Browsing by discipline "Teaching of Mathematics"
Now showing items 61-80 of 179
-
(2018)Tämä tutkielma käsittelee kierto- ja peilauskuvausten matemaattista taustaa. Tavoitteena on antaa lukijalle perustavanlaatuinen ymmärrys näiden kuvausten ominaisuuksista, sekä työkalut laskea vektorien kiertoja ja peilauksia. Työssä rajoitutaan tutkimaan äärellisulotteisia euklidisia avaruuksia R^n, eivätkä pohjatietovaatimukset täten ulotu lineaarialgebran perusteita pidemmälle. Ensimmäinen luku esittelee työn tarkoituksen ja rakenteen. Samalla luodaan katsaus siihen vaikeuteen, jonka ihminen kohtaa siirtyessään kolmea ulottuvuutta korkeampiin avaruuksiin. Toinen luku luo tutkielman perustan määrittelemällä vektoriavaruudet, niiden aliavaruudet ja kannat. Keskeiseksi käsitteeksi muodostuva projektiokuvaus määritellään aliavaruuksien suoran summan avulla. Lopuksi lasketaan esimerkki projektiokuvauksesta etsimällä annetulle R^2:n aliavaruudelle kohtisuora komplementti. Kolmannessa luvussa tarkastellaan vektorien välistä kulmaa, pituutta ja erityisesti isometrioita; etäisyydet säilyttäviä kuvauksia. Luvussa osoitetaan origon kiinnittävän isometrian säilyttävän pistetulon, jonka merkitys korostuu seuraavassa luvussa. Työn neljäs luku syventyy lineaarikuvauksiin. Kahden esimerkin avulla nähdään, miten lineaarikuvauksen matriisi muodustuu lähtöavaruuden kantavektorien kuvista. Keskeiseksi käsitteeksi nouseva ortogonaalinen kuvaus määritellään lineaarikuvauksena, jonka kuvausmatriisin A transpoosi A^T on sen inverssi A^T = A^(-1). Luvussa osoitetaan sekä ortogonaalisen kuvauksen olevan origon kiinnittävä isometria että origon kiinnittävän isometrian olevan ortogonaalinen kuvaus. Lopuksi johdetaan projektiokuvaukselle matriisiesitys, joka yksinkertaistaa projektioiden käytännön laskemista merkittävästi. Viidennessä luvussa määritellään kierto- ja peilauskuvaukset avaruudessa R^n. Perusteellinen esimerkki kiertokuvauksesta R^4:ssä yhdistää edellisten lukujen tuloksia. Työ huipentuu isometrian käsitteeseen perustuvaan yhtenevyyden määritelmään ja näyttöön siitä, että sekä kierto- että peilauskuvaukset säilyttävät yhtenevyyden.
-
(2016)Matematiikan kielentämisellä tarkoitetaan matemaattisen ajattelun esittämistä sanallisesti tai symbolien ja kuvien avulla. Aiemmissa tutkimuksissa on havaittu, että opiskelijat kokevat kielentämisharjoittelun auttavan oman ajatteluprosessin jäsentämisessä sekä sen esittämisessä muille, ja pitävät sitä hyödyllisenä. Tässä tutkimuksessa käsitellään kielentämisharjoittelua matematiikan yliopisto-opintojen alkuvaiheessa erityisesti joukko-opin osalta. Tutkimuksessa pyrittiin selvittämään sitä, miten opiskelijat suhtautuvat kielentämiseen työtapana ja sitä, millaisia joukko-opin kielentämiseen liittyviä ongelmia opiskelijoilla voidaan havaita. Lisäksi tutkittiin kielentämistehtävissä menestymisen yhteyttä opiskelijoiden kurssi-menestykseen. Tutkimus toteutettiin Helsingin yliopiston Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssilla keväällä 2015. Kurssin osanottajista suurin osa oli matematiikan sivuaineopiskelijoita. Kurssin opiskelijat tekivät las-kuharjoitusten yhteydessä yhteensä neljä kielentämistehtävää, jotka pisteytettiin ja joiden avulla tutkit-tiin kielentämiseen liittyviä ongelmia. Opiskelijoiden mielipiteitä kielentämisestä ja matematiikasta kartoitettiin kyselylomakkeella. Aineiston kvantitatiivinen analyysi toteutettiin Excel-ohjelman tilasto-työkaluilla. Opiskelijat suhtautuivat luonnollisen kielen käyttöön matematiikassa pääosin positiivisesti ja kokivat siitä olevan hyötyä. Selkeimpiä ongelmia tutkittaville aiheuttivat joukko-opin merkinnät ja niiden kään-täminen luonnolliselle kielelle. Kielentämistehtävistä saatujen pisteiden ja koepisteiden välillä havaittiin selvä positiivinen korrelaatio, mutta tarvitaan lisätutkimusta selvittämään, miten kielentämisharjoittelu vaikuttaa osaamiseen. Kielentäminen vaikuttaa kuitenkin käyttökelpoiselta työkalulta matematiikan oppimisen tueksi.
