Browsing by discipline "Mathematics"

This thesis covers the factorization properties of number fields, and presents the structures necessary for understanding a proof on Iwasawa's theorem. The first three chapters aim to construct a ring of integers for arbitrary number fields, and prove that such a ring exists. We prove that our ring of integers is a Dedekind ring, giving us unique factorization on the set of prime ideals. We prove that there exists an isomorphism between principal and factorial divisors and ideals, define an equivalence relation on the set of all divisors, and show that the equivalence classes form the ideal class group. The class number of a field is defined as the order of the ideal class group. We define ramification of primes, and the invariants related to a prime P called the ramification index, inertia degree and decomposition number. We expand on the Galois theory of finite extensions, by introducing a topology on an infinite algebraic Galois extension, and a Galois correspondence between closed subgroups and intermediate fields. We show how to define the decomposition- and inertia group in the infinite case. The maximal unramified field extension, the Hilbert class field, whose Galois group is isomorphic to the ideal class group, is introduced. We introduce a p-adic metric on the ring of integers with the help of valuations, and construct the p-adic integers as a completion with regards to the metric. We prove some structure results for this ring. The lambda-modules are constructed as a limit of modules over group rings, where the group rings are generated by the p-adic integers, and a suitable multiplicative cyclic group. The final result is a proof of Iwasawa’s theorem as found in Washington, Introduction to Cyclotomic fields. We view the Galois group of the p-adic extension as a lambda-module, and from the structure theorems of lambda-modules, we prove results that carry on to the galois groups of the intermediate fields, culminating in a formula for the exact power of p, that divides the class number of the n-th intermediate field.

Gabrielin torvi on kolmiulotteinen matemaattinen kappale, jonka pinta-ala on ääretön, mutta jonka tilavuus on korkeintaan piin suuruinen. Kappaleen olemassaolon huomasi italialainen fyysikko Evangelista Torricelli. Gabrielin torven olemassaolo hämmensi 1600-luvun matemaatikkoja, koska matemaattiset metodit ja tieto eivät olleet vielä kehittyneet niin paljon, että Gabrielin torven kaltaisille kappaleille olisi pystytty antamaan ymmärrettäviä todisteita. Kappaleen nimi viittaa kristillisen mytologian tuomiopäivään, jolloin arkkienkeli Gabriel puhaltaa torveensa ja tunnettu, äärellinen maailmamme loppuu yhdistyen päättymättömään jumalaiseen todellisuuteen. Nimi kuvaa kappaletta hyvin, sillä Gabrielin torvessa yhdistyy äärellinen ja ääretön mielenkiintoisella tavalla. Kochin lumihiutale on Gabrielin torven analogia tasossa. Se on tasokuvio, jonka pinta-ala on äärellinen, mutta sen piirin pituus on ääretön. Tämän kaiken ja muut lumihiutaleen mielenkiintoiset ominaisuudet löysi ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch vuonna 1904. Kochin löydökset olivat merkittävä etappi fraktaalitutkimuksen saralla. Gabrielin torvea ja Kochin lumihiutaletta voisi ensisilmäyksellä luulla paradokseiksi, mutta sitä ne eivät kuitenkaan ole. Sekä torvea, että lumihiutaletta voi käyttää peruskoulun ja lukion matematiikan opetuksessa elävöittämään opiskelua ja tuomaan lisää syvyyttä käsitteisiin.

