Browsing by Title

Brennanin konjektuuri on matemaattinen hypoteesi, jonka muotoili J. E. Brennan vuonna 1978. Hypoteesissa on tarkoitus arvioida konformikuvauksen derivaatan moduulin integraalin potenssia avoimessa yksikkökiekossa. Brennan onnistui myöhemmin löytämään rajoja tälle potenssille, ja vuonna 1999 Daniel Bertilsson onnistui löytämään väitöskirjassaan lisää rajoja kyseiselle potenssille, mutta päähypoteesi pysyy avoimena. Tässä tutkielmassa esitellään määritelmiä, lauseita ja muita matemaattisia tuloksia, joita hyödyntämällä konjektuurin integraalin potenssille on onnistuttu löytämään rajoja. Johdantokappaleessa esitellään mielenkiinnon kohteena oleva matemaattinen ongelma, ja lisäksi siinä mainitaan muutama matemaattinen käsite, jotka ovat oleellisia tämän tutkielman kannalta. Nämä käsitteet ovat Koeben distortiolause, analyyttinen funktio ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Toisessa kappaleessa käydään läpi taustatietoja, jotka on hyvä tietää tässä tutkielmassa. Ensiksi kyseisessä kappaleessa palautetaan mieleen mikä on kompleksiluku ja kerrotaan niiden kahdesta ilmaisutavasta. Ensimmäinen tapa ilmaista kompleksiluku on ilmaista se luvun reaali- ja imaginaariosan avulla, ja toinen tapa esittää kompleksiluku on käyttämällä moduulia, siniä ja kosinia. Tässä toisessa tavassa käytetään myös kompleksiluvun argumenttia, joka on moduulin ja reaaliakselin välinen kulma. Toisessa kappaleessa esitellään myös kompleksisen differentioituvuuden ja analyyttisen funktion käsitteet, jotka molemmat ovat hyvin tärkeitä kompleksianalyysissa. Kyseisessä kappaleessa mainitaan myös Cauchy-Riemannin yhtälöt, biholomorfinen funktio ja joitain topologisia käsitteitä. Lisäksi myös siinä käydään läpi yksi kompleksiseen differentioituvuuteen ja Cauchy-Riemannin yhtälöihin liittyvä lause. Kappaleen lopussa tutustutaan myös Koebe funktioon ja yhteen lauseeseen, jossa yleistä juurifunktiota ja funktion jatkuvia haaroja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan S- ja Sigma- luokkiin, jotka ovat tutkielmassa käsiteltäviä kuvausluokkia. S-luokan alkiot ovat kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita, niiden arvo pisteessä 0 on 0 ja derivaatan arvo pisteessä 0 on 1. Sigma-luokan alkiot ovat puolestaan kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita sellaisten kompleksilukujen joukossa, joiden moduuli on suurempi kuin 1. Lisäksi tämän luokan funktioiden raja-arvo äärettömyyspisteessä on ääretön, ja derivaatan arvo äärettömyyspisteessä on 1. Sigma-luokan alkiot voidaan myös ilmaista suppenevana sarjana. Kappaleessa 3 käydään myös läpi Alue lause, Bieberbachin lause ja Koebe ¼- lause, ja kappaleen lopussa tutustutaan paremmin esimerkkeihin funktiosta, jotka kuuluvat kuvausluokkaan S. Neljännessä kappaleessa käydään läpi distrotiolauseita, joita ovat hyvin tärkeitä tämän tutkielman kannalta. Lisäksi kappaleessa tutustutaan Kasvulauseeseen, Yhdistettyyn kasvudistortiolauseeseen, Säteittäiseen distortiolauseeseen ja näiden todistuksiin. Viidennessä eli viimeisessä kappaleessa palataan Brennanin konjektuurin määritelmään ja käydään läpi derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Kappaleen lopussa kerrotaan myös Koebe derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri.