-
Kohti uudistuvaa Verkkokoulua : Käyttäjätutkimus osana Tilastokeskuksen oppimateriaalin kehittämistä (Helsingin yliopistoHelsingfors universitetUniversity of Helsinki, 2010)Tutkimuksen lähtökohtana on tilastojen luku- ja käyttötaitojen kehittäminen verkko-oppimisympäristöissä. Tutkimus käynnistyi Tilastokeskuksen Verkkokoulun kehittämisen tarpeesta. Päätavoitteena on muodostaa toimenpide-ehdotuksia Verkkokoulun kehittämiselle käyttäjälähtöisestä näkökulmasta. Tutkimuksessa selvitetään, miten matematiikan aineenopettajat käyttävät Tilastokeskuksen Verkkokoulua opetuksessaan ja opetuksensa suunnittelussa, ja millaisia toiveita heillä ja Verkkokoulun parissa työskentelevillä tilastokeskuslaisilla on Verkkokoulun kehittämiseksi. Tämän lisäksi selvitetään Verkkokoulun käyttöä kävijäseurantapalvelun avulla. Tutkimuksella etsitään vastauksia siihen, miten Verkkokoulua voidaan kehittää käyttäjän kannalta paremmaksi palveluksi. Tutkimusongelmiin vastataan verkkokyselyllä, sähköpostihaastattelulla, teemahaastatteluilla ja kävijäseurantapalvelulla kerättyjen aineistojen kvalitatiivisella analyysillä. Matematiikan aineenopettajille tehty kyselylomake toteutettiin maaliskuussa 2009 ja haastattelut syksyn 2009 aikana. Kävijäseurantapalvelun tarkasteluajankohta on 1.9.2008–31.8.2009. Tutkimuksen tulosten mukaan Verkkokoulu tunnetaan huonosti matematiikan aineenopettajien keskuudessa. Verkkokoulun oppimateriaaleja käytetään enemmän opetuksen suunnitteluun kuin opetukseen. Opettajat toivovat etenkin arkielämälähtöisiä ja helposti käytettäviä opetuksen suunnitteluun soveltuvia palveluja, jotka soveltuvat myös perinteiseen luokkahuoneopetukseen. Tilastokeskuslaiset näkevät Verkkokoulun kehittämisen tarpeelliseksi, vaikkakin haastavaksi kehittämiseen tarvittavien resurssien vähyyden vuoksi. Heidän mukaansa Verkkokoulua tulisi päivittää ja laajentaa monipuolisilla oppimateriaalikokonaisuuksilla. Myös teknisen toteutuksen toivotaan uudistuvan. Kävijäseurantapalvelun aineiston mukaan Verkkokoulu on keskimääräistä käytetympi kuin Tilastokeskuksen verkkosivut kokonaisuudessaan. Verkkokoulua käytetään enemmän yksittäisten asioiden tietojen tarkistamiseen kuin kokonaisuuksien opiskeluun. Johtopäätöksenä voidaan todeta, että Tilastokeskuksen Verkkokoulu on palvelu, joka käyttäjälähtöisen kehittämisen ja markkinoinnin myötä voi nousta merkittävään rooliin tilastoalan kouluttajana. Jotta tähän päästään, kehittämiseen on löydettävä riittävästi resursseja.
-
(2012)Tässä opinnäytetyössä tarkastellaan kompleksitasossa määriteltyjä analyyttisia kuvauksia. Tarkastelun kohteena ovat erityisesti kompleksitason avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaavat analyyttiset kuvaukset. Luvuissa 1,2,3 ja 4 esitellään tutkielman kannalta tärkeät kompleksianalyysiin liittyvät määritelmät ja tulokset. Luvussa 5 osoitetaan klassinen Schwarzin lemma muodossa, että kompleksitason avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaavat analyyttiset funktiot joko kutistavat euklidista etäisyyttä tai ovat kiertoja origon ympäri. Luvussa 7 käsitellään hyperbolista tasoa. Hyperbolinen taso muodostetaan varustamalla kompleksitason avoin yksikkökiekko hyperbolisella metriikalla. Hyperbolisen tason ainoat isometriat ovat luvussa 6 esitettävät automorfismit. Luvussa 9 esitellään Schwarzin-Pickin lemma. Lemma on hyperbolinen versio klassisesta Schwarzin lemmasta ja se antaa myös vahvempia tuloksia avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaaville analyyttisille kuvauksille kuin klassinen Schwarzin lemma. Toiseksi viimeisessä luvussa laajennetaan ja vahvennetaan Schwarzin-Pickin lemmaa, esittelemällä kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma. Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemmasta saadaan tärkeitä seurauksia, joita sovelletaan viimeisessä luvussa hyperbolisen tason hyperbolisten derivaattojen tarkastelussa.
-
(2013)Tutkielman aiheena on kompaktien pintojen luokittelu. Työssä osoitetaan, että jokainen yhtenäinen kompakti pinta on homeomorfinen pallopinnan, toruspinnan (tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa toruksista) tai projektiivisen tason (tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa projektiivisista tasoista) kanssa. Tutkielman alussa esitellään joukko topologian peruskäsitteitä lähtien topologisen avaruuden määritelmästä. Työn kannalta hyvin olennaisia käsitteitä ovat yhtenäisyys, kompaktius, tekijäavaruus sekä projektiokuvaus. Näiden käsitteiden jälkeen määritellään topologinen monisto ja pinta 2-monistona. Pinnan määrittelyn jälkeen työssä käsitellään simpleksejä ja määritellään simpleksiset kompleksit. Simpleksisiä komplekseja tarvitaan, jotta voidaan osoittaa, että jokainen kompakti pinta on kolmioituva, eli homeomorfinen 2-ulotteisen simpleksisen kompleksin kanssa. Vaikka kolmiointiteoreema on työn kannalta hyvin keskeinen, sen pitkää ja mutkikasta todistusta ei esitetä. Kolmiointiteoreemaan jälkeen konstruoidaan yksinkertainen tapa ilmaista pintoja nk. pintaesityksenä. Työssä osoitetaan, että jokainen kompakti pinta voidaan esittää tällaisena pintaesityksenä - tämä perustuu siihen, että jokainen kompakti pinta on kolmioituva. Työn loppupuolella määritellään joukko perusoperaatioita, joita voidaan tehdä pintaesityksille siten että uusi pintaesitys - ja siis pinta - pysyy homeomorfisena alkuperäisen pinnan pintaesityksen kanssa. Tämän jälkeen osoitetaan työn päätulos: Jokaiselle epätyhjälle, yhtenäiselle, kompaktille pinnalle pätee yksi seuraavista: - Pinta on homeomorfinen pallopinnan kanssa. - Pinta on homeomorfinen toruspinnan kanssa tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa toruksista. - Pinta on homeomorfinen projektiivisen tason kanssa tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa projektiivisista tasoista.
