Browsing by master's degree program "Matematiikan ja tilastotieteen maisteriohjelma"

The focus of this work is to efficiently sample from a given target distribution using Monte Carlo Makov Chain (MCMC). This work presents No-U-Turn Sampler Lagrangian Monte Carlo with the Monge metric. It is an efficient MCMC sampler, with adaptive metric, fast computations and with no need to hand-tune the hyperparameters of the algorithm, since the parameters are automatically adapted by extending the No-U-Turn Sampler (NUTS) to Lagrangian Monte Carlo (LMC). This work begins by giving an introduction of differential geometry concepts. The Monge metric is then constructed step by step, carefully derived from the theory of differential geometry giving a formulation that is not restricted to LMC, instead, it is applicable to any problem where a Riemannian metric of the target function comes into play. The main idea of the metric is that it naturally encodes the geometric properties given by the manifold constructed from the graph of the function when embedded in higher dimensional Euclidean space. Hamiltonian Monte Carlo (HMC) and LMC are MCMC samplers that work on differential geometry manifolds. We introduce the LMC sampler as an alternative to Hamiltonian Monte Carlo (HMC). HMC assumes that the metric structure of the manifold encoded in the Riemannian metric to stay constant, whereas LMC allows the metric to vary dependent on position, thus, being able to sample from regions of the target distribution which are problematic to HMC. The choice of metric affects the running time of LMC, by including the Monge metric into LMC the algorithm becomes computationally faster. By generalizing the No-U-Turn Sampler to LMC, we build the NUTS-LMC algorithm. The resulting algorithm is able to estimate the hyperparameters automatically. The NUTS algorithm is constructed with a distance based stopping criterion, which can be replaced by another stopping criteria. Additionally, we run LMC-Monge and NUTS-LMC for a series of traditionally challenging target distributions comparing the results with HMC and NUTS-HMC. The main contribution of this work is the extension of NUTS to generalized NUTS, which is applicable to LMC. It is found that LMC with Monge explores regions of target distribution which HMC is unable to. Furthermore, generalized NUTS eliminates the need to choose the hyperparameters. NUTS-LMC makes the sampler ready to use for scientific applications since the only need is to specify a twice differentiable target function, thus, making it user friendly for someone who does not wish to know the theoretical and technical details beneath the sampler.

This thesis provides an analysis of Growth Optimal Portfolio (GOP) in discrete time. Growth Optimal Portfolio is a portfolio optimization method that aims to maximize expected long-term growth. One of the main properties of GOP is that, as time horizon increases, it outperforms all other trading strategies almost surely. Therefore, when compared with the other common methods of portfolio construction, GOP performs well in the long-term but might provide riskier allocations in the short-term. The first half of the thesis considers GOP from a theoretical perspective. Connections to the other concepts (numeraire portfolio, arbitrage freedom) are examined and derivations of optimal properties are given. Several examples where GOP has explicit solutions are provided and sufficiency and necessity conditions for growth optimality are derived. Yet, the main focus of this thesis is on the practical aspects of GOP construction. The iterative algorithm for finding GOP weights in the case of independently log-normally distributed growth rates of underlying assets is proposed. Following that, the algorithm is extended to the case with non-diagonal covariance structure and the case with the presence of a risk-free asset on the market. Finally, it is shown how GOP can be implemented as a trading strategy on the market when underlying assets are modelled by ARMA or VAR models. The simulations with assets from the real market are provided for the time period 2014-2019. Overall, a practical step-by-step procedure for constructing GOP strategies with data from the real market is developed. Given the simplicity of the procedure and appealing properties of GOP, it can be used in practice as well as other common models such as Markowitz or Black-Litterman model for constructing portfolios.

Hawkes processes are a special class of inhomogenous Poisson processes used to model events exhibiting interdependencies. Initially introduced in Hawkes [1971], Hawkes processes have since found applications in various fields such as seismology, finance, and criminology. The defining feature of Hawkes processes lies in their ability to capture self-exciting behaviour, where the occurrence of an event increases the risk of experiencing subsequent events. This effect is quantified in their conditional intensity function which takes into account the history of the process in the kernel. This thesis focuses on the modeling of event histories using Hawkes processes. We define both the univariate and multivariate forms of Hawkes processes and discuss the selection of kernels, which determine whether the process is a jump or a non-jump process. In a jump Hawkes process, the conditional intensity spikes at an occurrence of an event and the risk of experiencing new events is the highest immediately after an event. For non-jump processes, the risk increases more gradually and can be more flexible. Additionally, we explore the choice of baseline intensity and the inclusion of covariates in the conditional intensity of the process. For parameter estimation, we derive the log-likelihood functions and discuss goodness of fit methods. We show that by employing the time-rescaling theorem to transform event times, assessing the fit of a Hawkes process reduces to that of an unit rate Poisson process. Finally, we illustrate the application of Hawkes processes by exploring whether an exponential Hawkes process can be used to model occurrences of diabetes-related comorbidities using data from the Diabetes Register of the Finnish Institute for Health and Welfare (THL). Based on our analysis, the process did not adequately describe our data, however, exploring alternative kernel functions and incorporating time-varying baseline intensities hold potential for improving the compatibility.

