Browsing by discipline "Matematiikan opettajan koulutus"

Feuerbachin lause liittyy euklidisen tasogeometrian keinoin todistettavaan tulokseen kolmion yhdeksän pisteen ympyrästä. Feuerbachin lause osoittaa kolmion yhdeksän pisteen ympyrän olevan tangenttina kolmion sisäympyrälle ja sen kolmelle sivuympyrälle. Sisäympyröiden sivuamistapauksen todistaminen vaatii lisäksi inversiivigeometrian keinoja. Ensimmäisen luvun johdannon jälkeen toisessa luvussa esitetään Eukleideen Alkeissa esitettyjä postulaatteja, määritelmiä ja lauseita todistuksineen, joita tarvitaan yhdeksän pisteen ympyrän ja Feuerbachin lauseen todistamiseen. Näitä seuraa Eulerin suoran todistus sekä yhdeksän pisteen ympyrään liittyvät todistukset. Kolmannessa luvussa esitellään inversiivigeometriaa ja erityisesti määritellään inversiokuvaus, niiltä osin kuin Feuerbachin lauseen todistamisen kannalta on tarpeen. Neljännessä luvussa esitetään Feuerbachin lause todistuksineen.

Työ aloitetaan tutustumalla Fibonaccin lukuihin. Fibonaccin luvut ovat lukujono, jossa seuraava luku saadaan aina kahden edellisen luvun summana. Fibonaccin luvuille on olemassa myös eksplisiittinen esitys, niin sanottu Binet'n kaava, joka esitellään ja osoitetaan työssä. Binet'n kaavan esittelyn jälkeen sitä helpotetaan vielä tuomalla mukaan kultaiseksi leikkaukseksi nimetty luku. Kultainen leikkaus on aina läsnä, kun puhutaan Fibonaccin luvuista, sillä kahden peräkkäisen Fibonaccin luvun suhde lähestyy kultaista leikkausta, kun Fibonaccin lukujonoa mennään pidemmälle. Fibonaccin lukuihin tutustumisen jälkeen tutustutaan lukujärjestelmiin. Tämä aloitetaan tutustumalla tuttuihin ja yleisesti käytössä oleviin lukujärjestelmiin, kymmenenkantaiseen kymmenjärjestelmä ja kaksikantaiseen binäärijärjestelmä. Lukujärjestelmä on järjestelmä, jonka avulla mikä tahansa positiivinen kokonaisluku voidaan ilmoittaa. Tässä luvussa tuodaan esiin myös määritelmänä täydellinen lukujärjestelmä, jossa jokaisen positiivisen kokonaisluvun esittämisen lisäksi vaaditaan, että esityksiä kullekin luvulle on vain yksi. Luvun lopussa luodaan vielä epätäydellinen lukujärjestelmä, Fibonaccin lukujärjestelmä, jonka kantalukuina toimii Fibonaccin lukujono. Luvussa neljä esitetään ja osoitetaan Zeckendorfin lause ja sen perusteella mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle saatava Zeckendorfin esitys. Zeckendorfin lause kertoo, että mikä tahansa positiivinen kokonaisluku on yksikäsitteisesti esitettävissä summana ei-peräkkäisiä Fibonaccin lukuja. Zeckendorfin lauseen seurauksena luodaan toinen Fibonaccin lukujonoon perustuva lukujärjestelmä, Zeckendorfin lukujärjestelmä, joka on täydellinen. Lukujärjestelmässä vaaditaan esitys vain positiivisille kokonaisluvuille. Tutkielman lopuksi vastataan kysymykseen, entäs sitten negatiiviset kokonaisluvut? Vastauksena kysymykseen aluksi luodaan uusi lukujono nimeltään negafibonacciluvut, joiden avulla saadaan käyttöön myös negatiivisia kokonaislukuja. Lukujonon esittelyn jälkeen luodaan algoritmi, jonka avulla jokaiselle nollasta poikkeavalle kokonaisluvulle löytyy sitä vastaava yksikäsitteinen summa ei-peräkkäisiä negafibonaccilukuja. Tämän avulla saadaan muodostettua yksikäsitteinen esitys mille tahansa nollasta poikkeavalle kokonaisluvulle.

