Browsing by discipline "Matematiikan opettajan koulutus"

Integraalilaskenta on yksi matematiikan kulmakivistä. Lukiossa sitä opetetaan osana pitkää matematiikkaa, jossa sille on varattu oma yksittäinen kurssinsa. Tutkielman Luvussa 1 tutustutaan alkuun, miten integraalilaskenta esiintyy lukion opetussuunnitelman perusteissa, jonka jälkeen Luvussa 2 esitellään lyhyesti erilaisia oppimiskäsityksiä. Edelleen Luvussa 3 tarkastellaan opetussuunnitelman perusteissa esiintyvien keskeisten käsitteiden määritelmiä ja niihin liittyvää teoriaa. Tutkielman päätarkoitus on analysoida lukion pitkän matematiikan oppikirjasarjoja integraalilaskennan osalta. Luvussa 4 tutkitaankin toisaalta kirjasarjojen eroavaisuuksia ja toisaalta suhdetta opetussuunnitelman perusteisiin ja Luvussa 3 annettuihin keskeisiin käsitteisiin. Lopuksi Luvussa 5 tehdään lyhyt yhteenveto. Integraalilaskenta rakentuu kahden peruskäsitteen, integraalifunktion eli määräämättömän integraalin ja määrätyn integraalin eli Riemannin integraalin varaan. Integraalifunktioita etsittäessä eli integroitaessa määritetään ne funktiot, joiden derivaattafunktio tarkasteltavalla reaalilukuvälillä tunnetaan. Määrätty integraali puolestaan on lähtöisin pyrkimyksestä määrittää epänegatiivisen, jatkuvan funktion käyrän kaaren ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala suljetulla reaalilukuvälillä. Tällaista aluetta voidaan arvioida suorakulmioilla jakamalla tarkasteltava väli osaväleihin ja valitsemalla kultakin osaväliltä sitten mielivaltainen piste, jossa lasketaan funktion arvo. Kun nyt ensin lasketaan osavälin ja edellä saadun funktion arvon tulo jokaisella osavälillä ja sitten summataan näin saadut tulot yhteen, niin saadaan erään suorakulmioista koostuvan monikulmion pinta-ala. Kun sitten kasvatetaan osavälien lukumäärää siten, että samalla pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa, niin havaitaan geometrisesti, että saadaan mielivaltaisen tarkasti edellä tarkasteltavan funktion ja x-akselin välistä aluetta myötäilevän monikulmion pinta-ala. Jos vastaavaan raja-arvoon päädytään millä tahansa jaolla, jossa pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa ja mielivaltaisella jonolla, jossa funktion arvot lasketaan, niin sanotaan, että funktio on integroituva ja edellä saatu raja-arvo on funktion Riemannin integraali yli tarkasteltavan välin. Määritelmä annetaan usein suljetulla välillä rajoitetulle funktiolle. Määritelmä voidaan antaa yhtäpitävästi niin sanottujen ala- ja yläsummien avulla, kuten tutkielman Luvussa 3 tehdään. Analyysin peruslause kertoo, että suljetulla välillä jatkuvan funktion Riemannin integraali on yhtä suuri kuin tarkasteltavan funktion jonkin integraalifunktion välin loppu- ja alkupisteessä saamien arvojen erotus. Edellä saadut käsitteet esiintyvät myös lukion integraalilaskennassa. Oppikirjasarjat käsittelevät määräämätöntä integraalia kutakuinkin samalla tavalla kuin yllä, mutta määrätyn integraalin esittelyssä on eroja: esimerkiksi kirjasarjat Pitkä matematiikka ja Laudatur antavat määrätyn integraalin määritelmän Analyysin peruslauseena, kun taas Matematiikan taito, Pyramidi ja Lukion Calculus käyttävät yllä kuvatun kaltaista lähestymistapaa. Kirjasarjoissa on muutenkin paljon eroavaisuuksia: esimerkiksi Matematiikan taito ja Pyramidi ovat muita huomattavasti teoreettisempia ja käyttävät paljon enemmän yliopistomatematiikan kaltaista notaatiota. Kaikki kirjasarjat vastaavat kuitenkin opetussuunnitelman perusteissa asetettuihin oppimistavoitteisiin ja keskeisiin sisältöihin.

