Skip to main content
Login | Suomeksi | På svenska | In English

Browsing by master's degree program "Magisterprogrammet för ämneslärare i matematik, fysik och kemi"

Sort by: Order: Results:

  • Hentunen, Johannes (2021)
    Lukuteoria tutkii kokonaislukujen ominaisuuksia, kuten jaollisuutta. Sekä kiinnostavaa että käytän-nöllistä on löytää keinoja selvittää onko jokin kokonaisluku jaettavissa millään toisella kokonais-luvulla. Näitä keinoja tai algoritmeja kutsutaan alkulukutesteiksi ja ne esiintyvät merkittävässäroolissa nykyaikaisessa tietoturvassa ja salaamisessa.Tässä työssä esitellään alkeellisia alkulukutestejä kuten Eratostheneen seula, Wilsonin lause ja Fer-mat’n testi, sekä suurten alkulukujen testaamiseen käytettyjä tehokkaampia menetelmiä. Alkulu-kutestit jaotellaan deterministisiin sekä probabilistisiin testeihin sen mukaan, antavatko ne var-man oikean tuloksen vai jollain tunnetulla todennäköisyydellä epävarman tuloksen. Epävarmempiprobabilistinen testi on kuitenkin determinististä käytännölisempi, sillä se voidaan ajaa riittävänmonta kertaa luotettavan tuloksen saamiseksi ja silti suoriutua determinististä testiä nopeammin.Erityisesti työssä keskitytään Miller-Rabinin probabilistiseen eli satunnaistettuun alkulukutestiin,joka on algoritmina nopea eli tehokas suuria lukuja testatessa. Työssä esitellään myös ensimmäi-nen polynomisessa ajassa suoriutuva deterministinen alkulukutesti AKS, jonka suoritumisaika elilaskutoimitusten lukumäärä on polynominen testattavan luvun numeroiden määrän suhteen.Työssä käydään läpi lukuteoreettista taustaa siinä määrin, kuin on alkulukutestien ymmärtämi-sen osalta oleellista, sekä katsastetaan myös lukuteorian sisältöjä ja opetusta lukiossa. Oleellinentaustateoria sisältää muun muassa kogruenssin, kiinalaisen jäännöslauseen, sekä Fermat’n pienenlauseen. Työssä esitellään myös Mersenneen alkuluvut ja näihin liittyvä yksinkertainen ja tehokasLucas-Lehmerin deterministinen alkulukutesti.Lukuteoriaa opetetaan vain vähän tai ei laisinkaan perusopetuksessa niin Suomessa kuin maail-mallakin. Lukion valinnainen kurssi Algoritmit ja lukuteoria antaa riittävät valmiudet tutustua it-senäisesti alkulukutesteihin tarvittavaan pohjateoriaan, kuten Fermat’n pieneen lauseeseen, muttakurssin varsinaiseen sisältöön alkulukujen testaus ei kuulu alkeellisimpia menetelmiä lukuunotta-matta.Lukuteoreettisten ongelmien pohtiminen ja lukuteorian käsitteiden opiskelu edistää opiskelijoidensuhtautumista matematiikkaan, vaikuttaa positiivisesti näiden metakogniitiivisiin kykyihin, sekäedistää ongelmanratkaisun ja todistamisen taitoja.
  • Lehtinen, Nina (2023)
    Älylaitteita, erityisesti älypuhelimia, suosivat nykyisin hyvin niin nuoret kuin aikuisetkin. Älypuhelimet ovat taskukokoisia viihdekeskuksia, jotka tarjoavat muun muassa mahdollisuuden pitää yhteyttä kanssaihmisiin. Älypuhelimilla on kuitenkin paljon hyötykäytön mahdollisuuksia myös koulutuksessa, mikä monilta jää huomioimatta. Tässä työssä perehdytään älylaitteiden tarjoamiin mahdollisuuksiin fysiikan mekaniikan kokeellisuuden toteuttamisessa kouluopetuksessa ja siihen, millaista hyötyä älylaitteiden opetuksellisesta käytöstä saattaisi olla. Älylaitteilla voi korvata useampia kokeellisuuden toteuttamiseen tavallisesti tarvittavia välineitä, sillä ne tarjoavat puitteet sekä datankeruuseen että sen käsittelyyn ja lisäksi ne voivat toimia myös osana koejärjestelyä. Tämän työn keskiössä on usealle eri mekaniikan ilmiön tutkimukselle esitelty vaihtoehtoinen, älylaitteiden ympärille kehitelty, kokeellinen toteutus sekä pohdintaa älylaitteiden opetuskäytön mahdollisista hyödyistä oppimisen ja opetuksen kannalta. Keskeisinä hyötyinä nousivat esiin fysiikan kokeellisuuteen liittyvän motivaation ja sitä kohtaan koetun kiinnostuksen koheneminen, laboratoriotöihin liittyvän kognitiivisen kuormituksen mahdollinen vähentyminen sekä mahdollisuudet toteuttaa kokeellisuutta paikasta riippumatta. Lisäksi tässä työssä tuodaan esille älylaitteiden tarjoamia keinoja kokeellisuuteen liittyvien muiden osuuksien toteutukselle, kuten mahdollisuuksia tulosten jakamiseen, osaamisen kartoitukseen, mallintamiseen ja kokeellisuuden vaihtoehtoiseen toteutukseen simulaatioiden avulla. Älylaitteet tarjoavat monenlaisia alustoja, jotka soveltuvat hyvin fysiikan kokeellisuuden toteuttamiseen. Näihin kuuluu esimerkiksi PhyPhox, jolla voi kerätä kokeellista dataa monenlaisista fysiikan mekaniikan sekä muiden aihepiirien kokeellisista töistä. Tämä sovellus mahdollistaa lisäksi datan kertymän tarkkailun toisella laitteella mittauksen edetessä, jolloin yhteys ilmiön ja datan välillä voi olla helpompi hahmottaa. Useampiin mekaniikan kokeellisiin töihin voidaan tuoda mukaan älypuhelin. Se sopii mittausvälineeksi muun muassa tutustuttaessa Newtonin II lakiin, törmäyksiin sekä painovoimaan.
