Skip to main content
Login | Suomeksi | På svenska | In English

Browsing by discipline "Matematik"

Sort by: Order: Results:

  • Silfverberg, Miikka (Helsingin yliopistoHelsingfors universitetUniversity of Helsinki, 2008)
  • Lempiäinen, Tuomo (2014)
    In this thesis we study the theoretical foundations of distributed computing. Distributed computing is concerned with graphs, where each node is a computing unit and runs the same algorithm. The graph serves both as a communication network and as an input for the algorithm. Each node communicates with adjacent nodes in a synchronous manner and eventually produces its own output. All the outputs together constitute a solution to a problem related to the structure of the graph. The main resource of interest is the amount of information that nodes need to exchange. Hence the running time of an algorithm is defined as the number of communication rounds; any amount of local computation is allowed. We introduce several models of distributed computing that are weaker versions of the well-established port-numbering model. In the port-numbering model, a node of degree d has d input ports and d output ports, both numbered with 1, 2, ..., d such that the port numbers are consistent. We denote by VVc the class of all graph problems that can be solved in this model. We define the following subclasses of VVc, corresponding to the weaker models: VV: Input and output port numbers are not necessarily consistent. MV: Input ports are not numbered; nodes receive a multiset of messages. SV: Input ports are not numbered; nodes receive a set of messages. VB: Output ports are not numbered; nodes broadcast the same message to all neighbours. MB: Combination of MV and VB. SB: Combination of SV and VB. This thesis presents a complete classification of the computational power of the models. We prove that the corresponding complexity classes form the following linear order: SB ⊈ MB = VB ⊈ SV = MV = VV ⊈ VVc. To prove SV = MV, we show that any algorithm receiving a multiset of messages can be simulated by an algorithm that receives only a set of messages. The simulation causes an additive overhead of 2∆ - 2 communication rounds, where ∆ is an upper bound for the maximum degree of the graph. As a new result, we prove that the simulation is optimal: it is not possible to achieve a simulation overhead smaller than 2∆ - 2. Furthermore, we construct a graph problem that can be solved in one round of communication by an algorithm receiving a multiset of messages, but requires at least ∆ rounds when solved by an algorithm receiving only a set of messages.
  • Puranen, Ilari (2018)
    We introduce a new model for contingent convertibles. The write-down, or equity conversion, and default of the contingent convertible are modeled as states of conditional Markov process. Valuation formulae for different financial contracts, like CDS and different types of contingent convertibles, are derived. The Model can be thought of as an extension to reduced form models with an additional state. For practical applications, this model could be used for new type of contingent convertible derivatives in a similar fashion than reduced form models are used for credit derivatives.
  • Koskinen, Kalle Matias (2018)
    This thesis can be regarded as a light, but thorough, introduction to the algebraic approach to quantum statistical mechanics and a subsequent test of this framework in the form of an application to Bose-Einstein condensates. The success of the algebraic approach to quantum statistical mechanics hinges upon the remarkable properties of special operator algebras known as C^*-algebras. These algebras have unique characterization properties which allows one to readily identify the mathematical counterparts of concepts in physics while at the same time maintaining mathematical rigour and clarity. In the first half of this thesis, we focus on abstract C^*-algebras known as the canonical commutation relation algebras (CCR algebras) which are generated by elements satisfying specific commutation relations. The main result in this section is the proof of a certain kind of algebraic uniqueness of these algebras. The main idea of the proof is to utilise the underlying common structure of any of the CCR algebras and explicitly construct an isomorphism between the generators of these algebras. The construction of this isomorphism involves the use of abstract Fourier analysis on groups and various arguments concerning bounded operators. The second half of the thesis concerns the rigorous set-up of the formation of Bose-Einstein condensation. First, one defines the Gibbs grand canonical equilibrium states, and then we specialize to studying the taking of the thermodynamic limit of these systems in various contexts. The main result of this section involves two main elements. The first is that by fixing the temperature and density of the system while varying its activity and volume, there exists a limiting state corresponding to the taking of the thermodynamic limit. The second element concerns the existence of a critical density after which the limiting state begins to show the physical characteristics of Bose-Einstein condensation. The mathematical issues one faces with Bose-Einstein condensation are mainly related to the unboundedness of the creation and annihilation operators and the definition of the algebra that we are working on. The first issue is relevant to all areas of mathematical physics, and one deals with it in the standard ways. The second issue is more nuanced and is a direct result of the first issue we mentioned. In particular, we would like to define the states on an algebra which contains the operators that we are interested in. The problem is that these operators are unbounded, and, as a result, one must instead use the CCR algebra and show by extension that we can, in fact, also use the unbounded operators in this state.