Tutkielman aiheena on ollut tutkia onko mahdollista tuottaa sellainen interaktiivinen verkkosivu lukion pitkän matematiikan 7. kurssille (Derivaatta), missä teorian lisäksi opiskelija pystyy tekemään kurssiin liittyviä tehtäviä ja saada niistä automaattista palautetta. Sivustolta vaadittavia ominaisuuksia ovat matemaattisen tekstin editori tehtävien tekemiseen sekä piirto-ja animaatio-ohjelma matematiikan havainnollistamiseen. Sivustoa varten käytiin läpi useita jo olemassa olevia ohjelmia, joiden perusteella matemaattisen tekstin editori päätettiin tehdä itse ja piirto-ohjelmaksi valittiin Geogebra-ohjelma. Geogebra on suunniteltu matemaattiseksi havainnollistamisvälineeksi, jolla on helppo luoda matematiikan ongelmia visualisoivia kuvia ja animaatioita. Lisäksi se on helppo upottaa internet-sivustolle. Matemaattista tekstiä tuottavaa editoria varten päädyttiin luomaan oma MathML-kieleen perustuva tekstieditori, jolla voi kirjoittaa matemaattista tekstiä internetsivuilla. Sivusto pitää sisällään teoriaosuudet raja-arvosta, jatkuvuudesta sekä derivaatasta ja pitää sisällään 30 näihin liittyvää tehtävää. Jokaisesta tehtävästä on kolme eri versiota, joista käyttäjälle arvotaan satunnaisesti yksi. Käyttäjä tekee tehtävän matemattiikkaeditoriin, jonka vastauksen ohjelma tarkistaa. Kun tehtävä saadaan suoritettua hyväksytysti, saa käyttäjä pisteen. Editori on selainkohtainen, joten selain muistaa jälkikäteenkin mitkä tehtävät käyttäjä on tehnyt. Käyttäjä voi myös tallentaa tekemänsä ratkaisut selaimen omaan muistiin myöhempää tarkastelua varten. Tutkimuksen tuloksena saatiin, että Derivaatta-kurssia varten on mahdollista tuottaa kokonainen sivusto, jonka avulla koko kurssin suorittaminen verkossa on mahdollista. Tutkielman sivusto ei käsitä koko kurssia, mutta kun siihen lisätään koko kurssin teoria ja tehtävät sekä niiden tarkistukseen tarvittava ohjelmisto (esim. STACK), kokeet, keskustelualueen sekä oppilaiden hallintaan liittyvät sivut on verkkokurssin läpikäyntiin tarvittava kokonaisuus olemassa. Tämän lisäksi sivustoa varten laadittu matematiikkaeditori ja tehtävät mahdollistavat opiskelijoiden harjoittelun tietokoneella tapahtuvaan matematiikan kirjoittamiseen, jota vuonna 2019 suoritettava sähköinen matematiikan ylioppilaskirjoitus vaatii.

