Browsing by master's degree program "Magisterprogrammet i matematik och statistik"

In recent years, there has been a great interest in modelling financial markets using fractional Brownian motions. It has been noted in studies that ordinary diffusion based stochastic volatility models cannot reproduce certain stylized facts that are observed in financial markets, such as the fact that the at the money (ATM) volatility skew tends to infinity at short maturities. Rough stochastic volatility models, where the spot volatility process is driven by a fractional Brownian motion, can reproduce these effects. Although the use of long memory processes in finance has been advocated since the 1970s, it has taken until now for fractional Brownian motion to gain widespread attention. This thesis serves as an introduction to the subject. We begin by presenting the mathematical definition of fractional Brownian motion and its basic mathematical properties. Most importantly, we show that fractional Brownian motion is not a semimartingale, which means that the theory of Itô calculus cannot be applied to stochastic integrals with fractional Brownian motion as integrator. We also present important representations of fractional Brownian motion as moving average process of a Brownian motion. In the subsequent chapter, we show that we can define a Wiener integral with respect to fractional Brownian motion as a Wiener integral with respect to Brownian motion with transformed integrand. We also present divergence type integrals with respect to fractional Brownian motion and an Itô type formula for fractional Brownian motion. In the last chapter, we introduce rough volatility. We derive the so called rough Bergomi model model that can be seen as an extension of the Bergomi stochastic volatility model. We then show that for a general stochastic volatility model, there is an exact analytical expression for the ATM volatility skew, defined as the derivative of the volatility smile slope with respect to strike price evaluated at the money. We then present an expression for the short time limit of the ATM volatility skew under general assumptions which shows that in order to reproduce the observed short time limit of infinity, the volatility must be driven by a fractional process. We conclude the thesis by comparing the rough Bergomi model to SABR- and Heston stochastic volatility models.

Brennanin konjektuuri on matemaattinen hypoteesi, jonka muotoili J. E. Brennan vuonna 1978. Hypoteesissa on tarkoitus arvioida konformikuvauksen derivaatan moduulin integraalin potenssia avoimessa yksikkökiekossa. Brennan onnistui myöhemmin löytämään rajoja tälle potenssille, ja vuonna 1999 Daniel Bertilsson onnistui löytämään väitöskirjassaan lisää rajoja kyseiselle potenssille, mutta päähypoteesi pysyy avoimena. Tässä tutkielmassa esitellään määritelmiä, lauseita ja muita matemaattisia tuloksia, joita hyödyntämällä konjektuurin integraalin potenssille on onnistuttu löytämään rajoja. Johdantokappaleessa esitellään mielenkiinnon kohteena oleva matemaattinen ongelma, ja lisäksi siinä mainitaan muutama matemaattinen käsite, jotka ovat oleellisia tämän tutkielman kannalta. Nämä käsitteet ovat Koeben distortiolause, analyyttinen funktio ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Toisessa kappaleessa käydään läpi taustatietoja, jotka on hyvä tietää tässä tutkielmassa. Ensiksi kyseisessä kappaleessa palautetaan mieleen mikä on kompleksiluku ja kerrotaan niiden kahdesta ilmaisutavasta. Ensimmäinen tapa ilmaista kompleksiluku on ilmaista se luvun reaali- ja imaginaariosan avulla, ja toinen tapa esittää kompleksiluku on käyttämällä moduulia, siniä ja kosinia. Tässä toisessa tavassa käytetään myös kompleksiluvun argumenttia, joka on moduulin ja reaaliakselin välinen kulma. Toisessa kappaleessa esitellään myös kompleksisen differentioituvuuden ja analyyttisen funktion käsitteet, jotka molemmat ovat hyvin tärkeitä kompleksianalyysissa. Kyseisessä kappaleessa mainitaan myös Cauchy-Riemannin yhtälöt, biholomorfinen funktio ja joitain topologisia käsitteitä. Lisäksi myös siinä käydään läpi yksi kompleksiseen differentioituvuuteen ja Cauchy-Riemannin yhtälöihin liittyvä lause. Kappaleen lopussa tutustutaan myös Koebe funktioon ja yhteen lauseeseen, jossa yleistä juurifunktiota ja funktion jatkuvia haaroja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan S- ja Sigma- luokkiin, jotka ovat tutkielmassa käsiteltäviä kuvausluokkia. S-luokan alkiot ovat kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita, niiden arvo pisteessä 0 on 0 ja derivaatan arvo pisteessä 0 on 1. Sigma-luokan alkiot ovat puolestaan kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita sellaisten kompleksilukujen joukossa, joiden moduuli on suurempi kuin 1. Lisäksi tämän luokan funktioiden raja-arvo äärettömyyspisteessä on ääretön, ja derivaatan arvo äärettömyyspisteessä on 1. Sigma-luokan alkiot voidaan myös ilmaista suppenevana sarjana. Kappaleessa 3 käydään myös läpi Alue lause, Bieberbachin lause ja Koebe ¼- lause, ja kappaleen lopussa tutustutaan paremmin esimerkkeihin funktiosta, jotka kuuluvat kuvausluokkaan S. Neljännessä kappaleessa käydään läpi distrotiolauseita, joita ovat hyvin tärkeitä tämän tutkielman kannalta. Lisäksi kappaleessa tutustutaan Kasvulauseeseen, Yhdistettyyn kasvudistortiolauseeseen, Säteittäiseen distortiolauseeseen ja näiden todistuksiin. Viidennessä eli viimeisessä kappaleessa palataan Brennanin konjektuurin määritelmään ja käydään läpi derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Kappaleen lopussa kerrotaan myös Koebe derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri.

