Browsing by discipline "Soveltava matematiikka"

Tämä Pro Gradu -tutkielma käsittelee työntekijän eläkelain (TyEL) nykyisin käytössä olevan Gompertz-kuolevuusmallin sopivuutta kuvaamaan TyEL:n selektiä kuolevuutta vanhuuseläkeliikkeessä. Tutkielman tarkoitus on nostaa esiin nykymallin ongelmakohdat ja esitellä Gompertz-kuolevuusmallin laajennus, joka ainakin osin korjaisi nykymallin puutteita pysymällä kuitenkin järjestelmätekniseltä kannalta tarpeeksi yksinkertaisena. Keskeisiksi teemoiksi tutkielmassa nousee elämänvaravakuutuksen yleisen teorian sekä työntekijän eläkelain vanhuuseläkeliikkeen vakuutustekniikan lisäksi toteutuvan kuolevuuden ennustaminen Lee-Miller-mallin sovelluksella ja laajennetun Gompertz-kuolevuusmallin parametrien estimointi havaintoaineistosta. Havaintoaineistona tutkielmassa käytetään sekä Tilastokeskuksen väestökuolevuuksia että TyEL:n riskiperusteanalyysien mukaisia toteutuneita rahapainotettuja kuolevuuksia. Ennustemalli on laadittu käyttäen R- ja Excel-ohjelmistoja (ml. VBA). Kuolevuusmallin laajennusta on kehitetty työeläkejärjestelmässä vuodesta 2014 laskuperusteasiain neuvottelukunnan alaisessa kuolevuusperustejaoksessa, jonka sihteerinä tutkielman kirjoittaja on toiminut vuosina 2014 ja 2015. Puheenjohtajayhtiönä kyseisinä vuosina on toiminut Keskinäinen Työeläkevakuutusyhtiö Elo ja puheenjohtajana tämän tutkielman toinen tarkastaja Tuomas Hakkarainen. Kuolevuusperustejaoksessa on edustus jokaisen työeläkeyhtiön lisäksi eläkekassoilla ja eläkesäätiöillä, Sosiaali- ja terveysministeriöllä, Eläketurvakeskuksella sekä Kevalla (julkisen puolen eläkkeet). Kuolevuusmallin valinnalla ja osuvuudella on merkitystä vanhuuseläkeliikkeessä, sillä se määrää pääoma-arvokertoimet, joilla varaudutaan vastaisten ja alkaneiden vanhuuseläkkeiden suorituksiin tulevaisuudessa. Tutkielmassa esitelty uusi kuolevuusmalli otetaan käyttöön vuoden 2017 eläkeuudistuksen yhteydessä, eli ensimmäisen kerran vanhuuseläkeliikkeen vanhuuseläkevastuut lasketaan sen mukaisina vuoden 2016 lopussa. Vanhuuseläkemaksu määräytyy uuden mallin mukaisesti vuodesta 2017 alkaen.

Hintakuplat ja talousmarkkinoiden epätasapainot ovat pitkään kiinnostaneet ekonomisteja ja matemaatikoita. Tämän työn tavoitteena on esittää matemaattisia malleja, jotka auttavat mallintamaan näitä epäsäännöllisyyksiä. Työn pohjana on laaja ymmärrys martingaaliteoriasta ja rahoitusteoriasta. Aluksi esittelen keskeisimmät määritelmät ja tulokset martingaaliteoriasta alkaen martingaalin määritelmästä. Lisäksi esittelen Brownin liikkeen ja käytän sitä esimerkeissäni havainnollistaakseni joitain tuloksia. Kolmannessa kappaleessa esittelen matemaattista rahoitusteoriaa ja sen yleisimpiä käsitteitä. Rakennan pala palalta työssä käsiteltävän markkinamallin. Mallin tärkeimpinä osina on No Free Lunch with Vanishing Risk ja ei-dominoivia strategioita -oletukset. Näiden ominaisuuksien pohjalta esitän neljännessä kappaleessa määritelmän arvopaperin fundamentaaliselle hinnalle ja sen jälkeen pystyn määrittelemään hintakuplan käsitteen. Kun hintakupla on määritelty, esittelen sen ominaisuuksia ja siihen liittyviä tuloksia. Viimeisessä kappaleessa tarkastelen hintakuplia erilaisissa optioissa ja muissa johdannaisissa. Päälähteinä tutkielmassa on käytetty teoksia: Dario Gasbarra, Introduction to Stochastic Analysis; Tommi Sottinen, Rahoitustoiminnan matematiikka ja Robert A. Jarrow, Philip Protter, Kazuhiro Shimbo: Asset price bubbles in incomplete markets.

