Browsing by discipline "Matematik"

The finite simple groups started attracting the interest of the mathematicians in the nineteenth century, especially once the concept of normal subgroups was introduced by Galois in 1832; di erentiation between the simple and compound groups by Camille Jordan in 1870; and the theorems on subgroups of prime power order published by Ludwig Sylow in 1872. This was given in a historical form as a means of introduction. This thesis also focuses on the Sylow's theorem and their wide range of use in classifying nite groups in algebra. Groups of order 1-15 were classi ed using the Sylow's theorems in addition to other established results in algebra. The uniqueness and existence of such groups were also proved to the best of the writer's ability.

In this thesis we extend topological model of planar robotic hands emerging in the field of topological robotics. This research elaborates further recent works of Robert Ghrist and others. The main purpose of this thesis is to classify configuration spaces in terms of topological and algebraic invariants, which among others provides complexity estimates for potential optimization algorithms. The thesis is split into two parts. In the first part we investigate a robotic system consisting of a single hand which can occupy any position as long as it doesn't self-intersect. Using a new innovative representation of positions we are able to treat two basic movements of the robotic arm: the 'claw' and the 'swap' movements separately. The main appliance of this part is the nerve theorem, which helps to establish that under some restrictions the configuration space of such robotic hand has the homotopy type of S^1. In the second part we investigate systems consisting of multiple hands. This time we are dealing with hands limited to length one whose positions satisfy the two conditions: each pairwise hand trace intersection is contractible and the hand intersection graph is a forest. As the local main result we prove that the fundamental group of such robotic system is isomorphic to the Artin right-angeled group, where the set of generators is in bijection with the set of all hands and relations are determined by the intersection graph. The main tool exploited in this chapter is the Seifert-van Kampen theorem. Although the results are proven only for some special cases, the thesis introduces methodology that can drive their generalization further. In the final chapter we give a few sophisticated research directions.

Data-assimilaatio on tekniikka, jossa havaintoja yhdistetään dynaamisiin numeerisiin malleihin tarkoituksena tuottaa optimaalista esitystä esimerkiksi ilmankehän muuttuvasta tilasta. Data-assimilaatiota käytetään muun muassa operaativisessa sään ennustamisessa. Tässä työssä esitellään eri data-assimilaatiomenetelmiä, jotka jakautuvat pääpiirteittäin Kalmanin suotimiin ja variaatioanaalisiin menetelmiin. Lisäksi esitellään erilaisia data-assimilaatiossa tarvittavia apuvälineitä kuten optimointimenetelmiä. Eri data-assimilaatiomenetelmien toimintaa havainnollistetaan esimerkkien avulla. Tässä työssä data-assimilaatiota sovelletaan muun muassa Lorenz95-malliin. Käytännön data-assimilaatio-ongelmana on GOMOS-instrumentista saatavan otsonin assimiloiminen käyttäen hyväksi ROSE-kemiakuljetusmallia.

Työssä esitellään ääretönharmonisten funktioiden ominaisuuksia. Ääretönharmoniset funktiot ovat äärettömän Laplacen yhtälön viskositeettiratkaisuja. Työn päämääränä on todistaa, että ääretönharmoniset funktiot ovat derivoituvia. Aluksi tutustutaan viskositeettiratkaisun määritelmään. Sen jälkeen esitellään vertailuperiaate kartiofunktioiden suhteen, ja osoitetaan, että ääretönharmoniset funktiot noudattavat kyseistä vertailuperiaatetta. Tällä ominaisuudella on useita hyödyllisiä seurauksia, jotka johdetaan kappaleessa 3. Erityisesti voidaan osoittaa, että funktiot, jotka noudattavat vertailuperiaatetta kartiofunktioiden suhteen ovat lokaalisti Lipschitz-jatkuvia. Kappaleessa 4 tutkitaan muokattua versiota äärettömästä Laplacen yhtälöstä. Muokatun version etuna on se, että ratkaisujen olemassaolo, yksikäsitteisyys ja säännöllisyys seuraavat standardista kvasilineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriasta. Kappaleessa 5 todistetaan, että ääretönharmoniset funktiot ovat derivoituvia. Sitä varten osoitetaan ensin, että ääretönharmoniselle funktiolle löydetään tangenttitaso jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. Tangenttitason olemassaolo seuraa pitkälti kappaleessa 3 johdetuista tuloksista. Lopuksi todistetaan, että ääretönharmonisen funktion tangenttitaso on yksikäsitteinen. Derivoituvuus seuraa suoraan tangenttitason yksikäsitteisyydestä. Kappaleen 4 tulokset muokatun version ratkaisusta ovat keskeisiä työkaluja todistettaessa tangenttitason yksikäsitteisyyttä.

