Browsing by discipline "Matematiikka"

Useissa Euroopan ja Aasian maissa sekä Pohjois-Amerikassa vakuutusyhtiöt käyttävät ajoneuvovakuutusten hinnoittelussa kokemuksen antamaa tietoa vakuutetun ajotaidoista ja ajokäyttäytymisestä niin sanotun a priori hinnoittelun ohella. A priori hinnoittelulla tarkoitetaan vakuutuksen myöntöhetkellä tiedossa olevien ominaisuuksien perusteella tehtyä riskiluokitusta. Riskiluokkien sisäistä heterogeenisyyttä pyritään korjaamaan ajan kuluessa – tiedon karttuessa – niin sanotulla a posteriori hinnoittelulla. Käytäntö rankaisee kuljettajia, jotka ovat vastuussa yhdestä tai useammasta vahingosta edellisen tai edellisten vakuutuskausien aikana lisämaksulla eli bonusmenetyksellä. Vahinkovapaita kuljettajia sen sijaan palkitaan alennuksilla eli bonuksilla. Tutkielman alussa käydään läpi perusteita kaksivaiheiselle hinnoittelulle ja esitetään a priori hinnoittelu lyhyesti. Bonusjärjestelmät koostuvat kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä. Peruslogiikan mukaisesti vahingottomien vuosien jälkeen päätyy alhaisempiin eli parempiin bonusluokkiin ja nautitaan bonuksista eli alhaisemmasta vakuutusmaksusta. Sen sijaan ilmoitettujen vahinkojen seurauksena vakuutettu siirtyy bonussäännöstön mukaisesti ylempään eli huonompaan bonusluokkaan ja häntä rankaistaan bonusmenetyksillä eli korkeammalla vakuutusmaksulla. Seuraavan kauden bonusluokka määräytyy kuluvan kauden bonusluokan ja sattuneiden vahinkojen lukumäärän perusteella. Näin ollen bonusjärjestelmää voidaan kuvata Markovin ketjun avulla. Eri vakuutusyhtiöillä ja eri maissa on käytössä hyvin erilaisia bonusjärjestelmiä. Bonusluokkien määrä, aloitusluokka ja siirtymissäännöt vaihtelevat. Tutkielmassa on esitetty kaksi erilaista käytettävissä olevaa bonusjärjestelmää, joista toinen on Suomessa yleisesti käytetty. Tämän lisäksi esimerkeissä on käytetty hyvin yksinkertaistettuja järjestelmiä, joiden tarkoituksena on kuvata esitetyn teorian tuomista käytäntöön ennemmin helposti luettavin laskuesimerkein kuin todellista tilannetta havainnoiden. Bonusjärjestelmissä lähdetään oletuksesta, että ajan kuluessa bonusjärjestelmä saavuttaa tasapainotilan. Jokainen vakuutettu saavuttaa tasapainoluokan, joka vastaa hänen vuosittaista vahinkofrekvenssiä. Vakuutettu hakeutuu tämän 'oikean' bonusluokan ympärille. Perusajatuksen mukaisesti hyvät kuljettajat asettuvat ajan kuluessa alhaisiin eli hyviin bonusluokkiin ja suuren riskin kuljettajat sitä vastoin korkeampiin bonusluokkiin. Vakuutusyhtiön vakuutusten hinnoittelussa tärkein tehtävä on vakuutusmaksun muodostaminen siten, että se on mahdollisimman lähellä 'oikeaa' hintaa. Jokaiselle bonustasolle tulee laskea suhdeluku, joka kertoo kunkin vakuutetun osuuden oman riskiluokan a priori vakuutusmaksusta. Tutkielman lopussa tämä suhdeluku määritellään tilanteessa, jossa a priori hinnoittelu on käytössä. Tämän lisäksi pohditaan vaikutuksia, jos a priori hinnoittelusta luovuttaisiin kokonaan ja käytössä olisi vain kokemukseen perustuva a posteriori hinnoittelu. Tässä pyrkimyksenä on miettiä vaihtoehtoa hyvien kuljettajien kaksinkertaiselle palkitsemiselle ja huonojen kuljettajien kaksinkertaiselle rankaisemiselle. Tämän pohdinnan tarpeellisuus ja sen oikeellisuus on eettinen kysymys, johon tutkielmassa halutaan ainoastaan antaa matemaattiset työkalut. Viimeiseksi tutkielmassa käydään yksinkertaistetulla esimerkillä läpi hinnoittelun kaari a priori hinnoittelusta a posteriori hinnoitteluun. Vaikka käytössä on todellinen erään suomalaisen vakuutusyhtiön portfolio, on esimerkin tulokset yksinkertaistuksen vuoksi varsin kevyet. Voidaan kuitenkin nähdä, että perusoletus hyvien kuljettajien päätymisestä parempiin bonusluokkiin ja suuremman riskin kuljettajien huonompiin pätee tässäkin.

