Browsing by master's degree program "Master 's Programme for Teachers of Mathematics, Physics and Chemistry"
Now showing items 1-20 of 73
-
(2021)Lukuteoria tutkii kokonaislukujen ominaisuuksia, kuten jaollisuutta. Sekä kiinnostavaa että käytän-nöllistä on löytää keinoja selvittää onko jokin kokonaisluku jaettavissa millään toisella kokonais-luvulla. Näitä keinoja tai algoritmeja kutsutaan alkulukutesteiksi ja ne esiintyvät merkittävässäroolissa nykyaikaisessa tietoturvassa ja salaamisessa.Tässä työssä esitellään alkeellisia alkulukutestejä kuten Eratostheneen seula, Wilsonin lause ja Fer-mat’n testi, sekä suurten alkulukujen testaamiseen käytettyjä tehokkaampia menetelmiä. Alkulu-kutestit jaotellaan deterministisiin sekä probabilistisiin testeihin sen mukaan, antavatko ne var-man oikean tuloksen vai jollain tunnetulla todennäköisyydellä epävarman tuloksen. Epävarmempiprobabilistinen testi on kuitenkin determinististä käytännölisempi, sillä se voidaan ajaa riittävänmonta kertaa luotettavan tuloksen saamiseksi ja silti suoriutua determinististä testiä nopeammin.Erityisesti työssä keskitytään Miller-Rabinin probabilistiseen eli satunnaistettuun alkulukutestiin,joka on algoritmina nopea eli tehokas suuria lukuja testatessa. Työssä esitellään myös ensimmäi-nen polynomisessa ajassa suoriutuva deterministinen alkulukutesti AKS, jonka suoritumisaika elilaskutoimitusten lukumäärä on polynominen testattavan luvun numeroiden määrän suhteen.Työssä käydään läpi lukuteoreettista taustaa siinä määrin, kuin on alkulukutestien ymmärtämi-sen osalta oleellista, sekä katsastetaan myös lukuteorian sisältöjä ja opetusta lukiossa. Oleellinentaustateoria sisältää muun muassa kogruenssin, kiinalaisen jäännöslauseen, sekä Fermat’n pienenlauseen. Työssä esitellään myös Mersenneen alkuluvut ja näihin liittyvä yksinkertainen ja tehokasLucas-Lehmerin deterministinen alkulukutesti.Lukuteoriaa opetetaan vain vähän tai ei laisinkaan perusopetuksessa niin Suomessa kuin maail-mallakin. Lukion valinnainen kurssi Algoritmit ja lukuteoria antaa riittävät valmiudet tutustua it-senäisesti alkulukutesteihin tarvittavaan pohjateoriaan, kuten Fermat’n pieneen lauseeseen, muttakurssin varsinaiseen sisältöön alkulukujen testaus ei kuulu alkeellisimpia menetelmiä lukuunotta-matta.Lukuteoreettisten ongelmien pohtiminen ja lukuteorian käsitteiden opiskelu edistää opiskelijoidensuhtautumista matematiikkaan, vaikuttaa positiivisesti näiden metakogniitiivisiin kykyihin, sekäedistää ongelmanratkaisun ja todistamisen taitoja.
-
(2023)Älylaitteita, erityisesti älypuhelimia, suosivat nykyisin hyvin niin nuoret kuin aikuisetkin. Älypuhelimet ovat taskukokoisia viihdekeskuksia, jotka tarjoavat muun muassa mahdollisuuden pitää yhteyttä kanssaihmisiin. Älypuhelimilla on kuitenkin paljon hyötykäytön mahdollisuuksia myös koulutuksessa, mikä monilta jää huomioimatta. Tässä työssä perehdytään älylaitteiden tarjoamiin mahdollisuuksiin fysiikan mekaniikan kokeellisuuden toteuttamisessa kouluopetuksessa ja siihen, millaista hyötyä älylaitteiden opetuksellisesta käytöstä saattaisi olla. Älylaitteilla voi korvata useampia kokeellisuuden toteuttamiseen tavallisesti tarvittavia välineitä, sillä ne tarjoavat puitteet sekä datankeruuseen että sen käsittelyyn ja lisäksi ne voivat toimia myös osana koejärjestelyä. Tämän työn keskiössä on usealle eri mekaniikan ilmiön tutkimukselle esitelty vaihtoehtoinen, älylaitteiden ympärille kehitelty, kokeellinen toteutus sekä pohdintaa älylaitteiden opetuskäytön mahdollisista hyödyistä oppimisen ja opetuksen kannalta. Keskeisinä hyötyinä nousivat esiin fysiikan kokeellisuuteen liittyvän motivaation ja sitä kohtaan koetun kiinnostuksen koheneminen, laboratoriotöihin liittyvän kognitiivisen kuormituksen mahdollinen vähentyminen sekä mahdollisuudet toteuttaa kokeellisuutta paikasta riippumatta. Lisäksi tässä työssä tuodaan esille älylaitteiden tarjoamia keinoja kokeellisuuteen liittyvien muiden osuuksien toteutukselle, kuten mahdollisuuksia tulosten jakamiseen, osaamisen kartoitukseen, mallintamiseen ja kokeellisuuden vaihtoehtoiseen toteutukseen simulaatioiden avulla. Älylaitteet tarjoavat monenlaisia alustoja, jotka soveltuvat hyvin fysiikan kokeellisuuden toteuttamiseen. Näihin kuuluu esimerkiksi PhyPhox, jolla voi kerätä kokeellista dataa monenlaisista fysiikan mekaniikan sekä muiden aihepiirien kokeellisista töistä. Tämä sovellus mahdollistaa lisäksi datan kertymän tarkkailun toisella laitteella mittauksen edetessä, jolloin yhteys ilmiön ja datan välillä voi olla helpompi hahmottaa. Useampiin mekaniikan kokeellisiin töihin voidaan tuoda mukaan älypuhelin. Se sopii mittausvälineeksi muun muassa tutustuttaessa Newtonin II lakiin, törmäyksiin sekä painovoimaan.
