Browsing by department "Matematiikan ja tilastotieteen laitos"
Now showing items 41-60 of 519
-
(2018)Tässä työssä tutustumme adaptiiviseen optiikkaan ja ilmakehätomografiaan liittyviin matemaattisiin ongelmiin. Adaptiivinen optiikka on menetelmä, joka pyrkii vähentämään ilmakehän turbulenssista aiheutuvia valon vaiheen vääristymiä ja näin parantamaan suurten optisten teleskooppien suorituskykyä. Adaptiivinen optiikka on tieteenala, joka yhdistää matematiikkaa, fysiikkaa ja insinööritieteitä. Ilmakehätomografialla taas tarkoitamme tiettyä matemaattista kuvantamisongelmaa, joka esiintyy seuraavan sukupolven teleskooppien adaptiivista optiikkaa käyttävissä systeemeissä. Tässä työssä esittelemme tavan mallintaa ilmakehätomografiaa matemaattisesti. Käsittelemme ilmakehän turbulenssia satunnaisfunktioiden avulla sekä esittelemme algoritmin, joka kattaa ilmakehätomografian sekä optisen systeemin kontrolloinnin. Lisäksi tutkimme tämän algoritmin toimintaa yhdessä alan tarkimmista simulointiympäristöistä. Erityisesti testasimme algoritmin vakautta olosuhteissa, joissa kohinataso datassa on korkea. Tutkimustulokset osoittavat, että työssä johdetut regularisointia käyttävät ratkaisumenetelmät parantavat systeemin suorituskykyä verrattuna yksinkertaisempaan ei-regularisoituun menetelmään.
-
(2016)This study is part of the TEKES funded Electric Brain -project of VTT and University of Helsinki where the goal is to develop novel techniques for automatic big data analysis. In this study we focus on studying potential methods for automated land cover type classification from time series satellite data. Developing techniques to identify different environments would be beneficial in monitoring the effects of natural phenomena, forest fires, development of urbanization or climate change. We tackle the arising classification problem with two approaches; with supervised and unsupervised machine learning methods. From the former category we use a technique called support vector machine (SVM), while from the latter we consider Gaussian mixture model clustering technique and its simpler variant, k-means. We introduce the techniques used in the study in chapter 1 as well as give motivation for the work. The detailed discussion of the data available for this study and the methods used for analysis is presented in chapter 2. In that chapter we also present the simulated data that is created to be a proof of concept for the methods. The obtained results for both the simulated data and the satellite data are presented in chapter 3 and discussed in chapter 4, along with the considerations for possible future works. The obtained results suggest that the support vector machines could be suitable for the task of automated land cover type identification. While clustering methods were not as successful, we were able to obtain as high as 93 % accuracy with the data available for this study with the supervised implementation.
-
(Helsingin yliopistoUniversity of HelsinkiHelsingfors universitet, 2006)
-
(2014)The high mortality rate among humans infected with certain types of Avian Influenza (AI) and the potential of a mutation that allows human-to-human transmission is a great concern for the public health. We formulate a mathematical model for the prevalence of AI in humans resulting from avian-to-human transmission. The model is important because the higher the prevalence, the higher the risk of a mutation that allows human-to-human transmission leading in a major epidemic. We formulate and analyse separate deterministic and stochastic versions of the model. Different time scale separation techniques are applied to the models. The influence of certain controllable parameters on the system equilibrium is interpreted from numerical results. Moreover, we also investigate the fluctuation of populations due to demographic stochasticity at the early stage of the prevalence of AI.