Lukion fysiikan opetuksessa tämän päivän keskeiset opetusteoriat ovat triviaali-, radikaali- ja sosiaalinen konstruktivismi. Fysiikan opetuksessa, aiemmin yleinen, teoreettinen lähestymistapa on saanut suurimmaksi osaksi väistyä konstruktivismin tieltä. Vuoden 2003 lukion opetussuunnitelma on laadittu radikaalin konstruktivismin mukaisesti, niiltä osin kuin se koskettaa kaikkia lukioaineita. Tässä opetussuunnitelman yleisessä osiossa on myös havaittavissa määrin sosiaalista ja triviaalia konstruktivismia. Opetussuunnitelman fysiikka käsittelevä osuus puolestaan noudattaa triviaalia konstruktivismia ja siitä on selvästi havaittavissa hahmottavan lähestymistavan vaikutukset. Vuoden 2015 lukion opetussuunnitelman yleinen osuus on edeltäjäänsä selvemmin radikaalin konstruktivistinen. Fysiikan osuus puolestaan toteuttaa entistä selvemmin hahmottavaa lähestymistapaa. Fysiikan osuus on siten triviaalin konstruktivismin mukainen. Näin ollen opetussuunnitelman yleisten ohjeiden ja fysiikan osuuden välillä on selkeä ristiriita, joka opetussuunnitelmassa jätetään huomiotta. Opetussuunnitelma on ristiriidassa itsensä kanssa. Fysiikan pitäytyminen triviaalin konstruktivismin mukaisessa oppimisteoriassa johtuu suoraan oppiaineen tietorakenteesta ja sen pyrkimyksestä kuvata ympäristöä havainnoijasta riippumatta. Ylioppilaskirjoitukset ovat muuttuneet sähköisiksi ja sitä kautta niiden lukio-opetusta ohjaava vaikutus on korostunut merkittävästi. Ylioppilaskokeen ainereaalin laadinnassa ja arvostelussa käytetään ohjenuorana Bloomin taksonomiaa, mikä on triviaalin konstruktivismin mukainen. Siten ylioppilaskirjoitukset poikkeavat filosofisesti lukion opetussuunnitelman yleiseen osioon verrattaessa, mutta ovat yhtenevät fysiikan vaatimusten osalta.

Tutkimme kontinuumihypoteesin negaatiota lokaalin joukko-opin näkökulmasta. Näytämme, että kontinuumihypoteesia ei voi päätellä lokaalin joukko-opin intuitionistisessa eikä klassisessa versiossa. Ensimmäisen tuloksen saamme helpohkosti sopivan esilyhdetopoksen avulla ja jälkimmäistä varten kehittelemme myös hieman lyhdeteoriaa. Aloitamme lyhyellä esitietopaketilla, jonka jälkeen määrittelemme topokset. Määrittelemme aliobjektin käsitteen ja konstruoimme topoksessa aliobjektien alkukuvat, äärelliset leikkaukset ja tulot. Lisäksi konstruoimme implikaatit sekä projektion indusoimalle alkukuvakuvauksille adjungaatin, joka vastaa kaikkikvantifiointia. Seuraavaksi määrittelemme topoksen sisäisen kielen, joka on eräänlainen joukko-oppi. Näytämme, miten kieli voidaan tulkita topoksessa ja johdamme sille eheät päättelysäännöt. Sisäistä kieltä käyttäen konstruoimme aliobjekteille kuvat ja äärelliset yhdisteet. Tyhjän yhdisteen ja implikaatin avulla saamme myös pseudokomplementit, joiden avulla voimme määritellä Boolen topokset. Osoitamme, että topos on Boolen topos, jos ja vain jos sen sisäisen kielen logiikka on klassinen. Sisäisen kielen avulla konstruoimme vielä menetelmiä, joiden avulla voimme siirtyä topoksen morfismista sisäisen kielen funktioon ja toisin päin. Osoitamme, että monomorfismista tulee sisäiseen kieleen injektio ja että sisäisestä surjektiosta saadaan ns. parametrisoituja epimorfismeja. Tämän jälkeen muotoilemme kontinuumihypoteesin negaation sisäisen kielen lauseena ja konstruoimme esilyhdetopoksen, jossa kyseinen lause on