Tämän työn päämäärä on kehitellä Lp−estimointi tekniikoita, soveltaa niitä mallioperaattoreiden tutkimiseen, ja edelleen, siirtää näiden mallioperaattoreiden rajoittuneisuus ominaisuuksia bilineaariselle Calderón-Zygmund -operaattorille. Tämä siirtäminen tehdään olettamalla tunnetuksi Bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin esityslause satunnaistettujen mallioperaattoreiden summana. Oletamme tunnetuksi hieman interpolointi ja maksimaalifunktioiden teoriaa. Aloitamme esittelemällä hyödyllisiä peruskäsitteitä, mm. neliöfunktion, sen kautta Lp -avaruuksien karakterisaation, ja Haarin kannan. Kappaleissa kaksi ja kolme määrittelemme mallioperattorit: shiftit ja paratulot ja todistamme niitä koskevia vahvoja estimaatteja Lp -avaruuksissa, kun p > 1. Tarkoituksemme on interpoloida vahvoja estimaatteja quasi-Banach alueelle, siis kun p < 1, ja tätä varten todistamme heikkoja päätepiste estimaatteja. Neljäs kappale on omistettu interpolointitekniikan esittelemiselle, joka mahdollistaa edellämainitun interpoloinnin. Viidennessä ja viimeisessä kappaleessa määrittelemme bilineaarisen Calderó-Zygmund operaattorin, kokoamme yhteen aikaisemmin kehitetyn teorian tuloksia ja vedämme näistä tuloksista lyhyehkönä korollaarina bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin rajoittuneisuuden.

Vakuutusten hinnoittelussa ongelmaksi muodostuu vakuutusmaksun oikean tason löytyminen huomioiden vakuutetun sekä yhtiön intressit. Työssä ongelmaa lähestytään credibility-teorian avulla ja ratkaisuna tähän ongelmaan esitetään Bühlmann-Straub-malli. Vakuutusmaksu koostuu useasta eri osasta, tässä tutkielmassa kiinnostukseen kohteena on riskimaksu. Riskimaksu on se osa vakuutusmaksua, joka kohdistuu suoraan korvauksiin. Aluksi riskimaksu määritetään yhdelle vakuutetulle, nojautuen vakuutetun omaan vakuutushistoriaan. Esitetään myös kollektiivin riskimaksu, jossa huomioidaan se tosiasia että vakuutettu kuuluu joukkoon samankaltaisia vakuutettuja. Todellisuudessa riskimaksu on kuitenkin yhdistelmä näistä kahdesta ominaisuudesta. Esitetään credibility-teoriaa hyödyntäen riskimaksulle estimaattori, joka yhdistää vakuutetun oman vahinkohistorian ja sen tosiasian, että vakuutettu kuuluu tiettyyn heterogeeniseen kollektiiviin. Löydetään kertoimet painottamaan näitä ominaisuuksia ja riskimaksulle saadaan sopiva estimaattori, jota kutsutaan credibility-estimaattoriksi ja tämän avulla saatua riskimaksua credibility-maksuksi. Laajennetaan credibility-maksun käsite esitettäväksi L^2- avaruudessa. Tässä yleisessä mallissa ei aiemmin määriteltyjä todennäköisyysjakaumia määritellä tarkasti ja esitetään tärkeitä tuloksia itse Bühlmann-Straub-mallin määrittämistä varten. Lopuksi päästään päälauseeseen. Bühlmann-Straub-malli on laajennus tutkielmassa aiemmin esitetyistä malleista. Mallissa esitetään credibility-estimaattori sekä homogeeninen credibility-estimaattori ja jälkimmäisen avulla credibility-maksu. Tässä laajennetussa mallissa määritelty credibility-maksu ottaa huomioon koko yhtiön koko vakuutuskannan. Esitetään myös malliin liittyviä tunnuslukuja.

