Browsing by Title

Työni aihe on Gaussisten prosessien (Gp) soveltaminen aikasarjojen analysointiin. Erityisesti lähestyn aikasarjojen analysointia verrattain harvinaisen sovellusalan, historiallisten aikasarja-aineistojen analysoinnin näkökulmasta. Bayesilaisuus on tärkeä osa työtä: parametreja itsessään kohdellaan satunnaismuuttujina, mikä vaikuttaa sekä mallinnusongelmien muotoiluun että uusien ennusteiden tekemiseen työssä esitellyillä malleilla. Työni rakentuu paloittain. Ensin esittelen Gp:t yleisellä tasolla, tilastollisen mallinnuksen työkaluna. Gp:eiden keskeinen idea on, että Gp-prosessin äärelliset osajoukot noudattavat multinormaalijakaumaa, ja havaintojen välisiä yhteyksiä mallinnetaan ydinfunktiolla (kernel), joka samaistaa havaintoja niihin liittyvien selittäjien ja parametriensa funktiona. Oikeanlaisen ydinfunktion valinta ja datan suhteen optimoidut parametrit mahdollistavat hyvinkin monimutkaisten ja heikosti ymmärrettyjen ilmiöiden mallintamisen Gp:llä. Esittelen keskeiset tulokset, jotka mahdollistavat sekä GP:n sovittamisen aineistoon että sen käytön ennusteiden tekemiseen ja mallinnetun ilmiön alatrendien erittelyyn. Näiden perusteiden jälkeen siirryn käsittelemään sitä, miten GP-malli formalisoidaan ja sovitetaan, kun lähestymistapa on Bayesilainen. Käsittelen sekä eri sovittamistapojen vahvuuksia ja heikkouksia, että mahdollisuutta liittää Gp osaksi laajempaa tilastollista mallia. Bayesilainen lähestymistapa mahdollistaa mallinnettua ilmiötä koskevan ennakkotiedon syöttämisen osaksi mallin formalismia parametrien priorijakaumien muodossa. Lisäksi se tarjoaa systemaattisen, todennäköisyyksiin perustuvan tavan puhua sekä ennakko-oletuksista että datan jälkeisistä parametreihin ja mallinnetun ilmiön tuleviin arvoihin liittyvistä uskomuksista. Seuraava luku käsittelee aikasarjoihin erityisesti liittyviä Gp-mallintamisen tekniikoita. Erityisesti käsittelen kolmea erilaista mallinnustilannetta: ajassa tapahtuvan Gp:n muutoksen, useammasta eri alaprosessista koostuvan Gp:n ja useamman keskenään korreloivan Gp:n mallintamista. Tämän käsittelyn jälkeen työn teoreettinen osuus on valmis: aikasarjojen konkreettinen analysointi työssä esitellyillä työkaluilla on mahdollista. Viimeinen luku käsittelee historiallisten ilmiöiden mallintamista aiemmissa luvuissa esitellyillä tekniikoilla. Luvun tarkoitus on ensisijaisesti esitellä lyhyesti useampi potentiaalinen sovelluskohde, joita on yhteensä kolme. Ensimmäinen luvussa käsitelty mahdollisuus on usein vain repalaisesti havaintoja sisältävien historiallisten aikasarja-aineistojen täydentäminen GP-malleista saatavilla ennusteilla. Käytännön tulokset korostivat tarvetta vahvoille prioreille, sillä historialliset aikasarjat ovat usein niin harvoja, että mallit ovat valmiita hylkäämän havaintojen merkityksen ennustamisessa. Toinen esimerkki käsittelee historiallisia muutoskohtia, esimerkkitapaus on Englannin sisällissodan aikana äkillisesti räjähtävä painotuotteiden määrä 1640-luvun alussa. Sovitettu malli onnistuu päättelemään sisällissodan alkamisen ajankohdan. Viimeisessä esimerkissä mallinnan painotuotteiden määrää per henkilö varhaismodernissa Englannissa, käyttäen ajan sijaan selittäjinä muita ajassa kehittyviä muuttujia (esim. urbanisaation aste), jotka tulkitaan alaprosesseiksi. Tämänkin esimerkin tekninen toteutus onnistui, mikä kannustaa sekä tilastollisesti että historiallisesti kattavampaan analyysiin. Kokonaisuutena työni sekä esittelee että demonstroi Gp-lähestymistavan mahdollisuuksia aikasarjojen analysoinnissa. Erityisesti viimeinen luku kannustaa jatkokehitykseen historiallisten ilmiöiden mallintamisen uudella sovellusalalla.