-
(2012)Työssä esitetään kompaktiuden käsite lähestyen sitä sekä peitteiden että verkkojen avulla, minkä lisäksi työssä esitetään ja todistetaan kompakteihin topologisiin avaruuksiin liittyviä lauseita. Kompaktien topologisten avaruuksien lisäksi työssä esitetään kompaktisoinnin, lokaalin kompaktiuden ja jonokompaktiuden käsitteet ja todistetaan näihin liittyviä lauseita. Työssä käsitellään myös kompakteja tuloavaruuksia ja todistetaan näihin liittyviä lauseita kuten Tihonovin lause. Kompaktien tuloavaruuksien käsittelyn yhteydessä todistetaan myös, että valinta-aksioomasta seuraa Zornin lemma ja hyvän järjestyksen lause. Työ pohjautuu lähdeluettelossa olevaan kirjallisuuteen ja erityisesti Jussi Väisälän Topologia II ja John L. Kelleyn Topology teoksiin.
-
(2014)Työssä esitetään ja todistetaan kuinka Hessen matriisin definiittisyyden avulla voidaan tunnistaa usean muuttujan funktion konveksisuus. Hessen matriisi on funktion 2. kertaluvun osittaisderivaatoista koostuva neliömatriisi. Hessen matriisia varten esitämme usean muuttujan differentiaalilaskennan ja neliömatriisien perusteita. Neliömatriisin definiittisyys kertoo millainen etumerkillinen käyttäytyminen on neliömatriisin indusoimalla neliömuodolla. n x n-neliömatriisin indusoima neliömuoto on n:n muuttujan polynomi. Työssä esitetään teoriaa neliömuotojen ja neliömatriisien definiittisyydestä ja osoitetaan kuinka neliömatriisin definiittisyyden voi tunnistaa pääalimatriisien determinanttien avulla tai sen ominaisarvojen avulla. Konveksin funktion kahden mielivaltaisen kuvaajapinnan pisteen välille muodostetun janan pisteet ovat kuvaajapinnalla tai sen 'yläpuolella'. Konkaavin funktion tapauksessa janan pisteiden voidaan ajatella olevan kuvaajapinnalla tai sen 'alapuolella'. Työssä esitetään konveksin ja konkaavien funktioiden teoriaa ja todistetaan lauseet, joilla funktion osittaisderivaattojen tai funktion Hessen matriisin definiittisyyden avulla voidaan todeta funktion konveksisuus. Hessen matriisia koskevaa lauseen todistusta varten työssä todistetaan myös usean muuttujan Taylorin lause. Työn lopussa esitetään vielä kuinka Hessen matriisin definiittisyyden avulla voidaan myös tarkastella usean muuttujan funktion ääriarvopisteiden luonnetta.
-
(2017)Syftet med den här Pro gradu-avhandlingen är att presentera ett sätt för gymnasiestuderanden att lära sig kryssprodukten så att det är motiverat. Orsaken bakom avhandlingen är att kryssprodukten har haft en marginell roll i den finländska gymnasieundervisningen. Den här rollen har granskats i den här avhandlingen utgående från läroplaner och läroböcker i Finland från 70-talet till den läroplan och de läroböcker vi har idag. De centrala iakttagelserna från granskningen är att kryssprodukten har varit ett tilläggsmaterial i läroplanerna och att läroböckerna presenterat kryssprodukten som en formel utan motiveringar. Intresset för kryssprodukten ligger i att den tillämpas i gymnasiefysiken och är ett användbart verktyg för bland annat plan i rummet i matematiken. Den konstruktivistiska inlärningsmetoden som varit närvarande i lärarutbildningen handlar om att den studeranden ska bygga upp ny kunskap utgående från tidigare erhållen kunskap. Den här inlärningsmetoden tillämpas inte då kryssprodukten presenteras som en omotiverad räkneformel och därmed leder det till en dålig förståelse. För att motivera kryssprodukten presenteras en härledning som baserar sig på sådant som torde vara bekant för en studerande som läst vektorkursen i gymnasiet. Härledningen startar från arean av parallellogrammer som är uppspända av två planvektorer och slutar med en metod för att beräkna arean av parallellogrammer som är uppspända av rumsvektorer i komponentform. Den här metoden identifieras som kryssprodukten. Härledningen av kryssprodukten är omformat till ett undervisningspaket. Undervisningspaketets ändamål är att låta studeranden aktivt jobba fram den kunskapen som paketet vill förmedla. Strukturen för undervisningspaketet är likadan som för härledningen, med den skillnaden att en del av informationen är inbakat i övningsuppgifter för att aktivera studeranden. Då övningsuppgifterna innehåller viktig information för helheten är modellösningar också presenterade i avhandlingen. Undervisningspaketet kan vara för omfattande för att läggas till i ett tryckt läromedel men det skulle finnas potential att bifoga det till ett elektroniskt läromedel. Då uppgifter kommer efterhand i paketet skulle det finnas behov av ett interaktivt läromedel som skulle kräva en lösning efter vilket modellösningen skulle komma fram.