Tämä tutkielma käsittelee itseisarvoa, valuaatiota ja täydellisiä metrisiä avaruuksia. Pohjatietona oletetaan algebran perustiedot, esimerkiksi Algebra I -kurssi. Tutkielmassa perehdytään ensin itseisarvon määritelmään. Luvussa 2 määritellään myös valuaatio ja katsotaan mitä erilaisia itseisarvoja on mahdollista löytää rationaalilukujen kunnalle. Tutustutaan myös p-adiseen valuaatioon, jonka avulla määritellään p-adinen itseisarvo. Luvussa 2 todistetaan Ostrowskin lause eli että kaikki epätriviaalit itseisarvot ovat ekvivalentteja joko p-adisen itseisarvon tai tavallisen itseisarvon kanssa. Luvussa 3 määritellään metriikka yleisesti sekä itseisarvon määrittelemä metriikka. Metriikan avulla määritellään metrinen avaruus ja Cauchyn jonot. Luvussa 3 myös tutustutaan hieman jonojen suppenemiseen, erityisesti niihin ominaisuuksiin joita tarvitaan tutkielman edetessä. Tässä luvussa myös tarkastellaan epäarkhimedisesta metriikasta johtuvaa kahta ominaisuutta: kaikki kolmiot ovat tasakylkisiä ja jokainen avoimen kuulan piste on sen keskipiste. Luvussa 4 määritellään mikä on metrisen avaruuden täydellistymä. Lopussa esimerkkinä täydellistämme rationaalilukujen joukon reaalilukujen joukoksi. Luvussa 5 otetaan lukua 6 varten katsaus lukuteoriaan. Määritellään kongruenssi, koherentti jono ja osoitetaan, että ratkaisuja on mahdollista laajentaa koherentteihin jonoihin. Luvussa 6 osoitetaan, että rationaalilukujen joukko ei ole täydellinen p-adisen itseisarvon suhteen. Tämän jälkeen konstruoidaan p-adisten lukujen joukko täydellistämällä rationaalilukujen joukko. Luvussa 6 myös laajennamme p-adisen itseisarvon ja valuaation p-adisten lukujen joukolle. Lopuksi osoitetaan, että saatu p-adisten lukujen joukko on täydellinen.

Jacobin summassa on kyse kongruenssiluokkien modulo p kunnan kahden multiplikatiivisen karakterin tulojen summasta sellaisilla kongruenssiluokkien modulo p kunnan arvoilla a ja b, joiden summa on 1. Tutkielman lopullisena tavoitteena on päästä hyödyntämään Jacobin summaa erään elliptisen käyrän ratkaisujen etsimisessä. Jotta Jacobin summaa voidaan käyttää, täytyy tuntea kongruenssiluokkien modulo p joukko sekä multiplikatiivisen karakterin käsite. Kongruenssiluokka [a] modulo p on sellaisten kokonaislukujen joukko, jotka ovat kongruentteja luvun a kanssa modulo p. Kaksi kongruenssiluokkaa ovat joko erilliset tai identtiset. Erillisiä kongruenssiluokkia modulo p on olemassa täsmälleen p kappaletta ja ne muodostavat kongruenssiluokkien modulo p joukon. Kongruenssiluokkien modulo p kunnan multiplikatiivisella karakterilla tarkoitetaan kuvausta kongruenssiluokkien modulo p joukolta kompleksilukujen joukolle siten, että sekä kuvauksen määrittely- että arvojoukosta on punkteerattu nolla-alkio pois. Karakteri on multiplikatiivinen, mikäli kongruenssiluokkien modulo p joukon alkioiden tulon kuva on yhtä kuin alkioiden kuvien tulo. Tutkielman ensimmäisessä luvussa luodaan pintapuolinen katsaus elliptisten käyrien sovelluksiin sekä elliptisen käyrän yhtälön eri muotoihin ja muotojen vaikutukseen ratkaisujen löytämisessä. Toisessa luvussa käsitellään kongruensseihin ja kongruenssiluokkiin liittyviä perustuloksia. Luvun lopuksi tarkastellaan kongruenssin juurten löytymiseen vaikuttavia seikkoja. Kolmannessa luvussa osoitetaan, että edellisessä luvussa löydetty kongruenssiluokkien modulo p joukko on kunta, kun p on alkuluku, ja että kyseinen joukko, josta on poistettu nolla-alkio, on kertolaskun suhteen syklinen ryhmä. Luvussa neljä tutustutaan kongruenssiluokkien modulo p kunnan multiplikatiivisten karakterien ominaisuuksiin ja nostetaan esille kaksi erityistä karakteria, Legendren symboli ja biquadraattinen jäännöskarakteri. Lisäksi havaitaan, että yhtälön x^n=a, missä a on kongruenssiluokkien modulo p kunnan alkio, ratkaisujen lukumäärä saadaan niiden karakterien summana, joiden kertaluku jakaa luvun n. Tätä tulosta hyödynnetään viidennessä luvussa, kun selvitetään kahden yhtälön ratkaisujen lukumäärää kongruenssiluokkien modulo p kunnassa. Koska ratkaisujen lukumäärässä on kyse karakterien summasta, avuksi otetaan Jacobin summa ja muutama siihen liittyvä hyödyllinen tulos. Lisäksi luvussa sivutaan Gaussin summaa. Viimeisessä luvussa etsitään elliptisen käyrän yhtälön y^2=x^3-Dx, missä D on kokonaisluku, ratkaisujen lukumäärä kongruenssiluokkien modulo p kunnassa Jacobin summaa hyödyntämällä.

