Browsing by Title

The condition of Tahmelanlähde spring in city of Tampere has been under discussion for over two decades. Between 1906–1966, the spring was being used for municipal water supply and the water quality was good. The quality of discharging groundwater has since heavily deteriorated, bearing now high concentrations of iron, manganese, nitrogen, phosphorus and very low oxygen. The cause of this deterioration has remained unclear. The aims of this study were to increase the hydrogeological knowledge of Tahmela-Pispala area in order to get a better understanding of the regional groundwater flow patterns and sources of the groundwater discharging at the artesian spring area, to assess the cause for the spring deterioration and to give suggestions to a possible rehabilitation plan. Tahmelanlähde spring is located on a clay or silt soil under artesian circumstances, down the southern slope of Pispalanharju interlobate esker formation. The esker forms a longitudinal neck between Lake Näsijärvi and Lake Pyhäjärvi, rising up to 160 meters above sea level. The water level of Lake Näsijärvi is approx. 95 m a.s.l. and the water level of Lake Pyhäjärvi approx. 77 m a.s.l. Considering the distance of only a few hundred meters between these two lakes, the difference of 18 meters in the lake water levels is quite unusual in Finland’s geological context, especially because the lakes are separated by a major esker formation. For the assessment of the hydrogeological features in the study area we had two field campaigns including ground penetrating radar (GPR) survey, thermal infrared survey using unmanned aerial vehicle (UAV-TIR), measuring of water tables as well as water sampling from springs, surface water bodies, groundwater observation wells and groundwater discharging into the Lake Pyhäjärvi. 23 water samples were analyzed for main ion composition, stable isotopic (δ18O / δD) composition, pH, EC and trace elements such as iron and manganese. 14 samples were additionally analyzed for CODMn, N, P, O and microbial indicators. Some previous studies have suggested infiltration of Lake Näsijärvi water into the esker. Our results reveal that most of the groundwater in the Pispalanharju area contain a variable amount of surface water component. The samples east from the spring present good-quality groundwater and show nonexistent surface water impact. This and the complex sedimentology revealed by the GPR survey indicate that the regional groundwater flow patterns are not simple and there are at least two water components with different origins discharging at Tahmelanlähde spring. The results imply that the primary cause for the spring deterioration could be a major shift in the groundwater – surface water interaction in the northern esker area, probably driven by urbanization and the heavy construction during the last few decades. The study was a collaboration between the City of Tampere, Pirkanmaa Center for Economic Development, Transport and Environment (ELY Center) and University of Helsinki, Department of Geosciences and Geography.

Työssä tutkitaan epästabiilista ilmamassasta muodostuvaa ja paikallisesti vaikeasti ennustettavissa olevaa konvektiivista säätä. Tapaustutkimus käsittää kolmen vuorokauden jakson Yhdysvalloissa Atlantan Hartsfield-Jackson lentokentän lähestymisalueella heinäkuussa 2016. Tarkoituksena on tutkia, miten konvektiiviset pilvet vaikuttavat lentoliikennevirran kulkuun lähestymisalueella, jossa koneiden lukumäärä on suuri ja liikkumatila rajattua. Tapaustutkimus keskittyy Atlantan lentokenttään, mutta osa tuloksista voidaan yleistää muihin samankokoisiin lentokenttiin, joilla konvektiivinen sää on yleistä. Turvallisuusmääräysten mukaan lentäjien tulisi välttää konvektiiviset alueet vähintään 18 kilometrin etäisyydellä, mutta turvaetäisyyksistä huolimatta konvektiivisen sään läpäisyjä ja etäisyyksien alituksia tapahtuu lähestymisalueella usein. Tapaustutkimuksessa tutkittiin tilanteet, joissa turvaetäisyys lentokoneen ja konvektiivisen sään välillä oli alle 15 kilometriä. Tutkimus toteutettiin mittaamalla konvektiivisten solujen tutkakaikuja ja vertaamalla niitä lentokoneiden sijaintitietoihin. Konvektion raja-arvoksi määritettiin työssä 40 dBZ:n tutkaheijastuvuuden raja-arvo, jonka ylittyessä konvektion katsottiin olevan lentoliikenteelle haitallista. Edellä mainittujen aineistojen lisäksi käytettiin salamahavaintotietoja selvittämään vaikuttaako salamointi säänläpäisyyn. Salamahavaintojen sijaintitiedolla voitiin varmistaa myös salamoivan konvektiivisen pilven sijainti. Konvektiivisen sään läpäisyjä tapahtui tapaustutkimuksen aikana yhteensä 12 kertaa. Kaikki sään läpäisyt tapahtuivat alle 30 kilometrin etäisyydellä lentokentästä, jolloin koneet ovat alttiimmillaan tuuliväänteestä aiheutuville vaaratilanteille. Kauempana lentokentästä, noin 40–70 kilometrin etäisyydellä, kohdattu