  • Siivonen, Teemu (2022)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella antiikin Kreikan suurimpia matemaatikoita ja heidän tutkimuksiaan sekä niiden merkitystä tämän päivän matematiikan kannalta. Tutkielman toisena tarkoituksena on tarkastella miten hyvin antiikin Kreikan matematiikan merkitys ilmenee tämän päivän koulujen opetuksessa ja mitä kouluista valmistuneet ihmiset siitä tietävät. Tutkielman ensimmäisessä osiossa esitellään antiikin Kreikan suurimpia matemaatikoita. Tutkielmassa aloitetaan Thaleesta ja Pythagoraasta sekä Pythagoralaisesta matematiikasta. Sen jälkeen esitellään Platonin Akatemia ja Zenonin paradoksit. Sen jälkeen siirrytään tutkimaan Eukleideen Alkeita, Arkhimedesta sekä Apolloniosta. Ensimmäisen osion lopuksi tutustutaan vielä Diofantokseen, Pappokseen ja antiikin Kreikan matematiikan päätökseen. Tutkielman toinen osio koostuu suurelta osin kenttätutkimuksesta. Siinä tutkitaan antiikin Kreikan matematiikan esiintymistä matematiikan Kuutio-kirjasarjassa. Sen lisäksi esitellään kyselytutkimuksen tuloksia. Tutkimuksessa selvitettiin vastaajien käsityksiä antiikin Kreikan matematiikasta, miten tärkeänä he pitävät antiikin Kreikan matematiikkaa tämän päivän matematiikan kannalta ja miten hyvin he muistivat Pythagoraan lauseen. Lisäksi kyselyssä kysyttiin kuvien käytöstä opetuksessa sekä miten vastaajat itse parantaisivat matematiikan opetusta. Kyselyyn vastanneiden mielestä antiikin Kreikan matematiikka on ollut ainakin tärkeä pohja tämän päivän matematiikalle. Monet uskoivat kreikkalaisten laskeneen monimutkaisia laskuja, mutta heillä ei ollut mitään konkreettista kuvaa antiikin Kreikan matematiikasta. Monet toivoivat, että opetuksessa käytettäisiin enemmän kuvia ja asiat selitettäisiin selvästi vaihe vaiheelta. Opetettavat asiat tulisi myös jotenkin liittää oppilaille mieleisiin asioihin.
  • Vaheri, Ville (2022)
    Tässä tutkielmassa käsitellään Apollonioksen ongelmaa, joka on nimetty antiikin ajan matemaatikko Apollonios Pergalaisen mukaan. Apollonios oli yksi antiikin ajan tunnetuimmista matemaatikoista heti Arkhimedeen ja Eukleideksen jälkeen. Tutkielman ensimmäisessä luvussa eli johdannossa lukijalle kerrotaan lyhyesti, mitä tutkielma sisältää. Toisessa luvussa esitellään lyhyesti, mistä Apollonioksen ongelmassa on kyse. Tavoitteena on löytää ympyrä, joka sivuaa kolmea muuta tason geometrista muotoa tasan yhdessä pisteessä. Annetut kolme muotoa voivat olla pisteitä, suoria tai ympyröitä, joten erilaisia tilanteita on kymmenen. Kolmannessa luvussa esitellään Apollonioksen ongelman historiaa ja tunnettuja matemaatikkoja, jotka ovat työskennelleet ongelman parissa. Neljännessä luvussa esitetään ratkaisu Apollonioksen ongelman kymmeneen eri tilanteeseen. Ratkaisut esitellään GeoGebralla piirrettyjen kuvien avulla. Tilanteista vaikeimpaan eli kolmen ympyrän tilanteeseen esitetään neljä erilaista ratkaisua. Ratkaisuista kolme ovat geometrisiä ja yksi on algebrallinen. Kolmen ympyrän tilanne voidaan ratkaista pienentämällä yhden ympyrän säde nollaksi, jolloin saadaan ratkaistavaksi tilanne, jossa on piste ja kaksi ympyrää. Ratkaisu saadaan myös hyperbelien leikkauspisteiden avulla. Viidennessä luvussa käydään läpi joitakin Apollonioksen ongelman käytännön sovelluksia. Ongelmaa hyödynnetään esimerkiksi GPS-paikannuksessa ja lääketieteessä. Tutkielman viimeisessä luvussa kirjoittaja pohtii, miten Apollonioksen ongelman voisi ottaa osaksi lukio-opetusta. Lukion opetussuunnitelman perusteita lukiessa huomataan, että aihe sopii oikein hyvin lyhyen ja pitkän matematiikan geometrian kursseille. Oppilaat saavat paljon harjoitusta GeoGebran käytöstä, mikä on lukio-opiskelijoille tärkeää. Luvussa pohditaan, millaisen tehtävänannon opettaja voisi oppilaille antaa. Joka tapauksessa kyseessä olisi oppilaille ongelmatehtävä.
  • Sarkkinen, Milja (2012)
    Tämän tutkielman tarkoituksena oli selvittää ruumiillistamisen mahdollisuuksia matematiikan opetuksessa. Tutkielmassa eritellään eri näkökulmia ruumiillistamiseen, ja erityisesti kehollistamiseen; ne nähdään havainnollistamiskeinoina, joilla on perusteltu rooli matemaattisten kognitioiden kehittymisessä. Tutkielma koostuu taustatutkimuksesta, sekä opetuskokeilusta, jossa tutkittiin ruumiillistamisen keinoja reaalilukusuoran ominaisuuksien oppimiseen. Tutkielmassa ruumiillistamista tutkitaan erityisesti reaalilukusuoran ominaisuuksien opettamisessa. Lukujoukkojen laajennukset luonnollisista luvuista kokonais-, rationaali- ja reaalilukuihin, ja erityisesti siirtyminen koulumatematiikasta yliopistomatematiikkaan, edellyttävät opiskelijalta käsitteellisen muutoksen läpikäymistä, tullakseen ymmärretyiksi. Käsitteellisellä muutoksella tarkoitetaan uusien asioiden oppimista tavalla, joka edellyttää aiempien tietojen ja intuition vastaista ajattelua. Käsitteellistä muutosta esitellään erityisesti Kaarina Merenluodon tekemien tutkimusten näkökulmasta. Tutkielmassa esiteltäviä näkökulmia ruumiillistamiseen ovat David Tallin esittelemät teoriat matemaattisten kognitioiden kehittymisestä ja matematiikan kolmesta maailmasta, kehollisuus metaforien lähtökohtana, kehollisuus ja eleet matematiikan opetuksessa sekä ruumiillistaminen ja kehollisuus vaihtoehtoisina opetusmenetelminä. Omakohtainen lähtökohta tutkimuksen tekemiselle oli tekijän tausta taitoluistelijana ja taitoluisteluvalmentajana. Tekijän oma kontribuutio tutkimuksessa oli pienimuotoisen opetuskokeilun järjestäminen ja sen laadullinen analysointi. Opetuskokeilu koostui kohdejoukon ennakkotietojen kartoituksesta, opetustuokiosta ja loppukyselystä, jolla selvitettiin osallistujien reaalilukukäsityksiä opetustuokion jälkeen. Opetustuokiossa käytettiin kehollisia opetusmetodeja sekä opetusvälineitä ruumiillistamisen apukeinoina. Tutkimuksen tuloksena ruumiillisuuden havaittiin onnistuneen tehtävässään luoda informaaleja reaaliluvun ajattelun malleja, joiden varaan formaali käsitys reaaliluvuista voi rakentua. Tutkimuksen perusteella ruumiillistaminen ja kehollistaminen ovat keinoja, joiden avulla reaalilukukäsitteen ymmärtämiseen vaadittavaa käsitteellistä muutosta on mahdollista ja kannattavaa edistää.
