkoksen, matemaattisen käsitteen duaaliluonteen ja matematiikan kolmen maailman avulla. Yhtälön ratkaisussa ilmenevät virhekäsitykset johtuvat usein keskeisten käsitteiden puutteellisesta ymmärryksestä. Näitä ovat muuttuja, yhtäsuuruusmerkki ja negatiiviset luvut. Oppilaiden aiemmat kokemukset aritmetiikasta aiheuttavat virheellisiä tulkintoja yhtälön ratkaisussa. Virhekäsitykset näyttävät johtuvan rakenteellisen ja konseptuaalisen tiedon puutteesta sekä ruumiillisen ja symbolisen maailman välisestä kuilusta. Yhtäsuuruusmerkki, negatiiviset luvut ja murtoluvut ymmärretään proseduraalisesti. Muuttujia ei ymmärretä objekteina, joilla on merkitys sinänsä. Yhtälön ratkaisu nähdään oppilaiden, mutta myös opettajien näkökulmasta, proseduraalisena ja symbolisena toimintana, jolloin rakenteellisiin piirteisiin ei kiinnitetä riittävästi huomiota. Yhtälön ratkaisuun liittyville perusperiaatteille ei osata antaa merkityksiä, vaan ne painetaan mieleen muistisääntöinä. Yhtälöiden opetuksessa tulisi keskittyä proseduraalisen suorittamisen sijaan rakenteelliseen ja käsittelliseen ymmärtämiseen. Uusi asia tulee rakentaa aiempien kokemusten varaan, jotta käsitekuva yhtälöön liittyvistä keskeisistä käsitteistä voi laajentua. Yhtälön ratkaisussa tulee erityisesti huomioida oppilaiden aritmeettisen taustan vaikutukset keskeisten käsitteiden tulkintoihin. Muuttujaan, yhtäsuuruusmerkkiin ja negatiivisiin lukuihin liittyvät ennakkokäsitykset on hyvä selvittää ennen yhtälöihin siirtymistä. Kirjain tulee ymmärtää määrällisenä muuttujana, yhtäsuuruusmerkki kahden lausekkeen suhteen ilmaisijana ja negatiivinen luku objektina, jossa miinusmerkki on olennainen osa lukua. Symbolisen ja havainnollistavan esitysmuodon välille tulee rakentaa mielekkäitä siltoja. Yhtälön ratkaisussa käytettyjä menetelmiä tulee arvioida kriittisesti ja eri opetusmenetelmien rajoitukset on hyvä tiedostaa.

Vuoden 2016 opetussuunnitelmassa ohjelmointi tuotiin uutena alueena yläkouluihin osaksi matematiikan opetusta. Tämän tutkielman tarkoituksena on selvittää, millaisia erilaisia oppimateriaaleja tässä opetuksessa käytetään ja miten yläkoulun ohjelmoinnin opetusta voitaisiin kehittää oppimateriaalien avulla. Oppimateriaaliksi tässä tutkielmassa määritellään oppikirja (digitaalinen tai paperinen), oppi-/tehtäväkirja (digitaalinen tai paperinen), tehtäväkirja (digitaalinen tai paperinen), opettajan materiaali, verkkopohjaiset oppimisympäristöt (voidaan toteuttaa eri teknologioilla, kuten pilvipalveluna tai verkkoympäristössä), muut teknologiaympäristöt, kuten esimerkiksi opetuskäyttöön suunnitellut ohjelmoitavat robotit, elektroniikka-alustat, älypuhelinten ohjelmointi ja pelit. Erityisesti etäopiskelun yhteydessä käytetyt ja kehitetyt teknologiat vaikuttavat myös ohjelmoinnin opetuksessa käytettäviin oppimateriaaleihin. Elektroninen oppiminen, mobiilioppiminen ja ubiikki oppiminen muovaavat tulevaisuudessa myös ohjelmoinnin opetuksessa käytettäviä materiaaleja ja ympäristöjä. Tutkielman osana tehtiin tutkimustehtävä, jossa kysyttiin yläkoulun opettajilta heidän kokemuksiaan ohjelmoinnin opetuksesta sekä parannusehdotuksia erityisesti oppimateriaaleihin. Tutkimus sisälsi sekä monivalinta- että avoimia kysymyksiä ohjelmointikielistä ja -ympäristöistä, koulujen teknologiaympäristöistä ja oppimateriaaleista. Myös opettajien omia kokemuksia ohjelmoinnin opetuksesta kysyttiin. Tutkimuksen aineisto koostui 34 matematiikan opettajan vastauksista. Tämän tutkimuksen tuloksia voi hyödyntää ennen kaikkea suunniteltaessa oppimateriaalia ohjelmoinnin opetukseen yläkouluihin. Yhteenvetona ohjelmoinnin oppimateriaalin kehittämiselle ehdotetaan seuraavat asiat: 1. Käytössä tekstipohjainen ohjelmointikieli, mieluimmin Python. 2. Ohjelmointiympäristö, joka sisältää tuen tehtävien automaattiselle palautukselle ja tarkistamiselle. 3. Harjoitustehtäviä, jotka sisältävät muutakin kuin koodausta, esimerkiksi koodin lukemista, korjaamista, selittämistä ja parantamista. 4. Opetettavaan aiheeseen integroituja harjoitustehtäviä. 5. Eriyttämisen mahdollistavia harjoitustehtäviä. 6. Opettajan materiaalia, joka sisältää tunneilla läpikäytävän aineiston sekä tuntisuunnitelmat. 7. Mahdollisesti erillinen ohjelmoinnin oppimateriaali (oppikirja).

