Browsing by master's degree program "Master 's Programme in Mathematics and Statistics"

A convex function, which Hessian determinant equals to one, defined in a convex and bounded polygon is called a surface tension. Moreover at the boundary of the given polygon it is demanded that the function is piece-wise affine. This setting originates from the theory of dimer models but in this thesis the system is studied as such. The boundary condition gives us points of interest i.e. the corners of the polygon and so called quasi-frozen points, where the boundary function is not differentiable. With a suitable homeomorphism one can map the unit disc to the polygon in question. In this setting an explicit formula for the gradient of the surface tension is derived. Furthermore the values of the gradient in corner and quasi-frozen points are derived as limits from, which as a corollary the directed derivatives of the surface tension are studied.

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija arvopaperimarkkinoihin, niiden yleiseen tasapainoon ja tasapainon olemassaoloon yhden periodin markkinamallissa, jossa toimijat käyvät kauppaa arvopapereista vaihtokauppamarkkinoilla. Yleinen tasapainoteoria on lähestymistapa talouden käyttäytymisen kuvaamiseen kokonaisuutena, jossa selvitetään talouden muodostavien toimijoiden kunkin jäsenen optimaalinen käyttäytyminen ja etsitään keskinäisen yhteensopivuuden pistettä. Tasapainoperiaatteen mukaan hinnat sopeutuvat, kunnes toimijoiden valinnat ovat yhteensopivat toistensa kanssa. Tasapaino voidaan määritellä systeemin tilaksi, jossa sillä ei ole syytä muuttua. Tutkielman toisessa kappaleessa esitetään tarpeellisia esitietoja ja apulauseita. Tutkielman lukijan oletetaan tuntevan tavallisimmat matemaattiset merkintätavat. Hänen tulee hallita peruskäsitteet matemaattisesta analyysistä, todennäköisyyslaskennasta, joukko-opista, lineaarialgebrasta ja topologiasta. Näiden lisäksi taloustieteen peruskäsitteiden tuntemus sekä opit auttavat ymmärtämään kokonaisuutta laajemmin. Tutkielman kolmannessa kappaleessa perehdytään lyhyesti arvopaperimarkkinoiden matemaattiseen esitystapaan, kuluttajan utiliteettiteoriaan sekä arbitraasikäsitteeseen. Kappaleessa esitetään myöhemmin tutkielmassa käytettävät talouden tärkeät standardiolettamukset ja todistetaan yhtenä tärkeimpänä tuloksena, milloin yhden periodin arvopaperimarkkinat ovat arbitraasivapaat. Neljännessä kappaleessa paneudutaan tasapainoon ja sen määrittelemiseen. Kappale lähtee liikkeelle tarkasta taloustieteellisestä näkökulmasta. Se perehtyy ehdollisten markkinoiden talouteen, eli toiselta nimeltä Arrow-Debreu-talouteen, sen merkitsemistapaan ja tasapainoon. Tämän jälkeen johdetaan seuraukset arvopaperimarkkinoille. Normalisoidun arbitraasivapaan tasapainon avulla pystytään näyttämään, että täydelliset arvopaperimarkkinat ovat Arrow-Debreu-markkinat. Kappaleen lopussa käydään läpi Pareto-tehokkuutta ja todistetaan, että täydellisillä arvopaperimarkkinoilla, joissa toimijoiden utiliteettifunktiot ovat kasvavia, jokainen kulutustasapaino on Pareto-tehokas. Tämä tarkoittaa sitä, että ei ole olemassa toista allokaatiota, joka parantaisi toisen toimijan utiliteettia huonontamatta jonkin toisen. Viidennessä kappaleessa esitellään tasapainon olemassaoloa ensiksi Arrow-Debreun taloudessa ja käydään esimerkkien avulla läpi, miksi tietyt oletukset ovat välttämättömiä tasapainon olemassaololle täydellisillä markkinoilla. Tämän jälkeen esitetään lause arvopaperimarkkinoiden tasapainolle, jossa markkinat saattavat olla epätäydelliset.