konvektiivinen sää sen sijaan pääsääntöisesti kierrettiin riippumatta konvektion voimakkuudesta tai laajuudesta. Lentäjien suorittamat väistöliikkeet olivat väistötilanteessa lyhimmillään keskimäärin noin 4–5 kilometrin etäisyydellä 40 dBZ:n tutkakaiuista. Kyseisen etäisyyden voidaan tulkita olevan lentäjien näkemys turvaetäisyydeksi konvektiopilveen. Lentäjien lentokokemuksilla konvektiivisessa säässä lentämiseen on tuloksien kannalta paljon merkitystä. Konvektiopilven läpäisyn todennäköisyys kasvaa, kun lentäjä seuraa edellä olevaa konetta tai kone on aikataulustaan myöhässä. Viime vuosien havaintojen perusteella tarpeettoman konvektiivisen sään läpäisyn kehityssuunta on nousussa, ja lentoliikenteen odotetaan vain kasvavan lähitulevaisuudessa. Kasvava lentoliikenne ja entistä ruuhkaisemmat lähestymisalueet voivat entisestään laskea lentäjän kynnystä lentää konvektiivisten alueiden läpi. Tapaustutkimuksen tutkimusjaksoa tulisi laajentaa huomattavasti, jotta tulokset olisivat luotettavampia ja saatavilla olisi tiedot kaikista tapaustutkimuksen aikana lähestymisalueella lentäneistä lentokoneista.

Many western people are unfamiliar with khat (Catha Edulis). In East-Africa khat is instead one of the most important cash crops. Khat is mildly narcotic and that's why it is nowadays much debated subject in research and politics. Even though there is much debate about khat East-African small farmers who are dependent on khat are often forgotten from the debate. Small farmers are important part of the khat production and that is why I decided to concentrate on socio-economic causes and consequences of the khat cultivation to small scale farmers. Previous studies show negative effects of khat cultivation to women. That is why I decided to look closer khat cultivation's effects to women. Research was done in two parts. First I explored the previous literature and after that I did collect data from Wondo genet, Ethiopia. Field work lasted 3 months. From the previous literature I made theoretical framework about khat cultivation's causes and consequences to farmers and women. After collecting data from the field I did compare how well theoretical framework describes reality in Wondo Genet area, Abaye.peasant association. For the comparison I did collect three interviews from official workers in Wondo Genet, ten thematic interviews from farmers, three group interviews from 24 women and 50 questionnaires. I used observation to give deeper insight. Because of the differences in spoken languages I had to use translator in interviews. I analyzed thematic interviews and group discussions with the help of type casting. Questionnaires I typed to SPSS and I analyzed materials with cross tabulations and correlations. Results from the research are partly in line with previous results, but there are also differences. Biggest reason to cultivate khat was that there is no other alternative. In Abaye khat is only plant that gives enough income for families to survive. This is because coffee price is too small and for other plants there aren't any functional transport networks. Previous studies say that khat is easy to handle. That is not true in Abaye. Questionnaires results tell that some parts khat is better than other plants, but other parts not. For example khat seedlings are easy to get. You can find them even for free. But khat is not as resistant for plant diseases as it has been said. Khat's effects are mainly positive. Previous studies say that khat use is common with farmers. This is not true in Abaye. There was together 87 interviews and only six people told that they use khat. Because of the limited use of khat, the negative effects of khat use where not present in research area. Attitude change to more positive direction tells the same story. Positive effects of khat cultivation, where better income than in other peasant associations and new business opportunities. It is said that khat cultivation has negative effect to women. In my research area this didn't seem to be true. Khat-trade did open new business opportunities for women and did make it easier to get loan, especially in Basha. Contradiction did concern mainly income distribution in family. In thematic interviews and group discussions women did say that men are using the khat money, but questionnaires did demonstrate that women have more money in their use than men have. Biggest expenditure for both men and women where food. It shows that men are taking part to cover the food costs. Because of the wide extent of the research results are not to be generalized. Results work best to describe the situation in the study area. Farmer's dependence on khat is high and because of that there is need to find new ways to help farmers to reduce the dependence. With comparing khat-producer areas and non-producer areas it might be possible to find those ways.