Tutkielman aiheena on lineaarikuvausten matriisien Jordanin normaalimuoto, jota käytetään yleistettyjen ominaisvektoreiden selvittämisessä niissä tapauksissa, joissa matriisi ei ole diagonalisoituva. Tutkielmassa kerrataan lineaarikuvausten, vektoriavaruuksien ja ominaisarvoteorian perusteet, joten tutkielman lukeminen ei vaadi lineaarialgebran syvällistä tuntemusta. Ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden teoriaa ja laskentaa havainnollistetaan myös esimerkkien ja kuvien avulla. Kertauksen lopussa esitetään myös yleistettyjen ominaisvektoreiden periaatteet esimerkkien ja kuvien avulla. Tutkielman pääpaino on similariteettimuunnoksissa ja Jordanin normaalimuodon teoriassa. Similariteettimuunnoksista käsitellään matriisin diagonalisointi, unitaariset matriisit ja Householderin muunnos, joka käsitellään hieman perusteellisemmin. Jordanin normaalimuodon osalta kuvataan itse Jordanin normaalimuoto, yleistetyt ominaisvektorit ja Jordan hajotelman muodostaminen. Unitaaristen matriisien osalta todistetaan jokaisen neliömatriisin similarisuus unitaariyläkolmiomatriisin kanssa. Householderin matriisia käsittelevässä kappaleessa todistetaan Householderin matriisin unitaarisuus ja peilausominaisuudet. Householderin muunnosta havainnollistetaan esimerkkien avulla. Jordanin normaalimuotoon tutustutaan ensin esimerkin avulla. Esimerkin jälkeen esitetään Jordanin normaalimuodon teoreettiset perusteet ja todistetaan Jordan muotoon ja yleistettyihin ominaisvektoreihin liittyvät tärkeimmät lauseet. Lopuksi havainnollistetaan Jordan hajotelman muodostaminen yksinkertaisen esimerkin ja esimerkkiin liittyvien kuvien avulla.