In this thesis we study how to implement the one-dimensional fast Fourier transform (FFT) as a computer program in such a way that it works fast on inputs of all sizes. First we walk through the mathematical theory behind the continuous and the discrete Fourier transform (DFT), and study the motivation behind them. We explore both the one-dimensional and the multi-dimensional versions of the DFT. We also study the discrete cosine transform (DCT) and explore its differences to the Fourier transform. After that, we explore various known methods for implementing the fast Fourier transform. We focus especially on the Cooley-Tukey algorithm and its different forms in enough detail, that one can understand both how it works and how it was conceived. We also explore Rader’s and Bluestein’s FFT algorithms. After the theory we implement the DFT and the FFTs using the C++ programming language. We also devise and implement a combined algorithm, which seeks to provide the fastest possible transformation by choosing the optimal combination of algorithms in each case. We use C++20, which is the most recent standard version of C++ at the time of writing. We analyze the speed of the implemented methods, comparing them against each others and also compared to a famous FFT library, FFTW. In addition, we analyze the numeric accuracy of the implementations. Then we analyze the accuracy and applicability of the analysis methods and study the shortcomings and possible approaches for improving the implementations. We also present a simple example application of FFT, where the program attempts to identify the vowel sounds present in a voice sample. The purpose of this thesis is to offer the reader a clear example implementation of all the presented transforms and to thoroughly explore their limitations, weaknesses and strengths. For best value, the reader is expected to understand the basics of calculus and the basics of complex numbers. Especially the sum notation, ∑, and Euler’s formula are vital for understanding the mathematical theory. The computer source code is designed in such way that the reader does not need to know the details of the C++20 standard, or indeed even the C++ language, but experience in C programming will help.

Normalisoitu kompressioetäisyys NCD on mitta kahden dataobjektin välisen keskinäisen etäisyyden laskemiseen. Etäisyysmitta kuvaa sitä, kuinka paljon kahdessa vertailtavassa dataobjektissa on samankaltaisuutta. NCD on normalisoidun informaatioetäisyyden NID:n approksimointi. NID perustuu dataobjektien Kolmogorov-kompleksisuuteen. Dataobjektit kuvataan bittijonoina ja niissä on sitä enemmän samankaltaisuutta, mitä enemmän ne sisältävät keskinäisinformaatiota. NID on universaali siinä mielessä, että se poikkeaa korkeintaan vakiotermin verran optimaalisesta menetelmästä. Vakiotermi ei puolestaan riipu lainkaan vertailtavista dataobjekteista. NCD approksimoi NID:tä reaalimaailman tiivistäjillä, minkä vuoksi se on vain näennäisuniversaali, mutta siitä huolimatta käyttökelpoinen. NCD:n nojalla muodostetaan datasta etäisyysmatriisi, jonka avulla alkiot voidaan ryvästää ja havainnollistaa erityisen kvartettimenetelmän avulla puurakenteeseen. Menetelmää on sovellettu lupaavasti monella alalla. Tutkielma käy läpi menetelmän taustalla olevan teorian ja esittelee sen sovelluskohteita sekä paneutuu erityisesti stemmatologiseen Heinrichi-aineistoon, jota testataan CompLearn-ilmaisohjelmalla, joka tuottaa etäisyysmatriisin sekä muodostaa puurakenteen kvartettimenetelmällä.