Reshetnyakin lauseen mukaan kvasisäännöllinen kuvaus, joka ei ole vakio, on avoin, diskreetti ja suunnansäilyttävä. Suunnansäilyttävät kuvaukset määritellään topologisen asteen avulla ja siksi tässä tutkielmassa Reshetnyakin lauseen todistuksessa keskeistä on kvasisäännöllisen kuvauksen osoittaminen suunnansäilyttäväksi. Topologiselle asteelle on tässä tutkielmassa valittu analyyttinen lähestymistapa. Luvussa 3 topologinen aste määritellään jatkuvasti differentioituville funktioille ja luvussa 4 siirretään topologisen asteen määritelmä ja keskeiset tulokset Sobolev-funktioille. Reshetnyakin lauseen todistuksen runkona käytetään Titus–Youngin lausetta, jonka mukaan jatkuvat, kevyet ja suunnansäilyttävät kuvaukset ovat avoimia ja diskreettejä. Titus–Youngin lause esitellään ja todistetaan luvussa 5. Luvussa 6 esitellään kvasisäännölliset kuvaukset. Alaluvussa 6.1 tarkastellaan kvasisäännöllisten kuvausten ja elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yhteyttä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden avulla voidaan osoittaa kvasisäännöllinen kuvaus kevyeksi. Viimeisessä luvussa esitellään Reshetnyakin lause ja osoitetaan, että kvasisäännöllinen kuvaus, joka ei ole vakio, on kevyt ja suunnansäilyttävä. Tällöin kvasisäännöllisen kuvauksen avoimuus ja diskreettisyys seuraa Titus–Youngin lauseesta.

Tämän gradun keskeisin asia on uusiutumisteoria. Uusiutumisteoria on todennäköisyysteoriaa, ja siinä tarkastellaan tilanteita niin sanotusti takaperin. Eli voidaan vaikka simuloida tiettyä tilannetta erittäin monta kertaa, ja laskea tuloksen perusteella vastaus. Esimerkki tästä on tilanne, jossa tarkastellaan, kuinka monta kertaa olisi heitettävä noppaa, jotta saadaan sama lukuarvo viisi kertaa peräkkäin. Tällainen on haastavampaa laskea klassisen todennäköisyyslaskennan metodein, koska otannan kokoa ei ole tiedossa. Tutkielman tarkoituksena on, että tutkielman lukija joko saisi ymmärrystä siitä, mitä uusiutumisteoria on, tai hänen tietämyksensä syvenisi. Tämä on toteutettu niin, että tutkielman alussa on pyritty selittämään matemaattisia asioita, joita käytetään myöhemmin tutkielmassa, jotta tutkielma olisi luettavissa mahdollisimman monelle eri matematiikan osaamistasoiselle ihmiselle. Todistusten seuraaminen ihmiselle, joka on matematiikan opinnoissaan vasta alkuvaiheessa voi olla erittäin haastavaa, mutta esimerkit on pyritty kirjoittamaan niin, että ne olisivat kenelle vain luettavissa. Gradussa on kaksi matemaattisesti haastavampaa kappaletta. Toisessa johdetaan keskeinen uusiutumislause ja todistetaan se, ja toisessa johdetaan uusiutumislause epätäydelliseksi uusiutumislauseeksi, ja osoitetaan, kuinka uusiutumisteoria on mukana vakuutusmatematiikan riskiteoriassa. Keskeisen uusiutumislauseen todistus tehdään niin, että ensin johdetaan tämä lause yksinkertaisemmista uusiutumislauseista ja määritellään uusiutumisfunktio. Tämän jälkeen määritellään Blackwellin uusiutumislause ja todistetaan se. Tämän jälkeen voidaan osoittaa, että lauseet ovat matemaattisesti ekvivalentteja sopivin oletuksin, ja kun se on osoitettu, on keskeinen uusiutumislause todistettu. Työn lopussa käsitellään esimerkkejä. Yksi näistä on koneiden hajoamiseen liittyvä uusiutumisteoreettinen tehtävä, ja sen lisäksi esitetään kaksi uusiutumisteoriaan liittyvää paradoksia. Vaikka näissäkin voi olla haastaviakin todistuksen osia, erityisesti molempien paradoksien todistuksissa, on jokainen esimerkki muotoiltu jokaiselle luettavaan muotoon. Nämä kaksi kappaletta ovat ne kappaleet, jotka kannattaa lukea, jos ei ole ikinä kuullut uusiutumisteoriasta. Yllä mainitussa esimerkissä on tilanne, jossa on tehdas ja tehtaassa on kone, jossa on yksi kriittinen osa, joka hajoaa helposti. Jos osa huolletaan ennen hajoamista, maksaa se 200 euroa. Jos taas osa ehtii hajota ennen huoltoa ja se pitää korjata, hajottaa se samalla konetta, ja kustannukseksi tulee tällöin 2600. Koneen osan hajoaminen on tasajakautunutta kahden vuoden ajanjaksolle. Tällöin uusiutumisteorian avulla on mahdollista ratkaista, mikä on optimaalisin huoltoväli koneelle.