We develop the theory of categories from foundations up. The thesis culminates in a theorem in which we assert that any concrete functor between categories of models of algebraic theories, where the codomain categories' alphabet does not contain relational information, has a left adjoint functor. This theorem is based on The General Adjoint Functor Theorem by Peter Freyd. The first chapter is about the set theoretic foundations of category theory. We present the needed ideas about recursion so that we may define what is meant by first order predicate logic. The first chapter ends in the exposition of the connection between the Grothendieck universes and the inaccessible cardinals. The second chapter starts our conversation about categories and functors between categories. We define properties of morphisms, subobjects, quotient objects and Cartesian closed categories. Furthermore, we talk about embedding and identification morphisms of concrete categories. Much of the third chapter is to show that the category of small categories is a Cartesian closed category. This leads us to talk about natural transformation and canonical constructions relating to functors. To define equivalences and their generalizations, adjoint functors, natural transformations are needed. The fourth chapter enlarges our knowledge about hom-functors and their adjacent functors, representable functors. The study of representable functors yields a profound lemma called Yoneda lemma. Yoneda lemma implies the fully faithfulness of Yoneda embedding. The fifth chapter concentrates to limit operations in a category, which leads us to talk about completeness. We find out how limit procedures are preserved in constructions and how they behave when functors pass them forward. The last chapter is about adjoint functors. The general and the special adjoint functor theorems, due to Peter Freyd, are proven. Using The General Adjoint Functor Theorem, we prove the existence of a left adjoint functor for all suitable forgetful functors among algebraic categories.

The finite simple groups started attracting the interest of the mathematicians in the nineteenth century, especially once the concept of normal subgroups was introduced by Galois in 1832; di erentiation between the simple and compound groups by Camille Jordan in 1870; and the theorems on subgroups of prime power order published by Ludwig Sylow in 1872. This was given in a historical form as a means of introduction. This thesis also focuses on the Sylow's theorem and their wide range of use in classifying nite groups in algebra. Groups of order 1-15 were classi ed using the Sylow's theorems in addition to other established results in algebra. The uniqueness and existence of such groups were also proved to the best of the writer's ability.

In this thesis we extend topological model of planar robotic hands emerging in the field of topological robotics. This research elaborates further recent works of Robert Ghrist and others. The main purpose of this thesis is to classify configuration spaces in terms of topological and algebraic invariants, which among others provides complexity estimates for potential optimization algorithms. The thesis is split into two parts. In the first part we investigate a robotic system consisting of a single hand which can occupy any position as long as it doesn't self-intersect. Using a new innovative representation of positions we are able to treat two basic movements of the robotic arm: the 'claw' and the 'swap' movements separately. The main appliance of this part is the nerve theorem, which helps to establish that under some restrictions the configuration space of such robotic hand has the homotopy type of S^1. In the second part we investigate systems consisting of multiple hands. This time we are dealing with hands limited to length one whose positions satisfy the two conditions: each pairwise hand trace intersection is contractible and the hand intersection graph is a forest. As the local main result we prove that the fundamental group of such robotic system is isomorphic to the Artin right-angeled group, where the set of generators is in bijection with the set of all hands and relations are determined by the intersection graph. The main tool exploited in this chapter is the Seifert-van Kampen theorem. Although the results are proven only for some special cases, the thesis introduces methodology that can drive their generalization further. In the final chapter we give a few sophisticated research directions.