  • Rönnqvist, Suvi (2020)
    Koulumatematiikka on ottanut valtavia harppauksia eteenpäin viime vuosien aikana. Vuonna 2014 hyväksytty perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet toivat ohjelmoinnin osaksi matematiikan opetust. Opetussuunnitelmassa painotetaan paljon yleisesti sekä matematiikan osalta tieto- ja viestintäteknologian hyödyntämistä osana opetusta. Teknologia antaa runsaasti mahdollisuuksia työskentelyyn koulussa. Avaruusgeometriaa voi luoda, havainnoida tai tutkia siihen tarkoitetuilla sovelluksilla. Valmiiksi tehtyjä käyttökelpoisia appletteja löytyy esimerkiksi GeoGebraltaa hyvin. Tästä voi olettaa, että oppikirjat antavat oppilaille paljon tukea teknologian hyödyntämiseen opinnoissa. Koulussa käytettävät oppimateriaalit muuttuivat viimeisimmän opetussuunnitelman myötä. Esimerkiksi materiaalit voivat olla digitaalisessa muodossa perinteisen kirjan sijaan. Perinteisissä oppikirjoissa on aikaisempien kirjojen tyyliin tehtäviä laidasta laitaan. Avaruusgeometriassa tehtävät painottuvat hahmottamiseen ja laskemiseen, mutta myös kolmiulotteiseen hahmottamiseen liittyviä tehtäviä on jonkin verran. Tieto- ja viestintäteknologiaa ei ole oppilaiden kirjoissa mainittuna tai tuotu esiin. Ylioppilastutkinnossa matematiikka on suoritettu keväästä 2019 alkaen sähköisenä kokeena. Peruskoulusta lukioon jatkaa yli puolet oppilaista, joten yläkoulun jälkeen oppilailla on muutama vuosi lukiossa aikaa omaksua erilaiset sähköiset työkalut. Lukiossa opiskeleville olisivaltavasti etua, jos perusopetuksessa tutustuttaisiin esimerkiksi geometrisiin piirtotyökaluihin. Nivelvaihe peruskoulun ja lukion välillä on joka tapauksessa suuri harppaus. Perusopetuksen matematiikan opetusmateriaaleissa ei ole hyödynnetty teknologiaa avaruusgeometriassa. Lisätutkimus teknologian integroimisesta osaksi matematiikan ja avaruusgeometrian opetusta olisi toivottavaa.
  • Silander, Otto (2019)
    Tässä tutkimuksessa luodaan yleiskatsaus babylonialaiseen matematiikkaan, perehdytään sen saavutuksiin ja erityispiirteisiin ja pohditaan sen suurimpia ansioita. Lisäksi selvitetään miten babylonialainen matematiikka on vaikuttanut matematiikan kehitykseen ja miten babylonialaiset keksinnöt ovat päätyneet erityisesti kreikkalaisten matemaatikoiden käyttöön. Babylonialaisen matematiikan lisäksi tutkitaan myös babylonialaista astronomiaa soveltuvin osin. Tutkimuksessa selvitetään myös onko babylonialaisella matematiikalla yhteyksiä nykyaikaan ja erityisesti tapaan jakaa tunti 60 minuuttiin ja minuutti 60 sekuntiin ja ympyrän kehäkulma 360 asteeseen. Tutkimus toteutettiin kirjallisuuskatsauksena käyttämällä mahdollisimman laajasti sekä babylonialaista matematiikkaa koskevia perusteoksia että uusimpia artikkeleita. Matemaattisten saavutusten siirtymistä lähestyttiin tutkimalla tunnettuja kreikkalaisen matematiikan ja astronomian keskeisiä henkilöitä ja heidän yhteyksiään babylonialaiseen matematiikkaan. Näiden pohjalta muodostettiin yhteneväinen kokonaisuus babylonialaisen matematiikan saavutuksista ja tiedon siirtymisestä. Babylonialainen matematiikka käytti omaperäistä ja edistyksellistä seksagesimaalijärjestelmää, jonka kantaluku oli 60 ja joka oli ensimmäinen tunnettu numeroiden paikkajärjestelmä. Babylonialaisia matemaatikoita voidaan perustellusti sanoa antiikin parhaiksi laskijoiksi. He tunsivat monia tunnettuja lauseita kuten Pythagoraan lauseen ja Thaleen lauseen, osasivat ratkaista toisen asteen yhtälön ja käyttivät erilaisia tehokkaita algoritmeja likiarvojen laskemiseen yli tuhat vuotta ennen kreikkalaisia. Kreikkalaisten ensimmäisinä matemaatikkoina pitämät Thales ja Pythagoras oppivat ilmeisesti tunnetuimmat tuloksensa babylonialaisilta ja heidän merkityksensä on ensisijaisesti tiedon kuljettajana ja matematiikan eri osasten järjestelijöinä. Babylonialainen astronomia oli edistyksellistä ja kreikkalainen Hipparkhos hyödynsi babylonialaisten tekemien havaintojen lisäksi myös babylonialaista laskutapaa tehdessään omia tutkimuksiaan. Näiden ratkaisujen pohjalta ympyrä jaetaan vielä nykyäänkin 360 asteeseen, joista jokainen aste jakautuu 60 osaan. Samalla babylonialaiseen matematiikkaan perustuvalla periaatteella myös tunnit ja minuutit on jaettu 60 osaan.