Tutkimus on luonteeltaan etnografinen tapaustutkimus, jonka tavoitteena on kuvata ja kertoa Somalimaan Nouradinin tyttöjen lukion matematiikan opetuksessa käytetyistä opetusmateri-aaleista. Tutkimuksen avulla pyritään luomaan kuvaa siitä, millä tavoin opetusmateriaaleja käytetään Nouradinin lukion matematiikan opetuksessa, millaisessa asemassa etnomatema-tiikka nähdään ja kuinka se on huomioitu opetuksessa. Tutkielman tutkimuskysmyksiänä ovat 1. Millaisia oppimateriaaleja Nouradinin tyttöjen lukion matematiikan opettajat käyttävät? 2. Millä tavoin matematiikan opettajat käyttävät oppimateri-aaleja opetuksessaan, ja mitkä tekijät vaikuttavat siihen, millä tavoin matematiikan opettajat käyttävät oppimateriaaleja? Miten opetusmateriaalien käyttö vaikuttaa opettajien opetukseen ja opetusmenetelmään? 3. Mitä ja miten oppilaat käyttävät oppimateriaaleja matematiikan opinnoissaan? 4. Mitä Somalimaan kulttuurille ominaisia piirteitä oppimateriaaleissa on havait-tavissa?/ Millä tavoin etnomatematiikka korostuu oppimateriaaleissa? Tutkimus toteutettiin Somalimaan pääkaupungissa Hargeysassa sijaitsevassa Nouradinin tyttöjen lukiossa kesällä 2017. Tutkimusmenetelmät painottuivat teemahaastatteluihin sekä havainnointiin. Haastatteluun osallistui koulun matematiikan opettajia ja opiskelijoita sekä li-säksi muita Somalimaan koulutuksen edistämisen ja rakentamisen kanssa työskenteleviä henkilöitä. Tutkimusaineistoa tarkasteluna käytettiin aineistolähtöistä sisällönanalyysiä. Tutkimustulokset osoittavat muun muassa sen, että oppikirja(t), vihko ja taulu ovat keskei-simmin käytettyjä opetusmateriaaleja Nouradinin koulun matematiikan opetuksessa. Lisäksi tutkimustulokset osoittavat, että etnomatematiikka nähdään keskeisenä osana matematiikan opetusta, opettajat huomioivat sen opetuksessaan ja opiskelijat toivovat sitä sisällytettävän enemmän opetukseen.

