Browsing by discipline "Matematik"

Kirjoitus käsittelee kartioleikkauksia projektiivisessa geometriassa erityisesti steinerpedagogisen näkökulman kautta. Pääpaino on lukioon sopivien aihepiirien käsittelyllä, koska projektiivista geometriaa opetetaan steinerkouluissa yleensä lukiossa. Kirjoituksen alkupuolella kuvaillaan kokonaiskuvan muodostumiseksi steinerpedagogisen matematiikan opetuksen erityispiirteitä sekä käydään lyhyesti läpi steinerpedagogiikalle tyypillisiä matematiikan aihepiirejä ja tarkastelutapoja alakoulusta lukioon. Steinerkoulun alempien luokkien taiteellinen työskentely esimerkiksi varjojen piirtämisen ja perspektiivipiirustuksen parissa on oleellista myös siltä kannalta, että se valmistelee myöhempää lukion projektiivisen geometrian ymmärtämistä. Kirjoituksessa lähestytään projektiivisen geometrian kartioleikkauksia aluksi pallon varjojen kautta. Pallon varjoksi voi syntyä ympyrä, ellipsi, paraabeli tai hyperbeli riippuen valonlähteen sijoittelusta. Samalla huomataan, että kartioleikkauksissa ei ole kyse vain teoreettisista käsitteistä, vaan ne esiintyvät fyysisessä ympäristössä. Projektiivisen geometrian käsittely jatkuu lukioikäisille sopivilla piirustusharjoituksilla, käsitteiden määrittelyillä, projektiivisen geometrian peruslauseiden käsittelyllä ja äärettömyyden tarkastelulla. Steinerpedagogiikassa usein tarkastellut vähittäiset muodonmuutokset tulevat esiin esimerkiksi pistekartioleikkauksen muuntumisen yhteydessä. Kirjoituksessa ei ole pyritty aksiomaattiseen järjestelmään, vaan käsittelemään aihetta tavalla, joka tekisi siitä elävää ja lähestyttävää. Steinerpedagogiikalle tyypillinen pyrkimys on lähestyä aiheita monitahoisesti ja kokemuksellisesti, eri oppiaineita yhdistäen. Tässä kirjoituksessa se tulee esiin esimerkiksi siinä, miten kartioleikkauksia voidaan tarkastella ympäristössä varjojen ja perspektiivitarkastelujen kanssa yhdistäen geometriaa, kuvataidetta ja fysiikkaa.

Tämä pro gradu –tutkielma käsittelee rengasteorian osa-alueita renkaiden alkeista ketjuehtorenkaiden ominaisuuksiin. Ketjuehtorenkailla tarkoitetaan renkaita, jotka toteuttavat nousevan tai laskevan ketjun ehdon. Nousevan ketjun ehdon toteuttavat renkaat ovat Noetherin renkaita ja laskevan ketjun ehdon toteuttavat renkaat ovat Artinin renkaita. Tutkielmalla on kaksi päämäärää, joista ensimmäinen on esitellä ja tutkia ketjuehtorenkaita. Toinen päämäärä on koota ehyt kokonaisuus erilaisista renkaista ja renkaisiin liittyvistä rakenteista. Tutkielmassa esitellään monia rengasteorian rakenteita ja tutkitaan niiden välisiä yhteyksiä. Tutkielman ensimmäinen luku on johdantoa, minkä jälkeen toisessa luvussa käsitellään renkaita, kokonaisalueita ja kuntia. Kolmas luku keskittyy renkaiden ideaaleihin, tekijärenkaisiin ja pääideaalialueisiin. Neljännessä luvussa määritellään alkuideaalit, maksimaaliset ideaalit sekä tekijöihinjaon alueet. Viides luku käsittelee ketjuehtorenkaita eli Noetherin ja Artinin renkaita. Tässä luvussa käydään läpi Hilbertin kantalauseen todistus. Hilbertin kantalauseen mukaan polynomirengas on Noetherin rengas, jos sen kerroinrengas on noetherilainen. Kuudennessa luvussa jatketaan ketjuehtorenkaiden käsittelyä sekä todistetaan, että jokainen pääideaalialue on yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue. Kuudennessa luvussa kootaan myös tutkielmassa käsitellyt rengasrakenteet sisältymisen mukaiseen järjestykseen. Lukijalle riittää esitiedoiksi perusteet lukualueista, laskutoimituksista ja ryhmäteoriasta.