-
(2022)Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella antiikin Kreikan suurimpia matemaatikoita ja heidän tutkimuksiaan sekä niiden merkitystä tämän päivän matematiikan kannalta. Tutkielman toisena tarkoituksena on tarkastella miten hyvin antiikin Kreikan matematiikan merkitys ilmenee tämän päivän koulujen opetuksessa ja mitä kouluista valmistuneet ihmiset siitä tietävät. Tutkielman ensimmäisessä osiossa esitellään antiikin Kreikan suurimpia matemaatikoita. Tutkielmassa aloitetaan Thaleesta ja Pythagoraasta sekä Pythagoralaisesta matematiikasta. Sen jälkeen esitellään Platonin Akatemia ja Zenonin paradoksit. Sen jälkeen siirrytään tutkimaan Eukleideen Alkeita, Arkhimedesta sekä Apolloniosta. Ensimmäisen osion lopuksi tutustutaan vielä Diofantokseen, Pappokseen ja antiikin Kreikan matematiikan päätökseen. Tutkielman toinen osio koostuu suurelta osin kenttätutkimuksesta. Siinä tutkitaan antiikin Kreikan matematiikan esiintymistä matematiikan Kuutio-kirjasarjassa. Sen lisäksi esitellään kyselytutkimuksen tuloksia. Tutkimuksessa selvitettiin vastaajien käsityksiä antiikin Kreikan matematiikasta, miten tärkeänä he pitävät antiikin Kreikan matematiikkaa tämän päivän matematiikan kannalta ja miten hyvin he muistivat Pythagoraan lauseen. Lisäksi kyselyssä kysyttiin kuvien käytöstä opetuksessa sekä miten vastaajat itse parantaisivat matematiikan opetusta. Kyselyyn vastanneiden mielestä antiikin Kreikan matematiikka on ollut ainakin tärkeä pohja tämän päivän matematiikalle. Monet uskoivat kreikkalaisten laskeneen monimutkaisia laskuja, mutta heillä ei ollut mitään konkreettista kuvaa antiikin Kreikan matematiikasta. Monet toivoivat, että opetuksessa käytettäisiin enemmän kuvia ja asiat selitettäisiin selvästi vaihe vaiheelta. Opetettavat asiat tulisi myös jotenkin liittää oppilaille mieleisiin asioihin.
-
(2022)Tässä tutkielmassa käsitellään Apollonioksen ongelmaa, joka on nimetty antiikin ajan matemaatikko Apollonios Pergalaisen mukaan. Apollonios oli yksi antiikin ajan tunnetuimmista matemaatikoista heti Arkhimedeen ja Eukleideksen jälkeen. Tutkielman ensimmäisessä luvussa eli johdannossa lukijalle kerrotaan lyhyesti, mitä tutkielma sisältää. Toisessa luvussa esitellään lyhyesti, mistä Apollonioksen ongelmassa on kyse. Tavoitteena on löytää ympyrä, joka sivuaa kolmea muuta tason geometrista muotoa tasan yhdessä pisteessä. Annetut kolme muotoa voivat olla pisteitä, suoria tai ympyröitä, joten erilaisia tilanteita on kymmenen. Kolmannessa luvussa esitellään Apollonioksen ongelman historiaa ja tunnettuja matemaatikkoja, jotka ovat työskennelleet ongelman parissa. Neljännessä luvussa esitetään ratkaisu Apollonioksen ongelman kymmeneen eri tilanteeseen. Ratkaisut esitellään GeoGebralla piirrettyjen kuvien avulla. Tilanteista vaikeimpaan eli kolmen ympyrän tilanteeseen esitetään neljä erilaista ratkaisua. Ratkaisuista kolme ovat geometrisiä ja yksi on algebrallinen. Kolmen ympyrän tilanne voidaan ratkaista pienentämällä yhden ympyrän säde nollaksi, jolloin saadaan ratkaistavaksi tilanne, jossa on piste ja kaksi ympyrää. Ratkaisu saadaan myös hyperbelien leikkauspisteiden avulla. Viidennessä luvussa käydään läpi joitakin Apollonioksen ongelman käytännön sovelluksia. Ongelmaa hyödynnetään esimerkiksi GPS-paikannuksessa ja lääketieteessä. Tutkielman viimeisessä luvussa kirjoittaja pohtii, miten Apollonioksen ongelman voisi ottaa osaksi lukio-opetusta. Lukion opetussuunnitelman perusteita lukiessa huomataan, että aihe sopii oikein hyvin lyhyen ja pitkän matematiikan geometrian kursseille. Oppilaat saavat paljon harjoitusta GeoGebran käytöstä, mikä on lukio-opiskelijoille tärkeää. Luvussa pohditaan, millaisen tehtävänannon opettaja voisi oppilaille antaa. Joka tapauksessa kyseessä olisi oppilaille ongelmatehtävä.
-
(2012)Tämän tutkielman tarkoituksena oli selvittää ruumiillistamisen mahdollisuuksia matematiikan opetuksessa. Tutkielmassa eritellään eri näkökulmia ruumiillistamiseen, ja erityisesti kehollistamiseen; ne nähdään havainnollistamiskeinoina, joilla on perusteltu rooli matemaattisten kognitioiden kehittymisessä. Tutkielma koostuu taustatutkimuksesta, sekä opetuskokeilusta, jossa tutkittiin ruumiillistamisen keinoja reaalilukusuoran ominaisuuksien oppimiseen. Tutkielmassa ruumiillistamista tutkitaan erityisesti reaalilukusuoran ominaisuuksien opettamisessa. Lukujoukkojen laajennukset luonnollisista luvuista kokonais-, rationaali- ja reaalilukuihin, ja erityisesti siirtyminen koulumatematiikasta yliopistomatematiikkaan, edellyttävät opiskelijalta käsitteellisen muutoksen läpikäymistä, tullakseen ymmärretyiksi. Käsitteellisellä muutoksella tarkoitetaan uusien asioiden oppimista tavalla, joka edellyttää aiempien tietojen ja intuition vastaista ajattelua. Käsitteellistä muutosta esitellään erityisesti Kaarina Merenluodon tekemien tutkimusten näkökulmasta. Tutkielmassa esiteltäviä näkökulmia ruumiillistamiseen ovat David Tallin esittelemät teoriat matemaattisten kognitioiden kehittymisestä ja matematiikan kolmesta maailmasta, kehollisuus metaforien lähtökohtana, kehollisuus ja eleet matematiikan opetuksessa sekä ruumiillistaminen ja kehollisuus vaihtoehtoisina opetusmenetelminä. Omakohtainen lähtökohta tutkimuksen tekemiselle oli tekijän tausta taitoluistelijana ja taitoluisteluvalmentajana. Tekijän oma kontribuutio tutkimuksessa oli pienimuotoisen opetuskokeilun järjestäminen ja sen laadullinen analysointi. Opetuskokeilu koostui kohdejoukon ennakkotietojen kartoituksesta, opetustuokiosta ja loppukyselystä, jolla selvitettiin osallistujien reaalilukukäsityksiä opetustuokion jälkeen. Opetustuokiossa käytettiin kehollisia opetusmetodeja sekä opetusvälineitä ruumiillistamisen apukeinoina. Tutkimuksen tuloksena ruumiillisuuden havaittiin onnistuneen tehtävässään luoda informaaleja reaaliluvun ajattelun malleja, joiden varaan formaali käsitys reaaliluvuista voi rakentua. Tutkimuksen perusteella ruumiillistaminen ja kehollistaminen ovat keinoja, joiden avulla reaalilukukäsitteen ymmärtämiseen vaadittavaa käsitteellistä muutosta on mahdollista ja kannattavaa edistää.
