Browsing by department "Department of Mathematics and Statistics"

In this master's thesis we develop homological algebra using category theory. We develop basic properties of abelian categories, triangulated categories, derived categories, derived functors, and t-structures. At the end of most oft the chapters there is a short section for notes which guide the reader to further results in the literature. Chapter 1 consists of a brief introduction to category theory. We define categories, functors, natural transformations, limits, colimits, pullbacks, pushouts, products, coproducts, equalizers, coequalizers, and adjoints, and prove a few basic results about categories like Yoneda's lemma, criterion for a functor to be an equivalence, and criterion for adjunction. In chapter 2 we develop basics about additive and abelian categories. Examples of abelian categories are the category of abelian groups and the category of R-modules over any commutative ring R. Every abelian category is additive, but an additive category does not need to be abelian. In this chapter we also introduce complexes over an additive category, some basic diagram chasing results, and the homotopy category. Some well known results that are proven in this chapter are the five lemma, the snake lemma and functoriality of the long exact sequence associated to a short exact sequence of complexes over an abelian category. In chapter 3 we introduce a method, called localization of categories, to invert a class of morphisms in a category. We give a universal property which characterizes the localization up to unique isomorphism. If the class of morphisms one wants to localize is a localizing class, then we can use the formalism of roofs and coroofs to represent the morphisms in the localization. Using this formalism we prove that the localization of an additive category with respect to a localizing class is an additive category. In chapter 4 we develop basic properties of triangulated categories, which are also additive categories. We prove basic properties of triangulated categories in this chapter and show that the homotopy category of an abelian category is a triangulated category. Chapter 5 consists of an introduction to derived categories. Derived categories are special kind of triangulated categories which can be constructed from abelian categories. If A is an abelian category and C(A) is the category of complexes over A, then the derived category of A is the category C(A)[S^{-1}], where S is the class consisting of quasi-isomorphisms in C(A). In this chapter we prove that this category is a triangulated category. In chapter 6 we introduce right and left derived functors, which are functors between derived categories obtained from functors between abelian categories. We show existence of right derived functors and state the results needed to show existence of left derived functors. At the end of the chapter we give examples of right and left derived functors. In chapter 7 we introduce t-structures. T-structures allow one to do cohomology on triangulated categories with values in the core of a t-structure. At the end of the chapter we give an example of a t-structure on the bounded derived category of an abelian category.

Tässä työssä esitellään Apollonioksen ongelma. Alkuperäinen Apollonioksen ongelma oli löytää euklidisessa tasossa ympyrä, joka sivuaa kolmea annettua ympyrää. Yleensä kuitenkin sallitaan ympyröiden degeneroituminen pisteeksi tai suoraksi (ympyrä, jonka säde on nolla tai 'ääretön'). Tämän takia ongelma usein laajennetaan ongelmaksi löytää ympyrä, joka sivuaa kolmea kuviota, joista kukin voi olla piste, suora tai ympyrä. Ongelmassa on näin yhteensä kymmenen eri tapausta. Apollonios Pergalainen (n. 240-190 eaa) julkaisi ja ratkaisi ongelman teoksessaan Sivuamisista lukuunottamatta vaikeinta kolmen ympyrän tapausta. Ratkaisut eivät ole säilyneet, mutta ne on voitu rekonstruoida Pappos Aleksandrialaisen kuvausten perusteella. 1500-1600-luvulla monet matemaatikot yrittivät ratkaista Apollonioksen ongelman vaikeinta tapausta euklidisen geometrian hengessä harpilla ja viivottimella. Tässä työssä perehdytään yleisimpiin menetelmiin, joilla Apollonioksen ongelma saadaan ratkaistua. Erityisesti työssä perehdytään vaikeimpaan, kolmen ympyrän, tapaukseen. Tälle esitetään algebrallinen ratkaisumenetelmä sekä inversioon eli ympyräpeilaukseen ja hyperbeleihin perustuvat ratkaisumenetelmät. Lisäksi esitellään vielä Joseph Diaz Gergonnen keksimä konstruktio.

