Browsing by study line "Lärare i matematik"

Lukuteoria tutkii kokonaislukujen ominaisuuksia, kuten jaollisuutta. Sekä kiinnostavaa että käytän-nöllistä on löytää keinoja selvittää onko jokin kokonaisluku jaettavissa millään toisella kokonais-luvulla. Näitä keinoja tai algoritmeja kutsutaan alkulukutesteiksi ja ne esiintyvät merkittävässäroolissa nykyaikaisessa tietoturvassa ja salaamisessa.Tässä työssä esitellään alkeellisia alkulukutestejä kuten Eratostheneen seula, Wilsonin lause ja Fer-mat’n testi, sekä suurten alkulukujen testaamiseen käytettyjä tehokkaampia menetelmiä. Alkulu-kutestit jaotellaan deterministisiin sekä probabilistisiin testeihin sen mukaan, antavatko ne var-man oikean tuloksen vai jollain tunnetulla todennäköisyydellä epävarman tuloksen. Epävarmempiprobabilistinen testi on kuitenkin determinististä käytännölisempi, sillä se voidaan ajaa riittävänmonta kertaa luotettavan tuloksen saamiseksi ja silti suoriutua determinististä testiä nopeammin.Erityisesti työssä keskitytään Miller-Rabinin probabilistiseen eli satunnaistettuun alkulukutestiin,joka on algoritmina nopea eli tehokas suuria lukuja testatessa. Työssä esitellään myös ensimmäi-nen polynomisessa ajassa suoriutuva deterministinen alkulukutesti AKS, jonka suoritumisaika elilaskutoimitusten lukumäärä on polynominen testattavan luvun numeroiden määrän suhteen.Työssä käydään läpi lukuteoreettista taustaa siinä määrin, kuin on alkulukutestien ymmärtämi-sen osalta oleellista, sekä katsastetaan myös lukuteorian sisältöjä ja opetusta lukiossa. Oleellinentaustateoria sisältää muun muassa kogruenssin, kiinalaisen jäännöslauseen, sekä Fermat’n pienenlauseen. Työssä esitellään myös Mersenneen alkuluvut ja näihin liittyvä yksinkertainen ja tehokasLucas-Lehmerin deterministinen alkulukutesti.Lukuteoriaa opetetaan vain vähän tai ei laisinkaan perusopetuksessa niin Suomessa kuin maail-mallakin. Lukion valinnainen kurssi Algoritmit ja lukuteoria antaa riittävät valmiudet tutustua it-senäisesti alkulukutesteihin tarvittavaan pohjateoriaan, kuten Fermat’n pieneen lauseeseen, muttakurssin varsinaiseen sisältöön alkulukujen testaus ei kuulu alkeellisimpia menetelmiä lukuunotta-matta.Lukuteoreettisten ongelmien pohtiminen ja lukuteorian käsitteiden opiskelu edistää opiskelijoidensuhtautumista matematiikkaan, vaikuttaa positiivisesti näiden metakogniitiivisiin kykyihin, sekäedistää ongelmanratkaisun ja todistamisen taitoja.

Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella antiikin Kreikan suurimpia matemaatikoita ja heidän tutkimuksiaan sekä niiden merkitystä tämän päivän matematiikan kannalta. Tutkielman toisena tarkoituksena on tarkastella miten hyvin antiikin Kreikan matematiikan merkitys ilmenee tämän päivän koulujen opetuksessa ja mitä kouluista valmistuneet ihmiset siitä tietävät. Tutkielman ensimmäisessä osiossa esitellään antiikin Kreikan suurimpia matemaatikoita. Tutkielmassa aloitetaan Thaleesta ja Pythagoraasta sekä Pythagoralaisesta matematiikasta. Sen jälkeen esitellään Platonin Akatemia ja Zenonin paradoksit. Sen jälkeen siirrytään tutkimaan Eukleideen Alkeita, Arkhimedesta sekä Apolloniosta. Ensimmäisen osion lopuksi tutustutaan vielä Diofantokseen, Pappokseen ja antiikin Kreikan matematiikan päätökseen. Tutkielman toinen osio koostuu suurelta osin kenttätutkimuksesta. Siinä tutkitaan antiikin Kreikan matematiikan esiintymistä matematiikan Kuutio-kirjasarjassa. Sen lisäksi esitellään kyselytutkimuksen tuloksia. Tutkimuksessa selvitettiin vastaajien käsityksiä antiikin Kreikan matematiikasta, miten tärkeänä he pitävät antiikin Kreikan matematiikkaa tämän päivän matematiikan kannalta ja miten hyvin he muistivat Pythagoraan lauseen. Lisäksi kyselyssä kysyttiin kuvien käytöstä opetuksessa sekä miten vastaajat itse parantaisivat matematiikan opetusta. Kyselyyn vastanneiden mielestä antiikin Kreikan matematiikka on ollut ainakin tärkeä pohja tämän päivän matematiikalle. Monet uskoivat kreikkalaisten laskeneen monimutkaisia laskuja, mutta heillä ei ollut mitään konkreettista kuvaa antiikin Kreikan matematiikasta. Monet toivoivat, että opetuksessa käytettäisiin enemmän kuvia ja asiat selitettäisiin selvästi vaihe vaiheelta. Opetettavat asiat tulisi myös jotenkin liittää oppilaille mieleisiin asioihin.

Tämän tutkielman tarkoituksena oli selvittää ruumiillistamisen mahdollisuuksia matematiikan opetuksessa. Tutkielmassa eritellään eri näkökulmia ruumiillistamiseen, ja erityisesti kehollistamiseen; ne nähdään havainnollistamiskeinoina, joilla on perusteltu rooli matemaattisten kognitioiden kehittymisessä. Tutkielma koostuu taustatutkimuksesta, sekä opetuskokeilusta, jossa tutkittiin ruumiillistamisen keinoja reaalilukusuoran ominaisuuksien oppimiseen. Tutkielmassa ruumiillistamista tutkitaan erityisesti reaalilukusuoran ominaisuuksien opettamisessa. Lukujoukkojen laajennukset luonnollisista luvuista kokonais-, rationaali- ja reaalilukuihin, ja erityisesti siirtyminen koulumatematiikasta yliopistomatematiikkaan, edellyttävät opiskelijalta käsitteellisen muutoksen läpikäymistä, tullakseen ymmärretyiksi. Käsitteellisellä muutoksella tarkoitetaan uusien asioiden oppimista tavalla, joka edellyttää aiempien tietojen ja intuition vastaista ajattelua. Käsitteellistä muutosta esitellään erityisesti Kaarina Merenluodon tekemien tutkimusten näkökulmasta. Tutkielmassa esiteltäviä näkökulmia ruumiillistamiseen ovat David Tallin esittelemät teoriat matemaattisten kognitioiden kehittymisestä ja matematiikan kolmesta maailmasta, kehollisuus metaforien lähtökohtana, kehollisuus ja eleet matematiikan opetuksessa sekä ruumiillistaminen ja kehollisuus vaihtoehtoisina opetusmenetelminä. Omakohtainen lähtökohta tutkimuksen tekemiselle oli tekijän tausta taitoluistelijana ja taitoluisteluvalmentajana. Tekijän oma kontribuutio tutkimuksessa oli pienimuotoisen opetuskokeilun järjestäminen ja sen laadullinen analysointi. Opetuskokeilu koostui kohdejoukon ennakkotietojen kartoituksesta, opetustuokiosta ja loppukyselystä, jolla selvitettiin osallistujien reaalilukukäsityksiä opetustuokion jälkeen. Opetustuokiossa käytettiin kehollisia opetusmetodeja sekä opetusvälineitä ruumiillistamisen apukeinoina. Tutkimuksen tuloksena ruumiillisuuden havaittiin onnistuneen tehtävässään luoda informaaleja reaaliluvun ajattelun malleja, joiden varaan formaali käsitys reaaliluvuista voi rakentua. Tutkimuksen perusteella ruumiillistaminen ja kehollistaminen ovat keinoja, joiden avulla reaalilukukäsitteen ymmärtämiseen vaadittavaa käsitteellistä muutosta on mahdollista ja kannattavaa edistää.