-
(2021)Tämän tutkielman tarkoitus on esitellä ja todistaa eräs topologisiin ryhmiin liittyvä lause. Lause kertoo topologisen ryhmän oleva metristyvä avaruus, mikäli ryhmän neutraalialkiolla on numeroituva ympäristökanta. Tutkielmassa käsitellään tarkemmin topologisiin ryhmiin liittyviä tuloksia ja niiden seurauksia. Ensimmäinen kappale on varattu johdannolle. Heti alussa käydään läpi miksi tutkielman tulos on merkittävä ja miksi siihen on järkevää paneutua. Tutkielmassa esitellään oleelliset lähtötiedot, jotta lukijan on helpompi tutustua varsinaiseen aiheeseen. Toisessa kappaleessa kerrotaan tärkeimmät käsitteet ja ne yritetään mahdollisimman selvästi selittää lukijalle. Tässä kappaleessa käydään myös läpi tutkielmassa käytettyjä merkintätapoja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Kappaleessa on lyhyesti esiteltynä topologisen ryhmän määritelmä, pohjaten algebran määrittelemään ryhmän käsitteeseen ja yleisen topologian määräämiin ehtoihin. Topologisille ryhmille johdetaan kaksi lausetta, jotka ovat tutkielman päätuloksen todistusta varten oleellisia. Ensimmäinen lauseista kertoo, että neutraalialkiolle voidaan rakentaa symmetrisiä ympäristöjä niin, että niiden tulo kuuluu aina johonkin toiseen ympäristöön. Toinen lauseista taas antaa tiedon siitä kuinka neutraalialkiolle löytyy ympäristöjä johon jokin toinen alkio ei kuulu. Nämä lauseet antavat työkalut rakentamaan ryhmän alkioille avoimia ympäristöjä, joita käytetään taas edelleen sopivia ympäristökantoja rakennettaessa. Tässä kappaleessa käydään läpi kaikki tarvittava päätulosta varten. Tutkielman varsinainen päätulos esitellään lyhyesti kappaleen neljä alussa. Kappaleessa todistetaan vaihe vaiheelta topologisen ryhmän neutraalialkiolle rakennetun numeroituvan ympäristökannan avulla, että löydetään metriikka joka määrittää avoimet joukot siten, että ne ovat samoja kuin topologian määräämät avoimet joukot. Tulos on merkittävä siksi, että se antaa työkalun tarkastella topologisten ja metristen avaruuksien yhteyksiä. Lähtökohta työlle oli kirjoittajan oma kiinnostus topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Tavoitteena oli todistaa tärkeä tulos topologian alalta, joka auttaa linkittämään topologiset ja metriset avaruudet toisiinsa.
-
(2022)Tämän maisteritutkielman aiheena on eriyttäminen perusopetuksen kemian kokeellisessa työskentelyssä. Eriyttäminen on tällä hetkellä pinnalla oleva asia ja nykyinen perusopetuksen opetussuunnitelmakin ohjaa yhä enemmän antamaan jokaiselle oppilaalle hänen taidoilleen sopivaa opetusta. Kemiassa kokeellinen työskentely on yksi keskeisimmistä asioista, joten tässä kehittämistutkimuksessa onkin pyritty löytämään keinoja millä voisi kokeellista työskentelyä eriyttää. Eriyttäminen tarkoittaa kaikkia tukitoimia, erilaisia opetusmenetelmiä ja oppimisympäristöjä, jotka pyrkivät mahdollistamaan kaikkien oppilaiden opiskelemisen samassa luokassa. Eriyttäminen kattaa oppimisvaikeudet, esteettömyysvaatimukset ja miten oppilaat eroavat toisistaan lähtötietojen, asenteiden ja persoonan perusteella. Tässä tutkimuksessa eriyttäminen tarkoittaa heterogeenisen perusopetusryhmän eriyttämistä, poissulkien erilaisten tukien piiriin kuuluvat oppilaat. Kemian kokeellista työskentelyä voidaan eriyttää erilaisten työohjeiden avulla. Mitä enemmän työohje ohjaa työskentelyä, sitä helpommasta työohjeesta on kyse. Toisaalta työohjeessa olisi hyvä antaa myös tilaa oppilaan omalle ajattelulle, tai vähintään työohjeessa pitäisi olla pohdintaan ohjaavia kysymyksiä. Näin vältyttäisiin siltä, että oppilas suorita kokeellista työtä vain mekaanisesti ajattelematta miksi näin tehdään tai miten tämä liittyy mihinkään. Tässä kehittämistutkimuksessa kehitettiin kokeellisen työn työohje, joka tukee eriyttämistä. Kokeellisen työn tavoitteena oli luoda punakaali-indikaattorin väriskaala ja työtä testattiin avoimen työohjeen avulla, joka tukee hyvien oppilaiden oppimista. Kokeellinen työ testattiin yhdeksäsluokkalaisten valinnaisen science ryhmällä, joten oletus oli, että oppilaat ovat harjautuneita kemiassa. Ohjeistus osoittautuikin testiryhmälle liian vaikeaksi, joten työohjetta kehitettiin alaspäin. Tämän tutkimuksen liitteenä on alkuperäinen työohje opettajanohjeineen, kehitetty versio avoimesta työohjeesta eli kyselypohjainen työohje, kaksi erityyppistä kuvallista työohjetta ja perinteinen ”resepti”-muotoinen työohje. Avoin työohje osoittautui vaikeaksi. Oppilaat eivät itsenäisesti ymmärtäneet miten kokeellinen työ suoritetaan avoimen työohjeen avulla, mutta suurin osa pääsi jyvälle, mitä tehdä, kun heidän kanssaan yhdessä asiaa pohti. Haasteena tuntui olevan, ettei oppilaat osanneet suunnitella itse, miten saisi luotua punakaalilla eri värejä ja jos värit onnistuivat, ei oppilas välttämättä osannut luoda koko väriskaalaa vaan saivat kokeilemalla värejä aikaan. Työohjeen avulla itsenäinen työskentelyn onnistuminen riippuu vahvasti siitä, millaisen työohjeen oppilas saa eteensä. Selkeästi avoin työohje on vaikea ja sen kanssa työskentely vaatisi harjoittelua, jota tutkimukseen osallistuneilla oppilailla ei välttämättä ole, sillä koronapandemia on haitannut kemian opetusta. Tämän tutkimuksen nojalla parhaaksi tavaksi eriyttää kokeellista työskentelyä nousee erilaiset työohjeet. Jos halutaan valita jokin yksi tietty työohjetyyppi, valikoituu parhaaksi kyselypohjainen työohje, jossa oppilas suunnittelee työn teon itse ohjaavien kysymysten avulla.