Tutkielmassa käsitellään informaatioteoriaa hevosraveissa ja osakemarkkinoilla. Hevosravien tapauksessa tutkitaan optimaalista vedonlyöntistrategiaa ja yritetään löytää paras tapa kasvattaa uhkapelaajan varallisuutta pitäen riskit mahdollisimman pieninä. Tällöin puhutaan tuplaantumisnopeudesta ja sen maksimoinnista. Tämän yhteydessä todetaan, että optimaalista on hajauttaa panokset samassa suhteessa, kuin mikä on hevosten voittotodennäköisyys. Vedonlyöjä tekee voittoa silloin, kun hänen estimaattinsa hevosten voittotodennäköisyyksille ovat paremmat kuin vedonvälittäjän tekemät estimaatit. Lisäksi tutkitaan, kuinka paljon vedonlyöjän varallisuus kasvaa, jos hänellä on tietoa aiempien kilpailujen tuloksista, eli sivuinformaatiota. Havaitaan, että tuplaantumisnopeuden kasvu on sama kuin ravien ja sivuinformaation yhteisinformaatio. Lopuksi osoitetaan, että entropian ja tuplaantumisnopeuden summa on vakio. Osakemarkkinoiden tapauksessa keskitytään sijoittajan varallisuuden kasvun ja markkinoiden entropian tason väliseen yhteyteen. Kuten ravien tapauksessa, käsitellään tässäkin tuplaantumisnopeutta ja sen maksimointia. Tällöin pyritään löytämään sekä kilpailun että kasvun suhteen optimaalinen osakesalkku. Havaitaan, että maksimoimalla asymptoottista kasvua maksimoituu myös sijoittajan suhteellinen varallisuus. Osakemarkkinoidenkin tapauksessa käsitellään sivuinformaation vaikutusta tuplaantumisnopeuteen, sekä investointistrategioita, jotka ovat riippuvaisia markkinoiden menneistä arvoista. Lopuksi löydetään asymptoottinen tuplaantumisnopeus ergodisille osakemarkkinaprosesseille.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan intensiteettiprosesseja ja näihin liittyvää estimointiteoriaa. Tarkastelu keskittyy erityisesti moniulotteisiin laskuriprosesseihin ja niiden tulomuotoa λ(t)= α(t)Y(t) oleviin intensiteettiprosesseihin. Tutkielma aloitetaan käymällä läpi todennäköisyyslaskennan perusmääritelmiä ja -tuloksia. Tämän jälkeen määritellään martingaalit ja kompensaattorit. Martingaaleja ja kompensaattoreita käsittelevässä luvussa esitellään joitain estimointiteoriassa hyödynnettäviä tuloksia. Seuraavaksi siirrytään estimointiin. Aluksi tarkastelun kohteena on funktion A(t) = \int_0^t α(s)ds estimointi. Tätä varten määritellään Nelson-Aalen -estimaattori ja osoitetaan estimaattorin asymptoottiseen käyttäytymiseen liittyviä tuloksia. Lopuksi tarkastellaan parametrista riippuvia intensiteettiprosesseja. Estimoinnissa käytetään suurimman uskottavuuden menetelmää. Tämän luvun päätulokset käsittelevät suurimman uskottavuuden estimaattorin tarkentuvuutta ja asymptoottista jakaumaa.