Elliptisillä osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on tärkeä rooli eri ilmiöiden mallinnuksessa. Klassisesti ajatellen ilmiötä mallintavan differentiaaliyhtälön ratkaisun on vaadittu olevan klassisesti derivoituva. Tästä vaatimuksesta voidaan kuitenkin luopua. Ratkaisun kasite yleistetään Lp-avaruuksien, tarkemmin Sobolev-avaruuksien, teorioiden avulla. Yleistetylle ratkaisulle käytetään nimitystä heikko ratkaisu. Luvussa 1 käsitellään Sobolev-avaruudet, jotka tarjoavat pohjan heikkojen ratkaisujen käsitteelle. Painopiste Sobolev-avaruuksien teoriassa on upotuslauseissa, joilla osoitetaan elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön määrittävän operaattorin spektri diskreetiksi. Lisäksi upotuslauseita voi käyttää osoittamaan heikon ratkaisun klassinen derivoituvuus tietyissä tapauksissa. Luvussa 2 esitellään miten elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisun käsite saadaan yleistettyä. Sen jälkeen osoitetaan Hilbert-avaruuksien teorian avulla, että heikkoja ratkaisuja on olemassa. Lopuksi tutkitaan heikkojen ratkaisujen säännöllisyyttä ja klassista derivoituvuutta riippuen annetun osttaisdifferentiaaliyhtälöprobleeman alkuasetelmista.

Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee Eukleideen algoritmia ja joitakin sen sovelluksista ja yleistyksistä. Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko (n. 300 eaa), joka kirjoitti muun muassa teoksen Alkeet. Alkeet on erityisesti geometrian kokonaisteos, mutta se sisältää myös jonkin verran lukuteoriaa, muun muassa Eukleideen algoritmin. Tämä algoritmi on yksi vanhimmista algoritmeista, jotka ovat yleisessä käytössä. Tutkielmassa esitellään Eukleideen algoritmi, jonka avulla voidaan selvittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä ja Diofantoksen yhtälöt, jotka ovat kokonaislukukertoimisia kahden tai useamman muuttujan polynomiyhtälöitä. Tutkielman lopussa esitellään muutamia Eukleideen algoritmin sovelluksia ja algoritmin yleistyksiä muille kuin kokonaisluvuille.

Detta arbete är min Pro Gradu avhandling inom matematik och avhandlingen är gjord som en litteraturstudie. I denna avhandling presenteras den Euklidiska geometrin genom att introducera Euklides fem postulat. Det femte postulatet, parallellpostulatet, behandlas närmare eftersom det länge var kontroversiellt och dess relation till de övriga postulaten var oklar. I denna avhandling behandlas även bristerna i de Euklidiska postulaten på grund av att Euklides har baserat en del av sina bevis endast på gurer samt gjort antaganden som ej explicit bevisats. Det mest kända systemet för den Euklidiska geometrin där alla axiom är explicit formulerade är formulerad av David Hilbert. Hilbert formulerade 16 stycken axiom som indelas i fem grupper: incidensaxiomen, ordningsaxiomen, kontinuitetsaxiomen, kongruensaxiomen och parallellaxiomet. Denna avhandling bygger upp och presenterar den Hyperboliska geometrin genom att presentera några av matematikerna som arbetade med att ställa upp den Hyperboliska geometrin. Detta gjorde de genom att anta att de fyra första postulaten av Euklides gäller. Dessutom presenteras det Hyperboliska axiomet som är negationen av Euklides parallellpostulat och samtidigt det femte antagandet för den Hyperboliska geometrin. I avhandlingen tas det även upp tre stycken olika modeller för den Hyperboliska geometrin. Modellerna som tas upp är: Kleins modell samt Poincarés halvplansmodell och cirkelmodell. Till sist i avhandlingen bevisas det att den sistnämnda modellen är konsistent genom att använda oss av metoden med inversioner i cirklar. Med hjälp av denna metod kan det bevisas att de sex kongruensaxiomen som gäller för den Euklidiska geometrin också gäller för Poincarés cirkelmodell. Avhandlingen avslutas med en diskussion om vad konsistensen av modellen betyder.