  • Wirzenius, Henrik (2012)
    Amenability is a notion that occurs in the theory of both locally compact groups and Banach algebras. The research on translation-invariant measures during the first half of the 20th century led to the definition of amenable locally compact groups. A locally compact group G is called amenable if there is a positive linear functional of norm 1 in L^∞(G)^* that is left-invariant with respect to the given group operation. During the same time the theory of Hochschild cohomology for Banach algebras was developed. A Banach algebra A is called amenable if the first Hochschild cohomology group H^1(A, X^*) = {0} for all dual Banach A-bimodules X^*, that is, if every continuous derivation D : A → X^* is inner. In 1972 B. E. Johnson proved that the group algebra L^1(G) for a locally compact group G is amenable if and only if G is amenable. This result justifies the terminology amenable Banach algebra. In this Master's thesis we present the basic theory of amenable Banach algebras and give a proof of Johnson's theorem.
  • Salonen, Tuomas (2017)
    In this work, an automated procedure for extracting chemical profiles of illicit drugs from chromatographic-mass spectrometric data is presented along with a method for comparison of the profiles using Bayesian inference. The described methods aim to ease the work of a forensic chemist who is tasked with comparing two samples of a drug, such as amphetamine, and delivering an answer to a question of the form 'Are these two samples from the same source?' Additionally, more statistical rigour is introduced to the process of comparison. The chemical profiles consist of the relative amounts of certain impurities present in seized drug samples. In order to obtain such profiles, the amounts of the target compounds must be recovered from chromatographic-mass spectrometric measurements, which amounts to searching the raw signals for peaks corresponding to the targets. The areas of these peaks must then be integrated and normalized by the sum of all target peak areas. The automated impurity profile extraction presented in this thesis works by first filtering the data corresponding to a sample, which includes discarding irrelevant parts of the raw data, estimating and removing signal baseline using the asymmetrical reweighed penalized least squares (arPLS) algorithm, and smoothing the relevant signals using a Savitzky-Golay (SG) filter. The SG filter is also used to estimate signal derivatives. These derivatives are used in the next step to detect signal peaks from which parameters are estimated for an exponential-Gaussian hybrid peak model. The signal is reconstructed using the estimated model peaks and optimal parameters are found by fitting the reconstructed signal to the measurements via non-linear least squares methods. In the last step, impurity profiles are extracted by integrating the areas of the optimized models for target compound peaks. These areas are then normalized by their sum to obtain relative amounts of the substances. In order to separate the peaks from noise, a model for noise dependency on signal level was fitted to replicate measurements of amphetamine quality control samples non-parametrically. This model was used to compute detection limits based on estimated baseline of the signals. Finally, the classical Pearson correlation based comparison method for these impurity profiles was compared to two Bayesian methods, the Bayes factor (BF) and the predictive agreement(PA). The Bayesian methods used a probabilistic model assuming normally distributed values with normal-gamma prior distribution for the mean and precision parameters. These methods were compared using simulation tests and application to 90 samples of seized amphetamine.
  • Pannila, Tomi (2016)
    In this master's thesis we develop homological algebra using category theory. We develop basic properties of abelian categories, triangulated categories, derived categories, derived functors, and t-structures. At the end of most oft the chapters there is a short section for notes which guide the reader to further results in the literature. Chapter 1 consists of a brief introduction to category theory. We define categories, functors, natural transformations, limits, colimits, pullbacks, pushouts, products, coproducts, equalizers, coequalizers, and adjoints, and prove a few basic results about categories like Yoneda's lemma, criterion for a functor to be an equivalence, and criterion for adjunction. In chapter 2 we develop basics about additive and abelian categories. Examples of abelian categories are the category of abelian groups and the category of R-modules over any commutative ring R. Every abelian category is additive, but an additive category does not need to be abelian. In this chapter we also introduce complexes over an additive category, some basic diagram chasing results, and the homotopy category. Some well known results that are proven in this chapter are the five lemma, the snake lemma and functoriality of the long exact sequence associated to a short exact sequence of complexes over an abelian category. In chapter 3 we introduce a method, called localization of categories, to invert a class of morphisms in a category. We give a universal property which characterizes the localization up to unique isomorphism. If the class of morphisms one wants to localize is a localizing class, then we can use the formalism of roofs and coroofs to represent the morphisms in the localization. Using this formalism we prove that the localization of an additive category with respect to a localizing class is an additive category. In chapter 4 we develop basic properties of triangulated categories, which are also additive categories. We prove basic properties of triangulated categories in this chapter and show that the homotopy category of an abelian category is a triangulated category. Chapter 5 consists of an introduction to derived categories. Derived categories are special kind of triangulated categories which can be constructed from abelian categories. If A is an abelian category and C(A) is the category of complexes over A, then the derived category of A is the category C(A)[S^{-1}], where S is the class consisting of quasi-isomorphisms in C(A). In this chapter we prove that this category is a triangulated category. In chapter 6 we introduce right and left derived functors, which are functors between derived categories obtained from functors between abelian categories. We show existence of right derived functors and state the results needed to show existence of left derived functors. At the end of the chapter we give examples of right and left derived functors. In chapter 7 we introduce t-structures. T-structures allow one to do cohomology on triangulated categories with values in the core of a t-structure. At the end of the chapter we give an example of a t-structure on the bounded derived category of an abelian category.