tosi. Saatu topos ei ole Boolen topos, mutta näemme jo, että kontinuumihypoteesia ei voi lokaalissa intuitionistisessa joukko-opissa päätellä. Jatkamme vielä tavoitteenamme löytää vastaavanlainen Boolen topos. Määrittelemme Grothendieckin topologiat ja niiden lyhteet. Määrittelemme erityisesti ns. tiheän topologian ja näytämme sen yhteyden kaksoisnegaatioon. Osoitamme, että on olemassa lyhteytysfunktori, joka liittää jokaiseen esilyhteeseen lyhteen tietyllä optimaalisella tavalla. Osoitamme myös, että lyhteet muodostavat aina topoksen ja että tiheän topologian lyhteet muodostavat Boolen topoksen. Lopuksi palaamme vielä kontinuumihypoteesin pariin. Osoitamme, että ottamalla aiemmin löydetyn esilyhdetopoksen tiheän topologian määräämän lyhdetopoksen saamme Boolen topoksen, jossa kontinuumihypoteesin negaatio on tosi. Loppupäätelmänä kontinuumihypoteesia ei voi päätellä edes lokaalissa klassisessa joukko-opissa.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan geostationäärisen satelliitin mittauksiin perustuvan sadetuote CRR:n (Convective Rainfall Rate) kykyä havaita ja arvioida konvektiivisia sadetilanteita Pohjois-Euroopassa. Aineistona käytetään vuoden 2017 kesäkuukausilta (kesä–elokuu) kerättyä dataa. CRR:n arvioimista sateen intensiteeteistä lasketaan tunnin sadekertymät, joita verrataan sademittareiden avulla korjattuihin, Euroopan laajuisen OPERA-tutkayhdistelmän tuottamiin tunnin kertymiin. Kertymien suhde lasketaan tunti tunnilta OPERA-hilan joka hilapisteessä, ja suhteesta muodostetaan normaalijakautunut vertailusuure F. Lisäksi CRR:n suorituskyvyn arvioimiseen käytetään laadullisia indikaattoreita kuten CSI:tä (Critical Success Index). CRR havaitsi tarkasteluajanjaksolla 30 prosenttia tapauksista, joissa hilapisteen sadekertymä oli yli 1 mm/h. Se keskimäärin yliarvioi kertymiä hieman, joskin tulosten hajonta on suurta (F:n mediaani logaritmisella asteikolla 0,43, hajonta 3,07). CRR:n suorituskyky huonontuu pohjoista kohti, mikä onkin odotettavissa, koska mitä korkeampaa leveyspiiriä tarkastellaan, sitä pienempi on geostationäärisen satelliitin katselukulma Maan pinnan kaareutumisen vuoksi. Tutkielman tuloksia hyödynnetään kehitettäessä Euroopan laajuista yhdistelmäsadetuotetta (PERC, Pan-European Rainfall Composite), joka yhdistää CRR:n tuottaman sadekentän OPERA-tutkasadekenttään ja GLD360-salamanpaikannusverkoston tuottamien salamatietojen avulla laskettuun sadekenttään. PERC on tarkoitettu lähihetkiennustamisen tueksi tehtävään sadetilanteen analyysiin, jotta konvektiivisiin sateisiin liittyviin riskeihin, kuten äkkitulviin, voitaisiin varautua nykyistä paremmin. CRR:n suorituskykyä verrataan OPERA-tutkayhdistelmän ja GLD360-salamasadetuotteen suorituskykyyn, jotta PERC:n eri komponenttien käyttöä voitaisiin painottaa optimaalisesti. OPERA-tuotteella on suurempi systemaattinen virhe (mediaani –1,93), mutta hajonta (0,99) on selvästi pienempää kuin CRR:llä. CSI:llä mitattuna OPERA on huomattavasti CRR:ää parempi (0,52 vs. 0,19). GLD360:n tulokset ovat kaikkiaan huonoimpia. Näiden tulosten perusteella todetaan, että PERC:iä muodostettaessa kannattaa hyödyntää OPERA-tutkayhdistelmää silloin, kun se on saatavilla. OPERA-peittoalueen reunoilla ja ulkopuolella, etenkin Euroopan eteläosissa, CRR ja GLD360 voivat kuitenkin täydentää sadetilanteen arviota.

