Browsing by discipline "Matematiikka"

Tässä tutkielmassa tarkastellaan, voidaanko määrätyn ryhmän alkiot esittää määrättyjen virittäjäalkioiden avulla ketjuna, joka sisältää kaikki ryhmän alkiot täsmälleen kerran, alkaa ja päättyy samaan alkioon ja jossa alkiosta toiseen siirrytään virittäjää pitkin. Kysymyksellä on yhteyksiä klassisiin peleihin (ratsun kierto shakkilaudalla) sekä esimerkiksi perinteiseen englantilaiseen tapaan soittaa kirkonkelloja (change ringing). Ongelman matemaattisessa muotoilussa käytetään Cayley-verkkoja. Ryhmä G ja sen virittäjistö S määräävät Cayley-verkon Cay(S:G), jonka solmut ovat ryhmän alkiot ja jossa solmujen x ja xs välillä on särmä, kun s ∈ S. Tällöin haluttu alkioketju muodostaa verkkoon Hamiltonin syklin. Työssä käsitellään sekä suunnattuja että suuntaamattomia Cayley-verkkoja. Työn käsittelytapa on verkoista huolimatta ryhmäteoreettinen. Tutkielmassa käydään läpi tarvittavia ryhmä- ja verkkoteoreettisia esitietoja sekä todistetaan Hamiltonin syklien olemassaolo eräiden tulo- ja Abelin ryhmien Cayley-verkoille. Työ huipentuu Dave Witten vuonna 1986 todistamaan tulokseen, että p-ryhmien Cayley-verkoissa on aina Hamiltonin sykli, riippumatta valitusta virittäjistöstä.

Työssä esitellään moniulotteisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alkuarvo-ongelmia. Erityisesti keskitytään Hamilton-Jacobi -yhtälöihin, sekä yhden tilamuuttujan säilyvyyslakeihin. Näitä yhtälöitä kohdataan usein mallinnettaessa fysikaalisten systeemien käyttäytymistä matemaattisesti, eikä yhtälöille ole välttämättä ratkaisua perinteisessä mielessä. Työn tavoitteena onkin esitellä ensin karakteristisena menetelmänä tunnettu ratkaisukeino, jossa osittaisdifferentiaaliyhtälö muunnetaan systeemiksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen avulla voidaan määrittää alkuperäisen ongelman ratkaisu, ainakin tutkittavan alueen reunan läheisyydessä. Seuraavaksi nostetaan esille karakteristisen menetelmän puutteita. Kuten säilyvyyslakeihin liittyvistä esimerkeistä havaitaan, menetelmä ei pysty tarjoamaan joillekin alkuarvotehtäville jatkuvaa, eikä siten differentioituvaa ratkaisua. Joissakin tapauksissa menetelmän antama tieto ratkaisusta ei puolestaan riitä kattamaan koko ratkaisun haluttua määrittelyjoukkoa. On kuitenkin mahdollista määrittää alkuarvo-ongelman integraaliratkaisu, rajoitettu funktio, jolla on sileällä kompaktikantajaisella testifunktiolla kerrottaessa tutkittavan osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisua muistuttavia ominaisuuksia. Annettuun ongelmaan ei kuitenkaan välttämättä ole aina yksikäsitteistä integraaliratkaisua, eikä osa integraaliratkaisun määritelmän toteuttavista funktioista tarjoa fysiikan ongelmista johdettuihin yhtälöihin mielekästä ratkaisua. Nopeasti havaitaan, että osa näistä epätoivotuista ratkaisuista saadaan karsittua vaatimalla integraaliratkaisulta tiettyjen entropiaehtojen täyttämistä. Haluamme kuitenkin tarjota riittävät ehdot yksikäsitteisen, entropiaehdot toteuttavan ratkaisun löytämiseksi. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi työssä esitellään variaatiolaskennan perusteita ja Hopf-Lax -kaavan johtaminen Hamilton-Jacobi -yhtälöistä. Hopf-Lax -kaavan antamien integraaliratkaisujen avulla Hamilton-Jacobi -yhtälöille voidaan määritellä niin kutsuttu heikko ratkaisu. Lopuksi Hamilton-Jacobi -yhtälöiden heikkojen ratkaisujen määrittämiseksi esiteltyä teoriaa voidaan käyttää antamaan säilyvyyslakien alkuarvotehtäville entropiaehto, joka takaa ratkaisujen yksikäsitteisyyden nollamittaista joukkoa lukuunottamatta koko halutussa määrittelyjoukossa. Hamilton-Jacobi -yhtälöiden ja Hopf-Lax -kaavan avulla voidaan johtaa Lax-Oleinik -kaava, joka antaa sopivissa tapauksissa alkuarvo-ongelman entropiaratkaisun.