-
(2023)Att stöda förståelse i matematikundervisning har visat sig vara viktigt. Forskning har visat att stödandet av förståelse i matematik ökar studerandenas intresse och motivation, gör den matematik som studerandena lär sig mer betydelsefull och användbar samt har positiv inverkan på studerandenas kunskap och studieprestationer i matematik. Trots att vikten av förståelse är känd för många syns inte sådan undervisning som stöder förståelse så mycket i våra skolor som kanske skulle önskas. I denna avhandling redogör jag för vad forskning säger om stödandet av förståelse i matematikundervisningen samt mer specifikt för, på vilka sätt man enligt forskning kan stöda förståelse. Det som forskning visat är att man med hjälp av konkretisering, kommunikation samt skapandet av kontext kan stöda förståelse av matematik. Förutom det har forskning visat att studerandenas förståelse gynnas av, att de själva har en aktiv roll i sitt lärande. Det är bra ifall studerandena själva eller i grupp undersöker nya koncept, istället för att endast ta emot färdig processerad information av läraren eller läroböckerna. En undervisningsmetod som grundar sig på just denna tanke och som forskning visat vara effektiv för stödandet av förståelse, är undersökande lärande. Förståelse är eftersträvansvärt i all matematikundervisning. I denna avhandling kopplas stödandet av förståelse ihop med inlärningen av derivatan. Derivatan är ett ämnesområde som betonas starkt framför allt i gymnasiets långa matematik men samtidigt ett område som av många studeranden upplevs utmanande att förstå. Denna avhandling innehåller ett undervisningsmaterial bestående av tre sekvensplaner utformade för gymnasiets modul MAA6 Derivata. Varje sekvens behandlar ett centralt område i derivata modulen och baserar sig på undervisningsmetoden undersökande lärande. Målet och förhoppningen är att detta material skulle underlätta samt göra tröskeln till undervisning med fokus på förståelse lägre för lärare. Via det är förhoppningen även att materialet kan bidra till ökad förståelse för derivatan bland gymnasiestuderanden
-
(2023)Tapaustutkimuksessa toteutettiin kyselytutkimus, johon vastasi seitsemän opettajaa. Opettajilta kyseltiin heidän kokemuksiansa ja asenteita fysiikan oppilastöitä kohtaan sekä käyttivätkö he avoimia vai suljettuja oppilastöitä. Kysymyksillä pyrittiin selvittämään myös, miten opettajat kokivat oppilastöiden vaikuttaneen heidän oppilaidensa oppimistuloksiin. Vastauksissaan opettajat pääasiassa ilmaisivat kokevansa oppilastyöt olennaiseksi osaksi fysiikan opetusta ja tärkeiksi työkaluiksi parannettaessa oppilaiden ymmärrystä fysiikan käsitteistä. Opettajat hyödynsivät suurimmaksi osaksi oppilastöissään suljettua mallia, vaikka kuitenkin osoittivat pitävänsä avointa oppilastyömallia hyvänä opetuskeinona. Vastaajat eivät kokeneet seuraavansa suoraan OPSin ohjeistusta.
-
(2023)Luonnontieteellisillä aloilla on kansainvälisesti työvoimapulaa pätevistä työntekijöistä, ja on myös ennustettu, että tämä puute on kasvamassa tulevaisuudessa. Myös kiinnostus luonnontieteiden opiskeluun on laskussa, samoin luonnontieteellisten aineiden opintotulokset. Jotta luonnontieteellisillä aloilla olisi jatkossa tarpeeksi osaajia, tulisi luonnontieteellisten alojen opiskelijoiden määrää lisätä, ja tätä kautta lisätä luonnontieteellisiltä aloilta valmistuneiden määrää. Jotta fysiikan opiskelijoiden määrää voidaan lisätä, tulisi fysiikan aineenvalinnan relevanssitekijöitä kartoittaa, jotta niitä voidaan hyödyntää opetuksessa. Fysiikan aineenvalinnan relevanssitekijöitä luokiteltiin tässä tutkielmassa Stuckeyn ja kumppanien luoman relevanssimallin avulla. Tätä relevanssimallia on hyödynnetty aiemminkin opetuksen relevanssitutkimuksessa, sekä opetuskokonaisuuksien kehityksessä. Tämän relevanssimallin mukaan relevanssin määritelmä on monimuotoinen, ja sitä voidaan tarkastella useasta eri näkökulmasta, henkilökohtaisesta, yhteiskunnallisesta, sekä ammatillisesta. Tähän relevanssimalliin lisättiin tässä tutkielmassa vielä episteeminen näkökulma. Tutkielmaa varten kerättiin aineistoa Helsingin yliopiston fysiikan opiskelijoiden, sekä fysiikan aineenopettaja opiskelijoiden keskuudesta syksyllä 2022 (N = 40). Tutkimusmenetelmänä oli kyselylomaketutkimus, ja korrelaation analyysimenetelmänä T-testi. kyselylomake oli laadittu Likert-asteikko muotoon. Tutkielman päätutkimuskysymyksinä olivat: mitkä relevanssitekijät vaikuttivat eniten opiskelijoiden aineenvalintaan, sekä millaista korrelaatiota eri relevanssin ulottuvuuksien välillä on havaittavissa. Tulokset osoittivat, että fysiikan aineen valinneet opiskelijat arvostivat sitä, että fysiikka on heille henkilökohtaisesti kiinnostavaa, sekä tulevan ammatin mielekkyyttä. Aineenvalintaan vaikuttaneita tekijöitä ilmeni kaikkien relevanssin ulottuvuuksien välillä, mutta erityisesti henkilökohtainen ja episteeminen ulottuvuus korostuivat tuloksissa.