Käännepiste on funktion kuvaajan piste, jossa kuvaaja muuttuu konkaavista konveksiksi, tai toisin päin. Toisin sanoen kuvaajan kaarevuussuunta muuttuu. Lukiossa käsitellään funktion jatkuvuutta, derivoituvuutta, ja tulkitaan kuvaajaa. Kuvaajan kaarevuuden käsittely tukee kuvaajan monipuolisempaa ymmärtämistä, ja sitä kautta eheyttää funktion, funktion kuvaajan, kuvaajan tulkinnan ja derivaatan käsitteen ymmärrystä. Tämä olisi ensiarvoisen tärkeää eheän ymmärtämisen saavuttamiseksi. Tähän tarkoitukseen käännepisteen käsittely lukiossa toimisi erittäin hyvin. Käännepiste on funktion ominaisuus, joten alkuun esittelen eräitä funktion perusominaisuuksia, kuten jatkuvuuden ja derivoituvuuden käsitteet, ääriarvot, sekä funktion ensimmäisen ja toisen derivaatan. Lisäksi käyn läpi funktion kuvaajaan liittyvää terminologiaa, kuten kulkusuunnan, konkaaviuden ja konveksiuden. Kuvaajan tulkinnassa esiintyy usein myös termejä kuten kriittinen piste ja stationaaripiste, joiden eroavaisuuksia pyrin tutkielmassani avaamaan. Kappaleessa 3 esittelen käännepisteen määritelmän, sekä erilaisia tapoja määrittää käännepiste. Lisäksi käyn läpi käännepisteen luokitteluja, sekä tilanteen, jossa funktio ei ole kaikkialla jatkuva. Kappaleessa 4 käsittelen muun muassa undulaattipisteen eron käännepisteeseen, sekä erilaisia sovellutuksia käännepisteelle. Esimerkiksi populaation kasvun tutkimisessa ja ennustamisessa käytettävässä logistisessa kasvumallissa käännepisteen merkitys on keskeinen. Lisäksi talousmatematiikassa tehdään ennusteita usein siten, että käännepisteen merkitys on mittava. Kappaleessa 5 tutkin oppikirjojen tapaa käsitellä tutkielmassani esille nousseita derivaatan, sekä ääriarvojen käsitteitä. Kuvaajien runsas käyttö mahdollistaisi myös kaarevuussuuntien tutkimisen, ja täten osaamisen eheyttämisen. Pyrin siis tutkimaan ja pohtimaan käännepisteen käsittelyn konkreettisen toteuttamisen mahdollisuuksia lukio-opetuksessa. Viimeisessä kappaleessa pohdin käännepisteen käsittelyn tarpeellisuutta, sekä sen käsittelyn eheyttävää vaikutusta funktion perusominaisuuksien ymmärtämiselle. Tutkielmassani pyrin esittämään käsiteltävät asiat helppolukuisesti ja kattavasti, ja täten lisäämään mahdollisien lukijoiden osaamista ja ymmärrystä funktion kuvaajan tulkinnasta. Varsinkin matematiikan opettajien, että opettajaksi opiskelevien tulisi hallita seuraavat asiat, ja tätä pyrin tutkielmallani edesauttamaan.

Tutkimuksen tavoitteena oli validoida katseenseurantatutkimukseen liittyvä parametri, katsesynkronia, joka kertoo kahden tai useamman henkilön katseiden synkroniasta eli siitä, katsovatko henkilöt samassa järjestyksessä eri kohteita. Katsesynkronian validointi tehtiin tutkimalla sitä, mitkä tapahtumat johtivat korkeaan katsesynkroniaan, minkälaista vuorovaikutusta sen aikana oli ja mitkä tapahtumat päättivät sen. Samalla pyrittiin tutkimaan katsesynkronian yhteyttä yhdistyneeseen tarkkaavaisuuteen, johon liittyvät tutkimukset käsittelevät sitä lähes poikkeuksetta vain kahden henkilön välisenä vuorovaikutuksena, mikä johtuu ilmiön monimutkaisuudesta. Katseenseurantalaitteisto ja uusi parametri sen sijaan tarjoavat mahdollisuuden tutkia yhdistynyttä tarkkaavaisuutta kolmen tai useamman henkilön välisenä vuorovaikutuksena. Tutkimuksessa tarkastellaan matematiikan ongelmanratkaisuun liittyvällä oppitunnilla neljän yhdeksäsluokkalaisen oppilaan ryhmää, jossa keskitytään kolmen oppilaan katseisiin. Oppilaiden katseet tallennettiin katseenseurantalaseilla, jotka eivät rajoittaneet liikkumista. Katsevideoita analysoimalla saatiin katsesynkroniakuvaajat, joita analysoitiin kvalitatiivisesti syventymällä kuvaajien huippuihin. Tutkimalla huippujen aikaista oppilaiden välistä vuorovaikutusta äänitallenteiden ja videomateriaalien avulla saatiin vastaukset tutkielman tutkimuskysymyksiin. Korkeaan katsesynkroniaan johtavat tapahtumat olivat suurelta osin opettajan intervention seurauksia, mikä kertoo opettajan tärkeästä roolista motivaatiota ylläpitävänä tekijänä. Korkean katsesynkronian aikana oppilaiden välinen vuorovaikutus oli monipuolista ja se sisälsi monia vuorovaikutuksen muotoja, joista puhe ja osoittavat eleet olivat yleisimpiä. Katsesynkronian päättyminen johtui ajoittain oppilaiden toiminnan muutoksesta, ja joskus toiminta pysyi samana, vaikka katsesynkronia laski. Yhdistyneen tarkkaavaisuuden ja korkean katsesynkronian välillä löydettiin vahva yhteys. Korkean katsesynkronian aikana oppilaat ohjasivat toistensa tarkkaavaisuutta lukuisilla tavoilla, jotka viittaavat yhdistyneeseen tarkkaavaisuuteen.