Tutkielman tarkoitus on antaa lukijalleen jonkinlainen käsitys optioista eli johdannaissopimuksista, sekä niiden arvon määrittämisen menetelmistä. Tutkielmassa tehdään yleiskatsaus rahoitusmarkkinoiden yleisimpiin optioihin. Päätarkoitus ei ole syventyä matemaattisiin määritelmiin ja kaavoihin, vaan tutustua optioiden maailmaan ja esitellä menetelmiä erilaisten optioiden arvon määrittämiselle hyödyntämällä Black-Scholesin differentiaaliyhtälöä. Tutkielma on jaettu kymmeneen lukuun. Johdannon jälkeen luvussa kaksi esitellään mikä on optio sekä käydään läpi yleisimpiä käsitteitä ja termejä, jotka esiintyvät rahoitusmarkkinoilla. Luvussa kolme esitellään matemaattisia määritelmiä ja kaavoja, jotka ovat oleellisia optioiden arvon määrittämisessä. Tässä luvussa johdetaan Black-Scholesin differentiaaliyhtälö, mikä on hyvin keskeisessä roolissa rahoitusteoriassa. Ennen yhtälön johtamista esitellään Wiener-prosessi, stokastinen differentiaaliyhtälö, Itôn lemma ja martingaalin käsite. Luvussa neljä esitellään perinteiset optiot, joita ovat Eurooppalaiset ja Amerikkalaiset optiot. Luvussa viisi siirrytään eksoottisiin ja polkuriippuviin optioihin. Tässä tutkimuksessa käsittelemme eksoottisista optioista vain yleisimmät optiotyypit; yhdistetyt optiot, chooser-optiot, rajoitetut optiot, Aasialaiset optiot sekä lookback-optiot. Nämä optiotyypit ovat erilaisia muunnoksia Eurooppalaisista sekä Amerikkalaisista optioista. Luvussa kuusi käsitellään rajoitettuja optioita. Periaatteessa mihin tahansa optioon voi lisätä rajoitusehtoja, mutta tässä luvussa keskitytään ainoastaan Eurooppalaisiin optioihin. Luvussa seitsemän esitetään yhtenäistetty kehys polkuriippuville optioille. Tällöin mukaan tulee uusi riippumaton muuttuja, jonka tehtävä on mitata polkuriippuvaa suuretta. Luvussa tutustutaan satunnaiskulun aikaintegraaleihin sekä diskreettiin otantaan. Aasialaisiin optioihin perehdytään tarkemmin luvussa kahdeksan, missä johdetaan differentiaaliyhtälöt useimpien Aasialaisten optioiden arvoille. Luvussa yhdeksän puolestaan käsitellään lookback-optioita. Tällaisten optioiden tuotto riippuu option olemassaoloajan toteutuneesta kohde-etuuden maksimi- tai minimiarvosta. Molemmissa tapauksissa, niin Aasialaisten kuin loocback-optioiden, käydään läpi sekä jatkuvan otannan, että diskreetin otannan tapaukset. Viimeisessä luvussa tutustutaan hieman optioiden transaktiokuluihin. Tässä luvussa käsitellään option arvoa ottamalla huomioon myös suojauksen kustannukset, mutta keskitytään ainoastaan diskreettiin suojaukseen.