-
(2022)Tavoitteet. Tutkimuksen tavoitteena on selvittää, kuinka paljon yhdeksännen luokan matematiikan valtakunnallisia kokeita tulisi muuttaa, mikäli GeoGebra hyväksyttäisiin työvälineeksi kokeeseen. Kouluissa jatkuvasti käytetään yhä enemmän tietokoneita ja ohjelmistoja. Ylioppilaskokeet ovat sähköistyneet. On siis tärkeää kartoittaa, kuinka paljon valtakunnallisia kokeita pitäisi muuttaa, mikäli koe sähköistyisi tulevaisuudessa. Aiemmat tutkimukset ovat osoittaneet, että GeoGebra parantaa oppimistuloksia, asenteita ja motivaatiota matematiikan opiskelussa. Kuitenkin on havaittu, että tarpeeksi haastavien tehtävien suunnittelu GeoGebralle on haastavaa sekä joidenkin komentojen syöttämistapa on vaikea oppilaille. Tässä tutkimuksessa lisäksi pohditaan, miltä osin osaaminen kehittyy ja toisaalta heikkenee, kun käytetään GeoGebraa tehtävien ratkaisemisessa. Menetelmät. Tutkimuksessa tutkittiin kvalitatiivisesti ja kvantitatiivisesti vuosien 2012–2021 matematiikan valtakunnallisten kokeiden laskimellisia tehtäviä. Laadullisesti esitettiin joidenkin tehtävien ratkaisuja GeoGebra ohjelmistolla. Tutkimuksessa pohditaan, riittääkö oppilaan taidot realistisesti ratkaisemaan tehtäviä esitellyllä tavalla. Määrällisesti selvitettiin, kuinka suuri osa tehtävistä toimisi sellaisenaan GeoGebraa käyttäen. Tulokset ja johtopäätökset. Yli puolet tehtävistä tulisi muuttaa, jos GeoGebra sallitaan välineeksi kokeeseen. GeoGebra heikentää mekaanisen laskutaidon kehittymistä, mutta kasvat-taa muun muassa visualisointitaitoja. Laskimellisessa osassa kannattaa painottaa ratkaisun muita osia kuin mekaanisia laskuvaiheita kuten yhtälönratkaisua. Laskimettomassa osassa voidaan testata mekaaninen laskutaito.
-
(2023)Ylioppilaskokeiden siirtyminen täysin sähköiseksi vuonna 2019 on tuonut merkittävän muutoksen matematiikan oppitunneille. Teknologia on tullut verrattain nopeasti hyvin olennaiseksi työvälineeksi osaksi matematiikan oppitunteja. Yksi käytetyimmistä ohjelmistoista matematiikan oppitunneilla Suomessa on dynaamisen matematiikan ohjelmisto GeoGebra. Tässä tutkimuksessa pohditaan GeoGebran vaikutusta matematiikan oppimiseen ja opetukseen. Tarkoituksena on selvittää, mitä tutkimukset havaitsevat, kun GeoGebralla on korvattu perinteistä opetusta matematiikan oppitunneilla. Tarkastellaan ohjelmiston soveltuvuutta kriittisestä näkökulmasta huomioimalla myös sen tuomat haasteet opetukseen ja oppimiseen. Lisäksi pohditaan, miten sovelluksella voidaan tukea oppijoiden kokemia haasteita etenkin geometriassa keskittymällä erityisesti sen soveltuvuuteen ”mittakaava”-käsitteen opettamisessa. Visualisoinnin ja teknologian voidaan nähdä hyvin keskeisenä osana matematiikan oppimista ja ajattelutaitojen kehitystä. Tutkimuksista havaitaan, että GeoGebran käyttö oppitunnilla toi parempia oppimistuloksia verratessa niitä luokkiin, joissa opetus toteutettiin perinteisellä tavalla. GeoGebran hyötynä nähdään erityisesti sovelluksen monipuolinen ja selkeä käytettävyys, matematiikan osaamisen vahvistaminen, oppimistaitojen tukeminen, ja motivaation lisääntyminen. Ohjelmiston käyttö ei kuitenkaan suoraan takaa menestystä matematiikassa, vaan siihen vaikuttaa suuresti opettajan osaaminen ja käyttö hyödyntää teknologiaa työvälineenä oppitunneilla. Tutkimuksissa tuodaan esiin keskeisenä kehityksen kohteena opettajien ongelmaratkaisutaitojen, palautteen antamisen ja teknologispedagogisen sisältötiedon tukeminen.