-
(2018)Esittelen työssä kultaisen leikkauksen ominaisuuksia ja esiintymistä matematiikan eri aihepiireissä. Määrittelen analyyttisesti kultaiselle leikkaukselle eri esitysmuotoja polynomiyhtälön ratkaisuna ja äärettömänä ketjumurtolukuna, joiden pohjalta esittelen kultaisen leikkauksen perusominaisuuksia. Käsittelen Fibonaccin lukuja sekä niiden yhteyttä kultaiseen leikkaukseen, joista tärkeimpänä tuloksena saadaan Binet’n kaava. Geometrian saralla perehdytään kultaisen leikkauksen mukaisiin konstruktioihin ja monikulmioihin, joista päästään epäsäännölliseen Penrosen laatoitukseen. Laatoituksen deflaatiota tutkimalla löydetään etsityksi raja-arvoksi kultainen leikkaus. Lopuksi kerron kultaisen leikkauksen yhteydestä luontoon ja tarjoan ilmiölle erään selityksen optimointi-sovellusongelman kautta.
-
(2015)Tavoitteet. Suhtautumisella ja asenteilla matematiikkaa kohtaan on vaikutus matematiikan oppimistuloksiin. Asenteet ovat osa yksilön omaa matematiikkakuvaa ja ne muodostuvat yleensä toistuvien tunnereaktioiden seurauksena. Suhtautumiseen sisältyy asenteiden lisäksi mm. uskomukset, motivaatio ja minäpystyvyys. Näitä voidaan käsitellä yhdessä käsitteellä affektit. Positiiviset kokemukset saavat aikaan positiivisen tunteen ja näin ollen vaikuttavat asenteiden muodostumiseen. Formaalilla kouluopetuksella on tiukat opetussuunnitelman asettamat rajat toimintatapoihin. Kerhot voivat toimia formaalin opetuksen rinnalla nonformaaleina oppimisympäristöinä, joissa rajoituksia ei ole ja toiminta on vapaampaa. Kerhot tarjoavat mahdollisuuden myös oppiaineiden integraatioon, joka osaltaan voi parantaa myös suhtautumista matematiikkaa kohtaan. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on kuvata, analysoida ja tulkita 4.–6.-luokkalaisten suhtautumista ja asenteita matematiikkaa kohtaan sekä ennen että jälkeen matematiikkaan ja biologiaa integroivaa tiedekerhoa. Menetelmät. Tämän tutkimuksen aineisto kerättiin kahdesta pääkaupunkiseudulla järjestetystä matematiikkaa ja biologiaa integroivasta tiedekerhosta. Osallistujina oli 21 4.–6.-luokkalaista oppilaista, jotka tulivat kerhoon vapaaehtoisesti. Aineistoa kerättiin myös kerhoon osallistumattomilta oppilailta, joita oli 17. Aineistoa kerättiin monivalintalomakkeilla, avoimilla kysymyksillä, haastatteluilla sekä havainnoimalla. Aineistoa analysointiin kvantitatiivisesti tilastollisilla menetelmillä sekä kvalitatiivisesti mm. sisällönanalyysillä. Tulokset ja johtopäätökset. Tutkimuksessa saatujen tulosten mukaan kerhoon osallistuvilla oppilailla oli pääosin positiivinen suhtautuminen matematiikkaa kohtaan. Oppilaat kokivat olevansa hyviä matematiikassa, pitivät siitä ja olivat motivoituneita oppimaan sitä. Matematiikka koettiin samaan aikaan vaikeaksi ja helpoksi riippuen osa-alueesta. Kerhoon osallistuneiden asenteet ja matemaattiset affektit olivat hyvin samanlaisia kuin kerhoon osallistumattomien. Kerhon aikana ei tapahtunut suuria muutoksia kerholaisten suhtautumisessa matematiikkaa kohtaan. Kerhoissa oli kuitenkin positiivinen tunnelma ja oppilaat olivat innostuneita, joten positiivisen suhtautumisen ylläpito oli mahdollista.
-
(2013)Polynomilla x^2 + 1 ei ole juurta reaalilukujen kunnassa, eikä polynomilla x^2-2 ole juurta rationaalilukujen kunnassa. Tässä tutkielmassa osoitetaan, kuinka algebrallisesta näkökulmasta voidaan muodostaa laajempi kunta, jossa näillä polynomeilla on juuri. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle tutustumalla abstrakteihin algebrallisiin struktuureihin ja niiden ominaisuuksiin. Algebrallisella struktuurilla tarkoitetaan lukujoukkoa, johon on liitetty yksi tai useampia laskutoimituksia. Algebralliset struktuurit luokitellaan aksiomaattisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että ollakseen tietty algebrallinen struktuuri, lukujoukon ja siihen liitettyjen laskutoimitusten tulee täyttää tiettyjä ehtoja. Erityisen mielenkiinnon kohteena tutkielmassa on renkaat ja kunnat. Esimerkiksi reaaliluvut muodostaa yhteen- ja kertolaskun kanssa kunnan. Reaalilukujen laskusäännöt voidaan johtaa kunnan aksioomista. Työn toinen puoli keskittyy polynomirenkaisiin. Polynomit määritellään aluksi lukujonona, jonka alkiot ovat polynomin kertoimia. Polynomien muodostama joukko muodostaa polynomirenkaan. Ykköselliset polynomit, eli polynomit, joihin kuuluu alkio 1, voidaan esittää koulusta tutumpina lausekkeina. Tutkielmassa osoitetaan, että jos polynomilla ei ole juurta polynomirenkaassa, niin jaottoman polynomin avulla voidaan muodostaa laajempi kunta, josta juuri löytyy. Tämä laajempi kunta on jaottoman polynomin virittämä tekijärengas. Tekijärenkaassa alkiot on jaoteltu jakojäännöstensä perusteella eri luokkiin. Tässä tekijärenkaassa alkuperäinen polynomirengas on vain yksi alkio. Esimerkiksi polynomin X^2 + 1 avulla voidaan muodostaa laajempi kunta, kompleksiluvut. Tutkielma pohjautuu Lauri Myrbergin Algebra- oppikirjaan, sekä Jokke Häsän ja Johanna Rämön Johdatus abstraktiin algebraan-kirjaan.