Tässä tutkimuksessa luodaan yleiskatsaus babylonialaiseen matematiikkaan, perehdytään sen saavutuksiin ja erityispiirteisiin ja pohditaan sen suurimpia ansioita. Lisäksi selvitetään miten babylonialainen matematiikka on vaikuttanut matematiikan kehitykseen ja miten babylonialaiset keksinnöt ovat päätyneet erityisesti kreikkalaisten matemaatikoiden käyttöön. Babylonialaisen matematiikan lisäksi tutkitaan myös babylonialaista astronomiaa soveltuvin osin. Tutkimuksessa selvitetään myös onko babylonialaisella matematiikalla yhteyksiä nykyaikaan ja erityisesti tapaan jakaa tunti 60 minuuttiin ja minuutti 60 sekuntiin ja ympyrän kehäkulma 360 asteeseen. Tutkimus toteutettiin kirjallisuuskatsauksena käyttämällä mahdollisimman laajasti sekä babylonialaista matematiikkaa koskevia perusteoksia että uusimpia artikkeleita. Matemaattisten saavutusten siirtymistä lähestyttiin tutkimalla tunnettuja kreikkalaisen matematiikan ja astronomian keskeisiä henkilöitä ja heidän yhteyksiään babylonialaiseen matematiikkaan. Näiden pohjalta muodostettiin yhteneväinen kokonaisuus babylonialaisen matematiikan saavutuksista ja tiedon siirtymisestä. Babylonialainen matematiikka käytti omaperäistä ja edistyksellistä seksagesimaalijärjestelmää, jonka kantaluku oli 60 ja joka oli ensimmäinen tunnettu numeroiden paikkajärjestelmä. Babylonialaisia matemaatikoita voidaan perustellusti sanoa antiikin parhaiksi laskijoiksi. He tunsivat monia tunnettuja lauseita kuten Pythagoraan lauseen ja Thaleen lauseen, osasivat ratkaista toisen asteen yhtälön ja käyttivät erilaisia tehokkaita algoritmeja likiarvojen laskemiseen yli tuhat vuotta ennen kreikkalaisia. Kreikkalaisten ensimmäisinä matemaatikkoina pitämät Thales ja Pythagoras oppivat ilmeisesti tunnetuimmat tuloksensa babylonialaisilta ja heidän merkityksensä on ensisijaisesti tiedon kuljettajana ja matematiikan eri osasten järjestelijöinä. Babylonialainen astronomia oli edistyksellistä ja kreikkalainen Hipparkhos hyödynsi babylonialaisten tekemien havaintojen lisäksi myös babylonialaista laskutapaa tehdessään omia tutkimuksiaan. Näiden ratkaisujen pohjalta ympyrä jaetaan vielä nykyäänkin 360 asteeseen, joista jokainen aste jakautuu 60 osaan. Samalla babylonialaiseen matematiikkaan perustuvalla periaatteella myös tunnit ja minuutit on jaettu 60 osaan.