  • Jääsaari, Jesse Sebastian (2013)
    Vuonna 1837 Peter Dirichlet todisti suuren alkulukuja koskevan tuloksen, jonka mukaan jokainen aritmeettinen jono {an + d}_{n=1}^{∞}, missä (a ,d) = 1, sisältää äärettömn monta alkulukua. Todistuksessa hän määritteli ns. Dirichlet'n karakterit joille löydettiin myöhemmin paljon käyttöä lukuteoriassa. Dirichlet'n karakteri χ (mod q) on jaksollinen (jakson pituutena q), täysin multiplikatiivinen aritmeettinen funktio, jolla on seuraava ominaisuus: χ(n) = 0 kun (n ,q) > 1 ja χ(n) \neq 0 kun (n ,q) = 1. Tässä Pro Gradu-tutkielmassa tutkitaan karakterisumman \mathcal{S}_χ(t) = \sum_{n ≤ t} χ(n) kokoa, missä t on positiivinen reaaliluku ja χ (mod q) on ei-prinsipaali Dirichlet'n karakteri. Triviaalisti jaksollisuudesta seuraa, että |\mathcal{S}_χ(t)| ≤ min(t, q). Ensimmäinen epätriviaali arvio on vuodelta 1918, jolloin George Pólya ja Ivan Vinogradov todistivat, toisistaan riippumatta, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qlog q uniformisti t:n suhteen. Tämä tunnetaan Pólya--Vinogradovin epäyhtälönä. Olettamalla yleistetyn Riemannin hypoteesin, Hugh Montgomery ja Robert Vaughan todistivat, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qloglog q vuonna 1977. Vuonna 2005 Andrew Granville ja Kannan Soundararajan osoittivat, että jos χ (mod q) on paritonta rajoitettua kertalukua g oleva primitiivinen karakteri, niin |\mathcal{S}_χ(t)|<<_g \sqrt q(log Q)^{1-\frac{δ_g}{2}+o(1)}, missä δ_g on g:stä riippuva vakio ja Q on q tai (log q)^{12} riippuen siitä oletetaanko yleistetty Riemannin hypoteesi. Todistus perustui teknisiin aputuloksiin, jotka saatiin muotoiltua teeskentelevyys-käsitteen avulla. Granville ja Soundararajan määrittelivät kahden multiplikatiivisen funktion, joiden arvot ovat yksikkökiekossa, välisen etäisyyden kaavalla \mathbb{D}(f, g; x) = \sqrt{\sum_{p≤ x}\frac{1-\Re(f(p) \overline g(p))}{p}}, ja sanoivat, että f on g-teeskentelevä jos \mathbb{D}(f, g; ∞) on äärellinen. Tällä etäisyydellä on paljon hyödyllisiä ominaisuuksia, ja niihin perustuvia menetelmiä kutsutaan teeskentelevyys-menetelmiksi. Johdannon jälkeen luvussa 2 esitetään määritelmiä ja perustuloksia. Luvun 3 tarkoitus on johtaa luvussa 6 tarvittavia aputuloksia. Luvussa 4 määritellään teeskentelevyys, todistetaan etäisyysfunktion \mathbb{D}(f, g; x) ominaisuuksia ja esitetään joitakin sovelluksia. Luvussa 5 johdetaan jälleen teknisiä aputuloksia, jotka seuraavat Montgomery--Vaughanin arviosta. Luvussa 6 tarkastellaan karakterisummia. Aloitamme todistamalla Pólya—Vinogradovin epäyhtälön ja Montgomery-Vaughanin vahvennoksen tälle. Päätuloksena johdamme arvion (1), jossa \frac{1}{2}δ_g on korvattu vakiolla δ_g. Tämän todisti alunperin Leo Goldmakher. Lopuksi käytämme teeskentelevyys-menetelmiä osoittamaan, että Pólya—Vinogradovin epäyhtälöä voi vahventaa jos karaktereista tehdään erilaisia oletuksia.
  • Rantalainen, Aapo (Helsingin yliopistoUniversity of HelsinkiHelsingfors universitet, 2006)
  • Xu, Tingting (2014)
    The high mortality rate among humans infected with certain types of Avian Influenza (AI) and the potential of a mutation that allows human-to-human transmission is a great concern for the public health. We formulate a mathematical model for the prevalence of AI in humans resulting from avian-to-human transmission. The model is important because the higher the prevalence, the higher the risk of a mutation that allows human-to-human transmission leading in a major epidemic. We formulate and analyse separate deterministic and stochastic versions of the model. Different time scale separation techniques are applied to the models. The influence of certain controllable parameters on the system equilibrium is interpreted from numerical results. Moreover, we also investigate the fluctuation of populations due to demographic stochasticity at the early stage of the prevalence of AI.