-
(2016)Tässä tutkimuksessa käsitellään ongelmanratkaisua osana matematiikan opettamista. Aihe on tärkeä, sillä ongelmanratkaisu on taito, jota yksilö tarvitsee elämänsä kaikilla eri osa-alueilla aina arkipäivän ongelmatilanteista työelämän haasteisiin. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on antaa matematiikan opettajille eväitä ongelmalähtöisen oppimateriaalin kehittämiseen ja ongelmalähtöisen opetuksen toteuttamiseen. Tutkimuksessa pyritään kehittämään ratkaisu opettajien kokemaan ongelmaan ongelmanratkaisun ja matematiikan sisältöjen opettamisen irrallisuudesta vastaamalla kysymyksiin 'Miten opettaja voi tukea ongelmanratkaisun oppimista?' ja 'Minkälainen oppimateriaali tukee sekä käsitteen oppimista että kehittää oppilaiden ongelmanratkaisukykyä?'. Tutkimusmetodina käytetään kehittämistutkimusta, jossa teoreettisen ongelma-analyysin perusteella kehitetään käyttökelpoinen opetusmateriaali. Tutkimuksen teoreettisen ongelma-analyysin tavoitteena on myös kehittää syvällinen ymmärrys tutkittavasta aihepiiristä. Teoreettisen osion merkittävinä lähteinä ovat toimineet Haapasalon (2011) ja Pehkosen (1991) teokset ja se koostuu ongelmanratkaisun teoriasta sekä ongelmanratkaisun ja funktiokäsitteen oppimisen teoriasta. Teoreettisen ongelma-analyysin perusteella kehitettyä opetusmateriaalia testataan opetuskokeilulla ja sen jatkokehitysmahdollisuuksia pohditaan. Opetuskokeilun tutkimusmenetelmänä on osallistuva havainnointi. Teoreettisen ongelma-analyysin pohjalta oppimistehtävän ensisijaisiksi tavoitteeksi asetettiin oppilaiden ajattelutaitojen kehittäminen sekä opetettavan uuden käsitteen kytkeminen käytännönläheiseen kontekstiin. Oppimistehtävän empiirisessä testauksessa havaittiin tehtävän toteuttavan sille asetetut tavoitteet, mutta lisäksi havaittiin myös mahdollisia jatkokehitystarpeita. Tehtävä onnistui tavoitteessaan käytännönläheisenä johdantona funktioihin, mutta sen muotoiluun avoimuuden osalta voi olla syytä kiinnittää huomiota riippuen oppilasryhmän tasosta. Kirjallisuuskatsauksen perusteella opettajan näkökulmasta ongelmanratkaisun opetus on nähtävissä pitkäaikaisena prosessina, jossa opettajan rooli muuttuu oppilaiden kehittyessä. Aluksi oppilaat tarvitsevat malliesimerkkiä kun he vasta omaksuvat uusia ajatusmalleja. Oppilaiden ongelmanratkaisutaitojen karttuessa opetusta voi muuttaa yhä ongelmalähtöisempään suuntaan ja lopulta heuristiikkojen automatisoiduttua pitkäjänteisen harjoittelun tuloksena, ne voidaan tehdä oppilaille tietoisiksi. Ongelmanratkaisu nähdään yleisesti hyväksyttynä keinona oppilaiden matemaattisen ja kriittisen ajattelun kehityksessä ja sen tulisi olla osa matematiikan opetusta.
-
(2016)Tutkielmassa tarkastelen avoimia matemaattisia tehtäviä sekä matematiikan opettamista ja arviointia peruskoulun yläluokilla avoimia tehtäviä käyttämällä. Tehtävä on avoin, kun sen alku- tai lopputilanne ei ole tarkasti määritelty. Ratkaisija joutuu tekemään prosessin aikana valintoja saadakseen tehtävän ratkaistua. Avoimella ongelmatehtävällä voi olla useita oikeita ratkaisuja. Tutkielman alussa kerron avoimista tehtävistä ja esittelen erilaisia avoimia tehtävätyyppejä. Seuraavaksi esittelen oppimiskäsitysten teoriaa ja perustelen avoimien ongelmien käyttöä peruskoulun matematiikan opetuksen osana. Avoimen ongelman ratkaisija käyttää hyväkseen aiemmin oppimaansa tietoa ja kokemuksiaan samantyyppisistä ongelmista. Ratkaisut ovat tekijän näkökulmasta ainutlaatuisia. Avoimet ongelmat mahdollistavat oivaltamisen hetkiä, ja niiden tekeminen tukee oppijan matemaattista minäkuvaa ja kokemusta hyväksynnästä. Neljäs luku sisältää teoriaa ja pohdintaa ongelmanratkaisun ja avoimilla ongelmilla opettamisen keinoista sekä ohjeita avoimien tehtävien laatimiseen. Ongelmanratkaisu on käytännön taito, jossa kehittyminen vaatii runsasta harjoittelua. Opettajan rooli monimutkaistuu avointa ongelmanratkaisua opetettaessa, koska oikeita ratkaisuja ja ratkaisukeinoja on useita. Opetustilanteista tulee vähemmän ennustettavia. Lisäksi kerron opetuskokemuksistani avoimien ongelmien parissa. Lopuksi pohdin oppimisen arviointia muun muassa avoimien ongelmien näkökulmasta ja Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 huomioiden. Kuvailen myös joitakin tutkielman aiheeseen liittyviä haasteita.