Tässä tutkielmassa esitetään Cauchy-Eulerin yhtälö, sen ratkaisu ja kaksi sovellusta sen monista sovelluksista. Cauchy-Eulerin yhtälö on homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on muuttujakertoimet. Ensimmäisessä luvussa perustellaan aiheen valinta sekä kerrotaan perustietoja lineaarisista differentiaaliyhtälöistä ja Cauchy-Eulerin yhtälön historiasta. Toisessa luvussa esitetään Cauchy-Eulerin yhtälö ja osa yhtälön ratkaisun todistukseen tarvittavista aputuloksista. Kolmannessa luvussa todistetaan sekä toisen kertaluvun että n:nnen kertaluvun ratkaisu yhtälölle. Molempia todistuksia ennen esitetään todistuksien kannalta merkittävimmät aputulokset. Tärkeimpänä esimerkkinä mainittakoon Laplace-muunnos. Toisen kertaluvun ratkaisu todistetaan, koska se on helpompi ymmärtää, sitä tarvitaan molempiin sovelluksiin, ja koska se auttaa ymmärtämään n:nnen kertaluvun ratkaisua. Neljännessä luvussa yhtälölle esitetään kaksi sovellusta: Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen ratkaisu ja Black-Scholesin yhtälön ratkaisu. Laplacen yhtälöä hyödynnetään kuvaamaan fysiikassa ajasta riippumattomissa tilanteissa tapahtuvia muutoksia esimerkiksi sähkömagneettisissa potentiaaleissa, tasaisissa lämpötiloissa ja hydrodynamiikassa. Yhtälön napakoordinaattiesitystä käytetään sellaisissa tilanteissa, joissa ympäristö on ympyrän rajaama kiekko. Black-Scholesin yhtälöä käytetään finanssimatematiikassa kuvaamaan osakeoptioiden arvonmuutosta. Siten molempia yhtälöitä käytetään paljon, ja ne ovat CauchyEulerin yhtälön tärkeitä sovelluksia. Viidennessä luvussa esitellään tutkielman tulokset. Tuloksina esitetään Cauchy-Eulerin yhtälön n:nnen kertaluvun ratkaisu, Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen ratkaisu ja Black-Scholesin yhtälön ratkaisu. Sekä Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen että Black-Scholesin yhtälön ratkaisu saadaan muuttujien separoinnin avulla, jolloin saadaan kaksi eri yhtälöä, joista toinen on toisen kertaluvun Cauchy-Eulerin yhtälö, jonka ratkaisu aiemmin todistettiin.

Eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat perusalkeisfunktioita ja ne ovat kuuluneet lukion opetussuunnitelman vuoden 2015 perusteiden mukaan sekä pitkän että lyhyen matematiikan oppimäärän sisältöalueisiin. Matematiikan opetuksessa on tärkeää olla tietoinen siitä, että eksponentti- ja logaritmifunktioiden käsitteellinen ymmärrys saattaa jäädä opiskelijoilla helposti pintapuoliseksi. Eksponentti- ja logaritmifunktioiden käsitteellisen ymmärryksen muodostumista voidaan tukea esimerkiksi erilaisilla opiskelijalähtöisillä, tutkimuksellisuutta korostavilla ja symbolista laskentaa hyödyntävillä opiskelumetodeilla. Nykypäivän opetuksessa on muutenkin korostettu digitaitojen merkitystä muun muassa ylioppilaskokeiden sähköistymisen myötä. Esimerkiksi symbolinen laskenta on tärkeä matematiikan opetuksen osa-alue, joka sisältää muun muassa erilaisten yhtälöiden ja funktioiden käsittelyn tietokoneavusteisesti, johon digitaalinen Logger Pro 3 -ohjelmisto tarjoaa helppokäyttöisen työkalun esimerkiksi kuvaajien analysointiin koordinaatistossa. Logger Pro 3 -ohjelmistoa hyödynnetään erityisesti lukion fysiikan ja kemian opinnoissa, mutta ohjelmistoa ei vielä ole kovin laajalti hyödynnetty matematiikan lukio-opinnoissa. Käsitteellisen ymmärryksen vahvistamisen lisäksi erilaisilla opiskelijaa aktivoivilla ja vaihtelevilla opiskelumetodeilla on havaittu olevan positiivinen vaikutus opiskelijoiden