Tutkielmassa esitetään kolme erilaista keinoa todistaa Hilbertin Nullstellensatzin heikko muoto ja tarkastellaan lähestysmistapojen eroavaisuuksia. Tämän jälkeen Nullstellensatzin vahva muoto johdetaan heikosta muodosta käyttäen radikaaleja ja Rabinowitschin keinoa. Lopuksi esitellään joitakin algebrallisen geometrian peruskäsitteitä, joihin Nullstellensatz kytkeytyy ja käydään läpi esimerkkejä tuloksen soveltamisesta.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa keskeinen kysymys on ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Monissa tapauksissa on mahdollista löytää klassisesti derivoituva yksikäsitteinen ratkaisu tutkittavalle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Toisinaan kuitenkin on tarpeen laajentaa ratkaisun käsitettä ja etsiä niin sanottuja heikkoja ratkaisuja. Tässä työssä tutkitaan olemassaolo- ja yksikäsitteisyyskysymyksiä hyperbolisten ja elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden osalta. Tavoitteena on osoittaa, että tiettyjen ehtojen vallitessa kyseisille yhtälöille on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut. Tämän lisäksi työssä tarkastellaan lyhyesti äärellisten elementtien menetelmää ja puoliryhmien teorian sovellusta osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Tärkeimpänä lähteenä on Lawrence C. Evansin teos Partial Differential Equations. Muut lähteet ovat pääasiassa erilaisia matemaattista analyysia käsitteleviä teoksia. Ensimmäisessä luvussa määritellään keskeisiä käsitteitä ja esitetään jatkossa tarvittavia tuloksia. Esiteltäviä matemaattisia työkaluja ovat muun muassa Sobolev-avaruudet, joiden avulla heikot ratkaisut esitetään. Lisäksi tarvitaan tietoa Bochner-integraalista, joka on jossakin Banach-avaruudessa arvoja saavan funktion integraali. Näiden lisäksi funktionaalianalyysista tarvitaan useita eri tuloksia, jotka tässä luvussa esitellään. Toinen luku keskittyy hyperbolisiin ja kolmas luku elliptisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Molemmista yhtälötyypeistä esitellään ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet ja niiden todistukset. Elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yhteydessä esitellään myös äärellisten elementtien menetelmää. Neljännessä luvussa tarkastellaan vakiokertoimisia osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemejä. Viidennessä luvussa esitellään toisenlainen lähestymistapa hyperbolisten yhtälöiden ratkaisun olemasaolon todistamiseen käyttäen puoliryhmien teoriaa.

This thesis discusses the inner model obtained from the cofinality quantifier introduced in the paper Inner Models From Extended Logics: Part 1 by Juliette Kennedy, Menachem Magidor and Jouko Väänänen, to appear in the Journal of Mathematical Logic. The paper is a contribution to inner model theory, presenting many different inner models obtained by replacing first order logic by extended logics in the definition of the constructible hierarchy. We will focus on the model C* obtained from the logic that extends first order logic by the cofinality quantifier for \omega. The goal of this thesis is to present two major theorems of the paper and the theory that is needed to understand their proofs. The first theorem states that the Dodd-Jensen core model of V is contained in C*. The second theorem, the Main Theorem of the thesis, is a characterization of C* assuming V = L[U]. Chapters 2-5 present the theory needed to understand the proofs. Our presentation in these chapters mostly follows standard sources but we present the proofs of many lemmas in much greater detail than our source material. Chapter 2 presents the basics of iterated ultrapowers. If a model M of ZFC^- satisfies “U is a normal ultrafilter on \kappa” for some ordinal \kappa, then we can construct its ultrapower by U. We can take the ultrapower of the resulting model M1 and then continue taking ultrapowers at successor ordinals and direct limits at limit ordinals. If the constructed iterated ultrapowers M_\alpha are well-founded for all ordinals \alpha, the model M is called iterable. Chapter 3 presents L[A], the class of sets constructible relative to a set or class A. The hierarchy L_\alpha[A] is a generalization of the constructible hierachy L_\alpha. The difference is that the formulas defining the successor level L(\alpha+1)[A] can use A \ L_\alpha[A] as a unary predicate. The Main Theorem uses the model L[U], where U is a normal measure on some cardinal \kappa. Chapter 4 presents the basics of Prikry forcing, a notion of forcing defined from a measurable cardinal. The sequence of critical points of the iterable ultrapowers of L[U] generates a generic set for the Prikry forcing defined from the critical point of the \omega-th iterated ultrapower. Chapter 5 presents the theory of the Dodd-Jensen core model which is an important inner model. The core model is based on the Jensen hierarchy J_\alpha^A which produces L[A] as the union of all levels. The theory is concerned with so called premice which are levels of the J-hierarchy J_\alpha^U satisfying “U is a normal ultrafilter on \kappa” for some ordinal \kappa. A mouse is a premouse satisfying some specific properties and the core model K is the union of all mice. The last chapter presents the approach of the paper in detail. We present the definition of C(L*), the class of sets constructible using an extended logic L*, and the exact definition of C*. Then we present the proofs of the two major theorems mentioned above. The chapter naturally follows the paper but presents the proofs in greater detail and adds references to lemmas in the previous chapters that are needed for the arguments in the proofs.