-
(2022)Tässä tutkielmassa tarkastellaan, onko matematiikan ylioppilaskirjoitusten geometria tehtävissä tapahtunut muutosta kokeiden sähköistymisen seurauksena. Tarkastelussa on mukana pitkän ja lyhyen matematiikan kirjoitus kerrat kevät 2016 -- kevät 2021, joista kevät 2016 -- syksy 2018 ovat olleet ennen sähköistymistä ja kevät 2019 -- kevät 2021 ovat olleet sähköisiä kokeita. Tutkimuksessa vastataan kahteen tutkimuskysymykseen: "Onko geometrian tehtävät muuttuneet sähköistymisen seurauksena ja jos on, niin miten muutos on nähtävissä?" ja "Miten geometria tehtävien osuus on muuttunut pisteytyksessä?". Ensimmäiseen kysymykseen tutkimus pyrkii vastaamaan tarkastelemalla sähköistä ympäristöä ja sen mukana tulleita apuvälineitä. Sen lisäksi syvällisempää tarkastelua varten jokainen tehtävä on arvioitu Bloomin taksonomian asteikolla. Asteikon avulla tehtäviä ja niiden haastavuutta on vertailtu keskenään. Seuraavaan kysymyksen vastaamiseen tukimuksessa on käytössään ylioppilastutkintolauttakunnalta saatu data lyhyen ja pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tuloksista. Datasta on nostettu esille geometria tehtävistä saatujen pisteiden prosentuaalinen osuus kokeiden pisteytyksessä, johon on vaikuttanut kokeessa esiintyvien tehtävien määrä ja niistä saadut pisteet. Jokaiselle kokeelle on laskettu myös geometria tehtävistä saatujen pisteiden painotettu keskiarvo, joka kertoo tehtävien haastavuudesta. Datassa on ollut laskettuna myös CORR-menettelyn avulla Pearson korrelaatiot tehtävien välille, sekä korrelaatiot kokeista saatujen pisteiden kanssa. Tutkimuksessa nostetaan esille geometrian tehtävistä saatujen pisteiden korrelaatiot kokeesta saatujen pisteiden kanssa. Korrelaatio antaa arvion siitä, kuinka hyvin tehtävien haastavuus on ollut linjassa kokeen muiden tehtävien kanssa. Tulosten avulla tutkija vertailee sähköisiä ja ei-sähköisiä kokeita keskenään ja nostaa esille merkittävimmät muutokset niiden välillä. Tutkimuksessa käydään läpi myös geometrian ja ylioppilaskirjoitusten historiaa, jonka tarkoituksena on pohjustaa tutkimuksessa käsiteltävää aihetta. Tutkimuksessa on käyty myös läpi, mitkä tehtävät tutkimus laskee geometrian tehtäviksi hyödyntäen lukion perusopetussuunitelmissa esiintyviä geometrian kursseja. Ylioppilastutkintolauttakunnan tarjoama data antaa ymmärtää, että pitkän matematiikan tehtävät olisivat helpottuneet samalla, kun niiden määrä on vähentynyt. Lyhyessä matematiikassa sähköisissä kokeissa on ollut enemmän geometrian tehtäviä, mutta niiden vaikeudesta ei pysty datan avulla tekemään selkeää johtopäätöstä. Bloomin taksonomian mukaan pitkässä matematiikassa ei ole ollut merkittävää muutosta. Lyhyessä matematiikassa tehtävät ovat yleisesti helpottuneet, mutta vaikeimmat tehtävät löytyvät myös sähköisistä kokeista. Eniten muutosta on ollut itse sähköistymisessä, kun paperisista kokeista on vaihdettu sähköiseen koeympäristöön. Sähköistymisen mukana on tullut uudenlaisia havaintomateriaaleja, apuvälineitä ja tehtävätyyppejä.
-
(2022)Tähän Pro graduun on koottu Pythagoraan lauseen, kosinilauseen ja Stewartin lauseen todistuksia ja niihin liittyviä lukiotasoiselle opiskelijalle haastavia tehtäviä. Tavoitteena on antaa opettajalle opetusmateriaalia erityisesti matematiikassa korkean taitotason omaavien opiskelijoiden haastamiseksi. Esimerkkitehtäviä ja niiden ratkaisuja on työhön poimittu erityisesti matematiikkakilpailuista, mutta myös ylioppilaskokeista ja niiden haastavuus on vaihteleva. Kuitenkin tehtävien vaikeusaste on yleisesti lukion tason tehtäviksi sieltä haastavimmasta päästä. Mahdollisuuksia tehtävien asteittaiseen helpottamiseen on monien tehtävien kohdalla kuitenkin mainittu. Tehtävien vaativuutta tarkastellaan myös Bloomin taksonomian näkökulmasta. Bloomin taksonomia on hyvin tunnettu mittari opettajien keskuudessa. Se jaottelee osaamisen tasot kuuteen luokkaan: tietää, ymmärtää, soveltaa, analysoida, syntetisoida ja arvioida. Luokittelun mukaan siirryttäessä kohti jälkimmäisenä mainittuja tarvitaan hyödyntämiseen tehtävänratkaisussa aina korkeamman ajattelun tasoja.
-
(2023)Todistaminen matematiikassa nähdään opetuksessa tehtävätyyppinä, jota ei peruskoulussa tai toisen asteen opinnoissa hirveästi harjoitella. Kuitenkin matemaattinen todistaminen on tärkeää, sillä matematiikassa hyödynnetyt kaavat täytyy todistaa, mikäli niitä haluaa käyttää. Tässä tutkielmassa tarkastellaan kolmea pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävää eri kirjoituskerroilta. Tutkielmassa tarkastellaan kokelasratkaisuissa havaittavia virheitä ja virhekäsityksiä pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksien induktiotehtävissä. Tutkielmassa esitellään kokeiden induktiotodistustehtävien vastausmäärät, pistekeskiarvot, pistejakaumat sekä kokelaiden arvosanojen suhteet ansaittuihin pisteisiin. Tutkielman alussa esitetään, miten todistaminen näkyy opetussuunnitelman perusteissa sekä käsitellään induktiotodistus matemaattisesti ja esimerkkien avulla. Neljännessä luvussa esitetään, miten induktiotodistus näkyy lukion oppimateriaaleissa. Luvussa viisi mainitaan aikaisempia tutkimuksia induktiotodistuksesta toisen asteen oppilaitoksissa sekä yliopistoissa. Pitkän matematiikan ylioppilaskoe esitellään luvussa kuusi. Luvussa seitsemän kerrotaan, miten tutkimus on toteutettu. Lisäksi luvussa esitetään tarkasteltavana olevat ylioppilaskoetehtävät, niiden ratkaisut sekä kokelasratkaisujen analysointi. Kahdeksannessa luvussa vertaillaan tutkimuksen tuloksia aikaisempiin tutkimuksiin. Luvuissa yhdeksän ja kymmenen pohditaan tutkimuksen luotettavuutta sekä mahdollisia jatkotutkimuskohteita. Tutkimuksessa käsiteltyjen kokelasratkaisujen perusteella voidaan todeta, että mitä paremman arvosanan kokeesta sai, sen parempia pistemääriä induktiotodistustehtävistä oli saatu. Induktiotodistustehtäviä kokelaat olivat tehneet vähän ja pistemäärät tehtävissä olivat alhaiset. Analyysin perusteella suurin virhekäsitys koskee induktiovaihetta. Kokelaat eivät osanneet muodostaa induktio-oletusta ja käyttää sitä hyödyksi induktioväitteen todistamiseen. Kokelailla oli haasteita peruslaskutoimituksissa sekä summan määritelmässä. Opetuksellisesta näkökulmasta tutkimuksen tulokset ovat merkittäviä, sillä oppilaiden on sisäistettävä matemaattiset ilmiöt ja sovellettava niitä sekä käytännössä että ohjelmistoja käyttäessä. Tutkimuksen tulokset tukevat aikaisemmin tehtyjen tutkimuksien tuloksia. Tulevaisuudessa voisi tutkia, tukeeko tutkimukseni kevään 2023 ylioppilaskokeen induktiotehtävissä ilmeneviä virhekäsityksiä, sekä mitä virhekäsityksiä yliopisto-opiskelijoilla on induktiotodistusta käsittelevän kurssin aikana tai kurssin jälkeen.