Itämeren pohja on ollut vähähappinen tai kokonaan hapeton useita kertoja viimeisten 8000 vuoden aikana. Holoseenin lämpömaksimin aikana, Litorinameren suojaisessa mataloituvassa lahdessa nykyisen Kurikan alueelle on kerrostunut aikaresoluutioltaan poikkeuksellisen hienosyinen sedimenttisarja, joka kertoo pohjan happitilanteen muutoksista. Ajallisesti sedimenttisarja kattaa paikallisen deglasiaation, Ancylusjärvivaiheen ja Litorinameren kehityksen paikalliseen kuroutumiseen asti, ajoittuen jaksolle n. 10 800–4 500. Magneettiset mineraalit ovat herkkiä ympäristön prokseja ja niiden kerrostumisen jälkeiseen diageneesiin liittyy joko detritaalisten magneettisten mineraalien muuttuminen tai uusien magneettisten mineraalien syntyminen. Koska muutoksia tapahtuu sekä hapettavissa että pelkistävissä ympäristöissä, voidaan magneettisia mineraaleja käyttää tutkittaessa sedimenttien diageneettisiä prosesseja ja ympäristöjä. Esimerkiksi greigiitti on rautasulfidi, jonka esiintyminen indikoi hapetonta ympäristöä. Greigiittiä voi syntyä diageneesissa sulfaatin pelkistymisen tai metaanin anaerobisen hapettumisen seurauksena. Lisäksi magnetotaktiset bakteerit tuottavat greigiittiä magnetosomeihinsa. Ympäristömagneettiset ominaisuudet kertovat greigiitin synty-ympäristön redox-olosuhteista. Huhtikuussa 2019 kerätystä 40 metriä pitkästä sedimenttisarjasta määritettiin sedimentin litologia, magneettinen suskeptilibeetti, orgaanisen aineksen pitoisuus sekä raekoko. Tulosten perusteella sedimenttisarja jaettiin viiteen yksikköön (KY15-1–KY15-5). Yksiköistä KY15-2, KY15-3 ja KY15-4 selvitettiin ympäristömagneettiset ominaisuudet neljästä eri vyöhykkeestä. Suskeptibiliteettiaineiston toistotarkkuus varmennettiin korkeamman resoluution mittauksin ja ympäristömagneettisia tuloksia verrattiin suskeptibiliteettimittauksiin. Ympäristömagneettisten tulosten vertailu suskeptibliteetin arvoihin osoittaa, että suskeptibiliteettia voidaan käyttää ympäristömagneettisten ominaisuuksien rekonstruoimiseen Kurikan sedimenttisarjan sedimenttiyksiköissä, joissa sedimentaatio on verrattain tasaista eikä suuria raekokomuutoksia esiinny. Litorinamerivaiheen sedimentistä havaittiin single-domain (SD) kokoista (200-1000 nm) autigeenistä greigiittiä Kurikan sedimenttisarjassa ja ympäristömagneettiset tulokset indikoivat sen alkuperäksi sulfidista ympäristöä. Tutkimuskohteen sedimenttisarja eroaa muista Itämerestä tutkituista sedimenttisarjoista erityisesti Ancylusjärven sedimenttien ympäristömagneettisilta tuloksiltaan. Poiketen syvänteistä kerätyistä sedimenttisarjoista, ei Ancylusjärven savista tunnistettu greigiittiä, eikä sedimentissä nähty selviä sulfidikerroksia. Litologisten ja ympäristömagneettisten tulosten perusteella greigiitin (autigeeninen) syntymekanismi Kurikan sedimenttisarjassa on erilainen, kuin Itämeressä aiemmin havaitulla greigiittillä (magnetotaktisten bakteerien synnyttämä). Tutkimuksen tulokset viittaavat siihen, että greigiitin syntytavat voivat olla jopa altaan samoissa sedimenteissä toisistaan poikkeavat, ja että sedimentaatioympäristö vaikuttaa vahvasti greigiitin syntymiseen ja sen säilymiseen sedimentissä. Suskeptibiliteetin perusteella hypoksia on ollut Litorinameren aikana mataloituvassa merenlahdessa