-
(2013)Tutkielma käsittelee verkkoteoriaa ja päätuloksena esitellään ja todistetaan Kazimierz Kuratowskin (1896 - 1980) todistama tasoverkkoihin liittyvä Kuratowskin teoreema (1930). Teoreema antaa ehdot sille, milloin verkko on tasoverkko, ja sen mukaan verkko on tasoverkko jos ja vain jos se ei sisällä täydellisen viiden pisteen verkon K_5 tai täydellisen kaksijakoisen verkon K_{3,3} alijaotuksia. Verkko määritellään parina G = (X, V), missä X on äärellinen joukko (verkon pisteet) ja V ⊂ P_2(X) (verkon viivat). Verkko voidaan esittää graaffisesti piste-viiva-esityksenä, jossa pisteitä vastaavat piirretyt pisteet tai ympyrät ja viivoja pisteiden välille piirretyt viivat. Tarkemmin verkon, pisteiden ja viivojen ominaisuuksista käydään läpi pisteiden vierekkäisyys, verkon säännöllisyys ja täydellisyys, isomorfismi, pisteiden ja viivojen vähentäminen ja verkon lyhentäminen sekä yhtenäisyys. Verkossa voidaan 'kulkea reittejä' pisteiden välillä olevia viivoja pitkin. Nämä reitit muodostavat kulkuja ja kierroksia. Isomorfismi on oleellinen osa verkkoteoriaa. Verkot G = ( X, V ) ja Q = ( X ', V' ) ovat isomorfiset, merkitään ... , jos on olemassa bijektio ... siten, että xy ∈ V jos ja vain jos ... kaikilla x ja y, jotka kuuluvat joukkoon X. Pisteitä ja viivoja poistamalla muodostetaan aliverkkoja ja minoreita. Verkosta G saadaan kyseisen verkon minori Q vähentämällä siitä n-joukko pisteitä ja m-joukko viivoja ja suorittamalla näin muodostuneelle verkolle lyhennyksiä. Kuratowskin verkoiksi kutsutaan täydellistä viiden pisteen verkkoa K_5 ja täydellistä kaksijakoista verkkoa K_{3,3}. Kaksijakoisuudella tarkoitetaan sitä, että verkon pisteet voidaan jakaa kahteen erilliseen joukkoon X_1 ja X_2 niin, että jokaisesta joukon X_1 pisteestä lähtevän viivan toisena päätepisteenä on piste joukossa X_2 ja toisin päin. Tasoverkot ovat verkkoja, jotka voidaan piirtää tasolle siten, että pisteiden väliset viivat eivät leikkaa keskenään. Tasoverkkoja määriteltäessä tarvitaan Jordanin käyriä ja verkon upotuksen käsitettä. Verkoista vain tasoverkoille voidaan määritellä alueet ja näiden avulla tasoverkon duaali. Verkosta G voidaan muodostaa uusi verkko G_0 jakamalla verkon viivoja kahteen osaan. Tämä kahtiajako tehdään viivalle v = pq niin, että viiva v vähennetään verkosta, jonka jälkeen lisätään uusi piste x ja liitetään se poistetun viivan v päätepisteisiin p ja q, jolloin saadaan uudet viivat px ja qx. Tätä viivan jakamistekniikkaa kutsutaan verkon alijaotukseksi. Verkkoa G, jonka viivoille on tehty alijaotuksia, kutsutaan verkon G alijaotukseksi tai G-alijaotukseksi.
-
(2014)Tämä tutkielma käsittelee kahta yleisesti melko tuntematonta lukualuetta: kvaternioita ja oktonioita. Tutkielman tavoite on esitellä nämä lukualueet ja niiden historiaa sekä todistaa joitakin ominaisuuksia näihin liittyen. Erityisesti tutkielman tavoitteena on todistaa, että reaaliluvut, kompleksiluvut, kvaterniot ja oktoniot ovat ainoat normitetut jakoalgebrat. Tutkielman ensimmäinen luku on johdantoluku, jossa johdatellaan aiheeseen kompleksilukujen avulla ja esitellään tutkielmassa käytetyt lähteet. Ennen tutkielman pääasialliseen aiheeseen siirtymistä tutkielman toisessa luvussa määritellään reaalikertoiminen algebra, jakoalgebra ja lopulta normitettu jakoalgebra. Luvussa esitellään ja todistetaan jakoalgebroja luonnehtiva lause. Lisäksi todistetaan, että kompleksilukujen algebra on normitettu jakoalgebra. Tutkielman kolmannessa luvussa esitellään kvaterniot ja määritellään kvaternioalgebra. Lisäksi määritellään kvaternioden kertolasku ja todistetaan lause kvaternioiden liitännäisyydestä. Luvussa määritellään myös kvaternioalgebran normi sekä todistetaan kvaternion konjugaattia ja käänteisalkiota koskevat lauseet. Näitä lauseita apuna käyttäen todistetaan, että kvaternioalgebra on normitettu jakoalgebra. Neljäs luku käsittelee oktonioita. Luvussa määritellään oktonioalgebra ja esitetään oktonioiden kertolaskulle kaksi vaihtoehtoista määritelmää. Toisen määritelmän yhteydessä määritellään kongruenssin ja jäännösluokan käsitteet, sillä niitä tarvitaan kertolaskun määrittelyssä. Lisäksi luvussa määritellään oktonioalgebran normi sekä todistetaan oktonion konjugaattia ja käänteisalkiota koskevat lauseet, kuten kvaternioille tehtiin luvussa kolme. Samalla tavoin kuin kvaternioiden kohdalla, näitä lauseita hyödyntäen todistetaan, että oktonioalgebra on normitettu jakoalgebra. Viidennessä ja viimeisessä luvussa vedetään yhteen, mitä lukualueita tutkielmassa on käsitelty. Luvussa määritellään kompositioalgebra sekä sen sisätulo ja konjugaatti. Lisäksi todistetaan kompositioalgebran sisätuloa ja konjugaattia koskevat lauseet. Luvussa määritellään myös Cayley-Dickson -algebra ja todistetaan siihen liittyvät lauseet. Lopuksi näitä lauseita apuna käyttäen todistetaan, että korkeampiulotteisia reaalikertoimisia kompositioalgebroja ei ole olemassa. Tässä tuodaan esille Hurwitzin lause, jonka mukaan reaaliluvut, kompleksiluvut, kvaterniot ja oktoniot ovat ainoat normitetut jakoalgebrat.