Tässä tutkielmassa esitellään miten kokonaisluvut rakennetaan systemaattisesti joukko-opin avulla luonnollisten lukujen erotuksina muodostuvista ekvivalenssiluokista. Työssä käsiteltävät asiat kuuluvat algebran alueeseen ja erityisesti abstraktiin algebraan, jossa käsitellään erilaisia aksiomein rakennettuja systeemejä. Abstrahoimalla käsitteitä ne saadaan paremmin matematiikan palvelukseen ja yleisen teorian avulla voidaan tarkastella erikoistapauksia. Aksiomaattinen menetelmä vapauttaa pelkältä intuitioon perustuvalta todistamiselta ja soveltaa teoreemojen johtamiseen logiikan sääntöihin perustuvaa päättelyä. Työn alussa kerrataan tarvittavia joukko-opin ja algebran käsitteitä mukaan lukien relaatiot, kuvaukset ja algebralliset struktuurit, kuten ryhmä ja rengas. Siitä siirrytään rakentamaan luonnollisten lukujen joukkoa määrittelemällä sopiva ekvivalenssirelaatio. Tämä tekee jokaisesta luonnollisesta luvusta ekvivalenssiluokan, jonka jäsenet ovat keskenään yhtä mahtavia äärellisiä joukkoja, joille määritellään yhteen- ja kertolasku, sekä järjestys. Seuraavaksi laajennetaan luonnollisten lukujen joukkoa yhdistämällä siihen negatiiviset luvut. Kokonaislukujen rakentamisessa on taustalla intuitiivinen ajatus siitä, että kokonaisluku on kahden luonnollisen luvun erotus. Kuitenkin sama negatiivinen luku voidaan esittää monella eri tavalla, jolloin kaikki samaa lukua esittävät erotukset yhdistetään edustamaan samaa ekvivalenssiluokkaa. Luonnollisten lukujen joukko upotetaan kokonaislukujen joukkoon ja varustetaan yhteen ja kertolaskulla, jolloin tuloksena on struktuuri, jota kutsutaan kokonaislukujen renkaaksi. Tutkielman lopulla tarkastellaan, miten lapset tutustuvat ensimmäisen kerran negatiivisiin kokonaislukuihin alakoulun neljännellä luokalla kirjasarjassa Tuhattaituri.

Tutkielmassa konstruoidaan kolmitilainen stokastinen malli, lähtien siitä, että siirtymäintensiteetit tunnetaan. Tutkielman kantava idea on se, että siirtymäintensiteetit saavat riippua ajan lisäksi siitä, milloin siihen tilaan, missä kullakin hetkellä ollaan, ollaan saavuttu. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että ne riippuvat siitä, milloin viimeisin hyppy tapahtui. Koko tutkielman ajan ajatellaan periaatteessa, että mallia sovelletaan henkivakuutukseen, tai ehkä tarkemmin ottaen sairasvakuutukseen. Näin ei kuitenkaan tarvitse ajatella, sillä itse henkivakuutusmatematiikkaan mennään vasta aivan luvun neljä lopussa. Asioita käydään siis läpi rajoittumatta mihinkään tiettyyn sovellukseen. Mallin voi ajatella yhtä hyvin kuvaavan jotain muuta asiaa. Esimerkiksi jonkin laitteen siirtymistä ehjästä epäkuntoiseen, ja siitä edelleen rikkinäiseen. Ensimmäinen luku tutkielmassa on luonnollisesti johdanto. Johdannossa pohditaan hieman, että mitä hyötyä siitä on, että intensiteetit voivat riippua jostain muustakin, kuin vain ajasta. Johdannon jälkeen on vielä lyhyt 'Kiitokset' osio. Luvussa kaksi käydään läpi joitain tutkielmassa käytettäviä merkintöjä. Lisäksi käydään läpi joitain määritelmiä ja tuloksia, joista on hyvä olla tietoinen lukiessaan tutkielmaa. Nämä liittyvät enimmäkseen sigma-algebroihin sekä ehdollisiin odotusarvoihin. Määrittelemme esimerkiksi ehdollisen odotusarvon sekä säännölliset ehdolliset jakaumat. Luvussa kolme määritellään hyppyprosessit ja merkkiset hyppyprosessit. Tämä tehdään yleisellä tasolla, eli emme siis vielä tässä luvussa siirry kolmitilaiseen malliimme. Lisäksi todistamme erään tärkeän lauseen jota käytämme myöhemmin. Tätä todistusta varten joudumme todistamaan myös muutaman aputuloksen. Luvun lopussa puhumme hieman siitä, että mitä siirtymäintensiteetit oikeastaan ovat. Luvussa neljä määrittelemme tarkasti mallimme. Tämän jälkeen muotoilemme sekä todistamme monia lauseita. Todistamme esimerkiksi, että eräs kaksipaikkainen prosessi on Markov-prosessi. Lisäksi määrittelemme siitymätodennäköisyydet ja siirtymäintensiteetit, sekä etsimme näille esitykset siirtymäintensiteettien avulla. Luvun lopussa pohditaan mallia henkivakuutus-sovelluksen näkökannalta, ja lasketaan joitain henkivakuutusmatematiikalle tyypillisiä tunnuslukuja. Luku viisi on yhteenveto siitä, mitä olemme tutkielman aikana saaneet aikaan. Puhumme hieman mallimme mahdollisista ongelmista ja pohdimme miten mallia olisi mahdollista jatkojalostaa.