  • Björkqvist, Sebastian (2014)
    I avhandlingen definieras cellulära homologigrupper för cellkomplex, och med hjälp av dessa beräknas homologigrupperna för ett antal topologiska rum. Med cellkomplex menar man topologiska rum som byggs upp stegvis genom att börja med en diskret mängd punkter och sedan fästa n-celler ̄ B n till någon del av komplexet som finns från tidigare. Homologigrupper innebär att man associerar en algebraisk invariant, närmare sagt en abelsk grupp med ett topologiskt rum. För att kunna definiera de cellulära homologigrupperna definieras först de singulära homologigrupperna för godtyckliga topologiska rum, varefter de s.k. homologiaxiomen, även kända som Eilenberg–Steenrod-axiomen, presenteras. Med hjälp av homologiaxiomen beräknas de singulära homologigrupperna för enhetssfären S^n, och med hjälp av detta resultat samt med gradberäkningar av avbildningar från enhetssfären till sig själv konstrueras sedan de cellulära homologigrupperna för cellkomplex. Därefter bevisas det faktum att de singulära och cellulära homologigrupperna är isomorfa för alla cellkomplex. Utgående från dessa resultat kan man relativt enkelt beräkna homologigrupperna för många topologiska rum genom att ge rummet en cellstruktur och sedan beräkna rummets cellulära homologigrupper. För att demonstrera hur metoderna som presenterats i avhandlingen kan användas beräknas homologigrupperna för ett antal rum, bl.a. cylindern S^1 × I, torusen S^n × S^n och det reella projektiva n-rummet RP^n. I avhandlingen demonstreras även hur kunskapen om homologigrupperna för sfären S^n kan användas för att bevisa ett antal klassiska topologiska resultat, bl.a. Brouwers fixpunktsats samt det faktum att de Euklidiska rummen R^n och R^m är homeomorfa om och endast om n = m.
  • Annala, Toni (2016)
    Bézout's theorem, at least the original version, concerns the number of intersection points of two curves in projective plane. The main purpose of this thesis, apart from proving the classical version of Bézout's theorem, is to give multiple generalizations for it. The first proper chapter, Chapter 2, is devoted to the proof of classical Bézout's theorem. In the first two sections of the chapter we define projective and affine plane curves, and show some of their basic properties. In the third section we define the resultant of two polynomials, and use the newly acquired tool to prove the upper bound version of Bézout's theorem. The fourth section discusses the multiplicity of a point of intersection. This multiplicity, dependent of algebraic data associated to the intersection, is needed for stating the equality version of the classical Bézout's theorem. In the fifth section we prove this using properties of the intersection multiplicity proved in the fourth section. The third chapter extends the classical Bézout's theorem beyond its original scope. In Section 3.1 we define a crucial tool, Hilbert polynomial, which allows us to keep track of algebraic information associated to the projective scheme cut out by a homogeneous ideal. This polynomial is not an invariant of the scheme itself; rather it should be thought as containing information concerning both the intrinsic structure of the subscheme, and about how the subscheme is located in the ambient projective space. The second section of the third chapter quickly summarizes the parts of modern algebraic geometry that are of most use later. Section 3.3 gives the first proper generalization of Bézout's theorem. This generalization is more a quantitative than a qualitative one, as it deals with intersections of projective hyperplanes. The fourth chapter gives a generalization of the upper bound version of the Bézout's theorem to a very general case. We define the geometric multiplicity of a closed subscheme of a projective space, and show that it behaves well under intersections. The geometric multiplicity gives an upper bound for the number of components, hence the generalization of inequality version of Bézout. In the final section, 3.5, we define Serre's multiplicity of a component of intersection, and show that the multiplicities given by this formula satisfy the equality version of Bézout's theorem in proper intersections of equidimensional subchemes.
  • Haarala, Akseli (2018)
    The goal of this thesis is to introduce the isoperimetric inequality and various quantitative isoperimetric inequalities. The thesis has two parts. The first one is an overview of the isoperimetric inequality in R^n and some of the known quantitative isoperimetric inequalities. In the first chapter we introduce the isoperimetric inequality and show some possible methods of proving the isoperimetric inequality in R^n for both n=2 and n≥3. In the second chapter we discuss some known quantitative isoperimetric inequalities as well as their proofs. The second part of the thesis is a paper. In this paper we prove a Bonnnesen type inequality for so called s-John domains, s>1, in R^n. We show that the methods that have been applied to John domains in the literature, suitably modified, can be applied to s-John domains. Our result is new and gives a family of Bonnesen type inequalities depending on the parameter s>1.