Aiemmat tutkimukset ovat osoittaneet, että asenteet ja motivaatio korreloivat matematiikan oppimisen ja osaamisen kanssa. Lisäksi tutkimuksissa on havaittu, että suomalaisten koululaisten asenteet heikkenevät alakoulusta yläkouluun siirryttäessä. Asenteiden ja motivaation ylläpitämistä ja parantaminen on tutkimusten mukaan tärkeää. Kehittämistutkimuksen tavoitteena oli kehittää materiaali, eli virtuaalinen matematiikkakerho, joka pystyisi vastaamaan näihin haasteisiin. Tässä tutkimuksessa kartoitetaan, miten asenteet ja motivaatio vaikuttavat matematiikan opiskeluun sekä kerrotaan miten virtuaalisen matematiikkakerhon kehittäminen on saanut alkunsa ja miten se on edennyt viime vuosina. Lisäksi tutkimuksessa selvitetään, miten kehitetty materiaali oppilaskyselyn perusteella vastasi suunnittelun lähtökohtina olleita tavoitteita: a. paransi oppilaiden asenteita matematiikkaa kohtaan ja b. lisäsi oppilaiden motivaatiota matematiikan opiskelua kohtaan. Tutkimukseen osallistui oppilaita kahdesta eri yläkoulusta. Aineistosta karsittiin pois sellaiset vastaajat, jotka olivat vastanneet vain jompaankumpaan kyselyyn, jolloin tutkimusaineistoon jäi 36 oppilaan vastaukset. Suurin osa tutkimukseen osallistuneista oppilaista oli 7. luokalla. Tutkimus toteutettiin verkkokyselynä e-lomakkeessa kahdessa osassa: ensimmäinen osa ennen kerhon aloittamista ja toinen osa kerhoon osallistumisen jälkeen. Tutkimuksen toisessa osassa kysyttiin samat kysymykset kuin ensimmäisessäkin osassa sekä mielipiteitä kerhon toteutuksesta ja tehtävistä jatkokehityksen tueksi. Tutkimuslomakkeiden kysymyksissä oli sekä avoimia kysymyksiä että monivalintakysymyksiä. Vastauksiksi saatiin sanoja, lauseita sekä numeerista dataa. Monivalintakysymykset oli toteutettu 4- sekä 5-portaisina likert-asteikkoina. Tutkimusaineisto ja palautteet kerhon kehittämisestä on analysoitu aineistolähtöisellä sisällönanalyysillä. Asennetta mittaavissa väitteissä ei tapahtunut paljonkaan muutoksia ja väitteisiin suhtauduttiin molemmissa kyselyissä suurimmaksi osaksi positiivisesti. Motivaatiota mittaavissa kysymyksissäkään ei saatu suuria muutoksia, mutta joitakin pieniä muutoksia positiiviseen oli havaittavissa. Muutama oppilas tuntui kerhon myötä huomaavan, että tuleekin tarvitsemaan matematiikkaa tulevassa ammatissaan, ja että matematiikan osaaminen auttaa työhön pääsemisessä. Kuitenkin halu matematiikan parissa työskentelyyn väheni kerhon aikana. Kerho koettiin kuitenkin positiivisena, sillä suurin osa kyselyyn vastanneista oppilaista piti kerhosta ja sen aikana tehtävistä toiminnallisista tehtävistä. Lisäksi yli puolet, noin 67 prosenttia, vastanneista haluaisi osallistua kerhoon uudelleen. Kerhon avulla voidaan tarjota oppilaille mielekkäitä kokemuksia ja onnistumisen tunteita matematiikan parissa.