Työn keskeisenä tavoitteena on osoittaa, että jokaisen kompaktin ja yhtenäisen moniston perusryhmällä on äärellinen esitys virittäjien ja relaatioiden avulla. Teoriapohjana käytetään metristen sekä yleisten topologisten avaruuksien teoriaa, jolloin kaikki tutut käsitteet, kuten jatkuvuus ja yhtenäisyys oletetaan tunnetuiksi. Työn ensimmäisessä luvussa käsitellään homotopiateorian perustiedot, jossa aluksi esitellään yleisen homotopian sekä polkuhomotopian käsitteet, minkä jälkeen siirrytään avaruuden perusryhmän määritelmään, ja määritellään kahden avaruuden perusryhmän välinen indusoitu homomorfismi. Tämän jälkeen siirrytään peitekuvausten, peiteavaruuksien sekä peitetransformaatioiden tarkasteluun, ja osoitetaan kuvauksen noston avulla, että yhtenäisen ja lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden perusryhmä on isomorfinen sen universaalipeiteavaruuden automorfismiryhmän kanssa. Lopuksi tarkastellaan vielä topologisten monistojen määritelmää, ja osoitetaan, että jokaisella yhtenäisellä monistolla on olemassa lokaalisti polkuyhtenäinen ja metristyvä universaalipeiteavaruus. Työn toisessa luvussa tutustutaan lyhyesti topologisten transformaatioryhmien teoriaan, ja määritellään vahvan toiminnan käsite. Luvun aluksi määritellään ryhmän toiminnan sekä topologisen ryhmän käsite. Tämän jälkeen määritellään topologisten transformaatioryhmien käsite sekä rata-avaruuden käsite, ja näytetään, että rata-avaruuteen liittyvä kanoninen projektio on avoin kuvaus. Sen jälkeen siirrytään tarkastelemaan vahvan toiminnan käsitettä kahden eri määritelmän avulla, ja näytetään, että sopivilla oletuksilla ne yhtyvät toisiinsa. Luvun lopuksi palataan vielä edellisessä luvussa määriteltyihin peitetransformaatioiden käsitteeseen, ja osoitetaan, että yhtenäisen moniston kaltaisella avaruudella, jolle löytyy sopiva universaalipeiteavaruus, on olemassa vahva automorfismiryhmän määrittelemä toiminta kyseisessä universaalipeiteavaruudessa, ja tämän toiminnan määrittelemä rata-avaruus on kompakti. Työn viimeisessä luvussa tarkastellaan perussysteemejä sekä vapaita ryhmiä, ja osoitetaan, että sopivilla oletuksilla annetulle ryhmälle löytyy äärellinen esitys. Luvun alussa määritellään topologiseen transformaatioryhmään liittyvä perussysteemi sekä tähän perussysteemiin liittyvä tekijäavaruus, minkä jälkeen osoitetaan, että sopivilla oletuksilla tämä tekijäavaruus on metristyvä ja siihen liittyvä toiminta on peitekuvaus. Tämän jälkeen siirrytään tarkastelemaan vapaan ryhmän käsitettä, ja osoitetaan, että se on hyvin määritelty, jonka jälkeen määritellään ryhmän esitys. Luvun lopuksi määritellään perusjoukon käsite, ja osoitetaan useamman välituloksen avulla, että annetulle ryhmälle, joka toimii sopivalla ominaisuuksilla varustetussa avaruudessa, löytyy äärellinen esitys. Lisäksi tutustutaan vielä parakompaktien avaruuksien käsitteeseen, ja näytetään, että tietyistä edellisen lauseen oletuksista voidaan luopua, jos ryhmän toiminta avaruudessa on vahva, ja rata-avaruus tunnetaan kompaktiksi. Yhdistämällä edellisissä luvuissa esiintyneitä tuloksia tähän tulokseen saadaan osoitetuksi, että jokaisen kompaktin ja yhtenäisen moniston perusryhmällä on äärellinen esitys.