We study growth estimates for the Riemann zeta function on the critical strip and their implications to the distribution of prime numbers. In particular, we use the growth estimates to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which gives an upper bound for the difference between consecutive prime numbers. We also investigate the distribution of prime pairs, in connection which we offer original ideas. The Riemann zeta function is defined as ζ(s) := \sum_{n =1}^{∞} n^{-s} in the half-plane Re s > 1. We extend it to a meromorphic function on the whole plane with a simple pole at s=1, and show that it satisfies the functional equation. We discuss two methods, van der Corput's and Vinogradov's, to give upper bounds for the growth of the zeta function on the critical strip 0 ≤ Re s ≤ 1. Both of these are based on the observation that ζ(s) is well approximated on the critical strip by a finite exponential sum \sum_{n =1}^{T} n^{-s} = \sum_{n =1}^{T} exp\{ -s log n \}. Van der Corput's method uses the Poisson summation formula to transform this sum into a sum of integrals, which can be easily estimated. This yields the estimate ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{\frac{1}{6}} log t), as t → ∞. Vinogradov's method transforms the problem of estimating an exponential sum into a combinatorial problem. It is needed to give a strong bound for the growth of the zeta function near the vertical line Re s = 1. We use complex analysis to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which states that if ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{c}) for some constant c > 0, then for any θ > \frac{1+4c}{2+4c}, and for any function x^{θ} << h(x) << x, we have ψ (x+h) - ψ (x) ∼ h, as x → ∞. The proof of this relies heavily on the growth estimate obtained by the Vinogradov's method. Here ψ(x) := \sum_{n ≤ x} Λ (n) = \sum_{p^k ≤ x} log p is the summatory function of the von Mangoldt's function. From this we obtain by using van der Corput's estimate that the difference between consecutive primes satisfies p_{n+1} - p_{n} < p_{n}^{\frac{5}{8} + \epsilon} for all large enough n, and for any \epsilon > 0. Finally, we study prime pairs, and the Hardy-Littlewood Conjecture on their distribution. More precisely, let π _{2k}(x) stand for the number of prime numbers p ≤ x such that p+2k is also a prime. The following ideas are all original contributions of this thesis: We show that the average of π _{2k}(x) over 2k ≤ x^{θ} is exactly what is expected by the Hardy-Littlewood Conjecture. Here we can choose θ > \frac{1+4c}{2+4c} as above. We also give a lower bound of π _{2k}(x) for the averages over much smaller intervals 2k ≤ E log x, and give interpretations of our results using the concept of equidistribution. In addition, we study prime pairs by using the discrete Fourier transform. We express the function π _{2k}(n) as an exponential sum, and extract from this sum the term predicted by the Hardy-Littlewood Conjecture. This is interpreted as a discrete analog of the method of major and minor arcs, which is often used to tackle problems of additive number theory.

Tutkielmassa esitellään fregeläisen logiikan yleistys ja todistetaan yhdenmukaisia malleja koskevia tuloksia. Kun fregeläisessä logiikassa lauseiden referenssien joukossa on tasan kaksi alkiota - tosi ja epätosi - fregeläisen logiikan yleistyksessä kyseisen joukon mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa. Referenssejä kutsutaan tilanteiksi, ja lisäksi oletetaan, että tilanteita on vähintään kaksi. Tuloksena on logiikka, joka on loogisesti kaksiarvoinen mutta ontologisesti ei. Yhdenmukainen malli tekee syntaktisesta ja semanttisesta seurauskuvauksesta samat. Aluksi osoitetaan, että eräällä syntaktisella seurauskuvauksella on yhdenmukainen malli. Tämän jälkeen todistetaan, että kyseinen malli on ylinumeroituva. Viimeiseksi näytetään, että sellaisia syntaktisia seurauskuvauksia, joilla on yhdenmukainen malli, on ylinumeroituvasti.

This thesis covers the factorization properties of number fields, and presents the structures necessary for understanding a proof on Iwasawa's theorem. The first three chapters aim to construct a ring of integers for arbitrary number fields, and prove that such a ring exists. We prove that our ring of integers is a Dedekind ring, giving us unique factorization on the set of prime ideals. We prove that there exists an isomorphism between principal and factorial divisors and ideals, define an equivalence relation on the set of all divisors, and show that the equivalence classes form the ideal class group. The class number of a field is defined as the order of the ideal class group. We define ramification of primes, and the invariants related to a prime P called the ramification index, inertia degree and decomposition number. We expand on the Galois theory of finite extensions, by introducing a topology on an infinite algebraic Galois extension, and a Galois correspondence between closed subgroups and intermediate fields. We show how to define the decomposition- and inertia group in the infinite case. The maximal unramified field extension, the Hilbert class field, whose Galois group is isomorphic to the ideal class group, is introduced. We introduce a p-adic metric on the ring of integers with the help of valuations, and construct the p-adic integers as a completion with regards to the metric. We prove some structure results for this ring. The lambda-modules are constructed as a limit of modules over group rings, where the group rings are generated by the p-adic integers, and a suitable multiplicative cyclic group. The final result is a proof of Iwasawa’s theorem as found in Washington, Introduction to Cyclotomic fields. We view the Galois group of the p-adic extension as a lambda-module, and from the structure theorems of lambda-modules, we prove results that carry on to the galois groups of the intermediate fields, culminating in a formula for the exact power of p, that divides the class number of the n-th intermediate field.