This thesis gives some background and an introduction on dynamic complexity theory, a subfield of descriptive complexity theory in which queries on databases are maintained dynamically upon insertions and deletions to the database. The basic definitions of the dynamic complexity framework are given along with examples of queries maintainable with dynamic queries and a comparison of different dynamic complexity classes.

Tämä Pro gradu käsittelee jatkuvuusmetodia, jonka avulla voidaan ratkaista esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Jatkuvuusmetodin avulla voidaan todistaa ratkaisun olemassaolo tietyssä parametrijoukossa, jos pystytään näyttämään kolme tämän parametrijoukon ominaisuutta: se sisältää pisteen, jolla ratkaisu on olemassa, se on avoin joukko ja se on suljettu joukko. Jatkuvuusmetodi voidaan nähdä sovelluksena erilaisista topologisista kiintopistelauseista, joista tässä työssä esitellään Banachin kiintopistelause ja Leray-Schauderin kiintopistelause. Ensimmäisessä kappaleessa käydään lapi normiavaruuden ja lineaaristen operaattoreiden peruskäsitteitä. Differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä voidaan kuvata operaattorilla sopivassa normiavaruudessa. Käymme läpi myös kompaktiuden käsitettä ja siihen liittyviä perustuloksia topologisen tarkastelun mahdollistamiseksi. Toisessa kappaleessa johdetaan Banachin kiintopistelause, jonka sovelluksena saadaan tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisu kuvaamalla yhtälö operaattorilla, jonka kiintopiste vastaa yhtälön ratkaisua. Tämän jälkeen ratkaisua voidaan jatkaa jatkamisperiaatteen avulla. Tässä kappaleessa esitelllään myös lineaarinen jatkuvuusmetodi, jota käytetään toisen kertaluvun lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön Dirichlet-ongelman ratkaisemiseksi kun tiedetään, että Laplace-yhtälön Dirichlet-ongelmalle on olemassa ratkaisu. Kolmannessa kappaleessa käsitellään topologisia kiintopistelauseita, joista päätulos Leray-Schauder-kiintopistelause voidaan nähdä eräänlaisena epälineaarisena jatkuvuusmetodina, joka soveltuu epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tässä yhteydessä ratkaisun olemassaolo tietyssä parametrijoukossa näytetään käyttämällä implisiittikuvauslausetta, sekä kompaktiutta ja ratkaisujen a priori-estimointia. Nämä elementit yhdistetään Leray-Schauder-olemassaololauseessa, jonka avulla voidaan todistaa ratkaisujen olemassaolo kvasilineaariselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Lopuksi jatkuvuusmetodi pyritään muotoilemaan yleisellä tasolla, mutta matemaattisesti muotoiltuna.