Funktioteoriassa eräs keskeisimpiä kiinnostuksen kohteita on analyyttiset funktiot, jotka voidaan määritellä ns. Cauchyn-Riemannin operaattorin avulla. Tämän tutkielman tavoitteena on yleistää kompleksitason funktioteoria, analyyttiset funktiot ja niihin liittyvä Hardyn avaruuksien teoria korkeampiin ulottuvuuksiin. Tämä onnistuu määrittelemällä Diracin operaattori, joka on Cauchyn-Riemannin operaattorin korkeampiulotteinen yleistys ja joka operoi Cliffordin algebra -arvoisiin funktioihin. Cliffordin algebran alkiot voidaan taas ajatella kompleksilukujen korkeampiulotteisena yleistyksenä. Diracin operaattorin avulla määritellään Clifford-analyyttiset funktiot, joiden komponenttifunktiot ovat aina myös harmonisia. Kuten kompleksitasossa, myös korkeampiulotteisessa tapauksessa analyyttisillä funktioilla on hyödyllisiä ominaisuuksia, joita ei välttämättä ole sellaisilla funktioilla, jotka ovat pelkästään harmonisia. Tästä syystä analyyttisten funktioiden teorian tutkiminen ja kehittäminen on merkityksellistä. Eräs tällainen ominaisuus on se, että analyyttisillä funktioilla on voimassa Cauchyn integraalikaava, joka saa Clifford-analyyttisten funktioiden tapauksessa yllättävän samankaltaisen muodon kuin tason tapauksessa. Cauchyn integraalikaava on tärkeässä roolissa tutkittaessa Hardyn avaruuksia. Clifford-analyyttinen funktio kuuluu Hardyn avaruuteen Hp, mikäli sen eräänlainen Hp-normi on äärellinen. Tämän tutkielman lopullinen tavoite on tarkastella ylemmässä puoliavaruudessa analyyttisten funktioiden muodostamaa Hardyn avaruutta. Osoittautuu, että Hardyn avaruuden funktio F voidaan esittää Cauchy-integraalina funktiosta f, joka on ei-tangentiaalinen raja-arvo funktion F lähestyessä ylemmän puoliavaruuden reunaa. Tämä on tutkielman päätulos. Esitiedoiksi lukijalle riittää varsin maltilliset perusteet reaali- ja kompleksianalyysista. Suurin osa käsitteistä ja tuloksista pyritään aina vähintäänkin kertaamaan ennen niiden käyttämistä.

Tavoitteet. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tarkastella, miten matematiikan yliopistokurssilla käytössä olleet kaksi eri kurssin loppuarviointitapaa, itsearviointi ja kurssikoe, olivat yhteydessä kurssin opiskelijoiden tavoiteorientaatioihin ja pystyvyysuskoon. Yksilön tapa asettaa tiettyjä tavoitteita ja suosia tiettyjä lopputulemia (tavoiteorientaatio), sekä usko omaan kykyyn suoriutua eri tehtävistä (pystyvyysusko) ovat yhteydessä niin oppimismotivaatioon kuin suorituksiin. Näiden osalta tiedetään, että tietynlaiset tavoiteorientaatiot (esim. oppimisorientaatio) ovat oppimisen ja motivaation kannalta suotuisia, kun taas toiset (esim. välttämisorientaatio) ovat haitallisia. Vahva usko omiin kykyihin, erityisesti matematiikassa, puolestaan tukee sekä suorituksia että ohjaa opiskeluvalintoja. Itsearvioinnin (oman arviointikyvyn ja harkinnan hyödyntäminen omassa oppimisessa) käyttö kurssilla voi osin vaikuttaa motivaatioon kurssin aikana. Toisaalta, tavoiteorientaatiot ovat melko pysyvä yksilön tapa kohdata oppimistilanteita, mikä tarkoittaa, että opiskelijat, joilla on erilaiset tavoiteorientaatiot, voiva kokea kurssiarvioinnin (koe vs. itsearviointi) eri tavoin. Tällöin arviointitavan vaikutukset esimerkiksi pystyvyysuskoon voivat olla erilaiset tavoiteorientaatiosta riippuen. Tutkimuksen tehtävänä on selvittää, millaisia eroja arviointitapa saa aikaan eri tavoiteorientaatioissa ja pystyvyysuskossa. Tavoiteorientaatioita tulkitaan henkilösuuntautuneesta lähestymistavasta käyttäen tavoiteorientaatioprofiileja. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui 303 opiskelijaa (naisia 34,0%, miehiä 62,7%, muita 3,3%) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I -kurssilta syksyllä 2017. Tutkimusta varten opiskelijat arvottiin kahteen ryhmään, joista toisessa kurssiarvostelu hoidettiin itsearvioinnilla (N = 156) ja toisessa kurssikokeella (N = 147). Opiskelijat vastasivat kurssin lopulla loppupalautteeseen, jonka yhteydessä tutkimusaineisto kerättiin. Tutkittavat jaettiin tavoiteorientaatioryhmiin käyttäen latenttia profiilianalyysia. Arviointiryhmien välisiä eroja tutkittiin varianssianalyysilla. Tulokset ja johtopäätökset. Itsearvioineet kokivat merkitsevästi suurempaa pystyvyysuskoa kuin kokeen tehneet. Lisäksi itsearvioineiden oppimisorientaatio oli korkeampi, kun taas kokeen tehneillä välttämisorientaatio oli korkeampi. Kurssin opiskelijoiden joukosta löydettiin viisi tavoiteorientaatioprofiilia: oppimisorientoituneet (41,9%), sitoutumattomat (24,8%), saavutus-suoritusorientoituneet (21,1%), välttämisorientoituneet (6,9%) ja oppimis-välttämisorientoituneet (5,3%). Muihin profiileihin verrattuna oppimisorientoituneiden joukossa oli selvästi enemmän itsearvioinnilla kuin kurssikokeella kurssin suorittaneita. Kaikissa tavoiteorientaatioprofiileissa itsensä itsearvioineet kokivat kokeen tehneitä suurempaa pystyvyysuskoa. Eri profiileista tilastollisesti merkitsevät erot pystyvyysuskossa olivat saavutus-suoritusorientoituneiden ja oppimisorientoituneiden joukossa. Tutkimustulosten perusteella itsearviointi näyttäisi olevan pystyvyysuskon kannalta suotuisa arviointitapa tavoiteorientaatiosta riippumatta.

Tämän tutkimuksessa tarkastellaan yliopisto-opiskelijoiden käsityksiä kvanttifysiikan ontologisesta rakenteesta ja taipumuksia jäsentää kvanttifysiikan käsitteellistä ainesta. Opiskelijoiden käsityksiä kvanttifysiikasta hahmotettiin opiskelijoiden ilmaisemien kvanttiolio-ontologioiden kuvauksien kriittisen arvioinnin kautta. Fysiikan opetuksen tutkimuksessa ollaan kiinnostuneita siitä, millä tavalla opiskelijat jäsentävät fysiikan erilaiset käsitteelliset kokonaisuudet ja millaisia nämä kokonaisuudet ovat laadultaan. Fysiikan opetuksen järjestelyjä on kritisoitu siitä, että ne kiinnittävät paljon huomiota fysiikan laskennalliseen puoleen, kun taas käsitteellisten ymmärryksen tukeminen jää vähemmälle huomiolle. Aiemmat tutkimukset osoittavat tämän taipumuksen vaivaavan erityisesti kvanttifysiikan opetuksen järjestämistä. Opiskelijoiden käsityksiä kvanttifysiikan ontologisesta sisällöstä arvioidaan Balibarin ja Levý-Leblondin esittämän fysiikan ontologisten ominaisuuksien kategorisaatioiden mukaan. Opiskelijoiden käsityksiä kvanttiolio-ontologioista verrataan muutamaan Kiddin esittämään historiallis-tieteelliseen –malliin. Opiskelijoiden mallien mielekkyyttä edelleen arvioidaan suhteessa näihin tunnettuihin malleihin. Tutkimus toteutettiin verkkokyselytutkimuksena fysiikkaa pää -ja sivuaineena opiskeleville henkilöille eri opintojen eri vaiheissa. Kysely teetettiin opiskelijoille, jotka suorittivat perus -ja aineopintotason kvanttifysiikan kursseja. Vastaajista valtaosa oli matemaattisia luonnontieteitä pääaineena opiskelevia. Analysoitujen vastausten lukumäärä oli 143. Aineiston analyysissä hyödynnettiin ontologisten ominaisuuksien mielekkyyttä mittaavia erityisiä operationalisoituja tunnuslukuja. Aineiston analyysissä hyödynnettiin eksploratiivista ja konfirmatorista faktorianalyysiä perinteisen tunnuslukuanalyysin tukena. Tutkimus osoittaa opiskelijoiden olevaan kykeneviä tunnistamaan historiallis-tieteellistä kvanttiolio-ontologia –malleista ainoastaan klassisen fysiikan hiukkasontologian. Tämän lisäksi merkittävä enemmistö opiskelijoista ei osoittanut kykenevänsä soveltamaan muita opetuksessa käytettäviä kvanttiolio-ontologia –malleja johdonmukaisesti. Tämän lisäksi tutkimus osoittaa suurimman osan opiskelijoista ymmärtävän ambivalentisti tiettyjä kvanttifysiikan ontologisia ominaisuuksia, joista merkittävimmät ovat olion lokaalius ja olemassaolo ontologisina kategorioina. Myös tietyt kvanttifysiikan käsitteet, erityisesti Heisenbergin epätarkkuusperiaate, eivät jäsentyneet mielekkäänä osana opiskelijoiden ilmaisemaa kuvaa kvanttifysiikan ontologisesta rakenteesta.