opiskelumotivaatioon. Tämän tutkielman tarkoituksena on selvittää, soveltuuko Logger Pro 3 -ohjelmistoa hyödyntävä opiskelijalähtöinen harjoitus eksponentti- ja logaritmifunktion esittelyyn lukiossa. Toisena tutkielman tarkoituksena on selvittää, että vaikuttaako ohjelmiston käyttö tutkimukseen osallistuvien opiskelijoiden opiskelumotivaatioon. Tutkimusmenetelmänä toimii kehittämistutkimus, jonka tavoitteena on tuottaa harjoitus, jota voisi hyödyntää jatkossa aidoissa oppimistilanteissa. Kaikki tutkimukseen osallistuvat opiskelijat noudattivat vielä opinnoissaan lukion opetussuunnitelman vuoden 2015 perusteita. Kehittämistutkimuksen yleisenä edellytyksenä on ensimmäisen version asettaminen testattavaksi, jonka jälkeen ensimmäisen version toimivuus arvioidaan. Tässä tutkimuksessa harjoitusta on kehitetty yksisyklisen kehittämistutkimuksen kautta, eli käytännössä harjoitusta on aluksi testattu ensimmäisen koeryhmän kanssa ja kerätyn palautteen perusteella harjoitusta on jatkokehitetty. Lopuksi jatkokehitetty versio on vielä testattu toisen koeryhmän kanssa. Tutkimus on toteutettu Vantaalla Vaskivuoren lukiossa kahden eri kemian oppitunnin aikana ensin testaamalla harjoituksen ensimmäinen versio 18.11.2021 ja tämän jälkeen ensimmäisestä versiosta jatkokehitetty harjoitus on testattu 27.1.2022. Tämän tutkimuksen tiedon- ja palautteenkeruutapana käytettiin opiskelijoiden anonyymeja kirjallisia vastauksia harjoituksen kysymyksiin sekä kyselylomakkeita. Keskeisimpänä tutkimustuloksena voitiin todeta, että kehittämistutkimuksen tuote eli opiskelijalähtöinen harjoitus vaikutti positiivisimmin opiskelijoiden opiskelumotivaatiokokemuksiin. Lisäksi opiskelijoiden oma kokemus siitä, että ohjelmiston käyttö auttoi hahmottamaan eksponentti- ja logaritmifunktioiden käsitettä, vahvistui hieman. Harjoituksen kirjallisten vastausten perusteella harjoituksella ei kuitenkaan sellaisenaan ollut juurikaan myönteistä vaikutusta opiskelijoiden käsitteelliseen ymmärrykseen eksponentti- ja logaritmifunktioista. Toisaalta edelleen jatkokehittämällä opiskelijalähtöistä harjoitusta, voisi se soveltua paremmin jatkossa käytettäväksi eksponentti- ja logaritmifunktioiden esittelyyn lukio-opinnoissa sen mahdollistaessa tutkimuksellisen, ilmiöpohjaisen ja opiskelijaa aktivoivan työtavan, jolloin se tarjoaisi potentiaalisen työkalun opiskelun monipuolistamiseksi sekä käsitteellisen ymmärryksen ja opiskelumotivaation vahvistamiseksi.

Tämän tutkielman tavoitteena on tutustuttaa lukija yksinkertaisiin stokastisiin prosesseihin esimerkkien avulla. Tämän lisäksi esitellään stokastisten prosessien perusominaisuuksia. Stokastiset prosessit ovat matematiikassa osa todennäköisyyslaskennan osa-aluetta. Tutkielman alussa käydään läpi todennäköisyyslaskennan peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien ymmärtämisessä. Tämän jälkeen esitellään stokastisten prosessien perusominaisuuksia. Tutkielmassa esiteltävät stokastiset prosessit ovat Bernoullin prosessi, satunnaiskulku ja Poissonin prosessi. Jokaisesta prosessista esitetään esimerkkejä ja niihin käytettäviä jakaumia. Lopuksi on pohdintaa stokastisten prosessien hyödyntämisestä lukio-opetuksessa lyhyen ja pitkän matematiikan osalta. Pohdinta on käyty uuden opetussuunnitelman LOPS19 tavoitteiden ja sisällön mukaan. Pitkässä ja lyhyessä matematiikassa on molemmissa yhden moduulin sisällössä määritelty binomijakauma, jota voidaan käyttää joidenkin stokastisten prosessien tutkimisessa.