  • Kaksonen, Aleks (2014)
    Vakuutusmallia määrittäessä vakuutusyhtiön mielenkiinto kohdistuu yhtiön oman vararikkotodennäköisyyden määrittämiseen. Luonnollinen ajatus on valita vakuutusmalli, jossa yhtiön vararikkotodennäköisyys minimoituu. Opinnäytetyössä raapaistaan tätä pintaa perehtymällä yleisesti liikennevakuutuksissa käytettävän bonusjärjestelmän kannattavuuteen vakuutusyhtiön asymptoottista vararikkoa tarkasteltaessa. Bonusjärjestelmässä vakuutettu siirtyy paremmalle vakuutustasolle jos kuluvan vuoden aikana ei tapahdu vahinkoja, mutta vakuutettu tippuu puolestaan huonommalle vakuutustasolle jos samaisena aikana vahinkoja sattuu. Yleisesti bonusjärjestelmän tarkoituksena on lisätä vakuutetuilta perittävien vakuutusmaksujen tasa-arvoisuutta, sillä huonon vakuutustason omaavan vakuutetun vakuutusmaksu on korkeampi kuin paremman vakuutustason omaavalla. Työn taustana toimii Lehtonen T. ja Nyrhinen H. 90-luvun julkaisu, jossa bonusjärjestelmiin perehdytään. Opinnäytetyön tarkoitus on esitellä yleinen bonusjärjestelmiin liittyvä teoria matemaattisesti ja perehtyä osaan edellä mainitun julkaisun tuloksista. Työssä näytetään, että tietyin perusoletuksin vakuutusyhtiön asymptoottinen vararikkotodennäköisyys on pienempi kaksitilaisessa bonusjärjestelmässä kuin yksitilaisessa kiinteällä vakuutusmaksulla. Alkuaskeleena työssä tullaan määrittämään bonusjärjestelmä yleisellä tasolla, jolloin malliin saadaan yksinkertaisia tasa-arvoehtoja vakuutusmaksuista ja vakuutetun liikkumisesta bonusjärjestelmässä. Yleisen tutustumisen jälkeen syvällinen tarkastelu aloitetaan keskittymällä kiinteään vakuutettuun. Tällöin perehdytään mallin kaksiulotteiseen siirtymämuuttujaan ja tämän ominaisuuksiin. Siirtymämuuttujan seurauksena saadaan yhteys vakuutetun tuottamaan vuotuiseen tappioon eri bonusluokissa. Tämän jälkeen pystytään tarkastelemaan yksittäisen vakuutetun pitkällä ajalla tuottamaa kumulatiivista tappiota. Kiinteän vakuutetun tarkastelun jälkeen luonnollinen siirtymä on koko vakuutuskannan mallintaminen. Koko vakuutuskannan tarkastelun aikana tullaan perehtymään vastaaviin ominaisuuksiin kuin aikaisemman vaiheen kiinteän vakuutetun tarkastelussa. Työn loppupuolella perehdytään vakuutusyhtiön asymptoottisen vararikon mallintamiseen ja luodaan yhteys asymptoottisen vararikon ja aikaisemmin käytyjen määritelmien välille. Yleisen tarkastelun jälkeen yleinen bonusjärjestelmä voidaan redusoida kaksi- ja yksitilaiseksi bonusjärjestelmäksi. Redusoinnin jälkeen pystytään vertailemaan syntyneitä bonusjärjestelmiä ja lopulta näyttämään, että kaksitilainen bonusjärjestelmä on parempi vaihtoehto vakuutusyhtiölle asymptoottisen vararikon näkökulmasta tarkasteltuna jos vakuutusyhtiön vakuutuskanta on riippumaton ja samoin jakautunut tai vakuutusyhtiö tuntee jokaisen vakuutetun vahinkojakaumat.