Henkivakuutusyhtiöt tarjoavat asiakkailleen monenlaisia tuotteita. Vakuutuksia on erityyppisiä, mutta usein ne ovat liitoksissa vakuutetun elinaikaan. Mainittakoon näistä esimerkiksi kuolemanvara- ja elämänvaravakuutus. Ensimmäisessä korvaus maksetaan mikäli vakuutettu kuolee vakuutusaikana ja toisessa mikäli vakuutettu on elossa ennalta sovittuna ajanhetkenä. Vakuutetun elinaika ei kuitenkaan ole tiedossa sopimusta tehdessä, joten vakuutusyhtiön pitää pystyä estimoimaan vakuutettujen kuolevuutta. Riittävän tarkalla estimoinnilla pyritään estämään tilanne, jossa korvausten määrä ylittää vakuutusyhtiön varat. Kuolevuusennustetta voidaan käyttää muun muassa vakuutusten hinnoitteluun. Estimointi on kuitenkin haastavaa, sillä kuolevuuden kehitykseen tulevaisuudessa vaikuttavat muun muassa mahdolliset lääketieteelliset läpimurrot tai populaation elintapojen muutokset. Kuolevuus ei pysy samana sukupolvesta toiseen, vaan pääsääntöisesti monissa maissa uusi sukupolvi elää edellistä sukupolvea keskimäärin pidempään. Kuolevuutta onkin helpompi ennustaa lyhyellä kuin pitkällä aikavälillä. Tutkielman alussa määrittelemme tämän työn kannalta oleellisia esitietoja, jotka liittyvät sekä elinaikaan ja kuolevuuteen että yleisesti stokastisiin prosesseihin. Erityisen tärkeitä ovat elinajan ja kuolevuusfunktion käsite. Näiden lisäksi martingaali, laskuriprosessi ja kompensaattori ovat tämän työn avainkäsitteitä. Tutustumme määritelmien lisäksi Doob-Meierin hajotelmaan, jonka perusteella alimartingaali voidaan kirjoittaa systemaattisen ja täysin satunnaisen osan summana. Systemaattisesta osasta puhutaan kompensaattorina ja satunnaisen osan muodostaa martingaali. Tutkielman tarkoituksena on johtaa kumulatiivista kuolevuutta estimoiva Nelson-Aalen estimaattori tilanteessa, jossa vakuutettuja on n kappaletta ja vakuutetun mahdollisia eri kuolinsyitä k kappaletta. Oletamme parametrin n arvon olevan suhteellisen suuri ja parametrin k arvon suhteellisen pieni. Johdamme lisäksi estimaattorin odotusarvon sekä varianssin. Havaitaan, että estimaattori on hieman harhainen, mutta kuitenkin asymptoottisesti harhaton. Teemme lisäksi lyhyen sovelluksen R:llä, jonka tarkoituksena on auttaa lukijaa hahmottamaan miltä todellisen otoksen pohjalta laaditut Nelson-Aalen estimaatit voisivat näyttää ja tutkitaan kuinka hyvin ne vastaavat todellisia arvoja. Tutkielman loppupuolella tarkastellaan tilannetta, jossa vakuutettujen määrä kasvaa rajatta ja huomataan, että normalisoitu Nelson-Aalen estimaattori alkaa muistuttaa Gaussista martingaalia. Erityisesti kiinteällä ajanhetkellä estimaattori on asymptoottisesti normaalijakautunut. Todistuksessa käytämme Rebolledon keskeistä raja-arvolausetta martingaaleille. Tulosta käyttämällä olisi mahdollista määrittää luottamusrajat estimoitavalle kumulatiiviselle kuolevuudelle. Lopuksi käymme läpi vaihtoehtoisia tapoja estimoida kuolevuutta.