I avhandlingen konstrueras de naturliga talen utgående från mängdlärans axiom. Från de naturliga talen och deras egenskaper som bevisas i arbetet fortskrider avhandlingen steg för steg till de hela talen, de rationella talen och de reella talen. Bland de första stegen visar vi att det existerar en induktiv mängd som satisfierar Peanos axiom. Sedan bevisas rekursionsteoremet som används för att bygga upp aritmetiken för de naturliga talen. Genom ekvivalensrelationen〈 m,n 〉∼〈 p,q 〉⇔ m+q = p+n konstrueras de hela talen som ekvivalensklasserna Z = (N × N)/∼. I arbetet bevisas grundläggande aritmetiska regler för de hela talen samt gällande ordningsrelationen. På ett liknande sätt konstrueras mängden av rationella tal från mängden av hela tal med hjälp av ekvivalensrelationen〈 a,b〉∼〈 c,d〉 ⇔ ad = bc där a, b, c, d ∈ Z. I arbetet bevisas att mängden av rationella tal bildar en kropp. Även talföljder och därmed även fundamentalföljder studeras som en förberedelse för konstruktionen av de reella talen. I det sista steget, där vi konstruerar de ekvivalensrelationer som bygger upp de reella talen, så används en annan metod till skillnad från de hittills algebraiska metoderna. Ekvivalensrelationen baserar sig på fundamentalföljder i mängden av rationella tal. Vi definierar en ekvivalensrelation (x_n) ∼ (y_n) i mängden av fundamentalföljder F_Q genom gränsvärdet L(x_n − y_n) = 0. Förutom att egenskaper för räkneoperationerna och ordningsrelationen bevisas, så visas även att mängden av de reella talen är fullständig. Som avslutning till avhandlingen granskas isomorfier mellan de konstruerade mängderna och icke-numrerbarheten av mängden reella tal.

Työssä käsitellään neljää lukion pitkän matematiikan Derivaatta-kurssin oppikirjaa. Kirjoista kolme on suunnattu vuoden 2003 opetussuunnitelman perusteiden tueksi ja yksi vuoden 2015 opetussuunnitelman tueksi. Oppikirjoista käydään läpi funktion kulkuun edellytettävä opintopolku keskittyen tarkemmin loppuosaan eli funktion kulun tutkimiseen liittyvät osiot. Työssä tuodaan esiin oppikirjojen eroavaisuudet ja yhtäläisyydet, mutta mahdollisiin sähköisiin lisämateriaaleihin ei oteta kantaa. Oppikirjojen rakenteet vastaavat todella paljon toisiaan. Joitakin tarkempia määritelmiä löytyy etenkin kirjasta Matematiikan Taito 7. Työhön on koottu aiemmin saatua tutkimustietoa matematiikan oppimiseen liittyen, etenkin derivaatan ja funktion kulun ymmärtämiseen liiittyen. Erilaisten representaatioiden käyttöön ja niiden ymmärtämiseen pohjautuva oppiminen ja opetus on otettu huomioon työtä tehdessä. Erilaisten representaatioiden käyttö on havaittu auttavan opiskelijaa syventämään tietämystään, mutta toisaalta eri representaatioiden väliset yhteydet on vaikeampi oppia kuin yksittäiset representaatiot. Työn loppuosaan on koottu vuosien 2009-2016 pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tehtävistä funktion kulkuun liittyvien tehtävien määrä luokittain. Luokittelu on tehty muun muassa ääriarvojen tai funktion nollakohtien lukumäärää määrittämistä vaativiin tehtäviin. Tehtävien määrä on hiukan laskenut tuoreimmissa ylioppilaskokeissa, mutta samalla tehvävät ovat olleet soveltavampia kuin tutkitun välin alkuvaiheessa.