Ability to deduce three-dimensional structure of a protein from its one-dimensional amino acid chain is a long-standing challenge in structural biology. Accurate structure prediction has enormous application potential in e.g. drug development and design of novel enzymes. In past this problem has been studied experimentally (X-ray crystallography, nuclear magnetic resonance imaging) and computationally by simulating molecular dynamics of protein folding. However, the latter requires enormous computing resources and the former is expensive and time-consuming. Direct contact analysis (DCA) is an inference method relying on direct correlations measured from multiple sequence alignments (MSA) of protein families to predict contacts between amino acids in the three-dimensional structure of a protein. It solves the 21-state inverse Potts problem of statistical physics, i.e. given the correlations, what are the interactions between the amino acids of a protein. The current state of the art in the DCA approach is the plmDCA-algorithm relying on pseudolikelihood maximization. In this study the performance of the parallelised asymmetric plmDCA-algorithm is tested on a diverse set of more than 100 protein families. It is seen that generally for MSA's with more than approximately 2000 sequences plmDCA is able to predict more than half of the 100 top-scoring contacts correctly with the prediction accuracy increasing almost linearly as a function of the number of sequences. Parallelisation of plmDCA is also observed to make the algorithm tens of times (depending on the number of CPU cores used) faster than the previously described serial plmDCA. Extensions to Potts model taking into account the differences in distributions of gaps and amino acids in MSA's are investigated. An extension incorporating the position-dependant frequencies of gaps of length one to Potts model is found to increase the prediction accuracy for short sequences. Further and more extensive studies are however needed to discover the full potential of this approach.

The nature of dense matter is one of the greatest mysteries in high energy physics. For example, we do not know how QCD matter behaves in neutron star densities as there the matter is strongly coupled. Thus auxiliary methods have to be applied. One of these methods is the AdS/CFT-correspondence. This maps the strongly coupled field theory to weakly coupled gravity theory. The most well known example of this correspondence is the duality between N = 4 Super Yang-Mills and type IIB supergravity in AdS 5 × S 5 . This duality at finite temperature and chemical potential is the one we invoke in our study. It has been hypothesized that the dense matter would be in a color superconducting phase, where pairs of quarks form a condensate. This has natural interpretation in the gravity theory. The AdS 5 × S 5 geometry is sourced by stack of N coincident D3-branes. This N corresponds to the gauge group SU (N ) of N = 4 SYM. Then to study spontaneous breaking of this gauge group, one studies systems where D3-branes have separated from the stack. In this work we present two methods of studying the possibility of separating these branes from the stack. First we present an effective potential for a probe brane, which covers the dynamics of a single D3-brane in the bulk. We do this by using the action principle. Then we construct an effective potential for a shell constructed from multiple branes. We do this by using the Israel junction conditions. Single brane in the bulk corresponds to SU (N ) → SU (N − 1) × U (1) symmetry breaking and a shell of k-branes corresponds to SU (N ) → SU (N − k) × U (1) k symmetry breaking. Similar spontaneous breaking of the gauge group happens in QCD when we transition to a CSC-phase and hence these phases are called color superconducting. We find that for sufficiently high chemical potential the system is susceptible to single brane nucleation. The phase with higher breaking of the gauge group, which corresponds to having shell made out of branes in the bulk, is metastable. This implies that we were able to construct CSC-phases of N = 4 SYM, however, the exact details of the phase diagram structure is left for future research.

Ring opening polymerization and click reaction was used to synthesize thermo-responsive glyco-block copolymers consisting of a polyether block with pendant α-D-mannose groups and random copolymer blocks of poly(glycidyl methyl ether)-poly(epoxyhexane). The thermo-responsive block was synthesized as a random copolymer to decrease the phase transition temperature to usable region. Temperature-responsiveness would enable the polymers to switch between dissolved and aggregated states. Such glycopolymers would be interesting candidates for studying carbohydrate-lectin interactions and drug delivery properties. The synthesized polymers were analyzed using nuclear magnetic resonance and Fourier-transform infrared spectroscopy, turbidimetry and differential scanning calorimetry. Both glycopolymers and thermo-responsive copolymers were synthesized. The latter showed good control over the polymerization, leading to clickable azide functionality and desired ratios of monomers in the copolymers. Altering the ratios of glycidyl methyl ether and epoxyhexane in the feed led to variations in the cloud points and glass transition temperatures of the copolymers. The synthesis of glycopolymers proved difficult and could not be initiated using clickable propargyl alcohol. Also, no effective way to purify the glycopolymers initiated using bezyl alcohol was found. Combination of the glycopolymers and thermo-responsive copolymers was attempted using click reaction. A triazole signal was detected using nuclear magnetic resonance spectroscopy suggesting the reaction was successful. However, further studies are required to confirm this.