Tässä tutkielmassa perehdytään Bornhuetter-Ferguson -menetelmään ja sen mukaiseen korvausvastuun arviointiin. Vakuutusyhtiön toiminnan kannalta korvausvastuu, joka on osa vastuuvelkaa, ja sen arviointi on erittäin merkittävä tekijä. Tässä työssä korvausvastuulla tarkoitetaan jo sattuneista vahingoista sopimusten perusteella maksamatta olevien korvausten määrää yhdessä muiden maksamatta olevien määrien kanssa. Korvausvastuun arviointi on tärkeää muun muassa yhtiön vakavaraisuuden arvioinnin ja vakuutusten oikeanlaisen hinnoittelun takia. Vakuutuksenottajan etujen turvaamiseksi on tärkeää, että korvausvastuulle saadaan mahdollisimman oikean suuruinen arvio. Korvausvastuuta voidaan arvioida monilla eri tavoilla. Nämä tavat voidaan jakaa kahteen ryhmään: deterministisiin menetelmiin ja stokastisiin malleihin. Deterministisissä menetelmissä korvausvastuulle saadaan estimaatti, kun sovelletaan suoraan valittua algoritmia tarkasteltavana oleviin tilastoihin. Tällä tavalla estimoitaessa estimaattiin liittyvää epävarmuutta tai menetelmän tarkkuutta ei tosin kyetä arvioimaan. Korvausvastuulle on kuitenkin saatu yksi estimaatti, jota voidaan hyödyntää esimerkiksi yhdessä muilla menetelmillä saatujen estimaattien kanssa. Stokastisissa malleissa tarkastellaan jotain tuntematonta mekanismia, joka tuottaa havaitut korvaukset. Korvausvastuulle saadaan estimaatti, kun tällainen malli ja tarkasteltavana olevat tilastot sovitetaan yhteen. Tällä tavalla estimoitaessa saadaan enemmän tietoa korvausvastuun riittävyydestä, sillä mallin avulla saadaan estimaatti myös ennustevirheen hajonnalle. Ennustevirheen hajonnan avulla saadaan arvioitua mallin tarkkuutta sekä lisäksi sen avulla voidaan arvioida, kuinka iso varmuuslisä tarvitaan vakuutusyhtiölakiin kirjatun turvaavuusperiaatteen varmistamiseksi. Tutkielmassa käydään ensin läpi deterministinen Bornhuetter-Ferguson -menetelmä ja sen mukainen korvausvastuun estimointi. Sen jälkeen perehdytään jakaumavapaan mallin pohjalta johdettuun stokastiseen Bornhuetter-Ferguson -menetelmään ja lopuksi vielä perehdytään tämän menetelmän erikoistapaukseen, jossa korvausten oletetaan noudattavan yleistä Poisson-jakaumaa ylihajonnalla. Stokastisten mallien kohdalla esitetään keino, kuinka kehityskerroin voitaisiin estimoida ja johdetaan kaava ehdolliselle keskineliövirheen ennusteelle. Tutkielmassa näytetään myös keino, kuinka kehityskertoimelle saadaan laskettua suurimman uskottavuuden estimaatti silloin, kun korvausten oletetaan noudattavan yleistä Poisson-jakaumaa ylihajonnalla. Tällöin saadaan johdettua kaava tiukalla matemaattisella tavalla myös näiden estimaattien kovarianssin estimaatille. Lopulta näiden estimaattien avulla saadaan kaava myös ehdolliselle keskineliövirheen ennusteelle. Näitä tässä työssä esitettyjä kehityskertoimen, niiden kovarianssimatriisin ja kokonaiskorvausmenon ehdollisen keskineliövirheen ennusteen estimaatin kaavoja suositellaan sovellettavan korvausvastuun estimoinnissa niin kauan, kun ei ole käytettävissä paremmin toimivia estimaatteja.