While anecdotal evidence has long claimed that a raw meat–based diet (RMBD) improves the metabolic health of canines, no rigorous scientific study has clarified this issue. Canine atopic dermatitis (CAD) has also been linked to metabolic health, but its relation to diet remains poorly understood. This study investigates whether dietary choice is linked to metabolic health in healthy and CAD-diagnosed canines via targeted serum and urine metabolomic analysis of polar, non-ionic metabolites, as well as whether the underlying CAD condition modulates the response to nutritional intake. Serum metabolites of client-owned Staffordshire Bull Terriers, divided into CAD-diagnosed (n=14) and healthy (n=6) cohorts, were studied. Urine metabolites of a subset of the CAD-diagnosed canines (n=8) were also studied. The canines were split into two cohorts based on diet. The first cohort were fed a commercially available high-fat, moderate-protein, low-carbohydrate RMBD (n=11, CAD diagnosed n=8, healthy n=3). The second cohort were fed a commercially available moderate-fat, moderate-protein, high-carbohydrate kibble diet (KD) (n=9, CAD diagnosed n=6, healthy n=3). The diet intervention period lasted approximately 4.5 months (median 135d). Statistical analysis of the serum profiles across all dogs (n=20) and the urine profiles of the CAD-diagnosed subset (n=8) were performed. The KD cohort was found to have higher concentrations of methionine than the RMBD cohort, both in serum (all dogs, p<0.0001) and in urine (CAD-only cohort, p<0.0002), as well as cystathionine and 4-pyridoxic acid. Methionine plays important roles in homocysteine metabolism, and elevated levels have been implicated in various pathologies. The CAD (n=14) cohort dogs showed starker metabolic changes in response to diet regarding these pathways compared to the healthy (n=6) cohort. However, there was no significant change in CAD severity as a result of either diet. Likely due to the higher meat content of the RMBD, higher concentrations of several carnitines and creatine were found in the RMBD cohort. Citrulline was found in higher concentrations in the KD cohort. While the findings from this experiment provide insight into the relationship between diet and the serum and urine metabolite profiles of canines, they also suggest that neither diet significantly affected CAD severity.

Tarvepohjaisen henkilöresurssoinnin tavoitteena on madaltaa projektiorganisaatiota ja vähentää kustannuksia tehokkaammalla viestinnällä, jossa pyritään viestimään oikea ja riittävä tieto oikeille henkilöille. Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää keskeiset menetelmät, jotka tukevat tarvepohjaisen henkilöresurssoinnin käyttämistä hajautetussa ohjelmistokehityksessä. Tunnistettujen menetelmien perustella tutkitaan, soveltuuko tarvepohjainen henkilöresurssointi hajautettuun ketterään ohjelmistokehitykseen. Tutkielmaa varten käsiteltiin aiheen kannalta keskeisimmät käsitteet liittyen ketteriin kehitysmalleihin, hajautettuun ohjelmistokehitykseen ja tarvepohjainen henkilöresurssointi. Tämän lisäksi tutustuttiin aikaisempiin tutkimuksiin, jotka liittyivät hajautettuun ketterään ja avoimeen ohjelmistokehitykseen. Tutkimusongelmaa tutkittiin analysoimalla lähdekirjallisuutta ja tutkielmaan liittyvää tapaustutkimusta. Tutkielmaan liittyvän tapaustutkimuksen aineistonkeräys tehtiin keväällä 2015. Tapaustutkimuksen kohteena oli 2013–2015 toteutettu ohjelmistoprojekti, jonka projektipäällikkönä kirjoittaja toimi. Tapaustutkimuksen kohteena olleessa projektissa käytettiin tarvepohjaista henkilöresurssointia, kehitystä oli hajautettu neljään paikkaan Suomessa ja siinä pyrittiin noudattamaan ketteriä periaatteita. Tutkimuksen aineisto kerättiin teemahaastatteluin asiakkaalta ja kirjoittajan muistelmin. Tutkielman johtopäätösten perusteella hajautetussa ohjelmistokehityksessä voidaan käyttää tarvepohjaista henkilöresurssointia, mutta ketterän kehityksen näkökulmasta kehitystä ei voida tehdä noudattamalla kaikkia ketterän kehityksen periaatteita. Hajautuksella ja tarvepohjaisella henkilöresurssoinnilla on vaikutusta johtamistyyliin, tietämyksenhallintaan, rooleihin ja organisaatiomalliin. Tarvepohjaista henkilöresurssointia tukevat keskeiset periaatteet liittyvät avoimeen ja informaaliin viestintään, modernien sähköisten viestintävälineiden käyttöön, avoimiin ja mukautuviin prosesseihin, projektipäällikön osaamiseen, mandaattiin ja tiiviiseen yhteistyöhön asiakkaan kanssa, ja olemassa oleviin ihmissuhteisiin. Tutkielman tulokset antavat rohkaisevia viitteitä siitä, että ohjelmistokehitys sopeutuu nykyaikaiseen tapaan työskennellä ajasta ja paikasta riippumatta ja organisaation sisäistä osaamista voidaan hyödyntää joustavasti. Tarvepohjaisen henkilöresurssoinnin voidaan nähdä sopivan tilanteeseen, jossa halutaan lähteä kehittämään uutta sovellusta nopeasti palautteen pohjalta ilman pitkäkestoista määrittelytyötä.