Vakuutussopimusten tappion arvioiminen on tärkeää vakuutusyhtiön riskienhallinnan kannalta. Tässä työssä esitellään Hattendorffin lause vakuutussopimuksen tappion odotusarvon ja varianssin arvioimiseksi sekä sovelletaan sen tuloksia monitilaisella Markov-prosessilla mallinnettavalle henkivakuutussopimukselle. Hattendorffin lauseen nojalla ekvivalenssiperiaatteen mukaan hinnoitellun vakuutussopimuksen erillisillä aikaväleillä syntyneiden tappioiden odotusarvo on nolla, ja tappiot ovat korreloimattomia, jonka seurauksena tappion varianssi voidaan laskea erillisillä aikaväleillä muodostuneiden tappioiden varianssien summana. Työn soveltavana osana simuloidaan Markov-prosesseja sopivassa monitilaisessa mallissa mallintamaan henkivakuutussopimuksien realisaatioita. Tutkitaan, onko simuloitujen polkujen tuottamien vuosittaisten tappioiden keskiarvo lähellä nollaa, ja onko koko sopimusajan tappioiden varianssin arvo lähellä summaa vuosittaisten tappioiden variansseista. Lisäksi lasketaan simulaation asetelmalle Hattendorffin lauseen avulla teoreettiset vastineet ja verrataan näitä simuloituihin arvoihin. Vakuutussopimus pitää karkeasti sisällään kahdenlaisia maksuja: vakuutusyhtiön maksamat korvausmaksut ja vakuutetun maksamat vakuutusmaksut. Vakuutussopimuksen kassavirta on jollain aikavälillä tapahtuvien vakuutuskorvausten ja -maksujen erotuksen hetkeen nolla diskontattu arvo. Vastuuvelka on määrittelyhetken jälkeen syntyvän, määrittelyhetkeen diskontatun, kassavirran odotusarvo. Vakuutussopimuksen tappio jollain aikavälillä määritellään kyseisen aikavälin kassavirran ja vastuuvelan arvonmuutoksen summana. Kun määritellään stokastinen prosessi, joka laskee tietyllä hetkellä siihen mennessä kumuloituneet kustannukset sekä tulevan vastuuvelan nykyarvon, voidaan tappio ilmaista tämän prosessin arvonmuutoksena. Kyseinen prosessi on neliöintegroituva martingaali, jolloin Hattendorffin lauseen tulokset ovat seurausta neliöintegroituvien martingaalien arvonmuutoksen ominaisuuksista. Hattendorffin lauseen tulokset löydettiin jo 1860-luvulla, mutta martingaaliteorian hyödyntäminen on moderni lähestymistapa ongelmaan. Esittämällä monitilaisella Markov-prosessilla mallinnettavan sopimuksen kustannukset Lebesgue-Stieltjes integraalina, saadaan tappion varianssille laskukelpoiset muodot. Markov-prosessilla mallinnettavilla sopimuksille voidaan johtaa erityistapaus Hattendorffin tuloksesta, missä tappiot voidaan allokoida eri vuosien lisäksi eri tiloihin liittyviksi tappioiksi. Soveltavassa osiossa nähdään, että yksittäisinä sopimusvuosina syntyneiden tappioiden odotusarvot ovat lähellä nollaa, ja otosvarianssien summa lähestyy koko sopimusajan tappion otosvarianssia, mikä on yhtäpitävää Hattendorffin lauseen väitteiden kanssa. Simuloidut otosvarianssit eivät täysin vastaa teoreettisia vastineitaan.