Säilymislauseina tunnetut tulokset kuvailevat malliteoriassa erilaisia yhteyksiä kaavojen syntaktisen rakenteen ja kaavat toteuttavien mallien semanttisten ominaisuuksien välillä. Esimerkiksi jokainen ensimmäisen kertaluvun logiikan eksistentiaalis-positiivinen kaava säilyy homomorfismien suhteen. Käänteiseen suuntaan jokainen homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan loogisesti yhtäpitävästi esittää myös eksistentiaalis-positiivisessa muodossa. Parannuksena tähän on Benjamin Rossman osoittanut, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan esittää eksistentiaalis-positiivisessa muodossa ilman tarvetta kaavan kvanttoriasteen kasvamiselle. Tässä tutkielmassa Rossmanin menetelmää kehitetään hieman eteenpäin osoittamalla, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismien suhteen säilyvä kaava on mahdollista muuttaa eksistentiaalis-positiiviseen muotoon sellaisella tavalla, että tuloksena olevan kaavan syntaktista rakennetta saadaan rajattua alkuperäisen kaavan rakenteen avulla ja että tuloksena olevan kaavan kvanttoriasteeksi riittää pelkkä alkuperäisen kaavan eksistenssikvanttoreista laskettu kvanttoriaste. Todistuksen työvälineenä esitellään eräs yleistys malliteoriassa perinteisesti käytetyistä ja erilaisten mallirakenteiden vertailuun soveltuvista kahden pelaajan peleistä.

Työn päätarkoitus on esittää Lindemannin-Weierstrassin lause todistuksineen. Todistusta varten tarvitsemme erinäisiä tietoja algebrallisista luvuista, transkendenttisista luvuista sekä tässä työs sä Galois'n ryhmistä ja Galois'n laajennoksista. Lindemannin-Weierstrassin lauseen todistuksen jälkeen esitetään lauseesta seuraavia tuloksia. Historian saatossa matemaatikot ovat halunneet jakaa lukuja erilaisiin lukujoukkoihin, kuten kokonaislukuihin ja kompleksilukuihin. Luvut pystytään jakamaan myös transkendenttisiin lukuihin ja algebrallisiin lukuihin. Lukua kutsutaan algebralliseksi, jos se on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri. Jos luku ei ole algebrallinen, niin se on transkendenttinen. Matemaatikkojen ongelmana oli pitkään kuinka luvun transkendenttisuus todistetaan. Lindemannin-Weierstrassin lause on ratkaisu tähän ongelmaan. Lindemannin-Weierstrassin lause on seuraava: Olkoot α1, α2, . . . , αn erillisiä algebrallisia lukuja, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia rationaalilukujen suhteen. Tällöin luvut e^α1, e^α2, . . . , e^αn ovat algebrallisesti riippumattomia algebrallisten lukujen suhteen. Työn päälauseen avulla pystytään siis todistamaan joidenkin lukujen transkendenttisuus. Tälläisiä lukuja ovat esimerkiksi Neperin luku e ja π, joiden transkendenttisuuden todistan työn lopussa lauseen avulla. Työn päälähteessä käytetään lauseen todistuksessa Galois'n ryhmiä ja laajennoksia, minkä vuoksi käsittelen myös niitä työssäni.