Matematiikka-ahdistus on matemaattiseen suoritukseen liittyvää pelkoa, ahdistusta ja jännittyneisyyttä. Se häiritsee opiskelijan matemaattista suoritusta ja vaikuttaa tämän tulevaisuuden koulutus- ja uravalintoihin. Tutkielmassa pyritään selvittämään uuden opetussuunnitelman mukaisten monialaisten oppimiskokonaisuuksien vaikutusta yläkoululaisten kokemaan matematiikka-ahdistukseen. Monialainen oppimiskokonaisuus toteutetaan kuvataidetta ja matematiikkaa yhdistämällä geometrian opetuksen yhteydessä. Matematiikka-ahdistus on monitahoinen ilmiö, joka vaikuttaa oppilaan matemaattiseen suoritukseen alentamalla työmuistin kapasiteettia. Sen lievittämiseksi on esitetty erilaisia keinoja oppilaiden asenteiden muokkaamisesta aina fyysisen aktiivisuuden lisäämiseen. Tutkimuksissa on myös nähty, että oppilaan totuttaminen tilanteisiin, joissa matematiikkaa käytetään voi auttaa lievittämään ahdistusta. Monialaiset oppimiskokonaisuudet mahdollistavat matematiikan käyttämisen tavallisesta poikkeavassa kontekstissa. Matematiikka on maailmassamme jatkuvasti läsnä ja eri oppiaineisiin integroituna oppilaiden mahdollisuudet kohdata sitä kasvavat ja he myös näkevät, mihin sitä voi käyttää. Tutkielman tutkimusosuus koostuu yläkoulussa toteutetusta tapaustutkimuksesta. Tutkimuksen kohteena on kahdelle normaaliopetuksen 7.-luokalle pidettävä monialainen oppimiskokonaisuus. Monialainen oppimiskokonaisuus sisältää sekä matematiikan että kuvataiteen elementtejä. Aiheena kokonaisuudessa on geometrinen konstruointi ja säännölliset monikulmiot. Tutkimuksen aineisto kerätään kyselylomakkeella. Yhtenä kyselylomakkeen osana on sMARS lomake, jolla mitataan matematiikka-ahdistusta. Tutkimuksesta käy ilmi, että otos koostuu pääosin oppilaista, jotka eivät koe vahvaa matematiikka-ahdistusta. Monialainen oppimiskokonaisuus koettiin vähemmän ahdistavaksi kuin matematiikan tehtävät keskimäärin. Oppilaiden väliset erot ahdistuneisuudessa vaikuttaisivat kuitenkin säilyvän ahdistuksen suuruuden osalta myös monialaisessa tehtävässä. Monialaisten oppimiskokonaisuuksien vaikutusta matematiikka-ahdistukseen olisi hyvä tutkia lisää. Kiinnostavaa olisi nähdä, miten oppilaiden positiivinen tunnelataus toiseen matematiikkaan integroitavaan oppiaineeseen vaikuttaa koettuun ahdistukseen. Monialaisuus tulisi kuitenkin toteuttaa siten, etteivät matematiikkaan negatiivisesti suhtautuvat opettajat vahingossa altistaisi oppilaita näille asenteille.