Tutkielmassa perehdytään graafiteoriaan ja sen sovelluksiin vapaille ryhmille. Aluksi esitellään tutkielman pääpiirteet ja kaytettäviä merkintöjä. Kappale 3 aloitetaan todistamalla Urysonin lemma ja Tietzen jatkolause. Näiden ja Brouwerin kiintopistelauseen avulla todistetaan Jordanin lause tason käyrille. Kappale 4 alkaa erityyppisten graafien määrittelemisellä. Todistetaan, että täydellinen 5-graafi ja täydellinen kaksijakoinen 3-3-graafi eivät upotu tasoon. Lisäksi osoitetaan muutama apulause, joiden avulla todistetaan Kuratowskin lause tason graafeille. Viidennessä kappaleessa esitellään aluksi tarvittavat määritelmät vapaiden ryhmien käsittelyyn. Lisäksi todistetaan ryhmien vapaa tulo liitännäiseksi. Seuraavaksi määritellään polku, polun uudelleenparametrisointi ja polkujen tulo. Määritellään myös homotopia ja perusryhmä. Esitellään tarvittavat määritelmät ja todistetaan Seifert-van Kampenin lause grupoideille. Esitellään myös tästä seuraava Seifert-van Kampenin lause perusryhmille. Kappaleen lopussa määritellään graafin maksimaalinen puu ja universaali puu. Jokainen puu osoitetaan yhdesti yhtenäiseksi, ja universaalin puun todistetaan olevan graafinsa universaali peite. Esitellään ympyröiden lohkosumma ja todistetaan, että graafin perusryhmälle saadaan vapaiden virittäjien joukko niistä graafin kaarista, jotka eivät kuulu sen maksimaaliseen puuhun. Kappale 6 aloitetaan hyödyllisillä tuloksilla peiteavaruuksista. Määritellään kuvauksen nosto ja osoitetaan tuloksia universaalille peitteelle. Esitellään todistus universaalin peitteen olemassaololle, kun avaruus on polkuyhtenäinen, lokaalisti polkuyhtenäinen ja semilokaalisti yhdesti yhtenäinen. Lopuksi osoitetaan vapaan ryhmän aliryhmän olevan vapaa ja määritetään vapaiden virittäjien joukko tietyntyyppisille vapaiden ryhmien aliryhmille.