  • Halme, Sini (2014)
    Useissa Euroopan ja Aasian maissa sekä Pohjois-Amerikassa vakuutusyhtiöt käyttävät ajoneuvovakuutusten hinnoittelussa kokemuksen antamaa tietoa vakuutetun ajotaidoista ja ajokäyttäytymisestä niin sanotun a priori hinnoittelun ohella. A priori hinnoittelulla tarkoitetaan vakuutuksen myöntöhetkellä tiedossa olevien ominaisuuksien perusteella tehtyä riskiluokitusta. Riskiluokkien sisäistä heterogeenisyyttä pyritään korjaamaan ajan kuluessa – tiedon karttuessa – niin sanotulla a posteriori hinnoittelulla. Käytäntö rankaisee kuljettajia, jotka ovat vastuussa yhdestä tai useammasta vahingosta edellisen tai edellisten vakuutuskausien aikana lisämaksulla eli bonusmenetyksellä. Vahinkovapaita kuljettajia sen sijaan palkitaan alennuksilla eli bonuksilla. Tutkielman alussa käydään läpi perusteita kaksivaiheiselle hinnoittelulle ja esitetään a priori hinnoittelu lyhyesti. Bonusjärjestelmät koostuvat kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä. Peruslogiikan mukaisesti vahingottomien vuosien jälkeen päätyy alhaisempiin eli parempiin bonusluokkiin ja nautitaan bonuksista eli alhaisemmasta vakuutusmaksusta. Sen sijaan ilmoitettujen vahinkojen seurauksena vakuutettu siirtyy bonussäännöstön mukaisesti ylempään eli huonompaan bonusluokkaan ja häntä rankaistaan bonusmenetyksillä eli korkeammalla vakuutusmaksulla. Seuraavan kauden bonusluokka määräytyy kuluvan kauden bonusluokan ja sattuneiden vahinkojen lukumäärän perusteella. Näin ollen bonusjärjestelmää voidaan kuvata Markovin ketjun avulla. Eri vakuutusyhtiöillä ja eri maissa on käytössä hyvin erilaisia bonusjärjestelmiä. Bonusluokkien määrä, aloitusluokka ja siirtymissäännöt vaihtelevat. Tutkielmassa on esitetty kaksi erilaista käytettävissä olevaa bonusjärjestelmää, joista toinen on Suomessa yleisesti käytetty. Tämän lisäksi esimerkeissä on käytetty hyvin yksinkertaistettuja järjestelmiä, joiden tarkoituksena on kuvata esitetyn teorian tuomista käytäntöön ennemmin helposti luettavin laskuesimerkein kuin todellista tilannetta havainnoiden. Bonusjärjestelmissä lähdetään oletuksesta, että ajan kuluessa bonusjärjestelmä saavuttaa tasapainotilan. Jokainen vakuutettu saavuttaa tasapainoluokan, joka vastaa hänen vuosittaista vahinkofrekvenssiä. Vakuutettu hakeutuu tämän 'oikean' bonusluokan ympärille. Perusajatuksen mukaisesti hyvät kuljettajat asettuvat ajan kuluessa alhaisiin eli hyviin bonusluokkiin ja suuren riskin kuljettajat sitä vastoin korkeampiin bonusluokkiin. Vakuutusyhtiön vakuutusten hinnoittelussa tärkein tehtävä on vakuutusmaksun muodostaminen siten, että se on mahdollisimman lähellä 'oikeaa' hintaa. Jokaiselle bonustasolle tulee laskea suhdeluku, joka kertoo kunkin vakuutetun osuuden oman riskiluokan a priori vakuutusmaksusta. Tutkielman lopussa tämä suhdeluku määritellään tilanteessa, jossa a priori hinnoittelu on käytössä. Tämän lisäksi pohditaan vaikutuksia, jos a priori hinnoittelusta luovuttaisiin kokonaan ja käytössä olisi vain kokemukseen perustuva a posteriori hinnoittelu. Tässä pyrkimyksenä on miettiä vaihtoehtoa hyvien kuljettajien kaksinkertaiselle palkitsemiselle ja huonojen kuljettajien kaksinkertaiselle rankaisemiselle. Tämän pohdinnan tarpeellisuus ja sen oikeellisuus on eettinen kysymys, johon tutkielmassa halutaan ainoastaan antaa matemaattiset työkalut. Viimeiseksi tutkielmassa käydään yksinkertaistetulla esimerkillä läpi hinnoittelun kaari a priori hinnoittelusta a posteriori hinnoitteluun. Vaikka käytössä on todellinen erään suomalaisen vakuutusyhtiön portfolio, on esimerkin tulokset yksinkertaistuksen vuoksi varsin kevyet. Voidaan kuitenkin nähdä, että perusoletus hyvien kuljettajien päätymisestä parempiin bonusluokkiin ja suuremman riskin kuljettajien huonompiin pätee tässäkin.