Jälleenvakuutus on osa vakuutusketjua. Sen tavoitteena on tarjota vakuutusyhtiölle mahdollisuus pienentää riskiä ja turvata omaa vakavaraisuuttaan. Jälleenvakuutussopimuksessa ensivakuuttaja siirtää osan vakuutuskannastaan toisen vakuutusyhtiön vastuulle. Vastineeksi sopimuksesta ensivakuuttaja maksaa jälleenvakuutusmaksun. Jälleenvakuutussopimukset jaetaan suhteellisiin ja ei-suhteellisiin. Jälleenvakuuttamisella on merkittävä rooli vakuutusyhtiön liiketoiminnassa. Sen laiminlyöminen voi johtaa vakuutusyhtiön konkurssiin. Jälleenvakuutusriskejä ovat esimerkiksi omaisuus-, henkilö- ja vastuuriskit. Riski kuvaa epätietoisuutta tulevasta. Riskiä arvioidaan erilaisten riskimittojen avulla. Varteenotettavalle riskimitalle asetetaan usein siltä vaadittuja ominaisuuksia. Sen on oltava muun muassa monotoninen, subadditiivinen, siirtoinvariantti ja positiivisesti homogeeninen. Nämä ominaisuudet täyttävää riskimittaa sanotaan koherentiksi. Jälleenvakuutuksen kannalta suuret riskit ovat mielenkiintoisia, sillä pienemmät vahingot eivät yleensä kuulu jälleenvakuutussopimukseen. Jälleenvakuuttaminen ei pienennä vahingon toteutumisen mahdollisuutta, vaan se antaa vakuutusyhtiölle mahdollisuuden vahingosta koituvan menoerän jakamisen useamman tahon kesken. Tämän pro gradu –tutkielman tarkoituksena on esitellä malli optimaaliselle jälleenvakuutussopimuksen valinnalle. Tutkielman alussa määritellään tärkeimmät todennäköisyyksiin ja integraalilaskentaan liittyvät peruskäsitteet. Tämän jälkeen käsitellään riskimittojen yleistä teoriaa ja esitellään muutamia yleisesti käytettyjä riskimittoja. Riskimittoja käytetään arvioitaessa vahinkojen aiheuttamia taloudellisia riskejä. Lopuksi päästään tutkielman pääaiheeseen eli jälleenvakuutuksiin. Jälleenvakuutuksista esitellään teoriaa ja muutama tavanomaisesti käytetty sopimustyyppi. Viimeisessä luvussa määritellään tutkielman päätulos, jälleenvakuutussopimuksen valintaongelma. Tavoitteena on valita sellainen jälleenvakuutussopimus, että riski saadaan minimoitua tiettyjen rajoitusten ollessa voimassa. Asiaa tarkastellaan pääosin ensivakuuttajan näkökulmasta. Teoriaa havainnollistetaan esimerkkien avulla. Malliin on mahdollista sovittaa erityyppisiä rajoitettuja jälleenvakuutuksen ongelmia. Tämä malli on ensimmäisiä muunnosriskimittaan pohjautuvia ratkaisuja, jotka ottavat huomioon erilaiset jälleenvakuuttamiseen liittyvät optimointirajoitteet. Tutkielman päälähteenä on Ambrose Lon artikkeli "A unifying approach to risk-measure-based optimal reinsurance problems with practical constrains" (2017), jossa optimaalisen jälleenvakuutussopimuksen valintaongelma todistuksineen on alun perin esitetty.