Työn päätavoitteena on osoittaa viidennen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavan mahdottomuus. Ratkaisukaava on mahdollista muodostaa vain polynomeille, jotka ovat juurtamalla ratkeavia. Juurtamalla ratkeavan polynomin kukin juuri voidaan ilmaista kerroinkunnan alkioiden muodostamana päättyvänä lausekkeena, joka käyttää vain kunnan laskutoimituksia ja juurenottoa. Työn lähtökohdaksi otetaan kuntien laajennukset ja ennen kaikkea polynomin kerroinkunnan laajennukset polynomin juurilla. Kun kerroinkuntaa laajennetaan juuri kerrallaan, syntyy useiden sisäkkäisten kuntalaajennusten torni, jonka huipulla on polynomin kaikki juuret sisältävä polynomin juurikunta. Galois'n teorian keskeisimpiä työvälineitä ovat automorfismit eli kunnan isomorfismit itselleen. Sellaiset laajennuskunnan automorfismit, jotka kiinnittävät laajennuksen lähtökunnan, muodostavat laajennuksen Galois'n ryhmän. Myös polynomille on mahdollista määritellä Galois'n ryhmä: polynomin Galois'n ryhmä on sen juurikunnan Galois'n ryhmä polynomin kerroinkunnan suhteen. Osoittautuu, että kukin Galois'n ryhmän alkio on samaistettavissa jonkin polynomin juurten permutaation kanssa, joten Galois'n ryhmä on siis aina symmetrisen ryhmän aliryhmä. Työn loppupuolella keskiöön nousevat juurilaajennukset eli kunnan laajennukset kunnan alkioiden juurroksilla. Kun sopivaan juurilaajennukseen sovelletaan kuudennessa luvussa todistettavaa Galois'n teorian peruslausetta, osoittautuu, että juurtamalla ratkeavan polynomin Galois'n ryhmästä löytyy aina tietty sisäinen rakenne, jota kutsutaan ratkeavuudeksi. Viimeisessä luvussa osoitetaan, että polynomin Galois'n ryhmän ratkeavuus on välttämätön ja riittävä ehto polynomin juurtamalla ratkeavuudelle. Viiden ja sitä useamman alkion symmetrinen ryhmä ei kuitenkaan ole ratkeava, mutta on olemassa polynomeja, joiden Galois'n ryhmä se on. Näin ollen polynomeille, joiden aste on viisi tai sitä korkeampi, ei ole mahdollista muodostaa yleistä ratkaisukaavaa. Työn päättää esimerkki viidennen asteen polynomista, joka ei ole juurtamalla ratkeava.

Tutkielman tavoitteena on esittää, että lukion todennäköisyyslaskennan käsitteet ja teoriat voidaan opettaa ja opiskella oppikirjojen perinteisistä esimerkeistä poikkeavassa kontekstissa. Kontekstiksi valitaan todennäköisyyslaskennan mallien todellinen sovellusalue. Samalla luodaan tehtäväpaketin muodossa ainerajat ylittävä opetusprojekti lukioon. Tutkielmassa perustellaan, miksi evoluutio ja populaatiogenetiikka ovat hyvä asiayhteys lukion todennäköisyyslaskennen opetuksessa ja toisin päin. Opetusprojektin toteutus noudattaa soveltaen tutkivan oppimisen menetelmää. Oppiainekohtaisten tavoitteiden saavuttamisen lisäksi yksi opetusprojektin päätavoitteista on oppilaiden ajattelutaitojen kehittäminen, sillä opiskeltavien asioiden syvällinen ymmärtäminen tapahtuu ajattelun kautta. Tutkielmassa on rakennettu tehtäväpaketti, joka koostuu 15 tehtävästä. Tehtävät liittyvät todennäköisyyslaskentaan, evoluutioon ja populaatiogenetiikkaa. Tehtävät alkavat yksinkertaisista käsitteiden määrittelytehtävistä ja peruslaskutehtävistä muuttuen vähitellen tiedon soveltamista vaativiksi ongelmanratkaisutehtäviksi. Opiskelijalla on aktiivinen rooli tiedonhakijana, ja opiskelijoiden keskinäiset keskusteltu ja yhteistyö ovat keskeisessä roolissa prosessissa, jonka tavoite on uuden tiedon rakentaminen.