In recent years, there has been a great interest in modelling financial markets using fractional Brownian motions. It has been noted in studies that ordinary diffusion based stochastic volatility models cannot reproduce certain stylized facts that are observed in financial markets, such as the fact that the at the money (ATM) volatility skew tends to infinity at short maturities. Rough stochastic volatility models, where the spot volatility process is driven by a fractional Brownian motion, can reproduce these effects. Although the use of long memory processes in finance has been advocated since the 1970s, it has taken until now for fractional Brownian motion to gain widespread attention. This thesis serves as an introduction to the subject. We begin by presenting the mathematical definition of fractional Brownian motion and its basic mathematical properties. Most importantly, we show that fractional Brownian motion is not a semimartingale, which means that the theory of Itô calculus cannot be applied to stochastic integrals with fractional Brownian motion as integrator. We also present important representations of fractional Brownian motion as moving average process of a Brownian motion. In the subsequent chapter, we show that we can define a Wiener integral with respect to fractional Brownian motion as a Wiener integral with respect to Brownian motion with transformed integrand. We also present divergence type integrals with respect to fractional Brownian motion and an Itô type formula for fractional Brownian motion. In the last chapter, we introduce rough volatility. We derive the so called rough Bergomi model model that can be seen as an extension of the Bergomi stochastic volatility model. We then show that for a general stochastic volatility model, there is an exact analytical expression for the ATM volatility skew, defined as the derivative of the volatility smile slope with respect to strike price evaluated at the money. We then present an expression for the short time limit of the ATM volatility skew under general assumptions which shows that in order to reproduce the observed short time limit of infinity, the volatility must be driven by a fractional process. We conclude the thesis by comparing the rough Bergomi model to SABR- and Heston stochastic volatility models.

Brennanin konjektuuri on matemaattinen hypoteesi, jonka muotoili J. E. Brennan vuonna 1978. Hypoteesissa on tarkoitus arvioida konformikuvauksen derivaatan moduulin integraalin potenssia avoimessa yksikkökiekossa. Brennan onnistui myöhemmin löytämään rajoja tälle potenssille, ja vuonna 1999 Daniel Bertilsson onnistui löytämään väitöskirjassaan lisää rajoja kyseiselle potenssille, mutta päähypoteesi pysyy avoimena. Tässä tutkielmassa esitellään määritelmiä, lauseita ja muita matemaattisia tuloksia, joita hyödyntämällä konjektuurin integraalin potenssille on onnistuttu löytämään rajoja. Johdantokappaleessa esitellään mielenkiinnon kohteena oleva matemaattinen ongelma, ja lisäksi siinä mainitaan muutama matemaattinen käsite, jotka ovat oleellisia tämän tutkielman kannalta. Nämä käsitteet ovat Koeben distortiolause, analyyttinen funktio ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Toisessa kappaleessa käydään läpi taustatietoja, jotka on hyvä tietää tässä tutkielmassa. Ensiksi kyseisessä kappaleessa palautetaan mieleen mikä on kompleksiluku ja kerrotaan niiden kahdesta ilmaisutavasta. Ensimmäinen tapa ilmaista kompleksiluku on ilmaista se luvun reaali- ja imaginaariosan avulla, ja toinen tapa esittää kompleksiluku on käyttämällä moduulia, siniä ja kosinia. Tässä toisessa tavassa käytetään myös kompleksiluvun argumenttia, joka on moduulin ja reaaliakselin välinen kulma. Toisessa kappaleessa esitellään myös kompleksisen differentioituvuuden ja analyyttisen funktion käsitteet, jotka molemmat ovat hyvin tärkeitä kompleksianalyysissa. Kyseisessä kappaleessa mainitaan myös Cauchy-Riemannin yhtälöt, biholomorfinen funktio ja joitain topologisia käsitteitä. Lisäksi myös siinä käydään läpi yksi kompleksiseen differentioituvuuteen ja Cauchy-Riemannin yhtälöihin liittyvä lause. Kappaleen lopussa tutustutaan myös Koebe funktioon ja yhteen lauseeseen, jossa yleistä juurifunktiota ja funktion jatkuvia haaroja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan S- ja Sigma- luokkiin, jotka ovat tutkielmassa käsiteltäviä kuvausluokkia. S-luokan alkiot ovat kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita, niiden arvo pisteessä 0 on 0 ja derivaatan arvo pisteessä 0 on 1. Sigma-luokan alkiot ovat puolestaan kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita sellaisten kompleksilukujen joukossa, joiden moduuli on suurempi kuin 1. Lisäksi tämän luokan funktioiden raja-arvo äärettömyyspisteessä on ääretön, ja derivaatan arvo äärettömyyspisteessä on 1. Sigma-luokan alkiot voidaan myös ilmaista suppenevana sarjana. Kappaleessa 3 käydään myös läpi Alue lause, Bieberbachin lause ja Koebe ¼- lause, ja kappaleen lopussa tutustutaan paremmin esimerkkeihin funktiosta, jotka kuuluvat kuvausluokkaan S. Neljännessä kappaleessa käydään läpi distrotiolauseita, joita ovat hyvin tärkeitä tämän tutkielman kannalta. Lisäksi kappaleessa tutustutaan Kasvulauseeseen, Yhdistettyyn kasvudistortiolauseeseen, Säteittäiseen distortiolauseeseen ja näiden todistuksiin. Viidennessä eli viimeisessä kappaleessa palataan Brennanin konjektuurin määritelmään ja käydään läpi derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Kappaleen lopussa kerrotaan myös Koebe derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri.