The past decade has brought about two key changes to the pricing of interest rate products in the European fixed income markets. In 2007, the Euribor-EONIA spread widened, which called into question the use of Euribor rates as a proxy for the risk-free rate. Nine years later, all of the main Euribor rates had fallen below zero. These changes forced market practitioners to reassess their assumptions, which resulted in the development of new models. The Heath-Jarrow-Morton (HJM) and Brace-Gatarek-Musiela (BGM) frameworks, which had gained popularity before the crisis, have served as a foundation for these models. In this thesis, we present two applications of Malliavin calculus to the pricing of interest rate derivatives within a multicurve BGM framework. Although the framework simplifies the pricing of interest rate derivatives, as it takes market rates as primitives, the pricing of exotic interest rate derivatives can pose a number of problems. The complexity of these products can lead to situations that require the use of computational techniques such as Monte Carlo simulation. This, in turn, provides an opening for the application of Malliavin calculus. We end this thesis by presenting a Malliavin-based formula for the price and the delta-sensitivity of a snowball, and discuss the merits of these representations in the context of Monte Carlo simulation. With reference to advances within the field during the last 5 years, we discuss the possible developments within the field that might garner further interest towards Malliavin calculus in the near future.

Vuonna 1837 Peter Dirichlet todisti suuren alkulukuja koskevan tuloksen, jonka mukaan jokainen aritmeettinen jono {an + d}_{n=1}^{∞}, missä (a ,d) = 1, sisältää äärettömn monta alkulukua. Todistuksessa hän määritteli ns. Dirichlet'n karakterit joille löydettiin myöhemmin paljon käyttöä lukuteoriassa. Dirichlet'n karakteri χ (mod q) on jaksollinen (jakson pituutena q), täysin multiplikatiivinen aritmeettinen funktio, jolla on seuraava ominaisuus: χ(n) = 0 kun (n ,q) > 1 ja χ(n) \neq 0 kun (n ,q) = 1. Tässä Pro Gradu-tutkielmassa tutkitaan karakterisumman \mathcal{S}_χ(t) = \sum_{n ≤ t} χ(n) kokoa, missä t on positiivinen reaaliluku ja χ (mod q) on ei-prinsipaali Dirichlet'n karakteri. Triviaalisti jaksollisuudesta seuraa, että |\mathcal{S}_χ(t)| ≤ min(t, q). Ensimmäinen epätriviaali arvio on vuodelta 1918, jolloin George Pólya ja Ivan Vinogradov todistivat, toisistaan riippumatta, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qlog q uniformisti t:n suhteen. Tämä tunnetaan Pólya--Vinogradovin epäyhtälönä. Olettamalla yleistetyn Riemannin hypoteesin, Hugh Montgomery ja Robert Vaughan todistivat, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qloglog q vuonna 1977. Vuonna 2005 Andrew Granville ja Kannan Soundararajan osoittivat, että jos χ (mod q) on paritonta rajoitettua kertalukua g oleva primitiivinen karakteri, niin |\mathcal{S}_χ(t)|<<_g \sqrt q(log Q)^{1-\frac{δ_g}{2}+o(1)}, missä δ_g on g:stä riippuva vakio ja Q on q tai (log q)^{12} riippuen siitä oletetaanko yleistetty Riemannin hypoteesi. Todistus perustui teknisiin aputuloksiin, jotka saatiin muotoiltua teeskentelevyys-käsitteen avulla. Granville ja Soundararajan määrittelivät kahden multiplikatiivisen funktion, joiden arvot ovat yksikkökiekossa, välisen etäisyyden kaavalla \mathbb{D}(f, g; x) = \sqrt{\sum_{p≤ x}\frac{1-\Re(f(p) \overline g(p))}{p}}, ja sanoivat, että f on g-teeskentelevä jos \mathbb{D}(f, g; ∞) on äärellinen. Tällä etäisyydellä on paljon hyödyllisiä ominaisuuksia, ja niihin perustuvia menetelmiä kutsutaan teeskentelevyys-menetelmiksi. Johdannon jälkeen luvussa 2 esitetään määritelmiä ja perustuloksia. Luvun 3 tarkoitus on johtaa luvussa 6 tarvittavia aputuloksia. Luvussa 4 määritellään teeskentelevyys, todistetaan etäisyysfunktion \mathbb{D}(f, g; x) ominaisuuksia ja esitetään joitakin sovelluksia. Luvussa 5 johdetaan jälleen teknisiä aputuloksia, jotka seuraavat Montgomery--Vaughanin arviosta. Luvussa 6 tarkastellaan karakterisummia. Aloitamme todistamalla Pólya—Vinogradovin epäyhtälön ja Montgomery-Vaughanin vahvennoksen tälle. Päätuloksena johdamme arvion (1), jossa \frac{1}{2}δ_g on korvattu vakiolla δ_g. Tämän todisti alunperin Leo Goldmakher. Lopuksi käytämme teeskentelevyys-menetelmiä osoittamaan, että Pólya—Vinogradovin epäyhtälöä voi vahventaa jos karaktereista tehdään erilaisia oletuksia.