Opinnäytetyössä tarkastellaan ihmisen papilloomavirus- eli HPV-infektion (Human Papillomavirus) kehittymistä simuloiduilla aineistoilla. Infektion kulkua mallinnetaan Markovilaisella mallilla, jonka tilajoukko koostuu infektion eri terveystiloista. Mallista simuloidaan eri simulointiskenaarioilla aineistot, joista estimoidaan infektion paranemisen hasardi. Simulointiskenaarioissa eri HPV-tyyppien aiheuttamat infektiot jaotellaan nopeasti, keskinopeasti ja hitaasti parantuviin infektioihin. Aineistolle muodostetaan eksponenttifunktioon perustuva uskottavuusfunktio, jonka maksimoiva parametri estimoidaan käyttäen Metropolis-Hastings -algoritmia. Työn tavoitteena on tutkia, kuinka paranemisen hasardiin vaikuttaa, että syövän esiasteeksi edenneet infektiot on havaitsemisen jälkeen hoidettu. Työn muita keskeisiä teemoja on Metropolis-Hastings -algoritmin teoriaan ja toimintaperiaatteisiin perehtyminen. Metropolis-Hastings -algoritmi on Markovin ketjun Monte Carlo eli MCMC-algoritmi, jolla voidaan tuottaa näytteitä jostakin halutusta todennäköisyysjakaumasta. Algoritmia käytetään myös erityisesti, kuten tässä opinnäytetyössä tehdään, uskottavuusfunktion maksimin antavien parametrien estimoimiseen silloin, kun uskottavuusfunktion maksimi on analyyttisesti hankalaa ratkaista. Papillomavirusinfektio on yleisin sukupuoliteitse tarttuva tauti. HPV-tyyppejä tunnetaan yli 100 erilaista, joista 14 pidetään korkean riskin tyyppejä, joiden aiheuttama tulehdus pitkittyessään voi aiheuttaa kohdunkaulansyöpään johtavia solumuutoksia. Infektiolta suojaava rokote on nykyisin useissa maissa osa kansallista rokotusohjelmaa. Suomessa käytössä olevan rokotteen tehoa tutkittiin laajalla kansainvälisellä PATRICIA-rokotetutkimuksella. Tutkimusprotokollan mukaan ne henkilöt, joilla seurannassa havaittiin syövän esiaste, lähetettiin jatkotutkimuksiin tai hoitoon. PATRICIA-tutkimuksessa kerätyn havaintoaineiston pohjalta Terveyden ja hyvinvoinnin laitoksella on lähivuosina tehty HPV-infektion kulun väestötason mallinnus, missä esiasteiden hoitoja ei kuitenkaan huomioitu, sillä niiden vaikutus oletettiin pieneksi. Tämän tutkielman keskeisin tehtävää on PATRICIA-aineistoa jäljittelevää simuloitua aineistoa käyttäen arvioida, että oliko oletus perusteltu, vai onko esiasteiden hoidolla merkittävää vaikutusta infektion paranemisen hasardiin.

Henkivakuuttajan arvioidessa sopimusten hinnoittelua ja mahdollisiin tuleviin menetyksiin liittyviä riskejä on korko- ja kuolevuusoletuksilla suuri merkitys. Tappio tai menetys on määrä, jolla sopimuksen kulut ylittävät tuotot. Korkoriskillä tarkoitetaan korkojen tulevien muutosten aiheuttamaa epävarmuutta eli toteutuvan tuoton tai kulun poikkeamista odotusarvostaan. Henkivakuutussopimukset ovat tyypillisesti pitkäaikaisia sopimuksia, joten korkoriski on merkittävä sopimusten hinnoitteluun, ja vastuuvelan ollessa markkinaehtoinen, sen hallintaan liittyvä riski. Kuolevuusriskillä tarkoitetaan sitä, että kuolevuus ei toteudu niin kuin on mallinnettu. Tutkielmassa tarkastellaan annuiteettien ja henkivakuutusten arvon määrittämiseen vaikuttavia asioita, joista keskeisimpiä ovat kuolevuusriski sekä korkoriski. Tutkielmassa keskitytään pääasiassa korkoriskiin eli tarkastellaan koron vaikutusta henkivakuutusten hinnoitteluun, vakuuttajan mahdollisiin tuleviin menetyksiin sekä sivutaan lyhyesti vaikutusta markkinaehtoiseen vastuuvelkaan. Tutkielman aluksi tarkastellaan korkoutukseen, kuolevuuteen ja jäljellä olevan elinajan mallintamiseen liittyviä asioita sekä käydään läpi pääoma-arvoja ja annuiteetteja. Henkivakuuttajan vastuiden