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä sitä, miten geometria ilmenee lukion matematiikassa. Aineistona on käytetty lukion matematiikan oppikirjoja, lukion matematiikan ylioppilaskirjoituksia ja lukion valtakunnallisia opetussuunnitelman perusteita. Tutkimuksessa viitataan myös peruskoulun yläluokkien matematiikan osa-alueeseen geometria. Tutkielmassa on tarkoitus vastata seuraaviin kolmeen tutkimuskysymykseen: Miten geometrian opetus lukiossa eroaa pitkän ja lyhyen oppimäärän osalta? Miten erot näkyvät oppikirjoissa, opetussuunnitelmassa ja ylioppilaskirjoituksissa? Millaisia geometrian tietoja ja taitoja tarvitaan ylioppilaskoetehtävien ratkaisemiseen? Tutkimusaineiston analysoinnissa merkittävässä roolissa olivat tutkijan luomat taulukot, jotka ovat tutkimuksen liitteenä. Lisäksi syvällisemmin on analysoitu ylioppilaskokeiden tehtäviä, joiden haastavuutta ja syvällisyyttä on tarkasteltu Bloomin taksonomian teoriapohjaan verraten. Lukion matematiikan pitkä ja lyhyt oppimäärä eroavat geometria-kurssin osalta toisistaan tiettyjen sisältöalueiden osalta. Eroavaisuudet ovat hyvin yhtenäiset, kun tarkastellaan geometria-kurssien oppikirjoja ja verrataan niitä opetussuunnitelman perusteisiin. Olennaisimmat erot ovat seuraavat. Lyhyessä oppimäärässä matemaattisena sisältönä esiintyy geometria koordinaatistossa - aihealue, joka puuttuu pitkästä oppimäärästä. Lyhyen oppimäärän OPS asettaa käytännön läheisten geometrian ongelmien ratkaisun tavoitteeksi pitkästä oppimäärästä poiketen. Tätä selkeää eroa ei voida tehdä oppikirjavertailun perusteella. Toisaalta lyhyen oppimäärän oppikirjoista ja OPS:sta puuttuvat lähes kokonaan pitkään verrattuna seuraavat sisältöalueet ja käsitteet: sini- ja kosinilause, kappaleiden yhdenmuotoisuus, geometristen lauseiden todistaminen, kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava, kuvioiden ja kappaleiden kulmat (syventävämmän matematiikan kannalta), kulmiin liittyvät tarkemmat määritykset, ympyrä ja siihen liittyvät suorat sekä palloon liittyvät erikoistilavuudet. Ylioppilaskirjoituksissa lyhyen oppimäärän kannalta korostuvat tehtävissä juuri OPS:ssa mainitut geometrian kurssin keskeiset sisällöt, geometriaa koordinaatistossa -aihealuetta lukuun ottamatta. Pitkän oppimäärän kokeet eivät noudata niin selkeää linjaa OPS:n keskeisten sisältöjen suhteen. Suuren osan lyhyen oppimäärän ylioppilaskoetehtävistä pystyisi ratkaisemaan myös peruskoulun yläluokkien tiedoin, tosin usein syventävin sellaisin. Suurin osa tehtävistä sijoittui Bloomin taksonomian tasoille kolme ja neljä, eli tehtävissä tuli joko käyttää oikeaa kaavaa tehtävän ratkaisuun tai pilkkoa ongelma pienempiin osiin ja ymmärtää osien merkitys kokonaisratkaisun kannalta. Pitkän oppimäärän tehtävät sijoittuivat keskimääräisesti Bloomin taksonomian tasolle neljä ja tehtävissä piti normaalisti joko soveltaa ja pilkkoa tietoa tai jopa luoda uutta tietoa annettujen tietojen pohjalta. Vain muutama pitkän oppimäärän tehtävistä oli mahdollista ratkaista lyhyen oppimäärän tiedoin. Pitkän oppimäärän tehtävät ovat joko liian haastavia tai niiden matemaattiset sisältöalueet eivät kuuluneet lyhyen oppimäärän sisältöihin.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan, voidaanko määrätyn ryhmän alkiot esittää määrättyjen virittäjäalkioiden avulla ketjuna, joka sisältää kaikki ryhmän alkiot täsmälleen kerran, alkaa ja päättyy samaan alkioon ja jossa alkiosta toiseen siirrytään virittäjää pitkin. Kysymyksellä on yhteyksiä klassisiin peleihin (ratsun kierto shakkilaudalla) sekä esimerkiksi perinteiseen englantilaiseen tapaan soittaa kirkonkelloja (change ringing). Ongelman matemaattisessa muotoilussa käytetään Cayley-verkkoja. Ryhmä G ja sen virittäjistö S määräävät Cayley-verkon Cay(S:G), jonka solmut ovat ryhmän alkiot ja jossa solmujen x ja xs välillä on särmä, kun s ∈ S. Tällöin haluttu alkioketju muodostaa verkkoon Hamiltonin syklin. Työssä käsitellään sekä suunnattuja että suuntaamattomia Cayley-verkkoja. Työn käsittelytapa on verkoista huolimatta ryhmäteoreettinen. Tutkielmassa käydään läpi tarvittavia ryhmä- ja verkkoteoreettisia esitietoja sekä todistetaan Hamiltonin syklien olemassaolo eräiden tulo- ja Abelin ryhmien Cayley-verkoille. Työ huipentuu Dave Witten vuonna 1986 todistamaan tulokseen, että p-ryhmien Cayley-verkoissa on aina Hamiltonin sykli, riippumatta valitusta virittäjistöstä.