-
(2014)Tutkielmassa tarkastellaan kahta tasogeometrian käsitettä: barysentristä koordinaattisysteemiä sekä pisteen konjugaatiota kolmion suhteen. Barysentriset koordinaatit ovat homogeeninen koordinaattisysteemi, jonka avulla pisteen sijainti tasossa ilmoitetaan suhteessa annettuun kolmioon. Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on kuvaus, joka kuvaa tason pisteet toisiksi tietyillä, tyypillisesti geometrisesti luonnehdittavilla ehdoilla. Käsitteet liittyvät toisiinsa siten, että eräät mielenkiintoiset konjugaatiokuvaukset voidaan määritellä barysentristen koordinaattien avulla. Barysentriset koordinaatit otettiin käyttöön 1800-luvun alussa useamman henkilön toimesta. Ne ilmoittavat tason pisteen sijainnin suhteessa annettuun kolmioon järjestetyllä lukukolmikolla, toisin kuin yleisemmin käytetyt karteesiset koordinaatit, jotka ilmoittavat pisteen sijainnin suhteessa annettuun origoon (0,0) lukuparin avulla. Barysentriset koordinaatit voidaan ilmoittaa useammalla, keskenään ekvivalentilla tavalla, mutta niiden määrittäminen tapahtuu kuitenkin aina jonkin kolmion suhteen. Määrittely voidaan tehdä joko tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien muodostamien kolmion sivujen jakosuhteiden avulla tai käyttäen hyväksi tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien muodostamien kolmioiden pinta-alojen suhteita. Tutkielman kolmannessa luvussa esitetään barysentristen koordinaattien järjestelmä sekä annetaan esimerkkejä mielenkiintoisten pisteiden koordinaateista. Barysentristen koordinaattien kaltainen, toinen homogeeninen koordinaattisysteemi, trilineaariset koordinaatit esitellään myös lyhyesti. Neljännessä luvussa johdetaan muunnoskaavat trilineaaristen ja barysentristen koordinaattien sekä barysentristen ja karteesisten koordinaattien välille. Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on eräs pistetransformaation erityistapaus. Tutkielman viidennessä luvussa tarkastellaan aluksi pistetransformaation käsitettä yleisesti, jotta pisteen konjugaatiota kolmion suhteen voidaan ymmärtää paremmin. Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio ovat mielenkiintoiset, paljon tutkitut ja geometriassa sovelletut erikoistapaukset pisteen konjugaatiosta kolmion suhteen. Ne ovat mielenkiintoisia myös tämän työn kannalta, sillä niiden määrittelyssä käytetään sekä barysentrisiä että trilineaarisia koordinaatteja. Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio esitellään tutkielman viimeisessä luvussa.
-
(2013)Background. DNA microarrays measure the expression levels of tens of thousands of genes simultaneously. Some differentially expressed genes may be useful as markers for the diagnosis of diseases. Available statistical tests examine genes individually, which causes challenges due to multiple testing and variance estimation. In this Master's thesis, Bayesian confirmatory factor analysis (CFA) is proposed as a novel approach for the detection of differential gene expression. Methods. The factor scores represent summary measures that combine the expression levels from biological samples under the same condition. Differential gene expression is assessed by utilizing their distributional assumptions. A mean-field variational Bayesian approximation is employed for computationally fast estimation. Results. Its estimation performance is equal to Gibbs sampling. Point estimation errors of model parameters decrease with increasing number of variables. However, mean centering of the data matrix and standardization of factor scores resulted in an inflation of the false positive rate. Conclusion. Avoiding mean centering and revision of the CFA model is required so that location parameters of factor score distributions can be estimated. The utility of CFA for the detection of differential gene expression needs also to be confirmed by a comparison with different statistical procedures to benchmark its false positive rate and statistical power.
-
(2015)The thesis studies three different conditional correlation Multivariate GARCH (MGARCH) models. They are the Constant Conditional Correlation (CCC-) GARCH, Dynamic Conditional Correlation (DCC-) GARCH and Asymmetric Dynamic Conditional Correlation (ADCC-) GARCH, in which the time-varying volatilities are modelled by three univariate GARCH models with the error term assumed to have a Gaussian distribution. In order to compare the performance of these models, we apply them to the volatility analysis of two stocks. Regarding model inference, we adopt a Bayesian approach and implement a Markov Chain Monte Carlo (MCMC) algorithm, Metropolis Within Gibbs (MWG), instead of the regular maximum likelihood (ML) method. Finally, the estimated models are employed to compute Value at Risk (VaR) and their performance is discussed.