-
(2014)Työssä esitellään Laplace-muunnoksena tunnettu integraalimuunnos. Se on yksi yleisimmin käytössä olevista integraalimuunnoksista, minkä taustat pohjautuvat Eulerin ja Lagrangen käänteistä Laplace-muunnosta muistuttaviin integraaleihin. Muunnos sai nimensä kehittäjänsä ranskalaisen matemaatikon Pierre-Simon Laplace (1749-1827) mukaan. Työn alussa esitellään Laplace-muunnoksen syntyyn liittyvää historiaa sekä palautetaan mieleen joitain esitietoja liittyen integraalin suppenemiseen ja jatkuvuuden käsitteeseen. Tämän jälkeen perehdytään varsinaiseen asiaan, eli Laplace-muunnoksen määritelmään ja sen ominaisuuksiin. Käydään läpi kuinka muodostuvat derivaatan ja integraalin Laplace-muunnokset sekä lopulta tutkitaan käänteisen Laplace-muunnoksen määritelmää ominaisuuksineen. Laplace-muunnos muuntaa t:n funktion f, s:n funktioksi F, minkä ratkaiseminen esimerkiksi osamurtohajotelman avulla on huomattavasti alkuperäistä helpompaa. Lopulta F(s) palautetaan käänteisen Laplace-muunnoksen avulla takaisin t:n funktioksi f, mikä on differentiaaliyhtälön ratkaisu. Käänteismuunnoksen ja kompleksisen Laplace-muunnoksen määrittelyssä käytän apuna Fourier'n muunnoksen teoriaa. Työssä käsitellään myös konvoluution sekä yksikköaskelfunktion käsitteitä ja niiden Laplace-muunnoksia. Tavoitteena on osoittaa kuinka kyseinen menetelmä helpottaa tietyntyyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemista. Varsinkin sähkötekniikassa ja elektroniikassa kyseinen integraalimuunnos on erittäin tärkeä työväline. Työn lopussa sovelletaan opittua erityyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun sekä elektroniikan piirien, eritoten RLC-piirien yhteydessä ilmenevien differentiaaliyhtälöiden teoriaan.
-
(2013)Tutkielman tarkoitus on esitellä ja määritellä yksi menetelmä, jonka avulla voidaan rakentaa kaikki intuitiivisesti laskettavat funktiot. Tähän on valittu tarkoitukseen URM-kone, joka vastaa ajatukseltaan nykyisen tietokoneen toimintaa. URM-koneen lisäksi käydään läpi muitakin tapoja, joilla voi luoda yksinkertaisemmista perusfunktioista uusia funktioita. Tutkielman toinen esiteltävä asia on Churchin teesi, joka yhdistää kaikki tunnetut tavat luoda laskettavia funktioita. Sen mukaan lähtökohdasta riippumatta saadaan sama joukko laskettavia funktioita. Tämän esittelyn yhteydessä mainitaan muutamia erilaisia lähestymistapoja laskettavuuteen. Näistä ehkä tunnetuimpana pidetty Turingin kone –lähestymistapa käydään myös läpi, mutta huomattavasti kevyemmin kuin URM-koneen kohdalla.
-
(2016)Rakennetaan erityisesti euklidisen avaruuden matematiikkaa matriiseja välttäen ja tähdäten Rogersin—Milnorin analyyttiseen todistukseen Brouwerin kiintopistelauseelle. Kehitetään analyysin ja multilineaarisen algebran perusteita, joista mainittakoon tulon derivaatta sekä determinantti, joista Leibniz tunnetaan—tästä otsikko. Tieteellisistä kontribuutioista maininnan ansaitsevat tensorien määritelmä indeksoituina perheinä sekä ulkotulon yleistys tällaisille tensoreille. Luvuissa 1 ja 3 kehitetään analyysiä käyttäen tangenssirelaation käsitettä. Luvussa 2 määritellään tensorit indeksoituina perheinä, mikä tekee niistä kantariippumattomia. Ulkotulon määritelmä nojaa originaaleihin kombinatorisiin tuloksiin. Luvussa 4 määritellään determinantti ulkotulon avulla käyttäen transvektioita ja dilataatioita, jotka korvaavat matriisien rivi- ja sarakeoperaatiot. Luontevia jatkokehityksen ja harjoitustehtävien aiheita voisivat olla heterogeeniset tensorit, ulkoderivaatta sekä differentiaaligeometrian ja -topologian alkeet.