yleistä, mutta ei jatkuvaa. Isomman mittakaavan trendit hapettomuuden vaihtelussa ovat olleet perenniaalisia oletetulla aikaresoluutiolla, mutta aineisto ei sulje pois hapettomuuden kausittaisuutta. Litorinameren ajalta voidaan erottaa ainakin kaksi pitempiaikaista, muutamia satoja vuosia jatkuvaa, hapetonta tai vähähappista kautta. Greigiitin määrä kuitenkin vaihtelee jaksojen aikana, heijastaen vaihtelua pohjaolosuhteissa. Hypoksisten kausien välillä (~6500–7000 cal BP) on viitteitä lyhytaikaisista hapellisista jaksoista. Kyseinen ajanjakso on yhdistetty kirjallisuudessa korkeampiin suolatasoihin Itämeren altaassa, suhteellisen merenpinnan korkeampiin tasoihin sekä hapellisten olosuhteiden yleistymiseen.

Tutkielma käsittelee korkean käytettävyyden klustereita. Tavoitteena on vertailla eri klusteriteknologioiden eroja ja arvioida tulosten perusteella sopivia käyttökohteita eri klusterituotteille. Samoja funktioita tarjoavat eri klusterituotteet asetetaan paremmuusjärjestykseen. Arviointi perustuu erilaisiin määrällisiin arvoihin, kuten solmulaitteiden maksimilukumäärä, sekä laadullisiin arvoihin, kuten käyttöönoton ja hallinnoinnin helppous. Erityisesti tavoitteena on tuoda esille eri tuotteiden vahvuuksia ja heikkouksia. Vertailtavia tuotteita ovat Microsoft Cluster Service (MSCS), TruCluster Server for Tru64 UNIX, Steeleye Lifekeeper for Windows ja Sun Cluster. ACM Computing Classification System (CSS): D.4 OPERATING SYSTEMS (C) D.4.5 Reliability

The amount of urban dwellers is rising and housing shortage is a constant problem in cities. To prevent urban sprawl, Helsinki has decided to build high-rise. The future high-rise areas Keski-Pasila and Kalasatama are being built right now. At the same time several urban planners and urban theorists are concerned about the effect that tall buildings have on the urban public space on ground level. Indeed, high-rise buildings produce long shadows and sometimes hard winds to the ground level. Also they very often have monotonous facades. This master's thesis will be examining the relation between high-rise buildings and urban public space. There is very little scientific literature about the topic. The thesis evolves around the question of how can we design convivial urban public space on the ground level of high-rise buildings. Moreover what makes a good public space? The methods used are interviews and a comparative study. In the absence of high-rises in Finland, a case in point was found in Rotterdam, The Netherlands. A closer examination of two areas is conducted: the future high-rise area Keski-Pasila in Helsinki and the high-rise area of Kop van Zuid in Rotterdam. Expert interviews were held in both cities and opinions about the topic seemed to vary. The results of the study show a set of criteria on how to mitigate the negative effects of high-rises on urban public space. The successes and failures of Rotterdam can guide good practices of future high-rise projects everywhere. The criteria should be applied to high-rise projects already in the planning phase. The most important aspects of a good public space on street level of high-rises are a mixed-use of functions, permeability, active use of the plinth and pedestrian friendly surroundings.