Tutkielmassani esittelen työkalumaisesti johdantoa modaalipelien teoriaan. Modaalipelit ovat modaalilogiikan ja modaalisen predikaattilogiikan avulla käytäviä pelejä, joissa voidaan hyödyntää klassisen peliteorian teoriaa. Modaalipelit muodostavat kielellisen raamin peleille ja toteankin että tutkielmassa tutkitaan Wittgensteinilaisia kielipelejä sekä kieltä, logiikan ollessa kieli. Tutkielma jakautuu kahteen osaan: I) Klassinen peliteoria ja II) Modaalinen Peliteoria. Ensimmäisessä osassa luon ensin historiallisen synteesin logiikan ja peliteorian kehityksen osalle, jonka jälkeen esittelen työkaluja vakiosummapeleihin sekä tasapainopeleihin. Esimerkkeinä käytän lähinnä kilpailullisia pelejä ja eräitä tunnetuimpia pelejä kuten vangin dilemma sekä tuon esille esimerkin yhteistyöpeleistä. Sen jälkeen pyrin esittämään mahdollisimman yksinkertaisesti tärkeimmät menetelmät pelien ratkaisuihin sekä tuoton maksimointiin, jotka ovat: dominoivat strategiat, sekastrategiat, Nash-tasapaino sekä min-max teorian perusteita. Tämän jälkeen todistan välttämättömät ja riittävät lauseet liittyen em. ratkaisuihin. Osassa kaksi aloitan ensin käsittelemällä työssä käytettävää logiikkaa, joka on modaalilogiikka ja modaalinen predikaattilogiikka. Käsittelemme ensin perusmääritelmät Kripke-semantiikalle, jossa esitämme esimerkkejä aleettisen, deonttisen sekä episteemisen logiikan käännöksiä lauseista. Sen jälkeen tarkastelemme modaalilogiikan totuuden asteita: validi mallissa, tautologia, K-validi jne. todistaen samalla riittävän ja välttämättömän määrän teoriaa modaalilogiikan tautologian ja validien lauseiden muodostuksesta, jotta niistä voidaan ylipäätänsäkään puhua semanttisten pelien voittostrategian olemassaolon yhteydessä. Tämän jälkeen esitän modaalisen predikaattilogiikan perusteet ja semantiikan joita käytämme todistaessamme päätuloksen semanttisen pelin voittostrategiasta. Semanttisten pelien yhteydessä pyrin esittämään määritelmän pelisäännöille, strategialle ja voittostrategialle sekä todistamaan tuloksen voittostrategian ehdosta pelaajalle II. Semanttisen pelin pyrin laatimaan niin että se kattaa klassiset semanttiset pelit (propositionaalilogiikan ja predikaattilogiikan semanttiset pelit) ja modaalilogiikan semanttiset pelit. Tämän jälkeen esitän lyhyitä esimerkkejä aiheesta. Viimeisenä esitän lyhyen luonnoksen klassisen peliteorian päälle rakentuvasta modaalipelistä käyttäen esimerkkinä Vangin Dilemmaa ja Paholaisen Asianajajaa. Mahdollisen maailman käsite vastaa sekä semanttisessa modaalipelissä että modaalisessa pelissä pelaajan aitoa tilaa johon hän on saapunut kielen käyttönsä tuloksena.

I denna avhandling karakteriseras rektifierbara mängder med hjälp av approximativa tangentplan, densitet och ortogonala projektioner. Karakteriseringarna beskriver den lokala strukturen hos rektifierbara mängder. Eftersom en mängd kan delas upp i en rektifierbar mängd och en helt orektifierbar mängd så definierar karakteriseringssatserna också helt orektifierbara mängder. Inledningsvis presenteras grundläggande definitioner och satser inom måtteori. I kapitel två behandlas måtteoretiska egenskaper för Lipschitz funktioner. Dessa egenskaper utgör grunden för bevisen av karakteriseringssatserna. I kapitlet visas också att definitionen av rektifierbarhet är densamma oberoende av om Lipschitz funktioner eller kontinuerligt deriverbara funktioner används i definitionen för rektifierbarhet. Karakteriseringssatserna bevisas i kapitel tre. Utgångspunkten är en lokal linjär approximering av rektifierbara mängder. Karakteriseringen med approximativa tangentplan följer av detta. Därefter bevisas att en mängd är rektifierbar om och endast om densiteten i nästan varje punkt i mängden är 1. Slutligen karakteriseras rektifierbara mängder med ortogonala projektioner. Federer-Besicovitchs projektionssats utgör ena halvan av denna sats. Satsen bevisas först i det tvådimensionella fallet och generaliseras därefter induktivt till ett euklidiskt rum med ändlig dimension.