-
(2015)Logaritmin käsite on muuttunut sen löytymisen jälkeen huomattavasti. Lähinnä laskennalliseen hyötyyn luodusta apuvälineestä on tullut keskeinen matemaattisen analyysin työkalu. Myös lukuisat sovellukset usealla eri tieteenalalla hyödyntävät logaritmin ominaisuuksia. Tästä syystä se on edelleen oleellinen aihekokonaisuus lukiomatematiikassa. Tutkimuksen tavoitteena on selvittää millä tavoin logaritmi opetetaan koulumatematiikassa. Teoreettisen taustan pohjalta arvioidaan opetuksen nykytilaa ja pohditaan miten sitä voitaisiin kehittää. Tutkielmassa käydään läpi logaritmin opetuksesta tehtyjä tutkimuksia sekä tarkastellaan Helsingin Yliopiston matematiikan aineenopettajaksi opiskelun aloittaneiden ymmärrystä logaritmista. Lisäksi esitellään yhden oppitunnin mittainen opetuskokeilu, jossa hyödynnetään tutkielmassa esiteltyjä keinoja. Tutkimuksen teoreettisena viitekehyksenä toimii David Tallin matematiikan kolme maailmaa. Oleellisessa osassa on proseptin käsite. Proseptuaalisen tiedon tasolla yksilö kykenee ajattelemaan joustavasti proseduraalisen ja konseptuaalisen tiedon välillä. Tallin luoma käsite 'met-before' kuvastaa oppilaan aiemmin kohtaamaa tietoa. Tämä on oleellista opetuksen suunnittelussa, jolloin tulee tarkastella mitkä oppilaan aikaisemmat tiedot toimivat uuden tukena ja mitkä problematisoivat sitä. Logaritmin yhteydessä tarkastelu on erityisen tärkeää, sillä käsitteen historiallinen muodostuminen poikkeaa sen nykyisestä esitysmuodosta. Historiallista kehitystä, oppilaan aiemmin kohtaama tietoa ja logaritmin käsitteen jäsentämistä pyritään helpottamaan ottamalla käyttöön käsitekartta. Tutkimuksessa esitellään logaritmin historiallinen käsitteenmuodostus Antiikin Kreikasta aina John Napierin vuonna 1614 kehittämään käsitteeseen. Tämän lisäksi tarkastellaan logaritmin nykyistä esitysmuotoa ja sen sovelluksia. Logaritmin esiintymistä koulumatematiikassa tutkitaan opetussuunnitelmien ja oppikirjojen perusteella. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet antavat pohjaa niille tiedoille, jotka lukio-oppilas on aiemmin kohdannut. Lukion opetussuunnitelman perusteita tarkastellaan sen nykyisessä muodossa. Lisäksi huomioidaan tulevan opetussuunnitelman perusteiden luonnos. Tutkimuksessa käydään läpi viimeisen vuosisadan läpi kestänyttä pedagogista keskustelua logaritmien opetuksesta. Tämän lisäksi tehdään katsaus opetuskokeiluihin, joita logaritmin opetuksesta on tehty. Helsingin Yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen uusilla matematiikan aineenopettajaksi opiskeleville tehdyn kyselyn perusteella arvioidaan yliopistoopinnot aloittavan opiskelijan tasoa logaritmi- ja eksponenttifunktioissa. Tulosten perusteella opiskelijoiden ymmärrys logaritmin suhteen on vahvasti proseduraalisen tiedon tasolla. Sen sijaan eksponenttifuktioissa näkyy konseptuaalisen tiedon tasoa. Lopuksi esitellään yhden oppitunnin mittainen opetuskokeilu logaritmeista. Pyrkimyksenä on esittää kokonaisuus siten, että se on tutkimukseen perehtyneen toteutettavissa. Tässä yhteydessä käydään myös läpi oppitunnista saatua palautetta ja pohditaan muun muassa tutkimuksen linkkejä opetukseen ja mahdollisia jatkotutkimuskohteita.
-
(2014)Tässä tutkimuksessa perehdytään ensimmäisen opiskeluvuoden yliopisto-opiskelijoiden matematiikan luonnetta, oppimista ja opettamista koskeviin uskomuksiin. Tutkimuksessa nojaudutaan Viholaisen ym. (2012, 2014) tekemään tutkimukseen, jossa lähestytään opiskelijoiden matematiikkauskomuksia matematiikkaorientaatioiden ja matematiikan oppimisnäkemysten valossa. Orientaatiot ja oppimisnäkemykset kuvastavat käsityksiä siitä, mitä on matematiikka, sen tekeminen, oppiminen ja opettaminen. Sekä opettajan että oppilaiden uskomusten tiedetään vaikuttavan oppimiseen ja toimintaan oppimistilanteissa paljon, joten tulevan opettajan on tärkeää tiedostaa omat uskomuksena ja tuntea tulevien oppilaidensa uskomuksia. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on selvittää, millaisia uskomuksia Helsingin yliopiston ensimmäisen vuoden matematiikan opiskelijoilla on matematiikasta. Näiden uskomusten voidaan olettaa olevan pääosin opiskelijoiden aiempien kokemusten, opettajien ja oppituntien muovaamia. Lisäksi tarkastellaan eroja uskomuksissa matematiikan pää- ja sivuaineopiskelijoiden välillä. Tutkimuksessa selvitetään myös, kuinka uskomukset muuttuvat yliopisto-opintojen kahden ensimmäisen opetusperiodin aikana. Tutkimuksen aineisto kerättiin paperisilla kyselylomakkeilla kahdessa osassa Helsingin yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen matematiikan peruskursseilla. Ensimmäinen kysely tehtiin syyskuussa 2013 Analyysi I -kurssin luennolla ja siihen vastasi 205 opiskelijaa. Kysely toistettiin tammikuussa 2014 Analyysi II -kurssin luennolla ja silloin siihen vastasi 137 opiskelijaa. Analyysi I - ja Analyysi II -kurssit kuuluvat matematiikan perusopintoihin, joten matematiikkaa pääaineenaan ja sivuaineenaan opiskelevat suorittavat ne yleensä opintojensa alkuvaiheessa. Tutkimuksessa lähdettiin siitä oletuksesta, että suurin osa kyselyyn vastanneista opiskelijoista oli uusia matematiikan opiskelijoita. Kerättyä aineistoa tarkasteltiin ja analysoitiin sekä määrällisin että laadullisin menetelmin. Määrälliset analyysit suoritettiin käyttäen SPSS-ohjelmaa ja tilastollisia merkitsevyystestejä. Kaikki neljä matematiikkaorientaatiota saivat melko vahvaa kannatusta opiskelijoiden vastauksissa. Vastaukset eri pääainetta opiskelevien kesken eivät eronneet toisistaan tilastollisesti merkitsevästi. Kaikki neljä orientaatiota ilmenivät myös melko tasaisesti opiskelijoiden omissa kuvauksissa matematiikasta. Myös matematiikan oppimista ja opettamista kuvaavat prosessi- ja skeemaoppiminen saivat selkeää kannatusta, eivätkä vastaukset eronneet tilastollisesti merkitsevästi eri pääaineiden opiskelijoiden välillä. Vertailtaessa opiskelijoiden vastauksia syyskuun 2013 ja tammikuun 2014 välillä, ei niissä havaittu tilastollisesti merkitseviä eroja. Vaikuttaa siltä, että Helsingin yliopiston nykyisten matematiikan opiskelijoiden kuva matematiikasta ja sen luonteesta on monipuolinen ja laaja-alainen. Lisäksi matematiikan pää- ja sivuaineopiskelijoiden matematiikkaa koskevat uskomukset ovat opintojen alkuvaiheessa samankaltaisia. Kahden ensimmäisen opetusperiodin ajan korkeakouluopinnot eivät myöskään muuttaneet uskomuksia merkittävästi.