For the conservation of biodiversity, it is important to examine the factors that shape species richness in different ecosystems. Global warming is predicted to be most pronounced in arctic-alpine areas and arctic environments, especially in major ecotones, like environments close to the tree lines. Therefore by examining the species richness, distribution and requirements of species living in mountainous areas, it is possible to assess the effects of climate change in different spatial scales. Elevational gradients are suitable for this kind of research, because many ecosystems processes and structure of local communities change along elevational gradients. Studies carried out in elevational gradients can help us to find out the mechanisms that shape local communities. The elevational patterns of species richness of micro-organisms like diatoms have been studied increasingly lately, but the results of the factors shaping species richness along elevational gradient are varied between different studies and groups of micro-organisms. Therefore it is important to learn more about the factors that shape species richness of micro-organisms along elevational gradients. In this thesis’s the elevational patterns of species richness and species evenness were studied in three different mountain streams in northern Norway and Kilpisjärvi (n= 44). The study also examines the effects of altitude to taxonomic relatedness of diatom species. Diatom and water chemistry samples were collected in August 2013. Generalized linear models (GLM) were used to analyse species richness and the correlation between environmental variables and species richness were examined with pairwise correlation tests. Taxonomic distinctness was calculated with taxondive-command. According to the GLM, the species richness was best explained (49,2 %) by pH of stream water, stream depth, conductivity and altitude. Species evenness was best explained (45,6 %) by water temperature and total nitrogen (TN). Altitude showed a statistically significant relation to species richness (p= 0,003) and species evenness only in Lepänjoki (p< 5,45e+07). Species were not phylogenetically more clustered as elevation increased. Altitude did not explain the taxonomic distinctness of diatom species in the research streams. It can be concluded that a deeper riverbed guarantee more stable conditions to diatom species. Similarly, higher water pH value is more favorable habitat for diatoms, than acidic waters. Altitude may affect species richness through bedrock geology, which probably affects pH value and conductivity in the research streams. The short elevational gradients probably affect the fact that species richness did not decrease as altitude increased and that the species were not closely related to each other at the upper end of the gradient.

Kahden luokittelumuuttujan taulukko - lukumäärädata - on hyvin yleinen datatyyppi. Taulukoita on kaikkialla, ja yksinkertainen korrespondenssianalyysi on menetelmä taulukon rivien ja sarakkeiden yhteyksien analyysiin. Se on graafinen menetelmä, riippuvuudet kuvataan yleensä kaksiulotteisena karttana. Rivit ja sarakkeet esitetään samassa koordinaatistossa, jonka akselit tulkitaan rivien ja sarakkeiden sijainnin avulla. Tutkielmassa esitellään yksinkertaisen korrespondenssianalyysin peruskäsitteet data-analyysin avulla. Aineisto on valittu kansainvälisestä kyselytutkimuksesta ”ISSP 2012 - Family and Changing Gender Roles, International Social Survey Programme: Family and Changing Gender Roles”. Tutkielman alkuluvut esittelevät menetelmän perusteet kuuden maan ja yhden luokittelumuuttujan taulukon analyysin kautta. Taustamuuttujina on vastaajan ikä ja sukupuoli, jotka yhdistetään maa- muuttujan kanssa. Osajoukon korrespondenssianalyysistä siirrytään useiden muuttujien samanaikaiseen analyysiin. Taulukoita yhdistämällä voidaan tutkia kahden muuttujaryhmän välisiä yhteyksiä. Laajempaa 25 maan aineistoa käytetään seitsemän haastattelukysymyksen välisten yhteyksien analyysiin (multiple correspondence analysis MCA). Puuttuvat tiedot ovat aineistossa mukana omana vastauskategoriana. Tutkielmassa osoitetaan, että yksinkertainen korrespondenssianalyysi on pätevä menetelmä kahden luokittelumuuttujan taulukon riippuvuuksien hahmottamiseen. Tulkinnan perussäännöt pätevät myös monimutkaisemmissa asetelmissa. Puuttuneisuuden analyysi osajoukon korrespondenssianalyysin avulla (subset MCA) osoittaa, että menetelmä sopii hyvin isojen kyselyaineistojen tutkimukseen. Tärkeimpiä lähteitä ovat Michael Greenacren oppikirjat (Correspondence analysis in practice, Biplots in Practice) ja CARNE-verkoston konferenssijulkaisu (Greenacre, Michael, ja Jörg Blasius. Multiple correspondence analysis and related methods, 2006).