-
(2014)I avhandlingen definieras cellulära homologigrupper för cellkomplex, och med hjälp av dessa beräknas homologigrupperna för ett antal topologiska rum. Med cellkomplex menar man topologiska rum som byggs upp stegvis genom att börja med en diskret mängd punkter och sedan fästa n-celler ̄ B n till någon del av komplexet som finns från tidigare. Homologigrupper innebär att man associerar en algebraisk invariant, närmare sagt en abelsk grupp med ett topologiskt rum. För att kunna definiera de cellulära homologigrupperna definieras först de singulära homologigrupperna för godtyckliga topologiska rum, varefter de s.k. homologiaxiomen, även kända som Eilenberg–Steenrod-axiomen, presenteras. Med hjälp av homologiaxiomen beräknas de singulära homologigrupperna för enhetssfären S^n, och med hjälp av detta resultat samt med gradberäkningar av avbildningar från enhetssfären till sig själv konstrueras sedan de cellulära homologigrupperna för cellkomplex. Därefter bevisas det faktum att de singulära och cellulära homologigrupperna är isomorfa för alla cellkomplex. Utgående från dessa resultat kan man relativt enkelt beräkna homologigrupperna för många topologiska rum genom att ge rummet en cellstruktur och sedan beräkna rummets cellulära homologigrupper. För att demonstrera hur metoderna som presenterats i avhandlingen kan användas beräknas homologigrupperna för ett antal rum, bl.a. cylindern S^1 × I, torusen S^n × S^n och det reella projektiva n-rummet RP^n. I avhandlingen demonstreras även hur kunskapen om homologigrupperna för sfären S^n kan användas för att bevisa ett antal klassiska topologiska resultat, bl.a. Brouwers fixpunktsats samt det faktum att de Euklidiska rummen R^n och R^m är homeomorfa om och endast om n = m.
-
(2018)Tutkielma perehdyttää lukijan Steinin menetelmään normaaliapproksimaatiolle sekä esittää tämän avulla todistuksen Berry-Esseen-lauseelle. Steinin menetelmä on todennäköisyysteorian piiriin kuuluva nykyaikainen ja tehokas tapa tuottaa ylärajoja kahden eri todennäköisyysjakauman väliselle etäisyydelle. Tutkielmassa esitetään todennäköisyysjakaumien etäisyydelle kolme eniten käytettyä mittaa, jotka ovat Total variation, Kolmogorov sekä Wasserstein-mitat. Tämän jälkeen käydään läpi Steinin menetelmä aloittaen Steinin lemmasta, joka karakterisoi normaalijakauman Steinin operaattorin avulla siten, että operaattorin arvon ollessa nolla, on tarkasteltava jakauma normaali. Seuraavaksi esitetään Steinin yhtälöt, joiden ratkaisujen avulla saadaan Steinin rajoitukset jokaiselle käytetylle kolmelle mitalle. Näiden rajoitusten avulla voidaan päätellä asymptoottinen normaalijakautuneisuus myös silloin, kun Steinin operaattorin arvo on lähellä nollaa. Berry-Esseen-lause on keskeinen raja-arvolause, johon on erityisesti lisätty suppenemisnopeus Kolmogorov-etäisyyden suhteen. Tämä suppenemisnopeus todistetaan tutkielmassa käyttäen hyväksi Steinin menetelmää. Lopuksi käsitellään vielä ylimalkaisesti Steinin menetelmää moniulotteisen jakauman tapauksessa. Huomataan sen olevan hyvin paljon samankaltaista kuin yksiulotteisessa tapauksessa.