  • Pentti, Toni (2021)
    Tämän tutkielman tarkoitus on esitellä ja todistaa eräs topologisiin ryhmiin liittyvä lause. Lause kertoo topologisen ryhmän oleva metristyvä avaruus, mikäli ryhmän neutraalialkiolla on numeroituva ympäristökanta. Tutkielmassa käsitellään tarkemmin topologisiin ryhmiin liittyviä tuloksia ja niiden seurauksia. Ensimmäinen kappale on varattu johdannolle. Heti alussa käydään läpi miksi tutkielman tulos on merkittävä ja miksi siihen on järkevää paneutua. Tutkielmassa esitellään oleelliset lähtötiedot, jotta lukijan on helpompi tutustua varsinaiseen aiheeseen. Toisessa kappaleessa kerrotaan tärkeimmät käsitteet ja ne yritetään mahdollisimman selvästi selittää lukijalle. Tässä kappaleessa käydään myös läpi tutkielmassa käytettyjä merkintätapoja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Kappaleessa on lyhyesti esiteltynä topologisen ryhmän määritelmä, pohjaten algebran määrittelemään ryhmän käsitteeseen ja yleisen topologian määräämiin ehtoihin. Topologisille ryhmille johdetaan kaksi lausetta, jotka ovat tutkielman päätuloksen todistusta varten oleellisia. Ensimmäinen lauseista kertoo, että neutraalialkiolle voidaan rakentaa symmetrisiä ympäristöjä niin, että niiden tulo kuuluu aina johonkin toiseen ympäristöön. Toinen lauseista taas antaa tiedon siitä kuinka neutraalialkiolle löytyy ympäristöjä johon jokin toinen alkio ei kuulu. Nämä lauseet antavat työkalut rakentamaan ryhmän alkioille avoimia ympäristöjä, joita käytetään taas edelleen sopivia ympäristökantoja rakennettaessa. Tässä kappaleessa käydään läpi kaikki tarvittava päätulosta varten. Tutkielman varsinainen päätulos esitellään lyhyesti kappaleen neljä alussa. Kappaleessa todistetaan vaihe vaiheelta topologisen ryhmän neutraalialkiolle rakennetun numeroituvan ympäristökannan avulla, että löydetään metriikka joka määrittää avoimet joukot siten, että ne ovat samoja kuin topologian määräämät avoimet joukot. Tulos on merkittävä siksi, että se antaa työkalun tarkastella topologisten ja metristen avaruuksien yhteyksiä. Lähtökohta työlle oli kirjoittajan oma kiinnostus topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Tavoitteena oli todistaa tärkeä tulos topologian alalta, joka auttaa linkittämään topologiset ja metriset avaruudet toisiinsa.
  • Rautaoja, Jukka (2020)
    Tässä tutkielmassa esitetään Cauchy-Eulerin yhtälö, sen ratkaisu ja kaksi sovellusta sen monista sovelluksista. Cauchy-Eulerin yhtälö on homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on muuttujakertoimet. Ensimmäisessä luvussa perustellaan aiheen valinta sekä kerrotaan perustietoja lineaarisista differentiaaliyhtälöistä ja Cauchy-Eulerin yhtälön historiasta. Toisessa luvussa esitetään Cauchy-Eulerin yhtälö ja osa yhtälön ratkaisun todistukseen tarvittavista aputuloksista. Kolmannessa luvussa todistetaan sekä toisen kertaluvun että n:nnen kertaluvun ratkaisu yhtälölle. Molempia todistuksia ennen esitetään todistuksien kannalta merkittävimmät aputulokset. Tärkeimpänä esimerkkinä mainittakoon Laplace-muunnos. Toisen kertaluvun ratkaisu todistetaan, koska se on helpompi ymmärtää, sitä tarvitaan molempiin sovelluksiin, ja koska se auttaa ymmärtämään n:nnen kertaluvun ratkaisua. Neljännessä luvussa yhtälölle esitetään kaksi sovellusta: Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen ratkaisu ja Black-Scholesin yhtälön ratkaisu. Laplacen yhtälöä hyödynnetään kuvaamaan fysiikassa ajasta riippumattomissa tilanteissa tapahtuvia muutoksia esimerkiksi sähkömagneettisissa potentiaaleissa, tasaisissa lämpötiloissa ja hydrodynamiikassa. Yhtälön napakoordinaattiesitystä käytetään sellaisissa tilanteissa, joissa ympäristö on ympyrän rajaama kiekko. Black-Scholesin yhtälöä käytetään finanssimatematiikassa kuvaamaan osakeoptioiden arvonmuutosta. Siten molempia yhtälöitä käytetään paljon, ja ne ovat CauchyEulerin yhtälön tärkeitä sovelluksia. Viidennessä luvussa esitellään tutkielman tulokset. Tuloksina esitetään Cauchy-Eulerin yhtälön n:nnen kertaluvun ratkaisu, Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen ratkaisu ja Black-Scholesin yhtälön ratkaisu. Sekä Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen että Black-Scholesin yhtälön ratkaisu saadaan muuttujien separoinnin avulla, jolloin saadaan kaksi eri yhtälöä, joista toinen on toisen kertaluvun Cauchy-Eulerin yhtälö, jonka ratkaisu aiemmin todistettiin.