määrittämisessä olennaista on vakuutetun kuolevuuden mallintaminen. Kuolevuuden ennustamista tarvitaan tulevaisuudessa maksettavan etuuden todennäköisen keston estimointiin, jos etuuden maksaminen riippuu siitä, että vakuutettu on elossa. Toisaalta henkivakuutuksessa korvauksen maksaminen voi olla riippuvainen vakuutetun kuolemasta, jolloin kuolevuuden ennustamista tarvitaan mahdollisen korvauksen maksamisen ennustamiseen. Henkivakuutuksessa pääoma-arvokertoimia taas käytetään muun muassa vakuutusmaksujen ja vastuuvelan laskennassa. Pääoma-arvokertoimet lasketaan vakuutusmatemaattisin menetelmin ottaen huomioon korko, kuolevuus sekä etuuden alkamiseen ja päättymiseen mahdollisesti liittyvät muut tekijät. Kahdessa viimeisessä luvussa tarkastellaan koron vaikutusta hinnoitteluun, jos oletetaan, että korko on riippuvainen sijoituksen kestosta. Tässä hyödynnetään tuottokäyrää. Tulevan koron epävarmuutta mallinnetaan stokastisena korkona. Lisäksi tarkastellaan hajautettavissa olevaa ja ei-hajautettavaa riskiä ja käydään läpi oletukset, joiden nojalla kuolevuusriski voidaan ajatella hajautettavaksi. Esitellään ja käytetään Monte Carlo -menetelmää epävarmojen kassavirtojen jakauman ja tulevien menetysten nykyarvon tutkimiseen simuloimalla jäljellä olevaa elinaikaa ja tulevaa korkoa. Tilanteita havainnollistetaan esimerkein. Lisäksi lopuksi sivutaan lyhyesti EU:n Solvenssi II -direktiivin mukaisessa vakavaraisuuskehikossa mitattavia korkoriskejä. Solvenssi II -direktiivissä varojen ohella myös vastuuvelka arvostetaan markkinaehtoisesti käypään arvoon, jolloin vastuuvelan arvo riippuu merkittävästi korkotasosta. Tällöin myös henkivakuuttajan korkoriskin hallinnan merkitys korostuu.

Sijoituspäätösten tekeminen on yritysjohdon keskeisimpiä tehtäviä. Sijoituksiin liittyy aina riskejä, ja niiden hahmottaminen, hallitseminen ja minimoiminen ovat onnistuneen sijoituspäätöksen kannalta ydinasemassa. Tavallisimmissa sijoitusanalyyseissä verrataan ulospäin meneviä kassavirtoja sisään tuleviin. Kustannukset ovat usein deterministisiä, kun taas tulevaisuuden tuottoihin liittyy epävarmuutta. Esimerkiksi osakkeiden tuotto riippuu yrityksen menestyksestä kilpailussa ja markkinan yleisestä kehityksestä. Tässä Pro Gradu-tutkielmassa rajoitumme tilanteeseen, jossa pyrimme ennustamaan ja mallintamaan uuden yrityksen liikevaihtoa tietylle tarkastelujaksolle. Käytämme tähän riskiteoreettisia työkaluja ja vertaamme saavutettua mallia Case-yrityksen dataan. Tutkielma on jaettu kuuteen lukuun. Ensimmäinen luku on johdanto. Toisessa luvussa luodaan matemaattinen perusta tutkielman todennäköisyysteorialle ja stokastisille prosesseille. Kolmannessa luvussa esittelemme asiakkaiden lukumäärää kuvaamiseksi sopiva stokastinen prosessi. Tässä luvussa pääroolissa ovat ns. Poisson-prosessit, jotka ovat vakuutusmatematiikassa yleisesti käytetty laskuriprosessi vahinkojen lukumäärien kuvaamiseksi. Neljännessä luvussa käymme liikevaihdon kimppuun yhdistetyn muuttujan avulla. Kappaleessa esitämme menetelmiä sekä yhdistetyn muuttujan tarkoille todennäköisyyksille, että approksimoimiselle. Yhdistetty muuttuja on yleisesti käytetty riskiteoriassa ja vahinkovakuutuksessa. Viides luku muokkaa teoriaa sopivaksi liikevaihdon mallintamiseen. Asiakkaita jaetaan uusiin ja palaaviin asiakkaisiin, jotta eri lailla käyttäytyviin prosesseihin päästään paremmin käsiksi. Molempien prosessien laskuriprosessina on Poisson-prosessi. Viimeisessä luvussa tarkastelemme teorian sopivuutta tosimaailman case-yrityksen dataan. Hahmotamme todennäköisyyksiä approksimaatioiden ja simulaatioiden avulla.