Äärellistä ryhmää, jonka kertaluku on jonkin alkuluvun p potenssi kutsutaan p-ryhmäksi. Lazardin korrespondenssi sanoo, että jokaista äärellistä p-ryhmää, jonka nilpotenssiluokka on aidosti pienempi kuin alkuluku p vastaa Lien rengas, joka on määritelty samassa joukossa. Lazardin korrespondenssin tärkein työkalu on Baker-Campbell-Hausdorffin kaava (BCH-kaava). Käyttämällä BCH-kaavaa voidaan Lazardin korrespondenssin ehdot täyttävälle Lien renkaalle antaa multiplikatiivisen p-ryhmän rakenne. Äärelliselle p-ryhmälle voidaan antaa Lien renkaan rakenne määrittelemällä summa ja Lie-tulo BCH-kaavan käänteiskaavoja käyttämällä.

Tavoitteena tässä työssä on tutkia separoituvan Hilbertin avaruuden operaattoreiden jälkeä ja determinanttia. Lähdemme liikkeelle kuitenkin kompaktien operaattoreiden tarkastelulla ja johdamme kompaktien operaattoreiden perusominaisuudet ensimmäisessä luvussa. Tarkastelemme lyhyesti myös analyyttisiä vektoriarvoisia funktioita, sillä näiden avulla on kätevää todistaa analyyttinen Fredholm-alternatiivi, jota puolestaan käytämme kompaktin operaattorin spektriin liittyvien tulosten todistuksissa. Osoitamme myös, että kompaktilla operaattorilla on Hilbert-Schmidt-esitys sekä määrittelemme kompakteille operaattoreille singulaariarvot sekä singulaariarvojonon. Toisessa luvussa tarkastelemme tarkemmin kompaktin operaattorin singulaariarvoja. Singulaariarvojonojen avulla saamme määriteltyä Schatten-luokat, joista tämän työn kannalta tärkeimmät ovat trace-luokka ja Hilbert-Schmidt-luokka. Osoitamme, että Schatten-luokat ovat Banachin avaruuksia norminsa suhteen. Tämän työn tärkeimmät tulokset ovat kolmannessa luvussa. Määrittelemme trace-luokan operaattoreille ensin jäljen ja tämän jälkeen käyttäen Hilbertin avaruuden tensorituloja ja alternoivaa algebraa hyväksi, määrittelemme myös determinantin muotoa I + T oleville operaattoreille, missä T on trace-luokan operaattori. Osoitamme myös, että määrittelemillämme jäljellä ja determinantilla on useita samoja ominaisuuksia kuin äärellisulotteisilla vastineillaan. Luvun, ja samalla tämän työn, päätulos on Lidskiin lause, jonka mukaan trace-luokan operaattorin jälki on sen ominaisarvojen summa, kun ominaisarvojen kertaluku otetaan huomioon. Lidskiin lauseen todistuksessa käytämme hyödyksi kompleksianalyysiä. Osoitamme, että z\mapsto \det(I + zT) on kokonainen funktio kun T on trace-luokan operaattori. Kyseisen funktion nollakohdilla ja operaattorin T ominaisarvoilla on läheinen yhteys. Näin ollen analyyttisten funktioiden ominaisuuksia saadaan käytettyä tutkittaessa operaattorin T ominaisarvoja. Viimeisessä luvussa tarkastelemme rajoitettua tapausta, missä Hilbertin avaruutena on L^2(\mathbb{R}^n,m_n). Tällöin osoitamme, että Hilbert-Schmidt-operaattorit, samoin kuin trace-luokan operaattorit, ovat esitettävissä integraalioperaattoreina. Tärkeimpänä tuloksena osoitamme, että trace-luokan operaattorin jälki voidaan esittää integraalin avulla käyttäen hyväksi operaattorin integraaliesitystä.