  • Ruuhonen, Mikko (2013)
    Bonusjärjestelmät ovat hyvin yleisiä liikenne- ja kaskovakuutuksissa. Autovakuutusmaksujen hinnoittelussa käytetään monia 'a priori' muuttujia vaikka monissa tutkimuksissa on voitu osoittaa, että paras ennuste tulevien vahinkojen määrittämisessä on vakuutetun vahinkohistoria. Idea keksittiin 1950-luvulla pohdittaessa voidaanko vakuutusmaksua tarkistaa jälkikäteen ('a posteriori'), kun jokaisen vakuutetun vahinkohistoriaa oli tarkasteltu. Tällainen bonus-malus -järjestelmä rankaisee vakuutettua yhdestä tai useammasta vahingosta ylimääräisellä maksulla (malus) ja palkitsee vahingottomasta vuodesta vakuutusmaksun alennuksella (bonus), tunnetaan suomeksi nimellä bonusjärjestelmä. Se on samalla vakuutusyhtiön reaktio käänteiseen valintaan, epätäydelliseen informaatioon vakuutetun käyttäytymisestä. Vakuutusyhtiö käyttää bonusjärjestelmää, kun vakuutetut voidaan jaotella äärelliseen määrään luokkia, jonka perusteella vuosittainen vakuutusmaksu määräytyy sekä vakuutetun luokka vakuutuskaudella määräytyy ainoastaan edellisen vakuutuskauden luokan ja nykyisen vakuutuskauden aikana aiheuttamien vahinkojen lukumäärän perusteella. Bonusjärjestelmä koostuu kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä. Bonusjärjestelmään sisältyy vakuutetun näkökulmasta kysymys minkä suuruisesta vahingosta kannattaa hakea korvaus. Vakuutetut maksavat itse mieluummin pienet vahingot välttääkseen vakuutusmaksun nousun. Tätä ilmiötä kutsutaan bonusnäläksi. Sen yleisyys kertoo osittain bonusjärjestelmän tiukkuudesta. Mitä tiukempi bonusjärjestelmä, sitä enemmän jätetään vahinkoja ilmoittamatta. Asiaa lähestytään kolmella eri tavalla. Lemairen algoritmi pyrkii etsimään optimaalisen korvauksenhakustrategian, missä määritellään optimaaliset rajat eri bonusluokkien kynnyshinnoille; jos vahingon suuruus on alle kynnyshinnan, niin järkevä vakuutuksenottaja ei ilmoita vahingosta ja päinvastoin. Kuitenkaan kaikki vakuutetut eivät ole järkeviä vaan hakevat korvauksen kaikista vahingoistaan vakuutusyhtiöltä, vaikkakin se olisi alle kynnyshinnan. Sopivien kynnyshintojen laskemiseksi sovitetaan vakuutuskantaan Lemairen algoritmia ja painotettua Poisson-prosessia, tavoitteena löytää todelliset korvausmäärien ja -lukumäärien jakaumat, mitkä eivät olisi vääristyneet bonusnälän johdosta. Viimeisessä luvussa lähestytään samaa optimaalisen korvauksenhakustrategian määrittämistä ohjattujen Markovin ketjujen ja dynaaminen ohjelmoinnin avulla. Vakuutetulla on vakuutuskauden lopussa mahdollisuus tehdä valinta hakeako korvausta vai ei vakuutuskauden aikana sattuneesta vahingosta. Yleensä korvauksen hakemisesta seuraa vakuutusmaksujen nousu joiksikin vuosiksi, riippuen bonussäännöstön ankaruudesta. Vakuutuksenottaja ohjaa täten valinnoillaan Markovin ketjun kulkua tekemällä sellaisia toimintoja, joilla odotettujen kokonaiskustannusten nykyarvo minimoituu.
  • Oikari, Tuomas (2018)
    Tämän työn päämäärä on kehitellä Lp−estimointi tekniikoita, soveltaa niitä mallioperaattoreiden tutkimiseen, ja edelleen, siirtää näiden mallioperaattoreiden rajoittuneisuus ominaisuuksia bilineaariselle Calderón-Zygmund -operaattorille. Tämä siirtäminen tehdään olettamalla tunnetuksi Bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin esityslause satunnaistettujen mallioperaattoreiden summana. Oletamme tunnetuksi hieman interpolointi ja maksimaalifunktioiden teoriaa. Aloitamme esittelemällä hyödyllisiä peruskäsitteitä, mm. neliöfunktion, sen kautta Lp -avaruuksien karakterisaation, ja Haarin kannan. Kappaleissa kaksi ja kolme määrittelemme mallioperattorit: shiftit ja paratulot ja todistamme niitä koskevia vahvoja estimaatteja Lp -avaruuksissa, kun p > 1. Tarkoituksemme on interpoloida vahvoja estimaatteja quasi-Banach alueelle, siis kun p < 1, ja tätä varten todistamme heikkoja päätepiste estimaatteja. Neljäs kappale on omistettu interpolointitekniikan esittelemiselle, joka mahdollistaa edellämainitun interpoloinnin. Viidennessä ja viimeisessä kappaleessa määrittelemme bilineaarisen Calderó-Zygmund operaattorin, kokoamme yhteen aikaisemmin kehitetyn teorian tuloksia ja vedämme näistä tuloksista lyhyehkönä korollaarina bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin rajoittuneisuuden.