Työssä esitellään moniulotteisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alkuarvo-ongelmia. Erityisesti keskitytään Hamilton-Jacobi -yhtälöihin, sekä yhden tilamuuttujan säilyvyyslakeihin. Näitä yhtälöitä kohdataan usein mallinnettaessa fysikaalisten systeemien käyttäytymistä matemaattisesti, eikä yhtälöille ole välttämättä ratkaisua perinteisessä mielessä. Työn tavoitteena onkin esitellä ensin karakteristisena menetelmänä tunnettu ratkaisukeino, jossa osittaisdifferentiaaliyhtälö muunnetaan systeemiksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen avulla voidaan määrittää alkuperäisen ongelman ratkaisu, ainakin tutkittavan alueen reunan läheisyydessä. Seuraavaksi nostetaan esille karakteristisen menetelmän puutteita. Kuten säilyvyyslakeihin liittyvistä esimerkeistä havaitaan, menetelmä ei pysty tarjoamaan joillekin alkuarvotehtäville jatkuvaa, eikä siten differentioituvaa ratkaisua. Joissakin tapauksissa menetelmän antama tieto ratkaisusta ei puolestaan riitä kattamaan koko ratkaisun haluttua määrittelyjoukkoa. On kuitenkin mahdollista määrittää alkuarvo-ongelman integraaliratkaisu, rajoitettu funktio, jolla on sileällä kompaktikantajaisella testifunktiolla kerrottaessa tutkittavan osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisua muistuttavia ominaisuuksia. Annettuun ongelmaan ei kuitenkaan välttämättä ole aina yksikäsitteistä integraaliratkaisua, eikä osa integraaliratkaisun määritelmän toteuttavista funktioista tarjoa fysiikan ongelmista johdettuihin yhtälöihin mielekästä ratkaisua. Nopeasti havaitaan, että osa näistä epätoivotuista ratkaisuista saadaan karsittua vaatimalla integraaliratkaisulta tiettyjen entropiaehtojen täyttämistä. Haluamme kuitenkin tarjota riittävät ehdot yksikäsitteisen, entropiaehdot toteuttavan ratkaisun löytämiseksi. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi työssä esitellään variaatiolaskennan perusteita ja Hopf-Lax -kaavan johtaminen Hamilton-Jacobi -yhtälöistä. Hopf-Lax -kaavan antamien integraaliratkaisujen avulla Hamilton-Jacobi -yhtälöille voidaan määritellä niin kutsuttu heikko ratkaisu. Lopuksi Hamilton-Jacobi -yhtälöiden heikkojen ratkaisujen määrittämiseksi esiteltyä teoriaa voidaan käyttää antamaan säilyvyyslakien alkuarvotehtäville entropiaehto, joka takaa ratkaisujen yksikäsitteisyyden nollamittaista joukkoa lukuunottamatta koko halutussa määrittelyjoukossa. Hamilton-Jacobi -yhtälöiden ja Hopf-Lax -kaavan avulla voidaan johtaa Lax-Oleinik -kaava, joka antaa sopivissa tapauksissa alkuarvo-ongelman entropiaratkaisun.