In this thesis we study the article by J. Bourgain and C. Demeter called A study guide for the l^2 decoupling theorem. In particular, we hope to give an in detail exposition to certain results from the aforementioned research article so that this text combined with the master’s thesis On the l^2 decoupling theorem by Jaakko Sinko covers the l^2 decoupling theorem comprehensively in the range 2 ≤ p ≤ 2n/(n−1). The results in this text also self-sufficiently motivate the use of the extension operator and explain why it is possible to prove linear decouplings with multilinear estimates. We begin the thesis by giving the basic notation and highlighting some useful results from analysis and linear algebra that are later used in the thesis. In the second chapter we introduce and prove a certain multilinear Kakeya inequality, which asserts an upper bound for the overlap of neighbourhoods of nearly axis parallel lines in R^n that point in different directions. In the next chapter this is applied to prove a multilinear cube inflation inequality, which is one of the main mechanisms in the proof of the l^2 decoupling theorem. In the fourth chapter we study two forms of linear decoupling. One that is defined by an extension operator and one that defined via Fourier restriction. The main result of this chapter is that the former is strong enough to produce decoupling inequalities that are of the latter form. The fifth chapter is reserved for comparing linear and multilinear decouplings. Here we use the main result of the previous chapter to prove that multilinear estimates can produce linear decouplings, if the lower dimensional decoupling constant is somehow contained. This paves the way for the induction proof of the l^2 decoupling theorem.

Tutkielmassa annetaan teoreettinen oikeutus sille, että pörssiosakkeen tuotto on lognormaalijakautunut kunhan se täyttää tietyn tyyppiset ehdot. Kun oletamme, että pörssiosakkeen tuotto täyttää nämä ehdot, voimme todistaa Lindebergin-Fellerin raja-arvolauseen avulla, että silloin pörssiosakkeen tuotto lähenee lognormaalijakaumaa mitä useammin pörssiosakkeella tehdään kauppaa tarkastetun ajanjakson aikana. Kokeilemme Coca-Colan ja Freeport-McMoranin osakkeilla empiirisiesti, noudattavatko niiden pörssiosakeiden tuotot lognormaalijakaumaa käyttämällä Kolmogorovin-Smirnovin -testiä. Nämä kyseiset osakkeet edustavat eri teollisuudenaloja, joten niiden pörssiosakkeet käyttäytyvät eri lailla. Lisäksi ne ovat hyvin likvidejä ja niillä käydään kauppaa tiheästi. Testeistä käy ilmi, että emme voi poissulkea Coca-Colan pörssiosakkeen tuoton noudattavan lognormaalijakaumaa, mutta Freeport-McMoranin voimme. Usein kirjallisuudessa oletetaan, että pörssiosakkeen tuotto on lognormaalijakautunut. Esimerkiksi alkuperäisessä Black-Scholes-mallissa oletetaan, että pörssiosakkeentuotto on lognormaalijakautunut. Se miten pörssiosakkeen tuotto on jakautunut vaikuttaa siihen, miten Black-Scholes-mallin mallintamat osakejohdannaiset hinnoitellaan ja kyseistä hinnoittelumallia saatetaan käyttää yritysten kirjanpidossa. Black-Scholes-malli, jossa pörssiosakkeen tuotto on lognormaalijakautunut, esitetään tutkielmassa.

In this thesis, we prove the existence of a generalization of the matrix product state (MPS) decomposition in infinite-dimensional separable Hilbert spaces. Matrix product states, as a specific type of tensor network, are typically applied in the context of finite-dimensional spaces. However, as quantum mechanics regularly makes use of infinite-dimensional Hilbert spaces, it is an interesting mathematical question whether certain tensor network methods can be extended to infinite dimensions. It is a well-known result that an arbitrary vector in a tensor product of finite-dimensional Hilbert spaces can be written in MPS form by applying repeated singular value or Schmidt decompositions. In this thesis, we use an analogous method in the infinitedimensional context based on the singular value decomposition of compact operators. In order to acquire sufficient theoretical background for proving the main result, we first discuss compact operators and their spectral theory, and introduce Hilbert-Schmidt operators. We also provide a brief overview of the mathematical formulation of quantum mechanics. Additionally, we introduce the reader to tensor products of Hilbert spaces, in both finite- and infinite-dimensional contexts, and discuss their connection to Hilbert-Schmidt operators and quantum mechanics. We also prove a generalization of the Schmidt decomposition in infinite-dimensional Hilbert spaces. After establishing the required mathematical background, we provide an overview of matrix product states in finite-dimensional spaces. The thesis culminates in the proof of the existence of an MPS decomposition in infinite-dimensional Hilbert spaces.