Tässä tutkielmassa perehdytään Bornhuetter-Ferguson -menetelmään ja sen mukaiseen korvausvastuun arviointiin. Vakuutusyhtiön toiminnan kannalta korvausvastuu, joka on osa vastuuvelkaa, ja sen arviointi on erittäin merkittävä tekijä. Tässä työssä korvausvastuulla tarkoitetaan jo sattuneista vahingoista sopimusten perusteella maksamatta olevien korvausten määrää yhdessä muiden maksamatta olevien määrien kanssa. Korvausvastuun arviointi on tärkeää muun muassa yhtiön vakavaraisuuden arvioinnin ja vakuutusten oikeanlaisen hinnoittelun takia. Vakuutuksenottajan etujen turvaamiseksi on tärkeää, että korvausvastuulle saadaan mahdollisimman oikean suuruinen arvio. Korvausvastuuta voidaan arvioida monilla eri tavoilla. Nämä tavat voidaan jakaa kahteen ryhmään: deterministisiin menetelmiin ja stokastisiin malleihin. Deterministisissä menetelmissä korvausvastuulle saadaan estimaatti, kun sovelletaan suoraan valittua algoritmia tarkasteltavana oleviin tilastoihin. Tällä tavalla estimoitaessa estimaattiin liittyvää epävarmuutta tai menetelmän tarkkuutta ei tosin kyetä arvioimaan. Korvausvastuulle on kuitenkin saatu yksi estimaatti, jota voidaan hyödyntää esimerkiksi yhdessä muilla menetelmillä saatujen estimaattien kanssa. Stokastisissa malleissa tarkastellaan jotain tuntematonta mekanismia, joka tuottaa havaitut korvaukset. Korvausvastuulle saadaan estimaatti, kun tällainen malli ja tarkasteltavana olevat tilastot sovitetaan yhteen. Tällä tavalla estimoitaessa saadaan enemmän tietoa korvausvastuun riittävyydestä, sillä mallin avulla saadaan estimaatti myös ennustevirheen hajonnalle. Ennustevirheen hajonnan avulla saadaan arvioitua mallin tarkkuutta sekä lisäksi sen avulla voidaan arvioida, kuinka iso varmuuslisä tarvitaan vakuutusyhtiölakiin kirjatun turvaavuusperiaatteen varmistamiseksi. Tutkielmassa käydään ensin läpi deterministinen Bornhuetter-Ferguson -menetelmä ja sen mukainen korvausvastuun estimointi. Sen jälkeen perehdytään jakaumavapaan mallin pohjalta johdettuun stokastiseen Bornhuetter-Ferguson -menetelmään ja lopuksi vielä perehdytään tämän menetelmän erikoistapaukseen, jossa korvausten oletetaan noudattavan yleistä Poisson-jakaumaa ylihajonnalla. Stokastisten mallien kohdalla esitetään keino, kuinka kehityskerroin voitaisiin estimoida ja johdetaan kaava ehdolliselle keskineliövirheen ennusteelle. Tutkielmassa näytetään myös keino, kuinka kehityskertoimelle saadaan laskettua suurimman uskottavuuden estimaatti silloin, kun korvausten oletetaan noudattavan yleistä Poisson-jakaumaa ylihajonnalla. Tällöin saadaan johdettua kaava tiukalla matemaattisella tavalla myös näiden estimaattien kovarianssin estimaatille. Lopulta näiden estimaattien avulla saadaan kaava myös ehdolliselle keskineliövirheen ennusteelle. Näitä tässä työssä esitettyjä kehityskertoimen, niiden kovarianssimatriisin ja kokonaiskorvausmenon ehdollisen keskineliövirheen ennusteen estimaatin kaavoja suositellaan sovellettavan korvausvastuun estimoinnissa niin kauan, kun ei ole käytettävissä paremmin toimivia estimaatteja.