Geometria lukiomatematiikan osa-alueena on matematiikan opettajalle tärkeä tilaisuus tarjota opiskelijoille mahdollisuus oppia niin täsmällistä todistamista, todistamisajattelua kuin ongelmanratkaisua. Tässä tutkielmassa käydään ensin läpi matematiikan opettamiseen ja oppimiseen vaikuttavia tekijöitä. Sen jälkeen perehdytään geometriaan yliopistomatematiikan, ylioppilaskirjoitusten ja lukion opetussuunnitelman perusteiden näkökulmasta. Lopuksi käsitellään matemaattista ongelmanratkaisua ja sen peruskäsitteitä sekä tutkitaan ongelmanratkaisun ohjaamista geometrisiä ongelmatehtäviä hyödyntäen. Tutkielman teoriaosuudessa lähdetään liikkeelle matematiikan luonteen ja hyvän matematiikan pohtimisesta ja päästään muodostamaan kokonaiskuvaa lukiogeometriasta. Tutkielmasta löytyy vastauksia useisiin kysymyksiin, kuten 'Mitä yliopiston geometrian kurssilta voi viedä suoraan pitkän matematiikan lukio-opetukseen?', 'Miten geometria näkyy pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa?' ja 'Minkälaista voi olla hyvä oppiminen ja opetus erityisesti matematiikan osalta?' Tutkimusosuudessa selvitetään, miten lukio-opiskelijan matemaattinen ongelmanratkaisuprosessi käytännössä etenee opettajan kyselymenetelmää käyttäen: kuinka paljon aikaa eri vaiheisiin kuluu ja minkälaista ohjaus on eri vaiheissa koko prosessin aikana. Lisäksi selvitetään, miten opiskelija kokee menetelmän käytön ja ongelmatehtävien ratkaisemisen. Tutkimusosuudessa luokitellaan ohjaajan ongelmanratkaisuprosessien aikana esittämät kysymykset aktivoiviin, pinnallisiin, passivoiviin ja neutraaleihin ja analysoidaan ohjausta luokittelun perusteella. Tutkimustulosten perusteella tutkimuksessa käytetty opettajan kyselymenetelmä toimii hyvin ongelmanratkaisun ohjaamisessa. Lisäksi tutkimuksen kokeellisen osuuden tulokset vahvistaa osaltaan kirjallisuudesta löytyvää näkemystä ongelmanratkaisutaitojen vahvistamisen hyödyllisyydestä, kun se tehdään tavoitteellisesti, harkitusti ja huolellisesti. Tutkimustulokset antavat ymmärtää, että ongelmanratkaisutehtävien käyttäminen opetuksessa ja lukio-opiskelijoiden

Tämä Pro gradu - tutkielma käsittelee harpilla ja viivaimella tehtyjä geometrisiä kuvioita, eli geometrisia konstruktioita. Tutkielma on tehty kirjallisuuskatsauksena ja se tarjoaa syventävää tietoa harpin ja viivaimen taustalla olevasta rikkaasta historiasta sekä moniulotteisesta matematiikasta. Tutkielma on rakennettu alkamaan pohjustavalla historian katsauksella, jonka jälkeen siirrytään tutkimaan matemaattista taustaa. Tutkielma alkaa historiallisella pohjalla, jossa luodaan katsaus yli 2000 vuoden päähän antiikin Kreikkaan ja sitä edeltäviin kulttuureihin. Tutkielmassa edetään jotakuinkin kronologisessa järjestyksessä antiikin ajoista aina 1800 - luvulle asti. Varhaisimmat harppiin ja viivaimeen liittyvät havainnot ulottuvat antiikin Egyptiin asti, jossa ympyröiden ja suorien viivojen piirtämiseen käytettiin köysiä ja puutikkuja. Egyptiläisten maanmittauksista luotu geometrinen perintö siirtyi antiikin Kreikkaan, jossa matemaatikko Eukleides kokosi kuuluisaan Alkeet - teokseensa geometrian peruskulmakivet. Geometrialle luotiin aksiomaattinen ja todistuksiin perustuva rakenne, joka nojasi hyvin vahvasti harpin ja viivaimen käyttöön. Teoksessa