Tavoitteet. Tutkimuksen tavoitteena on selvittää, kuinka paljon yhdeksännen luokan matematiikan valtakunnallisia kokeita tulisi muuttaa, mikäli GeoGebra hyväksyttäisiin työvälineeksi kokeeseen. Kouluissa jatkuvasti käytetään yhä enemmän tietokoneita ja ohjelmistoja. Ylioppilaskokeet ovat sähköistyneet. On siis tärkeää kartoittaa, kuinka paljon valtakunnallisia kokeita pitäisi muuttaa, mikäli koe sähköistyisi tulevaisuudessa. Aiemmat tutkimukset ovat osoittaneet, että GeoGebra parantaa oppimistuloksia, asenteita ja motivaatiota matematiikan opiskelussa. Kuitenkin on havaittu, että tarpeeksi haastavien tehtävien suunnittelu GeoGebralle on haastavaa sekä joidenkin komentojen syöttämistapa on vaikea oppilaille. Tässä tutkimuksessa lisäksi pohditaan, miltä osin osaaminen kehittyy ja toisaalta heikkenee, kun käytetään GeoGebraa tehtävien ratkaisemisessa. Menetelmät. Tutkimuksessa tutkittiin kvalitatiivisesti ja kvantitatiivisesti vuosien 2012–2021 matematiikan valtakunnallisten kokeiden laskimellisia tehtäviä. Laadullisesti esitettiin joidenkin tehtävien ratkaisuja GeoGebra ohjelmistolla. Tutkimuksessa pohditaan, riittääkö oppilaan taidot realistisesti ratkaisemaan tehtäviä esitellyllä tavalla. Määrällisesti selvitettiin, kuinka suuri osa tehtävistä toimisi sellaisenaan GeoGebraa käyttäen. Tulokset ja johtopäätökset. Yli puolet tehtävistä tulisi muuttaa, jos GeoGebra sallitaan välineeksi kokeeseen. GeoGebra heikentää mekaanisen laskutaidon kehittymistä, mutta kasvat-taa muun muassa visualisointitaitoja. Laskimellisessa osassa kannattaa painottaa ratkaisun muita osia kuin mekaanisia laskuvaiheita kuten yhtälönratkaisua. Laskimettomassa osassa voidaan testata mekaaninen laskutaito.

Oppilaiden kiinnostus matematiikkaa kohtaan on tutkimusten mukaan laskussa. Samalla oppilaiden matematiikan osaamisen taso on heikentynyt. Matematiikan opettajien laadukkaalla koulutuksella pyritään vastaamaan opiskelijoiden heikentyneeseen matematiikan osaamiseen ja kiinnostukseen. Yksi keino lisätä matematiikan kiinnostavuutta, on kehittää matematiikan opettajien koulutusta relevantimmaksi opiskelijoiden näkökulmasta. Lisäksi tietotekniikan, kuten GeoGebran käytöllä opetuksessa on tärkeä rooli oppilaiden matematiikan kiinnostuksen lisäämisessä. Tässä tutkimuksessa tutkitaan matematiikan opettajille järjestettyä LUMA-keskuksen GeoGebra opetuksessa -verkkokoulutusta. Tutkimuksen teoriaosuudessa tarkastellaan GeoGebran käyttöä matematiikan opetuksessa, matematiikan opettajankoulutusta ja verkkokoulutusta sekä sen relevanssia. Tutkimuksen kohteena oli GeoGebra opetuksessa -verkkokoulutuksen suorittaneet opiskelijat (N=30). Opiskelijat olivat lukion, yläkoulun ja alakoulun opettajia sekä aineenopettajaopiskelijoita. Koulutus järjestettiin syksyllä 2018. Tutkimuksen tavoitteena oli selvittää, kuinka