  • Tiihonen, Viivi (2021)
    Tämä maisterintutkielma pyrkii havainnollistamaan lukion lyhyen ja pitkän matematiikan opiskelijoiden osaamista valtakunnallisissa ylioppilaskirjoituksissa. Aiheeseen paneudutaan analyysitason funktion derivaatan määrittelyn kautta ja lisäksi sivutaan lyhyesti lukion opetussuunnitelman perusteita vuosilta 2015 ja 2019. Tarkastelun myötä huomataan, että lukion lyhyen matematiikan derivaattakurssin funktion derivaatan määritelmä jää melko kauas tarkasta määritelmästä, kun taas pitkässä matematiikassa päästään hyvin lähelle todellisuutta. Lukiossa saadun opetuksen havainnollistamiseksi tehdään lyhyt oppikirjatarkastelu sekä lyhyen että pitkän matematiikan oppikirjoista. Tutkielmassa käydään laajasti ja perustavanlaatuisesti läpi viimeisen viiden vuoden matematiikan ylioppilaskokeiden derivaattaan painottuvat tehtävät. Tehtäviä analysoidaan niin määrällisesti kuin laadullisestikin sekä lyhyen että pitkän matematiikan osalta. Tutkimus osoittaa, että derivaattatehtäviä on ollut lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa parhaimmillaan kolme kappaletta, kun taas pitkässä matematiikassa suurin derivaattatehtäväesiintyvyys nousee jopa kuuteen tehtävään per koe. Lyhyen matematiikan kokeissa ei abstrakteiksi luokiteltavia tehtäviä ole ollut laisinkaan, pitkässä matematiikassa niitä on ollut muutamia. Kaikissa matematiikan ylioppilaskokeissa derivaattapainotteiset tehtävät ovat olleet hyvin pitkälti soveltaviksi luokiteltavia. Ylioppilaskokelaiden osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimien pisteytysohjeiden avulla. Analyysissä huomataan, että yksittäisten derivaattatehtäviksi luokiteltujen derivaattaosuuksista saatavat suurimmat pistemäärät ovat noin kolmasosan luokkaa sekä lyhyen että pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa. Pisteytysohjeiden mukaista tehtäväanalyysiä tehdään tutkielmassa yksityiskohtaisesti. Tutkielman suurin painoarvo on derivaattatehtävien pistejakaumissa ja niiden analysoinnissa. Työssä tutkitaan tehtävistä saatuja pistemääriä tehtävien tyypin, laadun ja vaikeusasteiden mukaan. Tutkimus osoittaa, että lyhyessä matematiikalla osataan sekä parhaiten että huonoiten funktion derivointia sekä sen arvon laskemista tietyssä pisteessä. Perustehtävistä saatiin enemmän pisteitä kuin soveltavista tehtävistä ja helppoja tehtäviä osattiin selkeästi paremmin kuin vaikeusasteeltaan haastavampia tehtäviä. Kuitenkin lyhyen matematiikan opiskelijat valitsivat kokeissa eniten soveltavia tehtäviä sekä vaikeusasteeltaan abstrakteja tehtäviä. Pitkän matematiikan kirjoittaneet taas osaavat parhaiten perinteistä funktion derivointia ja huonoiten funktion derivoituvuuden tarkasteluun liittyviä sovelluksia. Tehtävien laatu- ja vaikeusasteluokittelussa hajontaa esiintyi jonkin verran. Tutkimus osoittaa, että pitkän matematiikan opiskelijat valitsevat ylioppilaskokeissa mieluiten ääriarvotehtäviä ja vähemmälle suosiolle jäävät derivoituvuuden tutkimiseen painottuvat tehtävät.
  • Abbasli, Azira (2023)
    Tämän tutkielman tavoitteena on selvittää tyypillisimmät virheet ja virhekäsitykset eksponentti- ja logaritmitehtävissä. Tutkimuksessa tarkastellaan pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tehtäviä aiheeseen liittyen. Tutkielmassa esitellään lisäksi tarkasteltujen tehtävien vastausmäärät ja pistejakaumat. Tutkielma aloitetaan esittelemällä eksponentti- ja logaritmifunktioiden teoriaa, jonka jälkeen esitellään aikaisempia tutkimuksia logaritmien virhekäsityksistä. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että logaritmeja koskevat perusajatukset, kuten logaritmin lause, määritelmä ja symboliesitys ovat jääneet epäselviksi oppilaille. Tutkimuksen aineisto, joka saatiin Ylioppilastutkintolautakunnalta, koostui yhteensä neljästä matematiikan tehtävästä, joista kaksi tehtävää oli pitkän matematiikan kokeesta ja kaksi tehtävää lyhyen matematiikan kokeesta. Tutkimuksessa analysoitujen tehtävien perusteella havaittiin, että sekä pitkän että lyhyen matematiikan kokeessa käytössä olleen taulukkokirjan, josta löytyy logaritmin määritelmä ja laskukaavat, kokelaat olisivat voineet hyödyntää paremmin. Logaritmi- ja eksponenttiyhtälön ratkaisuissa ilmeni yhtälönratkaisuun liittyviä haasteita ja logaritmin määritelmään liittyviä virhekäsityksiä. Tutkimuksessa havaittiin lisäksi laskimen käyttöön liittyviä haasteita, kuten logaritmilausekkeen kirjoittaminen laskimeen ja logaritmin tarkan arvon selvittäminen laskimen avulla.