Henkivakuutusyhtiöt tarjoavat asiakkailleen monenlaisia tuotteita. Vakuutuksia on erityyppisiä, mutta usein ne ovat liitoksissa vakuutetun elinaikaan. Mainittakoon näistä esimerkiksi kuolemanvara- ja elämänvaravakuutus. Ensimmäisessä korvaus maksetaan mikäli vakuutettu kuolee vakuutusaikana ja toisessa mikäli vakuutettu on elossa ennalta sovittuna ajanhetkenä. Vakuutetun elinaika ei kuitenkaan ole tiedossa sopimusta tehdessä, joten vakuutusyhtiön pitää pystyä estimoimaan vakuutettujen kuolevuutta. Riittävän tarkalla estimoinnilla pyritään estämään tilanne, jossa korvausten määrä ylittää vakuutusyhtiön varat. Kuolevuusennustetta voidaan käyttää muun muassa vakuutusten hinnoitteluun. Estimointi on kuitenkin haastavaa, sillä kuolevuuden kehitykseen tulevaisuudessa vaikuttavat muun muassa mahdolliset lääketieteelliset läpimurrot tai populaation elintapojen muutokset. Kuolevuus ei pysy samana sukupolvesta toiseen, vaan pääsääntöisesti monissa maissa uusi sukupolvi elää edellistä sukupolvea keskimäärin pidempään. Kuolevuutta onkin helpompi ennustaa lyhyellä kuin pitkällä aikavälillä. Tutkielman alussa määrittelemme tämän työn kannalta oleellisia esitietoja, jotka liittyvät sekä elinaikaan ja kuolevuuteen että yleisesti stokastisiin prosesseihin. Erityisen tärkeitä ovat elinajan ja kuolevuusfunktion käsite. Näiden lisäksi martingaali, laskuriprosessi ja kompensaattori ovat tämän työn avainkäsitteitä. Tutustumme määritelmien lisäksi Doob-Meierin hajotelmaan, jonka perusteella alimartingaali voidaan kirjoittaa systemaattisen ja täysin satunnaisen osan summana. Systemaattisesta osasta puhutaan kompensaattorina ja satunnaisen osan muodostaa martingaali. Tutkielman tarkoituksena on johtaa kumulatiivista kuolevuutta estimoiva Nelson-Aalen estimaattori tilanteessa, jossa vakuutettuja on n kappaletta ja vakuutetun mahdollisia eri kuolinsyitä k kappaletta. Oletamme parametrin n arvon olevan suhteellisen suuri ja parametrin k arvon suhteellisen pieni. Johdamme lisäksi estimaattorin odotusarvon sekä varianssin. Havaitaan, että estimaattori on hieman harhainen, mutta kuitenkin asymptoottisesti harhaton. Teemme lisäksi lyhyen sovelluksen R:llä, jonka tarkoituksena on auttaa lukijaa hahmottamaan miltä todellisen otoksen pohjalta laaditut Nelson-Aalen estimaatit voisivat näyttää ja tutkitaan kuinka hyvin ne vastaavat todellisia arvoja. Tutkielman loppupuolella tarkastellaan tilannetta, jossa vakuutettujen määrä kasvaa rajatta ja huomataan, että normalisoitu Nelson-Aalen estimaattori alkaa muistuttaa Gaussista martingaalia. Erityisesti kiinteällä ajanhetkellä estimaattori on asymptoottisesti normaalijakautunut. Todistuksessa käytämme Rebolledon keskeistä raja-arvolausetta martingaaleille. Tulosta käyttämällä olisi mahdollista määrittää luottamusrajat estimoitavalle kumulatiiviselle kuolevuudelle. Lopuksi käymme läpi vaihtoehtoisia tapoja estimoida kuolevuutta.