Tavoitteet. Siirtyminen aritmeettisesta ajattelusta algebralliseen ajatteluun on yksi suurimmista muutoskohdista yläkoululaisten matematiikan opinnoissa. Useissa tutkimuksissa todetaankin algebran olevan oppilaille hankala aihe ja algebran oppimiseen liittyviä tutkimuksia on tehty runsaasti. Erityisesti aritmetiikan ja algebran siirtymävaiheesta on julkaistu monia tutkimuksia, joissa pyritään etsimään ratkaisua algebran oppimisen haasteellisuuteen. Tutkimuksissa on ehdotettu vaihtoehtoisia tapoja algebran opetukseen ja algebran opetuksen aikaistamista. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on kartoittaa tyypillisimpiä virheitä, joita esiintyy algebrallisessa ajattelussa siirryttäessä aritmetiikasta algebraan. Tavoitteena on löytää virheellisiä ajattelumalleja, jotta niihin voitaisiin kiinnittää huomiota ja näin parantaa algebran opetusta ja oppimista. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui neljä ryhmää, joissa oli yhteensä 77 kahdeksannen luokan oppilasta samasta koulusta. Tutkimusaineisto kerättiin marraskuussa 2015 ja tammikuussa 2016. Aineisto koostui oppilaiden kurssikokeiden vastauksista ja sitä analysoitiin sekä kvantitatiivisesti, että kvalitatiivisesti. Tulokset ja johtopäätökset. Aineistossa esiintyi runsaasti ja monipuolisesti virheellisiä ratkaisuja. Samankaltaiset virheet toistuivat oppilaiden koevastauksissa riippumatta heidän opettajansa opetusmenetelmästä, heidän käytössään olleesta oppikirjasta, tehdystä kurssikokeesta tai kokeen tehtävätyypistä. Yleisimmät virheet ilmenivät peruslaskutoimituksissa, laskujärjestyksessä, matemaattisissa merkinnöissä ja muuttujan käsitteessä. Eniten virheitä tehtiin tehtävissä, joissa oli mukana miinusmerkki. Tulosten valossa algebran opintojen alussa esiintyvät ongelmat saattavat johtua ennemmin aritmetiikan hatarasta osaamisesta, kuin algebran vaikeudesta. Tulosten perusteella aritmetiikkaan panostaminen saattaisi helpottaa siirtymää algebraan.

Modern day technology and computational power have allowed a large scale investigation of the human epigenome. Out of the epigenetic modifications, DNA methylation is of particular interest, since it is relatively easy to measure and very common in the DNA. A methylation site is a region of the DNA sequence that shows variation in the DNA methylation between individuals. Epigenome-wide association studies (EWAS) examine the interaction between these methylation sites one at a time and a specific human trait or an enviromental exposure. EWAS studies are, however, limited by low statistical power and problems related to multiple testing. To counter these issues, polygenic methylation scores have been developed to aggregate information over many methylation sites. These scores have two main applications. First is to formulate new hypotheses to explain human trait variation. Second one is to indicate unobserved environmental factors in cohort based studies or to predict individual developmental or disorder related outcomes. At the beginning of this thesis there is an introduction to epigenetics, to EWAS and polygenic methylation scores and to their genetic counterparts, genome-wide association studies (GWAS) and polygenic risk scores (PRS). Much of the methodology relating to the methylation scores is borrowed from GWAS and PRS. Some statistical properties of the methylation scores are derived in this thesis with focus on how the statistical power of detecting true association between a phenotype and human DNA methylation depends on the make up of the methylation scores. The theoretical derivations are tested through simulations. This thesis also examines how methylation scores may be calculated in practice using cross-validation and correlation reduction procedure called clumping. The methodology is applied to a Finnish cohort from the prediction and prevention of preeclampsia and intrauterine growth restriction study (Predo). The comparison of theoretical and observed statistical power in the simulations show that the theoretical and observed power correspond well to each other. In the practical analyses conducted using the DNA methylation data set and phenotype data of the Predo cohort and a maternal body-mass index (BMI) EWAS data, a clear piece of evidence of association of maternal pre-pregnancy BMI and offspring DNA methylation is found. The results support the growing evidence for the applicability of methylation scores in indicating prenatal environmental factors from the DNA methylation of the offspring.