-
(2023)Integraalilaskenta on merkityksellisessä roolissa Suomen lukioiden pitkän matematiikan opetussuunnitelman sisällöissä. Monet opiskelijat mieltävät integraalilaskennan yhdeksi lukion matematiikan haasteellisimmista aihepiireistä. Integraalilaskennassa tehtäviä virheitä ja muodostuvia virhekäsityksiä on tärkeää tutkia, jotta saadaan selville mistä muodostuneet virhekäsitykset ovat peräisin. Tässä tutkielmassa tarkastellaan kahta integraalilaskentaa käsittelevää ylioppilaskoetehtävää kahdelta eri koekerralta. Tehtävistä tarkastellaan oppilaiden tekemiä integraalilaskennan virheitä ja muodostetaan niiden pohjalta käsitys olemassa olevista virhekäsityksistä. Tehtävistä esitellään tämän lisäksi oppilaiden saamia pistekeskiarvoja ja arvioidaan niiden avulla tehtävien yleistä haasteellisuutta verrattuna kokeiden muihin tehtäviin. Tutkielma alkaa opetussuunnitelman integraalilaskennan osuuksien esittelyllä, jonka jälkeen käydään läpi integraalilaskenta matemaattisesti opetussuunnitelmassa esitettyjen sisältöjen osalta. Tutkielman neljännessä luvussa tarkastellaan virheen ja virhekäsityksen eroa matematiikassa sekä tarkastellaan integraalilaskennasta aiemmissa tutkimuksissa löydettyjä tyypillisiä virhekäsityksiä. Aiempien tutkimusten perusteella virhekäsitykset voidaan luokitella niille tyypillisten virheiden mukaan kolmeen virhekäsitysten kategoriaan; käsitteellisiin, proseduraalisiin ja teknisiin. Tutkimus päättyy johtopäätöksiin ja luotettavuuden arviointiin. Tutkimuksen perusteella ylioppilaskokelaat toteuttavat integroinnin mekanismia hyvin, mutta ilman syvällistä ymmärrystä integraalin käsitteestä. Syvemmän ymmärryksen puute voidaan havaita kokelaiden heikosta taidosta tunnistaa integroitavaa funktiota. Heikko taito tunnistaa integroitava funktio on yleisin syy tutkimuksen kokelasratkaisuissa johtaneisiin virheisiin. Kokelasratkaisujen perusteella havaitaan myös kokelaiden puutteellinen ymmärrys matemaattisten merkintöjen ja kirjainten merkityksestä, sillä niitä on käytetty väärin monin eri tavoin. Kokelaiden ymmärrys määrätyn integraalin käsitteestä ja toteuttamisesta vaikuttaa olevan hyvällä tasolla. Virhekäsitysten muodostumisen ehkäisemisen kannalta tutkimuksen tulokset ovat merkittäviä. Tutkimuksen tulokset eivät viittaa suoraan siihen, että virhekäsitykset muodostuisivat integraalilaskennan opiskelun aikana. Virhekäsitysten muodostuminen voi olla seurausta pidempi aikaisista puutteellisista opiskelu- tai opetusmenetelmistä.
-
(2022)Tämän työn tarkoituksena on tutkia suomalaisten lukio-opiskelijoiden integraalilaskennan osaamista. Osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnalta saadulla datalla, joka sisältää pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tehtäväkohtaisia pisteitä aikaväliltä 2009–2021. Työssä esitellään hieman integraalilaskennan teoriaa ja perehdytään lyhyesti lukion integraalilaskennan kurssiin. Työn tutkimuksen pääasialliseksi kohteeksi valikoitui 19 pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävää, jotka olivat kaikki pääasiassa integraalilaskentaa sisältäviä. Näitä tehtäviä analysoitiin esimerkiksi niiden keskimääräisen ratkaisuprosentin avulla. Ratkaisuprosentti valittiin siitä syystä, että vuosien 2009 ja 2021 välillä tehtävien maksimipisteet ovat voineet olla 6, 9 tai 12 pistettä. Tehtävät luokiteltiin kolmeen luokkaan: perustehtävät, soveltavat tehtävät ja analyyttiset tehtävät. Jokaisen luokan sisällä tutkittiin, mitkä tehtävistä olivat niistä saatujen pisteiden perusteella helpoimpia ja mitkä vaikeimpia. Lisäksi tutkittiin sitä, miten tehtävän valinta vaikutti tehtävän osaamiseen. Tutkimuksessa verrattiin myös integraalitehtävien osaamista muihin pitkän matematiikan tehtävien osaamiseen. Tutkimuksen perusteella integraalilaskennassa opiskelijat hallitsevat parhaiten perustehtäviä ja soveltavia tehtäviä. Näiden tehtävien osaaminen on lähes yhtä hyvää. Kaikki soveltavat tehtävät liittyivät pinta-alan laskemiseen. Tutkimuksen perusteella voidaan sanoa, että integraalin ja pinta-alan yhteys on opiskelijoilla hallussa. Erityisesti puolisuunnikassäännön osaaminen oli muihin tehtäviin verrattuna hyvällä tasolla. Vaikeuksia aiheuttavat hankalien funktioiden, kuten murto- ja itseisarvofunktioiden, integrointi. Myös monissa analyyttisissä tehtävissä, joissa mitattiin esimerkiksi muiden matematiikan osa-alueiden yhdistämistä integraalilaskentaan, esiintyi niistä saatujen pisteiden perusteella vaikeuksia. Kaikissa matematiikan ylioppilaskokeissa on ollut tehtävien osalta valinnan varaa. Tutkimuksessa huomattiin, että tehtävän valinta ei välttämättä vaikuta tehtävän osaamiseen, kun otetaan huomioon kaikki integraalitehtävät. Kuitenkin pienen otoksen perusteella, kohtuullisesti tai paremmin osattuja tehtäviä valitaan enemmän. Integraalitehtävien osaaminen keskimäärin on tutkimuksen perusteella heikompaa kuin muiden ylioppilaskoetehtävien osaaminen keskimäärin. Tämä käy ilmi vertaamalla integraalitehtävien ratkaisuprosenttia kokeiden muihin tehtäviin. Vaikuttaisi siis siltä, että integraalilaskenta on keskimääräistä vaikeampi matematiikan osa-alue lukiolaisille.