Opiskelija käyttää uutta oppiessaan jo olemassa olevia käsityksiään oppimisen pohjana. Tämä takia opetuksessa tulisi huomioida opiskelijoiden käsitykset. Nämä käsitykset eivät yleensä ole yhteneviä tieteellisten käsitteiden kanssa. Oikein suunnatulla opetuksella nämä käsitykset voidaan saada kuitenkin lähenemään yleisesti hyväksyttyjä tieteellisiä käsitteitä. Tässä tutkimuksessa haluttiin selvittää yliopisto-opiskelijoiden käsityksiä tasavirtapiireistä ja erityisesti jännitteestä ja sähkövirrasta, sekä näiden käsitysten rakenteista. Tutkimuskysymyksiä oli neljä. 1. Millaisia selittäviä malleja voidaan havaita? 2. Millaisia kausaalisia suhteita voidaan tunnistaa? 3. Millaisia käsitteitä ja millä nimillä niitä voidaan tunnistaa? 4. Mitä ominaisuuksia opiskelijat liittävät käsitteisiin? Tutkimuksen aineisto kerättiin tutkimushaastattelun keinoin. Haastattelut toteutettiin noin kolmen hengen ryhmissä ja haastattelijoita oli kaksi. Haastateltavat olivat fysiikkaa sivuaineenaan opiskelevia opettajaopiskelijoita (N=20) sekä sähkömagnetismin peruskurssilaisia (N=11). Haastattelu oli avoimen ja teemahaastattelun välimuoto. Siinä oli tutoriaalitehtävistä koostuva runko, mutta haastattelijoilla ei ollut valmiita kysymyksiä, vaan haastattelu eteni opiskelijoiden selitysten mukana. Tutoriaalitehtävissä opiskelijoita pyydettiin laittamaan kytkentäkaavioin esitettyjen virtapiirien lamput kirkkausjärjestykseen. He saivat ensin pohtia ratkaisujaan itsenäisesti ja sitten selittivät ajattelunsa muulle ryhmälle. Tämän jälkeen he rakensivat virtapiirit ja vertasivat ennusteitaan havaintoihin. Videoidut haastattelut litteroitiin ja aineiston laadullinen analyysi suoritettiin aineistolähtöisesti. Aineistosta poimittiin opiskelijoiden käyttämät käsitteet ja niihin liitetyt ominaisuudet. Lisäksi tunnistettiin käsitteiden välisiä eritasoisia kausaalisuhteita. Aineistosta löytyi myös eksemplaarinomaisten yksinkertaisten mallien luokka sekä käsitteitä rajoittavia skeemoja. Näin puretusta aineistosta löydettiin kuusi eritasoista selitysmallia ensimmäiseen haastattelutehtävään liittyen. Havaittiin, että mitä kehittyneempi selitysmalli oli, sitä paremmin käsitteet jännite ja sähkövirta olivat eriytyneet. Lisäksi edistyneemmissä selitysmalleissa esiintyi enemmän käsitteiden välisiä kausaalisuhteita.

Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen osastolla on tarjolla oppimisen tueksi suunnattua matemaattista ohjausta. Ohjausta on tarjolla avoimessa oppimisympäristössä, jonne osallistuminen on kaikille opiskelijoille täysin vapaaehtoista. Ohjaus perustuu kognitiiviseen oppipoikamalliin sekä tehostetun kisällioppimisen menetelmään. Yliopiston ohjaukseen osallistuu runsaasti opiskelijoita ja sen suosio on kasvanut vuosien varrella. Aikaisempien tutkimusten mukaan ohjaukseen osallistumisella on ollut positiivisia vaikutuksia opinnoissa edistymiseen, mutta siitä huolimatta kaikki opiskelijat eivät osallistu ohjaukseen. Pro gradu -tutkielman tavoitteena on selvittää Helsingin yliopisto-opiskelijoiden toiveita ja ohjaukseen osallistumisen syitä. Tutkimuksen kohderyhmäksi valittiin kolmen yliopistomatematiikan kurssin opiskelijat (N=180). Merkittävimmät erot näiden kurssien välillä olivat pää- ja sivuaineopiskelijoiden määrissä, opintojen edistymisvaiheessa ja kurssimuodossa. Aineisto kerättiin kurssien opiskelijoille jaetulla verkkokyselylomakkeella, jossa oli sekä liker-asteikollisia kysymyksiä, että avoimia kysymyksiä. Tutkimusmenetelmänä käytettiin aineistolähtöistä sisällönanalyysiä. Tutkimuksessa havaittiin, että opintojen vaiheella ja pääaineella oli eroja ohjaukseen osallistumiseen. Matemaattinen ympäröivä yhteisö koettiin myös tärkeäksi, mutta samalla se loi haasteita työrauhan ylläpitämiseen sekä oikea-aikaisen tuen saamiseen. Asiantunteva sekä empaattinen ohjaus oli motivoinut opiskelijoita osallistumaan. Opiskelijoiden toiveet ja syyt osallistua ohjaukseen olivat linjassa tehostetun kisällioppimisen pedagogisten tavoitteiden kanssa, näin ollen ohjaukselle asetetut tavoitteet ovat selvästi toteutuneet ja ovat oppimisen ja motivaation kannalta merkittäviä. Tutkimuksen avulla laadittiin opiskelijoiden toiveisiin perustuen kehitysehdotuksia, jotka on koottu yhteen ja annettu käsiteltäväksi oppimisympäristön kehitystyöryhmälle.

Tämän tutkimuksen tavoitteena on verrata pitkän matematiikan kokelasmäärän muutoksia ylioppilaskokeissa lyhyen matematiikan, fysiikan, kemian, keskipitkän ruotsin, terveystiedon ja yhteiskuntaopin muutoksiin. Tutkimuksessa käydään läpi miten pitkän matematiikan ja verrattavien aineiden kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2009–2023 aikana, miten uusintakokeiden kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2017–2023 aikana, miten ensimmäisen suorituskerran kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2017–2023 aikana ja miten miesten ja naisten kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2009–2023 aikana. Tarkoituksena on saada parempi ymmärrys, mistä kokelasmäärien muutokset johtuvat ja milloin on tapahtunut suurimmat muutokset. Tutkimuksen teoria osuudessa käydään läpi millaisia muutoksia lukiossa, ylioppilastutkinnossa ja korkeakouluhaussa on tapahtunut vuosien 2010–2023 aikana. Suurimpia muutoksia ovat olleet lukiossa ja ylioppilastutkinnossa tutkinnon sähköistyminen vuosien 2016–2019 aikana, hyväksytyn suorituksen uusimismuutos ylioppilaskokeissa vuonna 2019 ja todistusvalintauudistus korkeakouluhaussa vuonna 2020. Tämän lisäksi käydään läpi miten korkeakouluhaussa pisteytetään ylioppilastutkinto. Teoria osuuden lopuksi käydään läpi tutkimuksia, joissa on tutkittu kokelasmääriä ylioppilaskokeissa ja matematiikan ylioppilaskokeita. Tutkimus toteutettiin analysoimalla tilastoja ylioppilaskokeiden kokelasmääristä, jotka löytyvät ylioppilastutkintolautakunnan verkkosivuilta. Tilastoja analysoitiin