Tutkielmassa esitetään kolme erilaista keinoa todistaa Hilbertin Nullstellensatzin heikko muoto ja tarkastellaan lähestysmistapojen eroavaisuuksia. Tämän jälkeen Nullstellensatzin vahva muoto johdetaan heikosta muodosta käyttäen radikaaleja ja Rabinowitschin keinoa. Lopuksi esitellään joitakin algebrallisen geometrian peruskäsitteitä, joihin Nullstellensatz kytkeytyy ja käydään läpi esimerkkejä tuloksen soveltamisesta.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa keskeinen kysymys on ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Monissa tapauksissa on mahdollista löytää klassisesti derivoituva yksikäsitteinen ratkaisu tutkittavalle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Toisinaan kuitenkin on tarpeen laajentaa ratkaisun käsitettä ja etsiä niin sanottuja heikkoja ratkaisuja. Tässä työssä tutkitaan olemassaolo- ja yksikäsitteisyyskysymyksiä hyperbolisten ja elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden osalta. Tavoitteena on osoittaa, että tiettyjen ehtojen vallitessa kyseisille yhtälöille on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut. Tämän lisäksi työssä tarkastellaan lyhyesti äärellisten elementtien menetelmää ja puoliryhmien teorian sovellusta osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Tärkeimpänä lähteenä on Lawrence C. Evansin teos Partial Differential Equations. Muut lähteet ovat pääasiassa erilaisia matemaattista analyysia käsitteleviä teoksia. Ensimmäisessä luvussa määritellään keskeisiä käsitteitä ja esitetään jatkossa tarvittavia tuloksia. Esiteltäviä matemaattisia työkaluja ovat muun muassa Sobolev-avaruudet, joiden avulla heikot ratkaisut esitetään. Lisäksi tarvitaan tietoa Bochner-integraalista, joka on jossakin Banach-avaruudessa arvoja saavan funktion integraali. Näiden lisäksi funktionaalianalyysista tarvitaan useita eri tuloksia, jotka tässä luvussa esitellään. Toinen luku keskittyy hyperbolisiin ja kolmas luku elliptisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Molemmista yhtälötyypeistä esitellään ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet ja niiden todistukset. Elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yhteydessä esitellään myös äärellisten elementtien menetelmää. Neljännessä luvussa tarkastellaan vakiokertoimisia osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemejä. Viidennessä luvussa esitellään toisenlainen lähestymistapa hyperbolisten yhtälöiden ratkaisun olemasaolon todistamiseen käyttäen puoliryhmien teoriaa.

Tutkielmani tarkoituksena on esitellä Edward Nelsonin kehittämän internaalisen joukko-opin eli IST:n perusteet ja sen soveltaminen invarianttien aliavaruuksien ongelmaa koskevan Bernsteinin-Robinsonin lauseen todistukseen. Epästandardi analyysi tarkoittaa Abraham Robinsonin kehittämää tapaa tehdä matemaattista analyysiä käyttäen hyväksi infinitesimaaleja eli äärettömän pieniä reaali- tai kompleksilukuja. Puhe infinitesimaaleista karkotettiin analyysistä 1800-luvulla, kun esimerkiksi raja-arvo määriteltiin epsilon-delta-menetelmällä. Infinitesimaalit voidaan tuottaa Robinsonin tapaan konstruoimalla reaaliluvuille ultrapotenssilaajennus eli hyperreaalilukujen kunta tai vaihtoehtoisesti olettamalla ne aksiomaattisesti, kuten Nelson teki. Koska keskityn tutkielmassani Nelsonin internaaliseen joukko-oppiin, joka laajentaa tavallista joukko-opin teoriaa ZFC:tä, kertaan ZFC:n määritelmän ja sen perusteita, minkä jälkeen esittelen internaalisen joukko-opin perusteet. IST:n ideana on se, että siinä tuodaan joukko-opin kieleen uusi yksipaikkainen predikaattisymboli st, joka luetaan ''on standardi''. Uusia aksioomia ovat idealisaatioperiaate (I), standardisaatioperiaate (S) ja siirtoperiaate (T), jotka takaavat sen, että esimerkiksi infinitesimaalit ovat olemassa. Todistan joitakin infinitesimaalien perusominaisuuksia, kuten standardiosan olemassaolon. Lisäksi todistan tärkeän tuloksen, IST:n konservatiivisuuden ZFC:n laajennuksena. Tämä tarkoittaa sitä, että kaikki tavallista matematiikka ja sen olioita, siis luonnollisia lukuja, reaalianalyysiä, lukuaπ ja niin edelleen, koskevat väitteet, jotka voidaan todistaa IST:ssä, voidaan todistaa myös standardein menetelmin. IST:n menetelmiä voi siis käyttää standardien väitteiden todistamiseen ja olla varma siitä, ettei ole todistanut mitään, mikä ei pidä paikkaansa. IST:n, ja epästandardin analyysin yleensäkin, hyöty on siinä, että ne usein yksinkertaistavat todistuksia. Tähän tarkoitukseen soveltuu esimerkiksi Nelsonin palautusalgoritmi, jonka myös esittelen. Lopuksi esittelen Bernsteinin-Robinsonin lauseen, joka sanoo, että jos T on rajoitettu lineaarioperaattori ääretönulotteisessa, kompleksilukukertoimisessa Hilbertin avaruudessa H ja jos p(z)≠0 on kompleksilukukertoiminen polynomi, jolle p(T) on kompakti lineaarioperaattori, niin T jättää vähintään yhden H:n suljetun, epätriviaalin aliavaruuden invariantiksi. Todistan lauseen käyttämällä IST:tä.