-
(2023)Tässä työssä tutkitaan integraalitehtävien osaamista ennen ja jälkeen sähköisen ylioppilaskoeuudistuksen vuosina 2016-2020. Osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnalta saaduilla pistejakaumilla kyseisiltä vuosilta. Työn teoriaosuus sisältää, mitä integraalista opetetaan yliopistossa, sekä miten integraali näkyy kahdessa uusimmassa lukion opetussuunnitelmassa ja yhdessä oppikirjassa. Lisäksi tutustutaan aikaisempiin tutkimuksiin integraalin osaamisesta. Tutkielmaan rajatulla aikavälillä matematiikan ylioppilaskokeissa on ollut kuusi puhtaasti integraaliin liittyvää tehtävää, joista neljä on ollut ennen sähköistä ylioppilaskoeuudistusta ja kaksi jälkeen sähköisen ylioppilaskouudistuksen. Kaksi tehtävää on ylioppilaskokeen A-osion tehtäviä, kaksi B1-osan tehtäviä ja kaksi B2- osan tehtävää. Lisäksi työssä esitellään kaikki tehtävät ja esitellään jokaiselle tehtävälle yksi ratkaisutapa. Tutkimuksessa verrattiin A-osan tehtävien osaamista toisiinsa, B1-osan tehtävien osaamista toisiinsa ja B2-osan tehtävien osaamista toisiinsa pistejakaumien avulla, sekä verrattiin integraalitehtävien osaamista muiden matematiikan ylioppilaskokeen tehtävien osaamiseen. Integraalitehtäviä osattiin heikommin kuin muita matematiikantehtäviä. Tutkimuksessa huomattiin, että integraalitehtävät eivät olleet muuttuneet rakenteeltaan sähköisen ylioppilaskoeuudistuksen aikana ainakaan vielä. Sähköisistä apuvälineistä ei ollut ratkaisuissa erityistä hyötyä verrattuna aikaisempaan. Tutkimuksen luotettavuuteen vaikuttaa vähäinen otanta, sekä ylioppilaskokeiden tehtävien keskinäiset eroavuudet kirjoituskerroittain, sekä tehtäviin vastaajien vaihtuvuus
-
(2023)Tässä maisterintutkielmassa esitellään hyperbolinen geometria tasolla, joka on ymmärrettävä lukiolaiselle. Hyperbolinen geometria on negatiivisesti kaareutuvan pinnan geometriaa, jossa pätevät muut euklidisen geometrian aksioomat, mutta Eukleideen aksioomista viides, niin kutsuttu paralleeliaksiooma, ei päde. Hyperbolisen geometrian syntytarina alkoi jo ennen ajanlaskun alkua Eukleideen Alkeiden julkaisusta, mutta todistettiin vasta 1800-luvulla. Pinnan kaarevuuden lisäksi hyperbolisen geometrian erityisominaisuuksia on se, että kolmion kulmien summa on aidosti alle 180 astetta ja sen seurauksena yksikään nelikulmio ei ole suorakulmio. Lisäksi, esimerkiksi tietyn suoran kanssa yhdensuuntaisia suoria voi olla loputon määrä suoran ulkopuolisen pisteen kautta. Tutkielman sisältö on lähes kokonaan suunnattu lukiotasoiselle lukijalle. Ainoastaan Esitietoja-lukuun sisältyy myös tutkielmaan liittyviä esitietoja, jotka eivät ole tarkoitettu lukiolaiselle, kuten geometrian osa lukion opetussuunnitelmassa. Aihetta lähestytään Saccherin nelikulmion todistuksen kautta, jossa jokainen välivaihe on ymmärrettävissä lukiogeometrian lauseiden kautta. Aiheeseen johdattelevan todistuksen jälkeen esitellään hyperbolisen geometrian ominaisuuksia ja Poincarén- sekä Beltrami-Kleinin kiekkomallit hyperbolisen pinnan kuvaamiseksi. Lopussa lukijalle on tarjolla harjoitustehtäviä liittyen todistamiseen, tiedonhakuun ja GeoGebralla piirtämiseen.
-
(2022)Tässä tutkielmassa käsittelemme kartioleikkauksien määritelmiä, niiden yhteyttä lineaarialgebraan sekä kartioleikkauksia lukio- ja perusopetuksessa. Aluksi käymme läpi kartioleikkausten muodostumisen geometrisesti, sekä niiden yhtälöt standardimuodossa. Sitten siirrymme tutkimaan kartioleikkausten määritelmää tarkemmin. Tavoitteena on myös näyttää lukijalle paraabelin, ellipsin ja hyperbelin yhteyksiä, sekä esitellä kartioleikkauksiin liittyviä käsitteitä kuten eksentrisyys. Tutkielmassa perehdymme tarkemmin siihen, että miten lineaarialgebraa voidaan hyödyntää kartioleikkauksten tutkimisessa. Käytännössä esiintyvät kartioleikkaukset eivät ole aina standarimuodossa, mutta ne voidaan siirtää tai kiertää matriisien avulla takaisin siihen muotoon. Ilmaisemalla kartioleikkaukset niiden yleisessä muodossa, voimme siirtää niitä xy-koordinaatistosta johonkin toiseen koordinaatistoon, jonka avulla pystymme ilmaisemaan ne taas standardimuodossa. Lopuksi käymme vielä läpi miten kartioleikkaukset näkyvät opetuksessa, esimerkiksi ylioppilaskirjoituksissa.
Now showing items 1-20 of 73