We apply the modern effective field theory framework to study the nucleation rate in high-temperature first-order phase transitions. With this framework, an effective description for the critical bubble can be constructed, and the exponentially large contributions to the nucleation rate can then be computed from the effective description. The results can be used to make more accurate predictions relating to cosmological first-order phase transitions, for example, the gravitational wave spectrum from a transition, which is important for the planned experiment LISA. We start by reviewing a nucleation rate calculation for a classical scalar field to understand, how the critical bubble arises, via a saddle-point approximation, as the central object of the nucleation rate calculation. We then focus on the statistical part of the nucleation rate coming from the Boltzmann suppression of nucleating bubbles. This is done by the creation of an effective field theory from a thermal field theory that can describe the critical bubble. We give an example calculation with the renormalizable model of two $\mathbb{Z}_2$-symmetric scalar fields. The critical bubbles of the model and their Boltzmann suppression are studied numerically, for which we further develop a recently proposed method.

Tässä työssä esitellään ja todistetaan nullstellensatz, eli Hilbertin nollajoukkolause. Todistuksessa oletetaan tunnetuksi kurssin 'Algebra I' asiat. Nullstellensatz on algebran peruslauseen moniulotteinen yleistys. Se antaa Hilbertin vastaavuudeksi kutsutun bijektiivisen vastaavuuden varistojen ja radikaalien ideaalien välille. Monet algebrallisen geometrian keskeiset tulokset perustuvat nullstellensatziin. Ennen nullstellensatzin todistamista, tässä työssä esitellään hieman ideaaleihin ja varistoihin liittyvää teoriaa. Lisäksi tässä työssä todistetaan Noetherin renkaisiin ja moduleihin liittyviä lauseita, joita tarvitaan nullstellensatzin todistamiseen. Lopussa todistetaan vielä nullstellensatzin seurauslauseita.

The module of a quadrilateral is a positive real number which divides quadrilaterals into conformal equivalence classes. This is an introductory text to the module of a quadrilateral with some historical background and some numerical aspects. This work discusses the following topics: 1. Preliminaries 2. The module of a quadrilateral 3. The Schwarz-Christoffel Mapping 4. Symmetry properties of the module 5. Computational results 6. Other numerical methods Appendices include: Numerical evaluation of the elliptic integrals of the first kind. Matlab programs and scripts and possible topics for future research. Numerical results section covers additive quadrilaterals and the module of a quadrilateral under the movement of one of its vertex.

Logaritmisk kapacitet är viktigt inom flera områden av tillämpad matematik och kan ha olika benämningar beroende på forskningsområdet. T.ex. inom talteorin kallas den logaritmiska kapaciteten för transfinit diameter och inom approximering av polynom är den känd som Chebyshevs konstant. Inom potentialteorin definieras den logaritmiska kapaciteten som måttet på storleken av en kompakt mängd i C. Men trots att den logaritmiska kapaciteten är så viktig inom många forskningsområden, så är den ytterst svår att beräkna. Tack vare dess samband till Greens funktioner går det att beräkna den logaritmiska kapaciteten analytiskt för vissa enklare mängder, såsom ellipser och kvadrater, men när det gäller mer komplicerade mängder så kan man endast uppskatta övre och nedre gränser. På grund av detta har det utvecklats flera numeriska metoder för detta syfte. I början av denna avhandling kommer vi att presentera nödvändig bakgrundsinformation för definiering och beräkning av logaritmisk kapacitet. I kapitel 4 presenterar vi definitionen av logaritmisk kapacitet och dess samband till Greens funktioner, samt hur man genom detta samband kan beräkna den logaritmiska kapaciteten analytiskt. Här presenterar vi även några gränser för den logaritmiska kapaciteten, samt definitionen för transfinit diameter och dess samband till den logaritmiska kapaciteten. I kapitel 5 kommer vi att presentera fyra olika numeriska metoder för approximering av logaritmisk kapacitet: Dijkstra-Hochstenbachs metod, Rostands metod, Ransford-Rostands metod, samt hur man kan använda Schwarz-Christoffel avbildningar för beräkning av logaritmisk kapacitet. Vi tillämpar även Rostands metod som ett MATLAB-program.