Tässä työssä tutustumme adaptiiviseen optiikkaan ja ilmakehätomografiaan liittyviin matemaattisiin ongelmiin. Adaptiivinen optiikka on menetelmä, joka pyrkii vähentämään ilmakehän turbulenssista aiheutuvia valon vaiheen vääristymiä ja näin parantamaan suurten optisten teleskooppien suorituskykyä. Adaptiivinen optiikka on tieteenala, joka yhdistää matematiikkaa, fysiikkaa ja insinööritieteitä. Ilmakehätomografialla taas tarkoitamme tiettyä matemaattista kuvantamisongelmaa, joka esiintyy seuraavan sukupolven teleskooppien adaptiivista optiikkaa käyttävissä systeemeissä. Tässä työssä esittelemme tavan mallintaa ilmakehätomografiaa matemaattisesti. Käsittelemme ilmakehän turbulenssia satunnaisfunktioiden avulla sekä esittelemme algoritmin, joka kattaa ilmakehätomografian sekä optisen systeemin kontrolloinnin. Lisäksi tutkimme tämän algoritmin toimintaa yhdessä alan tarkimmista simulointiympäristöistä. Erityisesti testasimme algoritmin vakautta olosuhteissa, joissa kohinataso datassa on korkea. Tutkimustulokset osoittavat, että työssä johdetut regularisointia käyttävät ratkaisumenetelmät parantavat systeemin suorituskykyä verrattuna yksinkertaisempaan ei-regularisoituun menetelmään.

Tässä tutkimuksessa käsitellään ongelmanratkaisua osana matematiikan opettamista. Aihe on tärkeä, sillä ongelmanratkaisu on taito, jota yksilö tarvitsee elämänsä kaikilla eri osa-alueilla aina arkipäivän ongelmatilanteista työelämän haasteisiin. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on antaa matematiikan opettajille eväitä ongelmalähtöisen oppimateriaalin kehittämiseen ja ongelmalähtöisen opetuksen toteuttamiseen. Tutkimuksessa pyritään kehittämään ratkaisu opettajien kokemaan ongelmaan ongelmanratkaisun ja matematiikan sisältöjen opettamisen irrallisuudesta vastaamalla kysymyksiin 'Miten opettaja voi tukea ongelmanratkaisun oppimista?' ja 'Minkälainen oppimateriaali tukee sekä käsitteen oppimista että kehittää oppilaiden ongelmanratkaisukykyä?'. Tutkimusmetodina käytetään kehittämistutkimusta, jossa teoreettisen ongelma-analyysin perusteella kehitetään käyttökelpoinen opetusmateriaali. Tutkimuksen teoreettisen ongelma-analyysin tavoitteena on myös kehittää syvällinen ymmärrys tutkittavasta aihepiiristä. Teoreettisen osion merkittävinä lähteinä ovat toimineet Haapasalon (2011) ja Pehkosen (1991) teokset ja se koostuu ongelmanratkaisun teoriasta sekä ongelmanratkaisun ja funktiokäsitteen oppimisen teoriasta. Teoreettisen ongelma-analyysin perusteella kehitettyä opetusmateriaalia testataan opetuskokeilulla ja sen jatkokehitysmahdollisuuksia pohditaan. Opetuskokeilun tutkimusmenetelmänä on osallistuva havainnointi. Teoreettisen ongelma-analyysin pohjalta oppimistehtävän ensisijaisiksi tavoitteeksi asetettiin oppilaiden ajattelutaitojen kehittäminen sekä opetettavan uuden käsitteen kytkeminen käytännönläheiseen kontekstiin. Oppimistehtävän empiirisessä testauksessa havaittiin tehtävän toteuttavan sille asetetut tavoitteet, mutta lisäksi havaittiin myös mahdollisia jatkokehitystarpeita. Tehtävä onnistui tavoitteessaan käytännönläheisenä johdantona funktioihin, mutta sen muotoiluun avoimuuden osalta voi olla syytä kiinnittää huomiota riippuen oppilasryhmän tasosta. Kirjallisuuskatsauksen perusteella opettajan näkökulmasta ongelmanratkaisun opetus on nähtävissä pitkäaikaisena prosessina, jossa opettajan rooli muuttuu oppilaiden kehittyessä. Aluksi oppilaat tarvitsevat malliesimerkkiä kun he vasta omaksuvat uusia ajatusmalleja. Oppilaiden ongelmanratkaisutaitojen karttuessa opetusta voi muuttaa yhä ongelmalähtöisempään suuntaan ja lopulta heuristiikkojen automatisoiduttua pitkäjänteisen harjoittelun tuloksena, ne voidaan tehdä oppilaille tietoisiksi. Ongelmanratkaisu nähdään yleisesti hyväksyttynä keinona oppilaiden matemaattisen ja kriittisen ajattelun kehityksessä ja sen tulisi olla osa matematiikan opetusta.