-
(2014)Työssä käsitellään logistista differentiaaliyhtälöä ja sen sovelluksia populaation kasvun mallinnusta, kasvainten kasvun mallinnusta, SI-mallia ja SIR-mallia. Monissa tilanteissa jonkin suureen muutos riippuu suureen tilasta. Jos suureen arvoa kuvaa jokin derivoituva funktio, niin tämän derivaatta kuvaa suureen muutosnopeutta. Suureen muutoksen riippuvuutta suureen tilasta voidaan ilmaista matemaattisesti differentiaaliyhtälöillä, jotka sitovat funktion derivaatan arvot funktion arvoihin. Differentiaaliyhtälöissä esiintyy aina vähintään yksi tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi pyritään selvittämään tuntematon funktio. Differentiaaliyhtälöt ovat tavallisimpia luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyviä matemaattisia malleja, joita syntyy tilanteissa, joissa esiintyy esimerkiksi ajasta ja paikasta riippuvia suureita. Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen sigmoidinen käyrä, joka on logistisen differentiaaliyhtälön ratkaisu. Logistisen käyrän kuvaaja on S:n muotoinen ja sillä voidaan mallintaa jonkin populaation P kasvua. Aluksi kuvaaja kasvaa lähes eksponentiaalisesti mutta kasvu hidastuu ja pysähtyy lopulta, kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan. Kasvainten kasvun mallinnus on tärkeää, jotta voitaisiin löytää sopivia hoitomenetelmiä ja arvioida menetelmien hyötyjä. Aluksi kasvain kasvaa logistisen mallin mukaan mutta ajan myötä kasvu hidastuu ympäristön rajoittaessa kasvaimen kasvua. Von Bertalanffy (1902-1972) yleisti logistisen mallin Bertalanffyn yhtälöksi, jossa kasvaimen kasvua voidaan seurata tarkastelemalla sen tilavuuden muutoksia. Bertalanffyn yhtälöstä saadaan Gompertzin malli, joka on yksi tärkeimpiä kasvainten kasvua tarkastelevia malleja. SI-mallilla voidaan mallintaa jonkin uuden tuotteen, innovaation tai uudissanan leviämistä. Lisäksi sillä voidaan mallintaa joidenkin tautien tarttumista. SI-mallissa on kuitenkin monia yksinkertaistuksia eikä se ota huomioon esimerkiksi taudista paranemista. SI-mallia on kehitetty SIR-malliksi, joka ottaa huomioon SI-mallin puutteita kuten sen, että tartunnan saanut voi parantua saaden immuniteetin tautia vastaan.
-
(2014)I detta Pro gradu arbete behandlar jag LU-faktorisering av matriser som tillhör linjäralgebran och matriskalkylen. Dessutom beskriver jag kort några andra faktoriseringar: gaussisk eliminering, QR-faktorisering och Cholesky-faktorisering. I början av arbetet går jag igenom vad matriser är och definitioner och begrepp som man behöver för att kunna förstå LU-faktoriseringen. Det kan vara långsamt och opraktiskt att lösa matrisekvationen Ax = y. I numerisk matrisberäkning strävar man ofta till att skriva matrisen A som en produkt av två eller flera enkla matriser. Denna process kallas för matrisfaktorisering. LU-faktoriseringen är en matrisfaktorisering, där varje kvadratmatris kan framställas som en produkt av över- och undertriangulära matriser. LU-faktoriseringen är ett exempel på en direkt metod för att lösa linjära ekvationssystem. För en matris A har LU-faktoriseringen formen A = LU. Om A är en kvadratisk matris så blir även L som är en undertriangulär matris och U en övertriangulär matris kvadratiska. Om A inte är kvadratisk så blir inte U kvadratisk och då inte heller triangulär men, L blir kvadratisk och triangulär. Dessutom kan matrisens L diagonalelement väljas som ettor och elementen ovanför huvuddiagonalen är nollor och i matrisen U kommer elementen under huvuddiagonalen att vara nollor. I arbetet ger jag några bevis som hjälper att förstå vad LU-faktorisering går ut på. Jag beskriver också Doolittles och Crouts algoritmer samt gles matrisfaktorisering som leder till olika slags LU-faktoriseringar. Till sist beräknar jag några exempel på uppgifter som har att göra med LU-faktoriseringar och hur man löser dem.
Now showing items 61-80 of 179