  • Tamminen, Mira Johanna (2016)
    Vakuutusten hinnoittelussa ongelmaksi muodostuu vakuutusmaksun oikean tason löytyminen huomioiden vakuutetun sekä yhtiön intressit. Työssä ongelmaa lähestytään credibility-teorian avulla ja ratkaisuna tähän ongelmaan esitetään Bühlmann-Straub-malli. Vakuutusmaksu koostuu useasta eri osasta, tässä tutkielmassa kiinnostukseen kohteena on riskimaksu. Riskimaksu on se osa vakuutusmaksua, joka kohdistuu suoraan korvauksiin. Aluksi riskimaksu määritetään yhdelle vakuutetulle, nojautuen vakuutetun omaan vakuutushistoriaan. Esitetään myös kollektiivin riskimaksu, jossa huomioidaan se tosiasia että vakuutettu kuuluu joukkoon samankaltaisia vakuutettuja. Todellisuudessa riskimaksu on kuitenkin yhdistelmä näistä kahdesta ominaisuudesta. Esitetään credibility-teoriaa hyödyntäen riskimaksulle estimaattori, joka yhdistää vakuutetun oman vahinkohistorian ja sen tosiasian, että vakuutettu kuuluu tiettyyn heterogeeniseen kollektiiviin. Löydetään kertoimet painottamaan näitä ominaisuuksia ja riskimaksulle saadaan sopiva estimaattori, jota kutsutaan credibility-estimaattoriksi ja tämän avulla saatua riskimaksua credibility-maksuksi. Laajennetaan credibility-maksun käsite esitettäväksi L^2- avaruudessa. Tässä yleisessä mallissa ei aiemmin määriteltyjä todennäköisyysjakaumia määritellä tarkasti ja esitetään tärkeitä tuloksia itse Bühlmann-Straub-mallin määrittämistä varten. Lopuksi päästään päälauseeseen. Bühlmann-Straub-malli on laajennus tutkielmassa aiemmin esitetyistä malleista. Mallissa esitetään credibility-estimaattori sekä homogeeninen credibility-estimaattori ja jälkimmäisen avulla credibility-maksu. Tässä laajennetussa mallissa määritelty credibility-maksu ottaa huomioon koko yhtiön koko vakuutuskannan. Esitetään myös malliin liittyviä tunnuslukuja.
  • Valve, Heikki (2012)
    Tässä tutkielmassa tarkastellaan Cantorin joukkoa ja sen soveltamista muutamiin matemaattisiin tarkoituksiin. Cantorin joukon määrittelyssä otetaan huomioon sen monet topologiset ominaisuudet. Tarkoituksena on muotoilla Cantorin joukkoon liittyvät matemaattiset erikoisuudet mahdollisimman ymmärrettävällä tavalla matematiikkaa vain vähän opiskelleelle. Cantorin joukko on hämmentänyt matemaatikkoja sen ensimmäisestä esiintymisestä lähtien. Joukko muodostetaan vaiheittain poistamalla yksikkövälistä [0, 1] avoimia kolmanneksia. Prosessin ensimmäisessä vaiheessa välistä [0, 1] poistetaan väli (1/3, 2/3). Seuraavassa vaiheessa kahdesta välistä [0, 1/3] ja [2/3, 1] poistetaan jälleen niiden keskimmäiset kolmannekset eli välit (1/9, 2/9) ja (7/9, 8/9). Kun tätä prosessia jatketaan loputtomasti, välistä [0, 1] lopulta jäljelle jäävät pisteet muodostavat Cantorin joukon. Cantorin joukkoon kuuluvat ainakin kaikkien poistettujen välien päätepisteet. Yhtenä joukon erikoisuutena on kuitenkin se, että siihen kuuluu vielä ylinumeroituvasti ääretön määrä pisteitä, jotka eivät ole poistettujen välien päätepisteitä. Tämän seurauksena myös Cantorin joukko on siis ylinumeroituvasti ääretön. Topologiset ominaisuudet ovat Cantorin joukolla myös erikoisia. Voidaan osoittaa, että joukolla ei ole sisäpisteitä eli pisteitä, joilla olisi jokin Cantorin joukkoon kuuluva ympäristö. Lisäksi voidaan osoittaa, että jokainen Cantorin joukon piste on kasautumispiste eli piste, jonka jokaisessa ympäristössä on jokin toinen Cantorin joukon piste. Pirunporrasfunktionakin tunnetun Cantorin funktion lähtö- ja maalijoukko on yksikköväli [0, 1] eli gamma : [0, 1] -> [0, 1]. Funktion määrittely aloitetaan kuitenkin usein Cantorin joukon avulla. Nimen pirunporrasfunktio on saanut portaikkoa muistuttavasta kuvaajastaan. Vaikka gamma muistuttaa portaikkoa ja ensisilmäyksellä vaikuttaa katkonaiselta, niin se on kuitenkin jatkuva ja jopa tasaisesti jatkuva. Viimeisenä asiana tässä tutkielmassa esitetään lyhyesti Cantorin joukkoon liittyvä Lebesguen käyrä. Lebesguen käyrää sanotaan avaruuden täyttäväksi käyräksi, koska se kulkee jokaisen maalijoukkonsa, tässä tapauksessa yksikköneliön [0; 1] x [0; 1], pisteen kautta.