-
(2016)Bézout's theorem, at least the original version, concerns the number of intersection points of two curves in projective plane. The main purpose of this thesis, apart from proving the classical version of Bézout's theorem, is to give multiple generalizations for it. The first proper chapter, Chapter 2, is devoted to the proof of classical Bézout's theorem. In the first two sections of the chapter we define projective and affine plane curves, and show some of their basic properties. In the third section we define the resultant of two polynomials, and use the newly acquired tool to prove the upper bound version of Bézout's theorem. The fourth section discusses the multiplicity of a point of intersection. This multiplicity, dependent of algebraic data associated to the intersection, is needed for stating the equality version of the classical Bézout's theorem. In the fifth section we prove this using properties of the intersection multiplicity proved in the fourth section. The third chapter extends the classical Bézout's theorem beyond its original scope. In Section 3.1 we define a crucial tool, Hilbert polynomial, which allows us to keep track of algebraic information associated to the projective scheme cut out by a homogeneous ideal. This polynomial is not an invariant of the scheme itself; rather it should be thought as containing information concerning both the intrinsic structure of the subscheme, and about how the subscheme is located in the ambient projective space. The second section of the third chapter quickly summarizes the parts of modern algebraic geometry that are of most use later. Section 3.3 gives the first proper generalization of Bézout's theorem. This generalization is more a quantitative than a qualitative one, as it deals with intersections of projective hyperplanes. The fourth chapter gives a generalization of the upper bound version of the Bézout's theorem to a very general case. We define the geometric multiplicity of a closed subscheme of a projective space, and show that it behaves well under intersections. The geometric multiplicity gives an upper bound for the number of components, hence the generalization of inequality version of Bézout. In the final section, 3.5, we define Serre's multiplicity of a component of intersection, and show that the multiplicities given by this formula satisfy the equality version of Bézout's theorem in proper intersections of equidimensional subchemes.
-
(2018)The goal of this thesis is to introduce the isoperimetric inequality and various quantitative isoperimetric inequalities. The thesis has two parts. The first one is an overview of the isoperimetric inequality in R^n and some of the known quantitative isoperimetric inequalities. In the first chapter we introduce the isoperimetric inequality and show some possible methods of proving the isoperimetric inequality in R^n for both n=2 and n≥3. In the second chapter we discuss some known quantitative isoperimetric inequalities as well as their proofs. The second part of the thesis is a paper. In this paper we prove a Bonnnesen type inequality for so called s-John domains, s>1, in R^n. We show that the methods that have been applied to John domains in the literature, suitably modified, can be applied to s-John domains. Our result is new and gives a family of Bonnesen type inequalities depending on the parameter s>1.
-
(2014)Vakuutusmallia määrittäessä vakuutusyhtiön mielenkiinto kohdistuu yhtiön oman vararikkotodennäköisyyden määrittämiseen. Luonnollinen ajatus on valita vakuutusmalli, jossa yhtiön vararikkotodennäköisyys minimoituu. Opinnäytetyössä raapaistaan tätä pintaa perehtymällä yleisesti liikennevakuutuksissa käytettävän bonusjärjestelmän kannattavuuteen vakuutusyhtiön asymptoottista vararikkoa tarkasteltaessa. Bonusjärjestelmässä vakuutettu siirtyy paremmalle vakuutustasolle jos kuluvan vuoden aikana ei tapahdu vahinkoja, mutta vakuutettu tippuu puolestaan huonommalle vakuutustasolle jos samaisena aikana vahinkoja sattuu. Yleisesti bonusjärjestelmän tarkoituksena on lisätä vakuutetuilta perittävien vakuutusmaksujen tasa-arvoisuutta, sillä huonon vakuutustason omaavan vakuutetun vakuutusmaksu on korkeampi kuin paremman vakuutustason omaavalla. Työn taustana toimii Lehtonen T. ja Nyrhinen H. 90-luvun julkaisu, jossa bonusjärjestelmiin perehdytään. Opinnäytetyön tarkoitus on esitellä yleinen bonusjärjestelmiin liittyvä teoria matemaattisesti ja perehtyä osaan edellä mainitun julkaisun tuloksista. Työssä näytetään, että tietyin perusoletuksin vakuutusyhtiön asymptoottinen vararikkotodennäköisyys on pienempi kaksitilaisessa bonusjärjestelmässä kuin yksitilaisessa kiinteällä vakuutusmaksulla. Alkuaskeleena työssä tullaan määrittämään bonusjärjestelmä yleisellä tasolla, jolloin malliin saadaan yksinkertaisia tasa-arvoehtoja vakuutusmaksuista ja vakuutetun liikkumisesta bonusjärjestelmässä. Yleisen tutustumisen jälkeen syvällinen tarkastelu aloitetaan keskittymällä kiinteään vakuutettuun. Tällöin perehdytään mallin kaksiulotteiseen siirtymämuuttujaan ja tämän ominaisuuksiin. Siirtymämuuttujan seurauksena saadaan yhteys vakuutetun tuottamaan vuotuiseen tappioon eri bonusluokissa. Tämän jälkeen pystytään tarkastelemaan yksittäisen vakuutetun pitkällä ajalla tuottamaa kumulatiivista tappiota. Kiinteän vakuutetun tarkastelun jälkeen luonnollinen siirtymä on koko vakuutuskannan mallintaminen. Koko vakuutuskannan tarkastelun aikana tullaan perehtymään vastaaviin ominaisuuksiin kuin aikaisemman vaiheen kiinteän vakuutetun tarkastelussa. Työn loppupuolella perehdytään vakuutusyhtiön asymptoottisen vararikon mallintamiseen ja luodaan yhteys asymptoottisen vararikon ja aikaisemmin käytyjen määritelmien välille. Yleisen tarkastelun jälkeen yleinen bonusjärjestelmä voidaan redusoida kaksi- ja yksitilaiseksi bonusjärjestelmäksi. Redusoinnin jälkeen pystytään vertailemaan syntyneitä bonusjärjestelmiä ja lopulta näyttämään, että kaksitilainen bonusjärjestelmä on parempi vaihtoehto vakuutusyhtiölle asymptoottisen vararikon näkökulmasta tarkasteltuna jos vakuutusyhtiön vakuutuskanta on riippumaton ja samoin jakautunut tai vakuutusyhtiö tuntee jokaisen vakuutetun vahinkojakaumat.