  • Karppinen, Riina (2022)
    Tämän maisteritutkielman aiheena on eriyttäminen perusopetuksen kemian kokeellisessa työskentelyssä. Eriyttäminen on tällä hetkellä pinnalla oleva asia ja nykyinen perusopetuksen opetussuunnitelmakin ohjaa yhä enemmän antamaan jokaiselle oppilaalle hänen taidoilleen sopivaa opetusta. Kemiassa kokeellinen työskentely on yksi keskeisimmistä asioista, joten tässä kehittämistutkimuksessa onkin pyritty löytämään keinoja millä voisi kokeellista työskentelyä eriyttää. Eriyttäminen tarkoittaa kaikkia tukitoimia, erilaisia opetusmenetelmiä ja oppimisympäristöjä, jotka pyrkivät mahdollistamaan kaikkien oppilaiden opiskelemisen samassa luokassa.  Eriyttäminen kattaa oppimisvaikeudet, esteettömyysvaatimukset ja miten oppilaat eroavat toisistaan lähtötietojen, asenteiden ja persoonan perusteella. Tässä tutkimuksessa eriyttäminen tarkoittaa heterogeenisen perusopetusryhmän eriyttämistä, poissulkien erilaisten tukien piiriin kuuluvat oppilaat. Kemian kokeellista työskentelyä voidaan eriyttää erilaisten työohjeiden avulla. Mitä enemmän työohje ohjaa työskentelyä, sitä helpommasta työohjeesta on kyse. Toisaalta työohjeessa olisi hyvä antaa myös tilaa oppilaan omalle ajattelulle, tai vähintään työohjeessa pitäisi olla pohdintaan ohjaavia kysymyksiä. Näin vältyttäisiin siltä, että oppilas suorita kokeellista työtä vain mekaanisesti ajattelematta miksi näin tehdään tai miten tämä liittyy mihinkään. Tässä kehittämistutkimuksessa kehitettiin kokeellisen työn työohje, joka tukee eriyttämistä. Kokeellisen työn tavoitteena oli luoda punakaali-indikaattorin väriskaala ja työtä testattiin avoimen työohjeen avulla, joka tukee hyvien oppilaiden oppimista. Kokeellinen työ testattiin yhdeksäsluokkalaisten valinnaisen science ryhmällä, joten oletus oli, että oppilaat ovat harjautuneita kemiassa. Ohjeistus osoittautuikin testiryhmälle liian vaikeaksi, joten työohjetta kehitettiin alaspäin. Tämän tutkimuksen liitteenä on alkuperäinen työohje opettajanohjeineen, kehitetty versio avoimesta työohjeesta eli kyselypohjainen työohje, kaksi erityyppistä kuvallista työohjetta ja perinteinen ”resepti”-muotoinen työohje. Avoin työohje osoittautui vaikeaksi. Oppilaat eivät itsenäisesti ymmärtäneet miten kokeellinen työ suoritetaan avoimen työohjeen avulla, mutta suurin osa pääsi jyvälle, mitä tehdä, kun heidän kanssaan yhdessä asiaa pohti. Haasteena tuntui olevan, ettei oppilaat osanneet suunnitella itse, miten saisi luotua punakaalilla eri värejä ja jos värit onnistuivat, ei oppilas välttämättä osannut luoda koko väriskaalaa vaan saivat kokeilemalla värejä aikaan. Työohjeen avulla itsenäinen työskentelyn onnistuminen riippuu vahvasti siitä, millaisen työohjeen oppilas saa eteensä. Selkeästi avoin työohje on vaikea ja sen kanssa työskentely vaatisi harjoittelua, jota tutkimukseen osallistuneilla oppilailla ei välttämättä ole, sillä koronapandemia on haitannut kemian opetusta. Tämän tutkimuksen nojalla parhaaksi tavaksi eriyttää kokeellista työskentelyä nousee erilaiset työohjeet. Jos halutaan valita jokin yksi tietty työohjetyyppi, valikoituu parhaaksi kyselypohjainen työohje, jossa oppilas suunnittelee työn teon itse ohjaavien kysymysten avulla.
  • Nurmiainen, Tuomas (2021)
    Tämän tutkielman tavoitteena on tutustuttaa lukija yksinkertaisiin stokastisiin prosesseihin esimerkkien avulla. Tämän lisäksi esitellään stokastisten prosessien perusominaisuuksia. Stokastiset prosessit ovat matematiikassa osa todennäköisyyslaskennan osa-aluetta. Tutkielman alussa käydään läpi todennäköisyyslaskennan peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien ymmärtämisessä. Tämän jälkeen esitellään stokastisten prosessien perusominaisuuksia. Tutkielmassa esiteltävät stokastiset prosessit ovat Bernoullin prosessi, satunnaiskulku ja Poissonin prosessi. Jokaisesta prosessista esitetään esimerkkejä ja niihin käytettäviä jakaumia. Lopuksi on pohdintaa stokastisten prosessien hyödyntämisestä lukio-opetuksessa lyhyen ja pitkän matematiikan osalta. Pohdinta on käyty uuden opetussuunnitelman LOPS19 tavoitteiden ja sisällön mukaan. Pitkässä ja lyhyessä matematiikassa on molemmissa yhden moduulin sisällössä määritelty binomijakauma, jota voidaan käyttää joidenkin stokastisten prosessien tutkimisessa.
  • Rosenqvist, Viktoria (2023)
    Att stöda förståelse i matematikundervisning har visat sig vara viktigt. Forskning har visat att stödandet av förståelse i matematik ökar studerandenas intresse och motivation, gör den matematik som studerandena lär sig mer betydelsefull och användbar samt har positiv inverkan på studerandenas kunskap och studieprestationer i matematik. Trots att vikten av förståelse är känd för många syns inte sådan undervisning som stöder förståelse så mycket i våra skolor som kanske skulle önskas. I denna avhandling redogör jag för vad forskning säger om stödandet av förståelse i matematikundervisningen samt mer specifikt för, på vilka sätt man enligt forskning kan stöda förståelse. Det som forskning visat är att man med hjälp av konkretisering, kommunikation samt skapandet av kontext kan stöda förståelse av matematik. Förutom det har forskning visat att studerandenas förståelse gynnas av, att de själva har en aktiv roll i sitt lärande. Det är bra ifall studerandena själva eller i grupp undersöker nya koncept, istället för att endast ta emot färdig processerad information av läraren eller läroböckerna. En undervisningsmetod som grundar sig på just denna tanke och som forskning visat vara effektiv för stödandet av förståelse, är undersökande lärande. Förståelse är eftersträvansvärt i all matematikundervisning. I denna avhandling kopplas stödandet av förståelse ihop med inlärningen av derivatan. Derivatan är ett ämnesområde som betonas starkt framför allt i gymnasiets långa matematik men samtidigt ett område som av många studeranden upplevs utmanande att förstå. Denna avhandling innehåller ett undervisningsmaterial bestående av tre sekvensplaner utformade för gymnasiets modul MAA6 Derivata. Varje sekvens behandlar ett centralt område i derivata modulen och baserar sig på undervisningsmetoden undersökande lärande. Målet och förhoppningen är att detta material skulle underlätta samt göra tröskeln till undervisning med fokus på förståelse lägre för lärare. Via det är förhoppningen även att materialet kan bidra till ökad förståelse för derivatan bland gymnasiestuderanden