merkityksellinen koulutus oli opiskelijoille Stuckey et al. (2013) luoman relevanssiteorian mukaisilla relevanssin eri tasoilla. Tutkimuksessa tarkasteltiin myös sukupuolen vaikutusta opiskelijoiden näkemyksiin. Lisäksi tutkittiin mitä odotuksia opiskelijoilla oli koulutuksesta ja vastasitko koulutus niitä. Tutkimusmenetelmänä käytettiin kyselylomaketutkimusta. Kyselylomakkeen strukturoidut kysymykset analysoitiin sekä laadullisena että määrällisenä aineistona ja avoimet kysymykset analysoitiin sisällönanalyysin avulla. Tutkimuksen luotettavuutta tarkasteltiin realibiliteetin ja validiteetin avulla. Tutkimustulokset osoittavat, että GeoGebra opetuksessa -verkkokoulutus oli opiskelijoiden näkökulmasta relevanttia henkilökohtaisen ja ammatillisen relevanssin tasoilla yhteiskunnallisen tason jäädessä vähemmälle. Koulutuksen todettiin vastaavan vahvasti opiskelijoiden odotuksia koulutukselta. Opiskelijat kokivat koulutuksen erittäin hyödyllisenä oman työn kannalta. Tämä tutkimus antaa tietoa matematiikan opettajien verkkokoulutuksesta. Tutkimuksen tuloksia voidaan hyödyntää erityisesti GeoGebra opetuksessa -koulutuksen kehittämisessä ja jatkotutkimuksessa.

Tässä tutkielmassa käsitellään hiloja ja niiden sovelluskohteita eri matematiikan osa-alueilla. Työn ensimmäisessä puolikkaassa esitellään hilat käsitteenä ja todistetaan hiloihin liittyvät kaikkein keskeisimmät tulokset. Kappaleessa 2 esitellään useita hilojen helposti todistettavia ominaisuuksia. Tällaisia ominaisuuksia ovat esimerkiksi hilan perussuunnikkaan koon riippumattomuus kannan valinnasta sekä Minkowskin ensimmäinen lause. Kappaleessa 3 esitellään ja todistetaan Minkowskin toinen lause. Lisäksi esitellään kaikki se teoria, joka täytyy tuntea todistuksen ymmärtämiseksi ja jota ei voi olettaa yleissivistykseksi. Tällainen on esimerkiksi Jordan-sisällön käsite. Työn jälkimmäisessä puolikkaassa esitellään, miten hilat ja niihin liittyvä teoria yhdistyy moniin sellaisiin aiheisiin, joiden yhteys hiloihin ei ole aivan ilmeinen. Kappaleessa 4 esitellään Gaussin kokonaisluvut ja niihin liittyvä ympyräongelma. Ympyräongelmalle johdetaan muutama kohtalaisen alkeellinen tulos. Kappaleessa 6 esitellään ympyräpakkausongelmat ja ympyräongelmien tunnetut ratkaisut. Kaikki tunnetut ratkaisut ovat hilapakkauksia. Kappaleessa 7 esitellään, miten hiloihin liittyvä teoria sidostuu tietojenkäsittelytieteeseen. Esitellään virheenkorjausalgoritmien ja optimaalisten hilapakkausten välistä suhdetta. Esitellään myös lyhimmän ja lähimmän hilapisteen ongelmat ja todistetaan ongelmille muutama alkeellinen tulos. Aivan työn lopuksi, yhteenvetokappaleessa 8, pohditaan mitä yhtymäkohtia hilateorialla on yläasteen ja lukion matematiikan oppimääriin ja miten hilateoriaa voisi hyödyntää näiden oppilaitosten matematiikan opetuksessa.