-
(2014)Useissa Euroopan ja Aasian maissa sekä Pohjois-Amerikassa vakuutusyhtiöt käyttävät ajoneuvovakuutusten hinnoittelussa kokemuksen antamaa tietoa vakuutetun ajotaidoista ja ajokäyttäytymisestä niin sanotun a priori hinnoittelun ohella. A priori hinnoittelulla tarkoitetaan vakuutuksen myöntöhetkellä tiedossa olevien ominaisuuksien perusteella tehtyä riskiluokitusta. Riskiluokkien sisäistä heterogeenisyyttä pyritään korjaamaan ajan kuluessa – tiedon karttuessa – niin sanotulla a posteriori hinnoittelulla. Käytäntö rankaisee kuljettajia, jotka ovat vastuussa yhdestä tai useammasta vahingosta edellisen tai edellisten vakuutuskausien aikana lisämaksulla eli bonusmenetyksellä. Vahinkovapaita kuljettajia sen sijaan palkitaan alennuksilla eli bonuksilla. Tutkielman alussa käydään läpi perusteita kaksivaiheiselle hinnoittelulle ja esitetään a priori hinnoittelu lyhyesti. Bonusjärjestelmät koostuvat kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä. Peruslogiikan mukaisesti vahingottomien vuosien jälkeen päätyy alhaisempiin eli parempiin bonusluokkiin ja nautitaan bonuksista eli alhaisemmasta vakuutusmaksusta. Sen sijaan ilmoitettujen vahinkojen seurauksena vakuutettu siirtyy bonussäännöstön mukaisesti ylempään eli huonompaan bonusluokkaan ja häntä rankaistaan bonusmenetyksillä eli korkeammalla vakuutusmaksulla. Seuraavan kauden bonusluokka määräytyy kuluvan kauden bonusluokan ja sattuneiden vahinkojen lukumäärän perusteella. Näin ollen bonusjärjestelmää voidaan kuvata Markovin ketjun avulla. Eri vakuutusyhtiöillä ja eri maissa on käytössä hyvin erilaisia bonusjärjestelmiä. Bonusluokkien määrä, aloitusluokka ja siirtymissäännöt vaihtelevat. Tutkielmassa on esitetty kaksi erilaista käytettävissä olevaa bonusjärjestelmää, joista toinen on Suomessa yleisesti käytetty. Tämän lisäksi esimerkeissä on käytetty hyvin yksinkertaistettuja järjestelmiä, joiden tarkoituksena on kuvata esitetyn teorian tuomista käytäntöön ennemmin helposti luettavin laskuesimerkein kuin todellista tilannetta havainnoiden. Bonusjärjestelmissä lähdetään oletuksesta, että ajan kuluessa bonusjärjestelmä saavuttaa tasapainotilan. Jokainen vakuutettu saavuttaa tasapainoluokan, joka vastaa hänen vuosittaista vahinkofrekvenssiä. Vakuutettu hakeutuu tämän 'oikean' bonusluokan ympärille. Perusajatuksen mukaisesti hyvät kuljettajat asettuvat ajan kuluessa alhaisiin eli hyviin bonusluokkiin ja suuren riskin kuljettajat sitä vastoin korkeampiin bonusluokkiin. Vakuutusyhtiön vakuutusten hinnoittelussa tärkein tehtävä on vakuutusmaksun muodostaminen siten, että se on mahdollisimman lähellä 'oikeaa' hintaa. Jokaiselle bonustasolle tulee laskea suhdeluku, joka kertoo kunkin vakuutetun osuuden oman riskiluokan a priori vakuutusmaksusta. Tutkielman lopussa tämä suhdeluku määritellään tilanteessa, jossa a priori hinnoittelu on käytössä. Tämän lisäksi pohditaan vaikutuksia, jos a priori hinnoittelusta luovuttaisiin kokonaan ja käytössä olisi vain kokemukseen perustuva a posteriori hinnoittelu. Tässä pyrkimyksenä on miettiä vaihtoehtoa hyvien kuljettajien kaksinkertaiselle palkitsemiselle ja huonojen kuljettajien kaksinkertaiselle rankaisemiselle. Tämän pohdinnan tarpeellisuus ja sen oikeellisuus on eettinen kysymys, johon tutkielmassa halutaan ainoastaan antaa matemaattiset työkalut. Viimeiseksi tutkielmassa käydään yksinkertaistetulla esimerkillä läpi hinnoittelun kaari a priori hinnoittelusta a posteriori hinnoitteluun. Vaikka käytössä on todellinen erään suomalaisen vakuutusyhtiön portfolio, on esimerkin tulokset yksinkertaistuksen vuoksi varsin kevyet. Voidaan kuitenkin nähdä, että perusoletus hyvien kuljettajien päätymisestä parempiin bonusluokkiin ja suuremman riskin kuljettajien huonompiin pätee tässäkin.