Tutkimus käsittelee kielentämistä derivaatan opetuksen työtapana ja tavoitteena on selvittää miten kielentämisen avulla voisi tukea derivaatan opetusta ja opiskelua. Kielentäminen tarkoittaa oman ajatteluprosessin kuvaamista sanoin, symbolein ja kuvin. Siinä voidaan käyttää hyväksi matematiikan luonnollista kieltä, symbolikieltä tai kuviokieltä. Varsinainen kielentäminen jaetaan suulliseen ja kirjalliseen kielentämiseen. Sen avulla voi jäsentää ja syventää ajattelua, sekä reflektoida oppimaansa. Tutkimuksen tutkimuskysymykset ovat: (1) Miten kielentämistä voisi hyödyntää derivaatan opetuksessa?, (2) Minkälaista kirjallista kielentämistä opiskelijat käyttävät derivaatan yhteydessä? ja (3) Miten opiskelijat kokevat kielentämisen käyttämisen?. Tarkemmin derivaatan kielentämiskohteiksi valikoituivat teoriakatsauksen perusteella aiheet raja-arvo, derivaatan määritelmä, derivaatan sovellukset ja rationaaliyhtälöt. Ensimmäistä tutkimuskysymystä pohdittiin luomalla valittuihin neljään kielentämisaiheeseen soveltuvia tehtäviä. Niiden tavoitteena on kielentämisen avulla tukea derivaatan oppimista ja opetusta. Paketin toimivuutta kokeiltiin Helsingin yliopiston harjoittelukoululla pitkän matematiikan derivaatta-kurssilla. Kielentämistehtävät syvensivät teoriaa, mutta niissä ei ole erikseen teoriapakettia. Käytetyt menetelmät ja kielentämistehtävät löytyvät liitteistä. Toista tutkimuskysymystä varten oli tehty tutkituista aihealueista tehtäviä, jotka opiskelijat tekivät kotona. Saaduista vastauksista tehtiin aineistoperäistä sisällönanalyysiä ja tutkittaviksi kielenosiksi valikoituivat opiskelijoiden käyttämät kielentämismallit, matemaattisen sisältö, kielen monipuolisuus ja kielen perusteellisuus. Lopuksi tutkittiin vielä näiden välisiä yhteyksiä SPSS-ohjelman avulla. Opiskelijoiden käsityksiä kielentämisestä taas analysoitiin avoimien kysymysten ja valmiin lomakkeen avulla. Avokysymyksien osalta vastaukset teemoiteltiin kirjallisen ja suullisen kielentämisen hyötyihin ja heikkouksiin. Tehtäviin saadut vastaukset olivat kielentämisen tutkimisen kannalta monipuolisia. Eri kielentämistehtävien välillä ei ollut havaittavissa kielellisiä yhteyksiä, siis opiskelijoiden käyttämä kieli ei ollut systemaattista aiheen vaihtuessa. Tuloksista oli havaittavissa poikien hieman suurempi itsevarmuus omasta osaamisestaan. Opiskelijoiden käsitys omasta osaamisestaan korreloi jokaisessa tehtävässä positiivisesti tutkijan käsityksen kanssa, tosin tehtäväkohtaiset erot olivat selkeitä. Kaikki vastaajat olivat vähintään jokseenkin samaa mieltä siitä, että kuvan piirtäminen auttaa tehtävän ratkaisussa. Lisäksi puolet vastaajista koki, että tehtävän ratkaisun selittäminen omin sanoin paljastaa nopeasti onko ratkaisija ymmärtänyt tehtävän ratkaisuprosessin. Kirjallisen kielentämisen suurimpana hyötynä pidettiin tilanteen hahmottamista ja omaa toimintaa ratkaisussa, sekä koko prosessin selkenemistä. Heikkoudeksi koettiin kirjallisen kielentämisen hitaus. Myös suullisen kielentämisen hyötynä pidettiin sen selkeyttävää vaikutusta ja heikkoutena taas sitä, ettei kielentämisestä ole kovin paljoa hyötyä. Tutkimustulosten valossa havaittiin, että lukiolaiset osaavat jo kielentää halutessaan hyvinkin perusteellisesti, ja monella on jo oma tyyli ratkaista matemaattisia tehtäviä. Kielentämisen käyttäminen ja hyödyllisyys jakavat mielipiteitä, mutta itse aion hyödyntää sitä myös tulevaisuudessa.