graafien avulla ja tutkittiin seuraavia asioita: miten kokelasmäärät ovat muuttuneet vuositasolla, miten aineiden suhteelliset osuudet vuoden kokelaista ovat muuttuneet. Tutkimustuloksista selvisi, että pitkän matematiikan lisäksi fysiikan kokelasmäärä on selvästi kasvanut vuosien 2018–2020 aikana. Näiden kahden kokelasmäärät ovat olleet selvästi korkeammat vuosien 2020– 2023 aikana kuin vuosina 2009–2019. Myös kemian ja yhteiskuntaopin kokelasmäärät ovat pysyneet korkeampina kuin ennen vuotta 2018, mutta ei yhtä paljon kuin pitkän matematiikan ja fysiikan. Lyhyen matematiikan suosio on vaihdellut vuosien 2009–2023 aikana, mutta kuitenkin sen suosio oli vuosina 2020–2023 lähes sama kuin vuosina 2009–2015. Keskipitkän ruotsin ja terveystiedon kokelasmäärät ovat olleet selvästi matalemmat vuosina 2020–2023 kuin vuosina 2009–2019. Suurin syy kokelasmäärien kasvussa on ollut uusintakokeiden määrän kasvu vuoden 2019 jälkeen. Ensimmäisen suorituskerran kokeiden määrät ovat myös kasvaneet erityisesti vuonna 2020 pitkällä matematiikalla, fysiikalla ja kemialla. Lähes kaikilla aineilla sekä uusintakokeiden että ensimmäisen suorituskerran kokeiden kokelasmäärät ovat laskeneet vuoden 2020 tai 2021 jälkeen. Tästä on poikkeuksena pitkä ja lyhyt matematiikka. Miesten ja naisten kokelasmäärien suhteelliset osuudet ovat pysyneet lähes samoina vuosien 2009–2023 aikana kaikissa ylioppilaskokeissa. Tutkimuksen aineista naisten osuus on kasvanut kaikissa muissa paitsi yhteiskuntaopissa. Varsinkin pitkässä matematiikassa, fysiikassa ja kemiassa naisten osuus on selvästi kasvanut vuosien 2009–2023 aikana. Tutkimuksen lopussa pohditaan tutkimuksen luotettavuutta käytetystä aineistosta, kuten aineiston kattavuudesta ja käytetyistä menetelmistä. Lopuksi pohditaan miten tutkimustulokset vertautuvat korkeakouluhaun todistusvalintapisteytykseen. Todistusvalintapisteytyksestä ja tutkimustuloksista voi havaita, että korkeammin pisteytetyt aineet, kuten pitkä matematiikka, lyhyt matematiikka ja fysiikka ovat olleet suosittuja vuosien 2020–2023 aikana. Kuitenkin voi myös havaita, että matalammin pisteytettyjen aineiden, kuten terveystiedon ja yhteiskuntaopin suosio laskivat vuonna 2020, mutta vuosien 2021–2023 aikana niiden suosio on hieman kasvanut. Kemian ja keskipitkän ruotsin suosio on selvästi laskenut vuosien 2021–2023 aikana.

Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, millaisia virheitä ylioppilaskokelaat tyypillisimmin tekivät matematiikan ylioppilaskokeiden yhtälönratkaisun tehtävissä vuosina 2019–2022. Lisäksi tarkoituksena oli pohtia, miten tyypillisimmät virheet voitaisiin ottaa huomioon matematiikan opetuksessa. Tutkimuksen toteutusta varten valittiin viisi yhtälönratkaisun tehtävää. Tehtäviä valittiin sekä lyhyen että pitkän oppimäärän ylioppilaskokeista. Tutkielma alkaa teoriaosuudella, jonka alussa käydään läpi matemaattista ajattelua sekä matematiikan osaamista, mittaamista ja kehittämistä. Tämän jälkeen esitellään virheiden ja virhekäsitysten teoriaa. Teoriaosuuden lopussa tarkastellaan yhtälöiden opetusta Suomessa perusopetuksen ja lukion opetussuunnitelmien avulla. Tutkimuksessa käydään läpi ja analysoidaan viisi tutkielmaan valikoitua matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää. Analysoinnissa keskitytään tarkastelemaan opiskelijoiden ratkaisuja, joista tunnistetaan ja luokitellaan tyypillisimmin esiintyneitä virhetyyppejä. Lopuksi pohditaan tapoja, joilla yhtälönratkaisun opetuksessa voitaisiin huomioida opiskelijoilla tyypillisimmin esiintyneitä virhetyyppejä.