In topology, one often wishes to find ways to extract new spaces out of existing spaces. For example, the suspension of a space is a fundamental technique in homotopy theory. However, in recent years there has been a growing interest in extracting topological information out of discrete structures. In the field of topological data-analysis one often considers point clouds, which are finite sets of points embedded in some R^m. The topology of these sets is trivial, however, often these sets have more structure. For example, one might consider a uniformly randomly sampled set of points from a circle S1. Clearly, the resulting set of points has some geometry associated to it, namely the geometry of S1. The use of certain types of topological spaces called Vietoris-Rips and Cech complexes allows one to study the "underlying topology" of point clouds by standard topological means. This in turn enables the application of tools from algebraic topology, such as homology and cohomology, to be applied to point clouds. Vietoris-Rips and Cech complexes are often not metrizable, even though they are defined on metric spaces. The purpose of this thesis is to introduce a homotopy result of Adams and Mirth concerning Vietoris-Rips metric thickenings. In the first chapter, we introduce the necessary measure theory for the main result of the thesis. We construct the 1-Wasserstein distance, and prove that it defines a metric on Polish spaces. We also note, that the 1-Wasserstein distance is a metric on general metric spaces. In the sequel, we introduce various complexes on spaces. We study simplicial complexes on R^n and introduce the concept of a realization. We then prove a theorem on the metrizability of a realization of a simplicial complex. We generalize simplicial complexes to abstract simplicial complexes and study the geometric realization of some complexes. We prove a theorem on the existence of geometric realizations for abstract simplicial complexes. Finally, we define Vietoris-Rips and Cech complexes, which are complexes that are formed on metric spaces. We introduce the nerve lemma for Cech complexes, and prove a version of it for finite CW-complexes. The third chapter introduces the concept of reach, which in a way measures the curvature of the boundary of a subset of R^n. We prove a theorem that characterizes convex, closed sets of R^n by their reach. We also introduce the nearest point projection map π, and prove its continuity. In the final chapter, we present some more measure theory, which leads to the definitions of Vietoris-Rips and Cech metric thickenings. The chapter culminates in constructing an explicit homotopy equivalence between a metric space X of positive reach and its Vietoris-Rips metric thickening.

Tutkielman aiheena ovat Möbius-kuvaukset, jotka ovat olennainen osa kompleksianalyysia ja täten edelleen analyysia. Möbius-kuvauksiin tutustutaan yleensä matematiikan syventävällä kurssilla Kompleksianalyysi 1, jonka lisäksi lukijalta toivotaan analyysin perustulosten tuntemista. Möbius-kuvaukset ovat helposti lähestyttäviä ja mielenkiintoisia ensimmäisen asteen rationaalifunktioita. Kuvauksilla on useita hyödyllisiä geometrisia ominaisuuksia ja niillä voidaan ratkaista kätevästi erilaisia kuvaustehtäviä, minkä vuoksi ne ovatkin erityisen tärkeitä. Tutkielman luku 1 on lyhyt johdatus Möbius-kuvauksiin. Luvussa 2 tutustutaan Möbius-kuvausten kannalta olennaisiin kompleksianalyysin käsitteisiin, kuten laajennettu kompleksitaso, Riemannin pallo sekä alkeisfunktiot. Kolmannessa luvussa määritellään itse Möbius-kuvaukset ja esitetään esimerkkejä erilaisista Möbius-kuvauksista. Luvussa näytetään lisäksi muun muassa, että Möbius-kuvaukset ovat bijektioita sekä konformisia, ja tutkitaan kuvausten analyyttisuutta. Luvussa 4 tutustutaan kaksoissuhteen käsitteeseen ja todistetaan Möbius-kuvausten myös säilyttävän kaksoisuhteet. Luvussa määritellään lisäksi kompleksitason erilaisia puolitasoja sekä ratkaistaan kaksoissuhteen avulla erilaisia kuvaustehtäviä tätä myös kuvin havainnollistaen. Viidennessä luvussa tutustutaan kvasihyperboliseen metriikkaan ja näytetään Möbius-kuvaukset hyperbolisiksi isometrioiksi. Aineistonani tutkielmassa on käytetty pääsääntöisesti Ritva Hurri-Syrjäsen Kompleksianalyysi 1- kurssin sisältöä. Lisäksi luvussa 5 pohjataan Paula Rantasen työhön Uniformisista alueista sekä F. W. Gehringin ja B. P. Palkan teokseen Quasiformally homogeneous domains.