Tutkielmassa käsitellään tason symmetriakuvauksia ja symmetriaryhmiä. Symmetriakuvaus on isometriakuvaus, joka kuvaa tason pistejoukon tai kuvion itselleen. Symmetriakuvaukset muodostavat ryhmän, jonka laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Tutkielmassa osoitetaan, että tason symmetriaryhmät voidaan jakaa kolmeen eri luokkaan: Äärellisiin symmetriaryhmiin, Frieze-ryhmiin ja kristallografisiin symmetriaryhmiin. Tutkielman alussa aiheeseen paneudutaan geometrisin menetelmin. Luvussa 2 osoitetaan tunnettu tulos, jonka mukaan jokainen tason isometriakuvaus on joko kierto, siirto, peilaus tai siirtopeilaus. Luvussa esiteltyjä isometriakuvausten tuloksia käytetään myöhemmin symmetriaryhmiin liittyvien lauseiden todistuksissa. Kolmannessa luvussa määritellään muutamia ryhmäteorian peruskäsitteitä. Yksi aliluku on omistettu vapaille ryhmille sekä ryhmien määrittelemiseen ryhmän virittäjien ja virittäjien relaatioiden kautta. Kolmannen luvun päätulos kertoo, että jokainen tason äärellinen symmetriaryhmä on isomorfinen joko syklisen ryhmän tai diedriryhmän kanssa. Luvussa 4 määritellään puolisuora tulo, jonka avulla ryhmä voidaan ilmoittaa kahden sen aliryhmän tulon ja konjugoivan toiminnan avulla. Lisäksi isometriakuvauksille esitetään algebrallisia tulkintoja ja katsotaan, miten ne konjugoivat toisiaan. Lopuksi esitellään symmetriaryhmien keskeinen aliryhmä siirtoryhmä, joka koostuu pelkistä siirroista. Siirtoryhmät määritellään siten, että ne ovat diskreettejä eli niissä ei voi olla mielivaltaisen lyhyitä siirtoja. Diskreettisyydestä seuraa, että jokaisen tason symmetriaryhmän siirtoryhmä on isomorfinen joko triviaalin aliryhmän, kokonaislukujen ryhmän tai kokonaislukujen ryhmän karteesisen tulon itsensä kanssa. Luvussa 5 paneudutaan syvemmin jälkimmäiseen tapaukseen ja luetellaan kaikki 17 erilaista kristallografista symmetriaryhmää. Luvussa on todistettu kristallografinen ehto, joka rajaa kristallografisten symmetriaryhmien kierrot tarkasti. Luettelointi on toteutettu jakamalla ryhmät puolisuoraksi tuloksi ja tutkimalla, miten kierrot ja peilaukset tai siirtopeilaukset konjugoivat ryhmän virittäviä siirtoja. Jokaiselle ryhmälle on annettu myös geometrinen tulkinta.

Immigration has become an important topic of discussion in recent years. The thesis presents salient Finnish researchers work on social attitudes towards immigrants and on racism. The thesis focuses particularly to the explanatory models that researchers use to explain Finnish attitudes toward immigration. The thesis proposes that previous Finnish academic studies have overlooked evolutionary psychological perspective as a potential model to explain attitudes towards immigration. The thesis forms and tests a hypothesis that is based on evolutionary psychology. This hypothesis offers a different way of thinking about how people's attitudes are formed and at the same time tries to challenge established notions about attitudes towards immigration and immigrants. The core research material that the thesis uses is Finnish Attitudes to Immigration: Suomen Kuvalehti Survey 2015, which is provided by the Finnish Social Science Data Archive. The survey measured Finnish attitudes towards racism and asked people's attitudes towards the immigration of select nationalities to Finland. The survey uses census based sampling so that the survey represents entire Finnish adult population by age, sex and place of residence. Methods used by the study are multivariate methods, namely factor analysis and structural equation modeling. Finnish attitudes towards immigration form a clear ethnic hierarchy. Majority of Finns, for example, oppose the immigration of Somalis (64%), Iraqis (60%) or Afghans (58%) to Finland. Conversely, Finns are in favor of immigration, for example, the Swedes (86%), Germans (86%) or Estonians (73%) to Finland. Finns on average did not support racist statements. Questionnaires' racist statements were used to form a factor measuring respondents' empathy. Factor structure served as the basis for the causal structural equation model, which looked at the link between empathy and attitudes towards immigration. The results show that there is a link between empathy and respondents' attitudes toward immigration, particularly to immigration originating outside the EU. The higher the respondents' score was on the empathy factor, the more positive attitudes the respondent showed toward immigration from outside the EU. Similarly, high empathy scores also predicted that the respondent did not exceedingly support immigration from other Western countries. Group differences were measured by dividing the respondents into two groups. In the first group were respondents who lived in households with children under 18 years of age (N = 229). In the second group were all other respondents (N = 681). Looking at the group differences it was observed that respondents' scores on the empathy factor did not predict attitudes toward immigration in the same way. Respondents' that lived with children reported more positive views towards immigration from other Western countries when compared with the other group (p-value less than 0.10). The empathy factor explained, on average, 12 % of the variation of the two factors describing attitudes towards immigration (r2 = 0.12). The results give support to the hypothesis proposed on the one hand, but on the other hand cannot confirm it because either the differences between groups were not statistically significant enough or that the effect on the attitudes was so small that it was not interesting.