  • Kivioja, Timo (2020)
    Kieli on keskeinen osa oppimista ja niitä ei voida erottaa. Tieteellä on oma kieli, joka eroaa merkittävästi opiskelijoiden tuntemasta arkikielestä monella tapaa. Tieteellinen kieli sisältää suuren määrän informaatiota lyhyessä tekstissä, sisältää opiskelijoille tuntemattomia termejä ja myös lauserakenne on erilainen. Opiskelijoiden tieteen oppimisessa tieteellisen kielen oppiminen onkin yksi suurimmista ongelmista. Tämän vuoksi tulevien fysiikan aineenopettajien kielellisten ilmaisujen tutkiminen on tärkeää. Opinnäytetyössä analysoidaan fysiikan aineenopettajaopiskelijoiden tuottamia tekstejä fysiikan aineenopettajakoulutuksen kurssilta. Aineisto koostuu 12 tekstistä kuudelta eri fysiikan aineenopettajaopiskelijalta. Tarkoituksena on vastata tutkimuskysymyksiin: 1. Miten voimme analysoida aineenopettajaopiskelijoiden sanaston käyttöä? ja 2. Miten fysiikan aineenopettajaopiskelijat käyttävät kaksoisrakokokeen sanastoa? ja kehittää luotettava ja toistettavissa oleva analyysiprotokolla, jolla voidaan analysoida suomenkielisiä tekstejä. Analyysinlopputulos on yksinkertaistettu muoto aineistosta, jota voidaan analysoida tulevaisuudessa mahdollisesti tietokoneella. Teoriaosassa käsitellään lisäksi käsitteitä, käsitteellistä muutosta sekä semanttisia ja sanastollisia verkkoja. Tuloksena itse analyysin tuloksien lisäksi on analyysiprotokolla, jolla pystytään analysoimaan suomenkielisiä tekstejä. Fysiikan aineenopettajaopiskelijoiden tekstien analyysistä saatiin selville, että aineenopettajaopiskelijoiden sanaston käyttö on varsin laajaa ja monipuolista. Analyysin perusteella saatiin myös selville teksteissä esiintyviä mm. tekstissä esiintyviä lauseenrakenteita ja että teksteissä fysiikan aineenopettajaopiskelijat vaihtoivat aihetta melkein joka toisessa virkkeessä. Analyysiprotokollaa pystytään kuitenkin vielä jatkossa tarkentamalla ja selventämällä sitä. Analyysiprotokollan luotettavuutta pitäisi myös tutkia siten, että toinen analyysin tekijä suorittaisi analyysin.
  • Peltonen, Else (2020)
    Tässä työssä on tavoitteena esittää yksi opetuksellinen malli sille, miten fysiikkaa voidaan opettaa huvipuistokontekstissa lukiotasolla. Työssä selvitettiin, millaisia fysiikan ilmiöitä huvipuistossa voidaan havaita, miten huvipuistolaitteita voidaan hyödyntää lukion fysiikan kokeiden tekemisessä ja miten huvipuistovierailua voidaan hyödyntää lukion fysiikan opetuksessa. Työn teoriaosuudessa tarkastellaan kiinnostuksen kehittymistä, johon opettaja voi vaikuttaa valitsemillaan sisällöillä, konteksteilla ja opetustavoilla. Koulun ulkopuolella tapahtuvalla oppimisella voi olla vaikutusta kiinnostukseen ja oppimiseen, ja huvipuisto voi tarjota tällaisen kiinnostusta lisäävän kontekstin. Lisäksi tarkastellaan huvipuistolaitteisiin liittyviä fysiikan ilmiöitä: dynamiikkaa, energiamuutoksia ja sähkömagnetismia. Työssä esitellään erilaisia mittausvälineitä ja älypuhelinsovelluksia, joita huvipuistossa tehtävissä mittauksissa voidaan käyttää, ja niihin liittyviä suureita. Lisäksi esitellään Linnanmäen huvipuistossa mahdollisia mittauksia. Työssä toteutettiin empiirinen tutkimus Linnanmäen huvipuistossa opiskelijaryhmän kanssa. Kolmiosainen vierailu toteutettiin yhteistyössä pääkaupunkiseudulla sijaitsevan lukion kanssa ja siihen sisältyi harjoittelu- ja analysointiosuudet koululla sekä mittausosuus Linnanmäellä. Mittauksissa käytettiin Vernierin LabQuest 2 -laitteistoa. Seuraavissa tutkimuksissa voitaisiin selvittää, missä määrin huvipuistokonteksti lisää kiinnostusta fysiikkaan ja onko huvipuistovierailulla vaikutusta fysiikan oppimiseen.
  • Bulut, Nurullah (2023)
    Tämä pro gradu- tutkielma toteutettiin narratiivisena kirjallisuuskatsauksena ja tutkimusaineistona oli yhteensä 15 artikkelia. Tutkimusaineistoa hankittiin Scopus-tietokannasta sekä Google Scholarista. Tutkielman tavoitteena ja tarkoituksena on tutkia fysiikan laboratoriotöiden järjestämisen haasteitta etäopetuksessa koronapandemian aikana sekä miten kokeelliset työt toteutettiin. Lisäksi tutkimuksen tavoitteena on selventää opettajien tieto- ja viestintätekniikkataitoja etäopetuksessa. Tutkimuskysymykset ovat: Mitkä ovat fysiikan laboratorio-opetuksen järjestämisen haasteet etäopetuksessa koronapandemian aikana ja miten kokeelliset työt toteutettiin sekä millaiset ovat opettajien tieto- ja viestintätekniikkataidot. Keväällä 2020 Covid-19-virus aiheutti yllättäen globaalit poikkeusolot, jotka vaikuttivat ihmisten arkeen, työntekoon sekä oppilaitoksiin. Oppilaitokset suljettiin ja ne joutuivat siirtymään lyhyellä varoitusajalla lähiopetuksesta etäopetukseen ja opettajat sekä opiskelijat joutuivat mukautumaan uuteen tilanteeseen. Tämä toi haasteitta ja varsinkin laboratoriotöiden järjestäminen etäopetuksessa oli haastava. Etäopetuksessa opettajat joutuivat käyttämään niitä opetusteknologian käyttötaitoja, joita heillä oli. Vaikka etäopetusta on käytetty koulutusjärjestelmässä jo useiden vuosien ajan, sen toteutus pandemioiden aikana voi olla erilaista ja haastavaa. Tutkimustulosten mukaan osalla opettajista ei ollut aikaisempaa kokemusta tai oli vähän kokemusta etäopetukseen pitämiseen. Osa oppilaitoksista tarjosi opettajille koulutusta tukemaan heidän tieto- ja viestintätekniikan taitoja. Tutkimuksissa nousi esiin se, että laboratoriotyöskentelyn ja laskuharjoitusten läpikäynnin järjestäminen etäopetuksessa oli haastava. Osa tutkimuksista toi esille, että käytännön työtä käytettiin hyvin harvoin, myös sellaisissa aiheissa, jotka olisivat soveltuneet kokeelliseen työhön. Joissakin tutkimuksissa tuli esille, että osa kokeellisista töistä pystyttiin järjestämään sellaisenaan kotoa käsin.