Lokaalin riskin minimoiva sijoitusstrategia on diskreettiaikainen, arvopapereiden hankkimisesta aiheutuvien kustannusten keskineliöpoikkeaman minimointiin perustuva strategia, jonka avulla finanssimarkkinoilla toimiva pystyy suojautumaan kohtuuttoman suuria tappioita vastaan. Luonnollisesti tällaisella suojautumisella on jonkin hinta, ja mikäli tämä hinta on liian suuri tai liian pieni, päädytään helposti arbitraasitilanteisiin. Tässä tutkielmassa esitetään vaatimukset, jotka finanssimarkkinoiden tulee täyttää ja jotka toimijan tulee arvopapereiden kanssa operoidessaan ottaa huomioon, jotta tällaisia tilanteita ei pääsisi muodostumaan. Lokaalin riskin minimoivan sijoitusstrategian arbitraasivapauden keskeinen vaatimus on minimaalisen martingaalimitan, erään riskineutraalien todennäköisyysmittojen erikoistapauksen, olemassaolo. Minimaalisen martingaalimitan olemassaolo finanssimarkkinoilla ei kuitenkaan ole itsestäänselvyys ja tässä tutkielmassa johdetaan edellytykset sen löytymiselle finanssimarkkinoilta, jotka koostuvat yhdesta riskittömästä ja yhdestä riskillisestä arvopaperista, sekä pohditaan, mitä seikkoja toimijan tulee tarkastella arbitraasin välttämiseksi tilanteessa, jossa minimaalisen martingaalimitan olemassaolon kriteerit eivät täyty. Lopuksi tarkastellaan lokaalin riskin minimoivien sijoitusstrategioiden yhteyksiä sijoitussidonnaisten henkivakuutusten suojaamiseen, sekä esitetään vaihtoehtoinen keino suojata toistettavan arvopaperin arvoon sidotun elämänvaravakuutuksen korvaus tilanteessa, jossa finanssimarkkinoilla ei ole olemassa minimaalista martingaalimittaa.

Vector or multivariate autoregression is a statistical model for random processes. It is relatively simple yet flexible enough to describe many real-world phenomena. Stochastic processes modelled by multivariate autoregression are called vector autoregressive (VAR) processes. The structure of a VAR process is determined by the conditional independences of the variables and the lag length that describes the duration of direct influence. Structure discovery in VAR processes refers to finding reasonable candidates for these elements. Learning the structure of a VAR process can be realized using graphical models, where nodes represent variables and edges represent absence of conditional independence. This transforms the problem of learning conditional independences of variables into the problem of finding edges between nodes. This thesis extends previous studies to make inference on the structure of VAR processes involving tens or hundreds of variables, without assuming the underlying Granger causality graphs to be decomposable. A scoring function capable of predicting the Markov blankets of the nodes is derived and proved to be consistent. This scoring function is combined with another scoring function to discover VAR structures from multivariate time series. The performance of the proposed method is tested on synthetic data. In all test cases that are considered, given enough samples and some a priori information, the true lag length can be identified, the true positive rate made higher than 0.94, and the false positive rate kept below 0.01.