Pro gradussa kuvataan logistisen regressioanalyysin perusteet ja havainnollistetaan esimerkillä sen käyttöä suomalaisia koti- ja rotukissoja koskeneen terveyskyselyn astma-aineistossa. Logistista regressiota käytetään yleensä aineistoissa, joissa selitettävä muuttuja on kaksiluokkainen, mutta sovelluksia on myös useampiluokkaisille aineistoille samoin kuin aineistoille, joissa on useampi kuin yksi kaksiluokkainen selitettävä muuttuja. Logistista regressiota käytetään tutkimuksissa monilla eri tieteenaloilla, mutta erityisen hyvin se sopii epidemiologisiin tutkimuksiin. Usein tutkittava havaintoaineisto sisältää ryhmiä. Tällaiset rakenteet voivat vääristää tutkimuksen tuloksia, ellei niitä oteta huomioon aineiston analyysissa. Yksi vaihtoehto havaintoaineiston ryhmärakenteiden hallintaan on sisällyttää malliin satunnaisvaikutuksia (random effect) eli kertoimia, jotka koskevat vain ryhmän sisäisiä havaintoja. Tällaista mallia kutsutaan satunnaisten vaikutusten malliksi. Myös sekoittavat tekijät, muuttujien multikollineaarisuus ja interaktiot on pyrittävä löytämään analyysissa ja niiden vaikutus hallitsemaan. Tutkielman luvussa 1 kuvataan logistisen regression historia ja annetaan esimerkkejä logistisen regression käytöstä eri tieteenaloilla. Kissojen astmaa koskevaa esimerkkiä pohjustetaan selittämällä tarkemmin epidemiologisen tutkimuksen periaatteita ja logistisen regression käyttöä epidemiologiassa. Luvussa 2 esitellään logistisen regression matemaattinen teoria, joka pitää sisällään logistisen regressiomallin käsitteen esittelyn, regressiokertoimien tulkinnan, estimoinnin ja merkitsevyyden testaamisen sekä logistisen regressiomallin hyvyyden testaamisen. Lopuksi luvussa esitellään satunnaisvaikutusten käyttö aineistoissa, joissa havainnot muodostavat ryhmiä. Luvussa 3 logistista regressiota sovelletaan kissojen terveyskyselyn astma-aineistoon. Luvussa 4 pohditaan logistisen regressiomallin etuja ja puutteita sekä kissojen astma-aineistosta saatuja tuloksia. Luku 5 sisältää esimerkkiin liittyvät taulukot ja kuvat. Logistinen regressio on tehokas väline analysoitaessa aineistoja, joissa selitettävä muuttuja on kaksiluokkainen. Analyysissa on kuitenkin tärkeää ottaa huomioon aineiston mahdolliset ryhmärakenteet sekä löytää ja huomioida muuttujien väliset assosioituneisuudet, jotka voivat vääristää tuloksia. Esimerkin kissa-aineistossa kissarodut muodostivat ryhmiä. Analyysissa käytettiin muun muassa logistisen regressiomallin sovellusta, jossa kissojen rodut huomioidaan sisällyttämällä malliin kissarotujen satunnaisvaikutukset (random intercept). Kun lisäksi interaktioden, multikollineaarisuuden ja sekoittavien tekijöiden vaikutukset otettiin huomioon, kissojen astman todettiin olevan assosioitunut varsinkin korat-rotuisiin kissoihin.

Deskriptiivisessä vaativuusteoriassa tutkitaan laskennan vaativuuteen liittyviä kysymyksiä logiikan työkalujen avulla. Tällöin käsitellään tilannetta, jossa laskennan syötteenä toimivat äärelliset mallit. Tässä kehyksessä erinäisiä vaativuusluokkia voidaan karakterisoida etsimällä logiikoita, joilla on kyseistä vaativuusluokkaa vastaava ilmaisuvoima. Klassiset esimerkit tällaisista tuloksista ovat Faginin esittämä epädeterministisen polynomiaalisen ajan karakterisaatio logiikan Σ 1 1 avulla ja Immermanin, Livchakin ja Vardin esittämä deterministisen polynomiaalisen ajan karakterisaatio ensimmäisen kertaluvun inflatorisen kiintopistelogiikan avulla. Tässä opinnäytetyössä tarkastellaan Gurevichin esittämää kysymystä polynomiaalisessa ajassa ratkeavien kielten luokan P vahvasta loogisesta karakterisaatiosta. Kyseinen kysymys on yksi äärellisen malliteorian haastavimpia ongelmia. Kysymyksen esittelyyn tarvittavan peruskoneiston läpikäynnin lisäksi tässä käsitellään myös sen yhteyksiä laskennan vaativuusteoriassa keskeiseen P-NP-ongelmaan. Gurevichin kysymyksestä voidaan esittää myös rajoitetumpia versioita, mikäli käsitellään tilannetta, jossa laskennan syötteenä voi olla vain kiinnitetyn malliluokan K malleja. Tällöin luokan P karakterisointi helpottuu, ainakin jos luokka K on riittävän suppea. Tässä opinnäytetyössä käydään läpi Grohen esittämä tulos siitä, että mikäli luokaksi K valitaan 3-yhtenäisten tasoverkkojen luokka, niin ensimmäisen kertaluvun inflatorinen kiintopistelogiikka karakterisoi polynomiaalisessa ajassa laskettavat kielet.