-
(2013)Bonusjärjestelmät ovat hyvin yleisiä liikenne- ja kaskovakuutuksissa. Autovakuutusmaksujen hinnoittelussa käytetään monia 'a priori' muuttujia vaikka monissa tutkimuksissa on voitu osoittaa, että paras ennuste tulevien vahinkojen määrittämisessä on vakuutetun vahinkohistoria. Idea keksittiin 1950-luvulla pohdittaessa voidaanko vakuutusmaksua tarkistaa jälkikäteen ('a posteriori'), kun jokaisen vakuutetun vahinkohistoriaa oli tarkasteltu. Tällainen bonus-malus -järjestelmä rankaisee vakuutettua yhdestä tai useammasta vahingosta ylimääräisellä maksulla (malus) ja palkitsee vahingottomasta vuodesta vakuutusmaksun alennuksella (bonus), tunnetaan suomeksi nimellä bonusjärjestelmä. Se on samalla vakuutusyhtiön reaktio käänteiseen valintaan, epätäydelliseen informaatioon vakuutetun käyttäytymisestä. Vakuutusyhtiö käyttää bonusjärjestelmää, kun vakuutetut voidaan jaotella äärelliseen määrään luokkia, jonka perusteella vuosittainen vakuutusmaksu määräytyy sekä vakuutetun luokka vakuutuskaudella määräytyy ainoastaan edellisen vakuutuskauden luokan ja nykyisen vakuutuskauden aikana aiheuttamien vahinkojen lukumäärän perusteella. Bonusjärjestelmä koostuu kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä. Bonusjärjestelmään sisältyy vakuutetun näkökulmasta kysymys minkä suuruisesta vahingosta kannattaa hakea korvaus. Vakuutetut maksavat itse mieluummin pienet vahingot välttääkseen vakuutusmaksun nousun. Tätä ilmiötä kutsutaan bonusnäläksi. Sen yleisyys kertoo osittain bonusjärjestelmän tiukkuudesta. Mitä tiukempi bonusjärjestelmä, sitä enemmän jätetään vahinkoja ilmoittamatta. Asiaa lähestytään kolmella eri tavalla. Lemairen algoritmi pyrkii etsimään optimaalisen korvauksenhakustrategian, missä määritellään optimaaliset rajat eri bonusluokkien kynnyshinnoille; jos vahingon suuruus on alle kynnyshinnan, niin järkevä vakuutuksenottaja ei ilmoita vahingosta ja päinvastoin. Kuitenkaan kaikki vakuutetut eivät ole järkeviä vaan hakevat korvauksen kaikista vahingoistaan vakuutusyhtiöltä, vaikkakin se olisi alle kynnyshinnan. Sopivien kynnyshintojen laskemiseksi sovitetaan vakuutuskantaan Lemairen algoritmia ja painotettua Poisson-prosessia, tavoitteena löytää todelliset korvausmäärien ja -lukumäärien jakaumat, mitkä eivät olisi vääristyneet bonusnälän johdosta. Viimeisessä luvussa lähestytään samaa optimaalisen korvauksenhakustrategian määrittämistä ohjattujen Markovin ketjujen ja dynaaminen ohjelmoinnin avulla. Vakuutetulla on vakuutuskauden lopussa mahdollisuus tehdä valinta hakeako korvausta vai ei vakuutuskauden aikana sattuneesta vahingosta. Yleensä korvauksen hakemisesta seuraa vakuutusmaksujen nousu joiksikin vuosiksi, riippuen bonussäännöstön ankaruudesta. Vakuutuksenottaja ohjaa täten valinnoillaan Markovin ketjun kulkua tekemällä sellaisia toimintoja, joilla odotettujen kokonaiskustannusten nykyarvo minimoituu.