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua täydellisiin lukuihin ja niiden ominaisuuksiin. Täydellisiin lukuihin liittyy matematiikan avoimia ongelmia, kuten parittomien täydellisten lukujen olemassaolo tai parillisten täydellisten lukujen lukumäärä. Tutkielmassa ensin määritellään sigmafunktio luvun positiivisten tekijöiden summaksi. Lisäksi osoitetaan sigmafunktion multiplikatiivisuus, jonka avulla saadaan kaava sigmafunktion arvon laskemiseksi, kun tunnetaan luvun alkutekijähajotelma. Tämän jälkeen osoitetaan sigmafunktion arvon suuruuteen liittyviä tuloksia. Kolmannessa luvussa täydelliset luvut määritellään sigmafunktion avulla. Luku on täydellinen, jos sen sigmafunktion arvo on yhtä suuri kuin kaksi kertaa luku itse eli toisin sanoen luku on täydellinen, jos sen positiivisten tekijöiden summa on kaksi kertaa luku itse. Tämän voi myös muotoilla toisella tavalla: luku on täydellinen, jos se on itseään pienempien positiivisten tekijöidensä summa. Esimerkiksi luku kuusi on täydellinen, sillä 6=1+2+3, jossa luvut 1, 2 ja 3 ovat luvun kuusi itseään pienemmät positiiviset tekijät. Kolmannessa luvussa osoitetaan myös esimerkiksi, että täydellisten lukujen tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides-Euler-teoreema, jonka mukaan luku on täydellinen, jos ja vain jos se on muotoa 2^(p-1) (2^p-1), jossa 2^p-1 on alkuluku. Tämän jälkeen osoitetaan parillisten täydellisten lukujen ominaisuuksia liittyen niiden esittämiseen summana, kuten että jokainen parillinen täydellinen luku voidaan esittää summana 1+2+..+(2^p-1). Lisäksi osoitetaan parillisten täydellisten lukujen kongruenssiominaisuuksia, kuten että jokainen parillinen täydellinen luku loppuu numeroon 6 tai 8. Tutkielman viidennessä luvussa käsitellään erikseen parittomia täydellisiä lukuja. Ensin osoitetaan, että jokaisen parittoman täydellisen luvun alkutekijähajotelmassa on täsmälleen yksi alkutekijä, jonka eksponentti on pariton. Luvussa osoitetaan, että sekä alkutekijä, jonka eksponentti on pariton, että kyseinen eksponentti ovat kongruentteja luvun yksi kanssa modulo neljä. Tämän jälkeen osoitetaan Touchardin teoreema, jonka mukaan jokainen pariton täydellinen luku on joko kongruentti luvun yksi kanssa modulo 12 tai kongruentti luvun yhdeksän kanssa modulo 36. Touchardin teoreemaa myös hieman tarkennetaan. Touchardin teoreeman avulla osoitetaan, että jokainen täydellinen luku, joka on jonkin kokonaisluvun kuutio, on pariton ja jaollinen kolmella. Tutkielman viimeisessä luvussa määritellään runsausfunktio ja luvun runsaus. Näin täydelliset luvut ovat vain yksi esimerkki runsaudesta: täydelliset luvut ovat lukuja, joiden runsaus on kaksi. Luvussa osoitetaan useita runsausfunktion ominaisuuksia, kuten runsausfunktion multiplikatiivisuus. Näiden ominaisuuksien avulla osoitetaan esimerkiksi, että luku 3^2 7^2 11^2 13^2 m ei ole täydellinen millään kokonaisluvulla m.