Säilymislauseina tunnetut tulokset kuvailevat malliteoriassa erilaisia yhteyksiä kaavojen syntaktisen rakenteen ja kaavat toteuttavien mallien semanttisten ominaisuuksien välillä. Esimerkiksi jokainen ensimmäisen kertaluvun logiikan eksistentiaalis-positiivinen kaava säilyy homomorfismien suhteen. Käänteiseen suuntaan jokainen homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan loogisesti yhtäpitävästi esittää myös eksistentiaalis-positiivisessa muodossa. Parannuksena tähän on Benjamin Rossman osoittanut, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan esittää eksistentiaalis-positiivisessa muodossa ilman tarvetta kaavan kvanttoriasteen kasvamiselle. Tässä tutkielmassa Rossmanin menetelmää kehitetään hieman eteenpäin osoittamalla, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismien suhteen säilyvä kaava on mahdollista muuttaa eksistentiaalis-positiiviseen muotoon sellaisella tavalla, että tuloksena olevan kaavan syntaktista rakennetta saadaan rajattua alkuperäisen kaavan rakenteen avulla ja että tuloksena olevan kaavan kvanttoriasteeksi riittää pelkkä alkuperäisen kaavan eksistenssikvanttoreista laskettu kvanttoriaste. Todistuksen työvälineenä esitellään eräs yleistys malliteoriassa perinteisesti käytetyistä ja erilaisten mallirakenteiden vertailuun soveltuvista kahden pelaajan peleistä.

Machine learning is by no means a novel field, but a recent boom in interest has led to a rapid increase in funding for related research. Because of this, many pure-mathematicians may find themselves trying to transition to this currently lucrative area of research. Thus, there is some demand for literature which helps ease this transition for mathematicians with a geometry or topology background. In this thesis we provide an introduction to contemporary machine learning research for a geometrically or topologically inclined individual. We do so by tracing the study of manifolds from their inception to modern machine learning. The thesis begins with a brief history of manifolds to motivate the examination of a proof of the Whitney embedding theorem. The theorem is then proved in detail, following texts from Adachi and Mukherjee on differential geometry. Later, a brief introduction to manifold learning introduces the reader to the manifold hypothesis and connects the classical study with its machine learning counterpart. Then, we provide a canonical introduction to neural networks after which we share rigorous mathematical definitions. Finally, we introduce the necessary preliminaries and subsequently prove the universal approximation theorem with injective neural networks. While we consider the Whitney embedding theorem as having applications in machine learning research, the universal approximation theorem with injective neural networks has clearer uses beyond mathematics. The studies of inverse problems and compressed sensing are two areas for which injectivity is a necessary condition for the well-posedness of common questions. Both fields have many deep applications to scientific and medical imaging. Injectivity is also a prerequisite for a function to preserve the topological properties of its domain.

Tutkielma käsittelee invariantin aliavaruuden ongelmaa. Päälähteenä toimii Isabelle Chalendarin ja Jonathan Partingtonin kirja Modern Approaches to the Invariant-Subspace Problem. Invariantin aliavaruuden ongelmassa kysytään, onko kompleksisessa Banachin avaruudessa X jokaisella jatkuvalla lineaarisella operaattorilla T olemassa suljettu aliavaruus A, joka on invariantti (T(A) ⊂ A) ja ei-triviaali (A 6= {0} ja A 6= X). Invariantin aliavaruuden ongelma on vielä avoin kompleksiselle ääretönulotteiselle separoituvalle Hilbertin avaruudelle. Tutkielma koostuu neljästä luvusta. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi tarvittavia määritelmiä ja teorioita sekä pohjustetaan tulevia kappaleita. Toisessa luvussa määritellään Banachin algebra ja kompaktit operaattorit sekä esitetään Schauderin kiintopistelause ja päätuloksena Lomonosovin lause, jonka korollaarina saadaan, että kompaktilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali invariantti aliavaruus. Lomonosovin lause on esitetty Chalendarin ja Partingtonin kirjan luvussa 6. Kolmannessa luvussa siirrytään Hilbertin avaruuksiin ja tutkitaan normaaleja operaattoreita. Päätuloksena todistetaan, että normaalilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali hyperinvariantti aliavaruus. Tätä varten määritellään spektraalisäteen ja spektraalimitan käsitteet sekä näihin liittyviä tuloksia. Normaalit operaattorit löytyvät Chalendarin ja Partingtonin kirjan luvusta 3. Neljäs luku käsittelee minimaalisia vektoreita. Luvussa esitetään Hahn-Banachin, Eberlein-Smulyan ja Banach-Alaoglun lauseet sekä sovelletaan minimaalisia vektoreita invariantin aliavaruuden ongelmaan. Minimaalisten vektoreiden avulla saadaan esimerkiksi uusi ja erilainen todistus sille, että kompaktilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali invariantti aliavaruus. Chalendarin ja Partingtonin kirja käsittelee minimaalisia vektoreita luvussa 7.