-
(2018)Tämän työn päämäärä on kehitellä Lp−estimointi tekniikoita, soveltaa niitä mallioperaattoreiden tutkimiseen, ja edelleen, siirtää näiden mallioperaattoreiden rajoittuneisuus ominaisuuksia bilineaariselle Calderón-Zygmund -operaattorille. Tämä siirtäminen tehdään olettamalla tunnetuksi Bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin esityslause satunnaistettujen mallioperaattoreiden summana. Oletamme tunnetuksi hieman interpolointi ja maksimaalifunktioiden teoriaa. Aloitamme esittelemällä hyödyllisiä peruskäsitteitä, mm. neliöfunktion, sen kautta Lp -avaruuksien karakterisaation, ja Haarin kannan. Kappaleissa kaksi ja kolme määrittelemme mallioperattorit: shiftit ja paratulot ja todistamme niitä koskevia vahvoja estimaatteja Lp -avaruuksissa, kun p > 1. Tarkoituksemme on interpoloida vahvoja estimaatteja quasi-Banach alueelle, siis kun p < 1, ja tätä varten todistamme heikkoja päätepiste estimaatteja. Neljäs kappale on omistettu interpolointitekniikan esittelemiselle, joka mahdollistaa edellämainitun interpoloinnin. Viidennessä ja viimeisessä kappaleessa määrittelemme bilineaarisen Calderó-Zygmund operaattorin, kokoamme yhteen aikaisemmin kehitetyn teorian tuloksia ja vedämme näistä tuloksista lyhyehkönä korollaarina bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin rajoittuneisuuden.
-
(2014)Alkuluvuista on tiedetty tuhansia vuosia, ja jo antiikin aikaan onnistuttiin todistamaan, että alkulukuja on ääretön määrä. Alkulukukaksonen on puolestaan käsitteenä uudempi. Vain osa alkuluvuista on alkukulukukaksosia, mutta alkulukukaksosten lukumäärää ei ole onnistuttu vielä määrittämään. Alkulukukaksosten käänteislukujen summan tiedetään suppenevan ja tämän todistus esitetään tässä työssä. Johdannon ja alkulukujen lyhyen historian jälkeen perehdytään lukuteorian perusteisiin. Ensimmäiseksi käsitellään kokonaislukujen jaollisuutta ja niiden hajottamista alkutekijöihin. Tämän jälkeen todistetaan alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys ja se, että alkulukuja on ääretön määrä. Lisäksi määritellään suurin yhteinen tekijä, pienin yhteinen jaettava, sekä kongruenssi ja todistetaan muutamia kongruenssiin liittyviä apulauseita. Kongruenssin käsittelyn jälkeen esitellään ja todistetaan Kiinalainen jäännöslause. Käsitteiden määrittelyn jälkeen tutustutaan Brunin seulaan ja todistetaan sen yksinkertaisin muoto. Tämän lisäksi esitellään kaksi lemmaa, jotka käsittelevät korkeintaan annettua lukua olevien kokonaislukujen (jotka totetuttavat määrätyn kongruenssin) lukumäärää. Tästä siirrytään todistamaan Mertensin kaava. Viimeinen osa työstä käsittelee kahta alkulukukaksosiin liittyvää lausetta. Ensimmäisessä todistetaan yläraja sellaisten alkulukukaksosten lukumäärälle, jotka eivät ole annettua lukua suurempia. Jälkimmäisessä lauseessa todistetaan alkulukukaksosten käänteislukujen summien suppeneminen.
Now showing items 41-60 of 519