esitettyjen lauseiden rakenne noudatti kaavaa ongelma – todistus – konstruktio, jossa todistukset perustuivat alussa määritettyihin perusolettamuksiin. Antiikin aikaisen historian jälkeen luodaan katsaus harppiin ja viivaimeen työvälineinä sekä näihin liittyviin klassisiin ongelmiin. Harppi ja viivain työvälineinä mahdollistivat geometrialle ominaisten yksinkertaisten kuvioiden, eli suoran ja ympyrän piirtämisen, joten niiden asettaminen konstruktioiden peruspilareiksi oli loogista. Jo antiikin Kreikan aikana tietyt harppi – viivain – ongelmat osoittautuivat vaikeiksi eikä niitä osattu ratkaista Eukleideen määrittämin keinoin. Näitä siihen aikaan ratkaisemattomia ongelmia kutsutaan myös klassisiksi ongelmiksi ja näitä ovat kuution kahdentaminen, ympyrän neliöiminen sekä kulman jakaminen kolmeen osaan. Tutkielmassa avataan näihin liittyvää antiikin aikaista myyttistä historiaa sekä eritellään lyhyesti erilaisia ratkaisuyrityksiä. Klassiset ongelmat kiinnostivat matemaatikoita ja amatöörejä yli 2000 vuotta, kunnes vasta 1700 - ja 1800 - luvulla oli riittävät matemaattiset työkalut näiden todistamiseen mahdottomiksi harpilla ja viivaimella. Tässä tutkielmassa lähdetään rakentamaan matemaattista pohjaa harppi – viivain – konstruktioille matemaatikko ja filosofi René Descartesin 1600 - luvulla luoman analyyttisen geometrian avulla. Samalla kuljetetaan rinnalla koko ajan Alkeiden konstruktioiden algoritmista ideologiaa. Tavoitteena on lähteä muodostamaan vastausta kysymykseen: mitkä kaikki tason pisteet ja tarkemmin vielä mitkä luvut voidaan konstruoida harpilla ja viivaimella? Puhuttaessa konstruoituvuudesta, puhutaan sellaisista karteesisen koordinaatiston pisteistä, joiden koordinaattien luvut voidaan harpin ja viivaimen avulla konstruoida. Joukko-opillisesti konstruoituvat luvut lähdetään rakentamaan rationaaliluvuista neliöllisinä kuntalaajennuksina. Tarkastelun tuloksena huomataan, että harpilla ja viivaimella voidaan konstruoida ainoastaan peruslaskutoimituksilla sekä neliöjuurioperaatioilla saatuja lukuja. Lopuksi osoitetaan teorian valossa antiikin Kreikan kolme klassista ongelmaa mahdottomaksi. Konstruoituvien lukujen jälkeen palataan tutkimaan harppiin ja viivaimeen liittyviä ekvivalenssiteorioita. Harppeja ja viivaimia on olemassa käyttötarkoituksen mukaan erilaisia. Esimerkiksi antiikin Kreikan aikainen euklidinen harppi ei säilytä pituuttaan samalla tavalla kuin nykyisin kouluissakin käytetty moderni harppi, jonka jalat voidaan lukita tiettyyn pituuteen. Ne ovat kuitenkin konstruktioiden näkökulmasta ekvivalentteja työkaluja, eli niillä voidaan tehdä samat operaatiot. Tämä osoitetaan tutkimalla Alkeiden kirjan 1 kahta ensimmäistä propositiota. Lisäksi 1600 - ja 1700 - luvuilla geometriassa nousi uusi mielenkiintoinen tulos: kaikki, mikä voidaan tehdä harpilla ja viivaimella, voidaan myös tehdä pelkästään harpilla. Tämän lauseen nimi on Mohrin ja Mascheronin teoreema ja siihen tutustutaan tutkielmassa myös tarkemmin. Lopuksi luodaan teorian valossa vielä lyhyt katsaus säännöllisiin monikulmioihin. Tässä osoitetaan neliö, säännöllinen viisikulmio sekä säännöllinen kahdeksankulmio konstruoituviksi. Keskeiseksi teemaksi nousee säännöllisten monikulmioiden keskuskulma ja sen konstruoitavuus.