Yhdensuuntaiset funktiot yleisesti ovat yksi kryptologian tärkeimpiä tutkimuskohteita. Vaativuusteoreettiselta kannalta tilanne on kuitenkin hankala, sillä tutkimus perustuu suurelta osin vaativuusteoreettisiin oletuksiin, joita ei ole todennettu. Vaativuusluokkia voidaan kuitenkin tutkia niiden logiikoiden avulla, jotka tavoittavat kyseisen vaativuusluokan. Tässä Pro Gradu -tutkielmassa esitellään malliteoreettiset käsitteet interpolaatio ja määriteltävyys missä tahansa logiikassa, sekä yhdistetään nämä yhdensuuntaisten funktioiden olemassaoloon kyseisessä logiikassa rajoituttaessa äärellisiin malleihin. Päätuloksina todistamme, että logiikalle on olemassa yhdensuuntaisia funktioita ainoastaan, mikäli kyseisellä logiikalla ei ole interpolaatio-ominaisuutta eikä määriteltävyysominaisuutta äärellisissä malleissa.

Tutkielman päätavoite on esitellä G2-monistot, jotka ovat seitsemänulotteisia suunnistuvia Riemannin monistoja, joilla on spin-rakenne ja joiden Ricci-kaarevuus häviää. Työssä käydään läpi kaikki tarvittava alustava teoria, jotta tuohon tavoitteeseen päästään esittelemällä keskeisiä ja kiinnostavia tuloksia kustakin alustavasta teoriakokonaisuudesta. Ensimmäinen luku käsittelee Lien matriisiryhmiä ja Lien algebroja. Aluksi käydään läpi Lien ryhmän määritelmä ja perusominaisuuksia, kuten kompaktius ja yhtenäisyys. Myös juurisysteemejä ja Dynkinin diagrammeja käsitellään. Lopuksi otetaan erityistarkasteluun Lien ryhmät SU(2), SO(3) sekä SU(3), jotka ovat siis kaksi- ja kolmiulotteiset unitaariryhmät ja kolmiulotteinen ortogonaaliryhmä. Näistä SU(3) on ryhmän G2 isotropia-aliryhmä. Toisessa luvussa käsitellään differentiaaligeometriaa sekä algebrallista topologiaa, erityisesti sileitä monistoja. Tangenttikimppu ja -avaruus sekä vektori- että pääsäiekimppu määritellään. Luvun viimeinen kappale käy läpi homologiaa ja kohomologiaa erityisesti sen motivoimana, että G2-moniston spin-rakenne seuraa kahden ensimmäisen Stiefel-Whitney-kohomologialuokan häviämisestä. Myös muita kohomologialuokkia tarkastellaan ja tutustutaan laskennallisen kohomologian menetelmiin. Kolmas luku käsittelee normitettuja jakoalgebroja, joista tärkeimpänä tulevat esille kahdeksanulotteiset oktoniot, joiden automorfismiryhmänä G2 voidaan ymmärtää. Algebran kahdentamista kutsutaan Cauleyn-Dicksonin prosessiksi, ja oktoniot löydetään kahdentamalla reaaliluvut kolme kertaa. Kahdella kahdennuksella löydetään kvaterniot, jotka puolestaan voidaan ymmärtää ryhmän SO(3) automorfismiryhmänä. Erityisesti imaginääristen eli puhtaiden oktonioiden ristitulo on merkittävä, sillä G2-monisto on varustettu assosiatiivisella 3-muodolla, johon tuo ristitulo liittyy. Imaginääristen oktonioiden yksikköpallo on avaruus S6 ja G2 on pää-SU(3)-säiekimppu kyseisellä avaruudella. Neljännen luvun keskiössä on Lien ryhmä G2. Sitä vastaava Lien algebra löydetään oktonioiden derivaatta-algebrana ja samassa yhteydessä todistetaan, että se on yksinkertainen. Tutkielman keskeiset tulokset kulmininoituvat lopuksi G2-monistojen määritelmään.