  • Rintanen, Iisakki (2023)
    Tapaustutkimuksessa toteutettiin kyselytutkimus, johon vastasi seitsemän opettajaa. Opettajilta kyseltiin heidän kokemuksiansa ja asenteita fysiikan oppilastöitä kohtaan sekä käyttivätkö he avoimia vai suljettuja oppilastöitä. Kysymyksillä pyrittiin selvittämään myös, miten opettajat kokivat oppilastöiden vaikuttaneen heidän oppilaidensa oppimistuloksiin. Vastauksissaan opettajat pääasiassa ilmaisivat kokevansa oppilastyöt olennaiseksi osaksi fysiikan opetusta ja tärkeiksi työkaluiksi parannettaessa oppilaiden ymmärrystä fysiikan käsitteistä. Opettajat hyödynsivät suurimmaksi osaksi oppilastöissään suljettua mallia, vaikka kuitenkin osoittivat pitävänsä avointa oppilastyömallia hyvänä opetuskeinona. Vastaajat eivät kokeneet seuraavansa suoraan OPSin ohjeistusta.
  • Moilanen, Markus (2023)
    Luonnontieteellisillä aloilla on kansainvälisesti työvoimapulaa pätevistä työntekijöistä, ja on myös ennustettu, että tämä puute on kasvamassa tulevaisuudessa. Myös kiinnostus luonnontieteiden opiskeluun on laskussa, samoin luonnontieteellisten aineiden opintotulokset. Jotta luonnontieteellisillä aloilla olisi jatkossa tarpeeksi osaajia, tulisi luonnontieteellisten alojen opiskelijoiden määrää lisätä, ja tätä kautta lisätä luonnontieteellisiltä aloilta valmistuneiden määrää. Jotta fysiikan opiskelijoiden määrää voidaan lisätä, tulisi fysiikan aineenvalinnan relevanssitekijöitä kartoittaa, jotta niitä voidaan hyödyntää opetuksessa. Fysiikan aineenvalinnan relevanssitekijöitä luokiteltiin tässä tutkielmassa Stuckeyn ja kumppanien luoman relevanssimallin avulla. Tätä relevanssimallia on hyödynnetty aiemminkin opetuksen relevanssitutkimuksessa, sekä opetuskokonaisuuksien kehityksessä. Tämän relevanssimallin mukaan relevanssin määritelmä on monimuotoinen, ja sitä voidaan tarkastella useasta eri näkökulmasta, henkilökohtaisesta, yhteiskunnallisesta, sekä ammatillisesta. Tähän relevanssimalliin lisättiin tässä tutkielmassa vielä episteeminen näkökulma. Tutkielmaa varten kerättiin aineistoa Helsingin yliopiston fysiikan opiskelijoiden, sekä fysiikan aineenopettaja opiskelijoiden keskuudesta syksyllä 2022 (N = 40). Tutkimusmenetelmänä oli kyselylomaketutkimus, ja korrelaation analyysimenetelmänä T-testi. kyselylomake oli laadittu Likert-asteikko muotoon. Tutkielman päätutkimuskysymyksinä olivat: mitkä relevanssitekijät vaikuttivat eniten opiskelijoiden aineenvalintaan, sekä millaista korrelaatiota eri relevanssin ulottuvuuksien välillä on havaittavissa. Tulokset osoittivat, että fysiikan aineen valinneet opiskelijat arvostivat sitä, että fysiikka on heille henkilökohtaisesti kiinnostavaa, sekä tulevan ammatin mielekkyyttä. Aineenvalintaan vaikuttaneita tekijöitä ilmeni kaikkien relevanssin ulottuvuuksien välillä, mutta erityisesti henkilökohtainen ja episteeminen ulottuvuus korostuivat tuloksissa.
  • Flinkman, Liia (2022)
    Tavoitteet. Tutkimuksen tavoitteena on selvittää, kuinka paljon yhdeksännen luokan matematiikan valtakunnallisia kokeita tulisi muuttaa, mikäli GeoGebra hyväksyttäisiin työvälineeksi kokeeseen. Kouluissa jatkuvasti käytetään yhä enemmän tietokoneita ja ohjelmistoja. Ylioppilaskokeet ovat sähköistyneet. On siis tärkeää kartoittaa, kuinka paljon valtakunnallisia kokeita pitäisi muuttaa, mikäli koe sähköistyisi tulevaisuudessa. Aiemmat tutkimukset ovat osoittaneet, että GeoGebra parantaa oppimistuloksia, asenteita ja motivaatiota matematiikan opiskelussa. Kuitenkin on havaittu, että tarpeeksi haastavien tehtävien suunnittelu GeoGebralle on haastavaa sekä joidenkin komentojen syöttämistapa on vaikea oppilaille. Tässä tutkimuksessa lisäksi pohditaan, miltä osin osaaminen kehittyy ja toisaalta heikkenee, kun käytetään GeoGebraa tehtävien ratkaisemisessa. Menetelmät. Tutkimuksessa tutkittiin kvalitatiivisesti ja kvantitatiivisesti vuosien 2012–2021 matematiikan valtakunnallisten kokeiden laskimellisia tehtäviä. Laadullisesti esitettiin joidenkin tehtävien ratkaisuja GeoGebra ohjelmistolla. Tutkimuksessa pohditaan, riittääkö oppilaan taidot realistisesti ratkaisemaan tehtäviä esitellyllä tavalla. Määrällisesti selvitettiin, kuinka suuri osa tehtävistä toimisi sellaisenaan GeoGebraa käyttäen. Tulokset ja johtopäätökset. Yli puolet tehtävistä tulisi muuttaa, jos GeoGebra sallitaan välineeksi kokeeseen. GeoGebra heikentää mekaanisen laskutaidon kehittymistä, mutta kasvat-taa muun muassa visualisointitaitoja. Laskimellisessa osassa kannattaa painottaa ratkaisun muita osia kuin mekaanisia laskuvaiheita kuten yhtälönratkaisua. Laskimettomassa osassa voidaan testata mekaaninen laskutaito.