Tässä tutkielmassa käydään läpi alakoulussa esiintyviä jakolaskuvaikeuksia. Jakolasku on yksi neljästä peruslaskutoimituksesta ja monien mielestä niistä haastavin. Jakolaskujen aiheuttamat vaikeudet saattavat hankaloittaa koulutaivalta, sillä monet matematiikan asiat pohjautuvat jakolaskuun. Jakolaskuosaaminen koostuu monista asioista. Esimerkiksi osatakseen jakolaskut koululaisen täytyy ymmärtää jakolaskuun liittyvät termit sekä sisältö- ja ositusjakolaskut. Lasten ja nuorten matematiikan osaamisen taustalla on paljon lapsuudessa opittuja matematiikan taitoja. Osa näistä taidoista ihmisellä on jo syntyessään. Jakolaskuunkin liittyy paljon matematiikan taitoja, jotka lapset oppivat arjessa tapahtuvien jakotilanteiden avulla. Esimerkiksi keksien tai karkkien jakaminen kavereiden tai sisarusten kesken opettaa lapsille varhaista jakolaskutaitoa. Koulussa opeteltava jakolasku pohjautuukin lapsuudessa tutuksi tulleeseen 'yksi sinulle, yksi minulle' -tyyppiseen jakamiseen. Kuudesluokkalaisilla koululaisilla on tutkimusten mukaan paljon jakolaskuihin liittyviä vaikeuksia. Myös tekemässäni seminaarityössäni havaittiin paljon virhekäsityksiä kuudesluokkalaisilla. Yksi mahdollinen syy virhekäsitysten syntyyn saattaa olla nykymuotoisessa koulumatematiikassa. Tutkielmassa pohditaan mahdollisia tapoja muuttaa nykyistä jakolaskuopetusta, jotta virhekäsityksiä ei syntyisi niin paljon. Tutkielmassa pohditaan muun muassa jakojäännöksen hyödyllisyyttä, sisältöjakoa sekä erilaisia jakolaskun symboleita. Jakojäännös aiheuttaa koululaisille paljon ongelmia, sillä se on erillinen aihe. Jakojäännöstä käytetään vain muutaman kouluvuoden ajan, jonka jälkeen se korvataan murto- tai desimaaliluvuilla. Tutkielman yksi tarkoitus onkin ehdollistaa jakojäännöksen asema koulumatematiikassa. Murtolukuihin panostamalla sekä arkielämän esimerkkejä käyttäen jakojäännös käsite olisi mahdollista korvata. Laskujen vastaukset voisi ilmaista alusta alkaen sekalukujen avulla. Jakolaskujen ja samalla murtolukujen opetusta tukemaan tutkielmaan on sisällytetty muutama avoin tehtävä, joiden avulla matematiikan tunneille saadaan hieman erilaista puuhaa. Tutkielmassa on kielentämistä hyödyntäviä tehtäviä, joissa oppilaat pääsevät keskustelemaan erilaisista jakolaskutehtävistä vertaistensa kanssa ja vahvistamaan näin jakolaskuosaamistaan. Kielentäminen on hyvä tapa saada oppilaan ajattelua ja osaamista näkyviin. Jotta jakojäännöksestä voitaisiin luopua, täytyy koululaisten hallita murtoluvut jo melko varhain. Murtolukuihin tutustumiseen tutkielma tarjoaa leikin, jonka avulla lapset pääsevät oppimaan murtolukujen suuruussuhteita.

Heronin kolmio on kolmio, jonka sivujen pituudet, pinta-ala ja korkeus ovat rationaalilukuja. Heronin kolmioita on ääretön määrä. Niitä on selvitetty monella eri tavalla. Heronin kolmio saadaan yhdistämällä kaksi Pythagoraan kolmiota tai supistamalla kolmiosta, joka on muodostunut kahdesta Pythagoraan kolmiosta. Tämä on yksi niistä monista ominaisuuksista, jotka Heronin kolmioista tiedetään. Käsitteen ympäriltä löytyy paljon mielenkiintoisia erikoistapauksia: Heronin kolmio voidaan esittää hilamuodossa. Heronin kolmioista osa on Heronin superkolmioita. Heronin kolmiolla voi olla kaksi rationaalista keskijanaa. Heronin kolmio voi olla niin sanotusti hajotettavissa. Puhutaan myös alkeellisista Heronin kolmioista. Tutkimusmenetelmänä olen käyttänyt kirjallisuusselvitystä. Tutkimukseni pohjautuu siis kirjallisiin lähteisiin. Lähteenä olen käyttänyt kolmea kirjaa ja useita artikkeleita. Aiheesta löytyy niin tuoreita kuin vanhempiakin tutkimustuloksia; Euler, Brahmagupta ja Charmichael ovat tutkineet Heronin kolmioita jo varhain historiassa, kun taas esimerkiksi William H. Richardson ja Paul Yiu ovat kirjoittaneet aiheesta artikkeleissaan 2000-luvulla. Tutkielmassani selvitän Heronin kolmioihin liittyvää teoriaa. Pyrin selventämään asioita lukijalle myös esimerkkien, kuvien ja taulukoiden avulla. Käsite itsessään on yksinkertainen, mutta sen ympäriltä löytyy paljon tutkittavaa.