Vastuuvelka on keskeinen termi vakuutusmatematiikassa. Vakuutuksen vastuuvelalla hetkellä t tarkoitetaan summaa, joka vakuutusyhtiöllä tulee sillä hetkellä olla varattuna kyseisen vakuutuksen korvauksiin. Vastuuvelkaan vaikuttavat useat tekijät, kuten vakuutukseen liittyvä korvaussumma, korkoutuvuus ja kuolevuus. Tässä työssä käsitellään erilaisten henkivakuutusten vastuuvelkoja. Vakuutuksen hinta on yksinkertaisimmillaan nettokertamaksu. Tässä tapauksessa vakuutettu maksaa kerralla kaikki vakuutusmaksut ja tämä maksu on ekvivalenssiperiaatteen mukaan vakuutetulle maksettavien korvausten nykyarvon odotusarvo, toisin sanoen pääoma-arvo. Pääoma-arvo riippuu korvausten suuruuden lisäksi korkotasosta ja kuolevuudesta. Vakuutusmaksut voidaan myös jakaa pidemmälle aikavälille tai niihin voi sisältyä korvausten pääoma-arvon lisäksi muita kuluja. Elossaolevan vakuutetun vakuutustekninen vastuuvelka tietyllä ajanhetkellä on tulevien korvausten ja kulujen senhetkinen pääoma-arvo vähennettynä tulevien vakuutusmaksujen senhetkisellä pääoma-arvolla. Vastuuvelkaa voidaan ajatella vakuutussopimuksen arvona. Vastuuvelkaa voidaan kuvata Thielen differentiaaliyhtälöllä. Thielen yhtälö voidaan johtaa yksinkertaisissa tapauksissa suoraan derivoimalla vastuuvelkaa tai laajemmin tarkastelemalla vastuuvelan muutosta lyhyellä aikavälillä ja muodostamalla differentiaaliyhtälö erotusosamäärän raja-arvosta. Thielen yhtälön avulla voidaan tarkastella vastuuvelan ja siis vakuutussopimuksen arvon muutoksia. Toisaalta jos oletetaan, että vakuutusyhtiölle syntyy vakuutusaikana vastuuvelkaan suhteutettuja kuluja, tarvitaan Thielen yhtälöä myös vakuutuksen hinnoitteluun.

The thesis consists of presenting and analysing the original proof for the Embedding Theorem that Hassler Whitney gave in his 1936 article Differentiable Manifolds. The embedding theorem states that given an m-dimensional Cr-differentiable (r ≥ 1) manifold M, it is possible to embed it in Euclidean space Rn, if n ≥ 2m + 1. Embedding is defined as a mapping f : M → Rn which is Cr-smooth, bijective immersion that is homeomorphism to its image f[M]. Whitney’s proof rests on few important novel concepts and a series of lemmas in relation to them. These concepts include the concept of the k-extent of a set, a sort of a k-dimensional measure in an n-dimensional space; the concept of Cr-function g : M → N approximating (f, M, r, η), where f is a Cr-function f : M → N, η an error function; and the concept of (f, r, η)-properties defined for such g. Outstanding lemmas of general nature are Lemma 7: If f : M → N is a Cr-map and A ⊂ M is of finite (zero) k-extent, then f[A] is of finite (zero) k-extent. Lemma 8: For open sets R and R′ of Rm and Rh, if {Tα} is a h-parameter family of C1-maps of R ⊂ Rm into Rn, and A ⊂ R and B ⊂ Rn closed subsets, such that A is of finite k-extent and B of zero (h − k)-extent, then for some α ∈ R′, Tα[A] does not intersect B. Lemma 9: If f : M → N is a Cr-map, η positive continuous function in M, Ω1, Ω2, . . . are (f, r, η)- properties, then there is a Cr-map F : M → N which approximates (f, M, r, η) and has properties Ω1, Ω2, . . . . Lemmas 11 and 12 then show that bijectivity and immersion property are the logical sum of countable number of (f, r, η)-properties. These facts are used in finding an embedding F : M → Rn by perturbing a given smooth function f : M → Rn. Detailed treatment of all proofs is provided. Adjustments to the proofs are made where deemed necessary; auxiliary assumptions are made where they seem to be required. Clarifications and proofs are given to facts noted but not proven in the article