Data-assimilaatio on tekniikka, jossa havaintoja yhdistetään dynaamisiin numeerisiin malleihin tarkoituksena tuottaa optimaalista esitystä esimerkiksi ilmankehän muuttuvasta tilasta. Data-assimilaatiota käytetään muun muassa operaativisessa sään ennustamisessa. Tässä työssä esitellään eri data-assimilaatiomenetelmiä, jotka jakautuvat pääpiirteittäin Kalmanin suotimiin ja variaatioanaalisiin menetelmiin. Lisäksi esitellään erilaisia data-assimilaatiossa tarvittavia apuvälineitä kuten optimointimenetelmiä. Eri data-assimilaatiomenetelmien toimintaa havainnollistetaan esimerkkien avulla. Tässä työssä data-assimilaatiota sovelletaan muun muassa Lorenz95-malliin. Käytännön data-assimilaatio-ongelmana on GOMOS-instrumentista saatavan otsonin assimiloiminen käyttäen hyväksi ROSE-kemiakuljetusmallia.

Muodostaakseen värikuvan digitaalikamera tarvitsee kuhunkin kuvan pikseliin tiedon kolmesta väristä: punaisesta, vihreästä ja sinisestä. Tavallinen digitaalikamera ei kuitenkaan mittaa jokaisen mainitun värin numeerista arvoa jokaiseen pikseliin, vaan vain yhden näistä. Demosaicing-algoritmit ovat algoritmeja, jotka käyttävät näitä kameran mittaamia vajaita väritietoja arvioidakseen puuttuvat tiedot väreistä kuhunkin pikseliin. Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä muutama tällainen demosaicing-algoritmi ja verrata näiden algoritmien tuottamia tuloksia keskenään. Tutkielmassa esitellään ensin itse aiheen ymmärtämistä varten tarvittava taustateoria. Tämä tapahtuu luvussa kaksi, jossa ensin määritellään kuva ja siihen liittyvää termistöä, esitellään kaksi väriavaruutta: RGB-väriavaruus ja CIELAB-väriavaruus sekä, miten siirtyminen RGB-väriavaruudesta CIELAB-väriavaruuteen tapahtuu. Väriavaruuksien jälkeen luvussa kaksi perehdytään hieman digitaalikameran toimintaan ja siihen, miten digitaalikamera eroaa perinteisestä filmikamerasta. Filmikamera muodostaa kuvan kuvattavasta kohteesta filmille, mutta digitaalikamerassa ei käytetä vanhanaikaista filmirullaa tai -paperia, vaan kuva muodostetaan elektronisesti CCD-kennoon tai CMOS-kennoon, jotka ovat tutkielmassa seuraavana esittelyvuorossa. Niin CCD- kuin CMOS-kenno ovat kumpikin värisokeita kuvanmuodostukseen käytettäviä komponentteja. Jotta otettavasta valokuvasta saataisiin värillinen, täytyy käytössä olevan kennon eteen asettaa värisuodatin. Tällaisista värisuodattimista esitellään yleisessä käytössä oleva Bayer-suodatin. Viimeiseksi luvussa kaksi esitellään vielä Fourier-muunnos, konvoluutio ja SSIM. Luvussa kolme esitellään kolme eri demosaicing-algoritmia: bilineaarinen interpolaatio, gradienttikorjattu bilineaarinen interpolaatio ja homogeeniohjautuva demosaicing-algoritmi. Luvussa neljä esitellään tutkielmassa käytettävä aineisto, jona toimii kaksi itse otettua valokuvaa. Valokuvat otettiin kameralla, joka mittaa jokaisen värikuvan muodostamiseen tarvittavan värin kussakin kuvan pikselissä. Näin ollen demosaicing-algoritmeilla saaduilla värikuvilla on vertailukohde, joka on samanaikaisesti algoritmien tavoitekuva. Luvussa viisi esitellään tutkielmassa käytetyillä algoritmeilla saadut tulokset tutkielman aineistolle ja luvussa kuusi tehdään johtopäätöksiä saaduista tuloksista. Tulokset ovat jopa yllättäviä. Kaikki esitellyistä algoritmeista tuottavat hyviä tuloksia, mutta mikään niistä ei päädy olemaan paras tai huonoin. Algoritmit näyttävät suoriutuvan eri tilanteissa erilailla. Mikäli käsiteltävät kuvat ovat tarpeeksi suuria, vaikuttaisi bilineaarinen interpolaatio toimivan parhaiten. Mikäli käsiteltävät kuvat ovat pieniä ja reunojen terävyydelle on tarvetta, on gradienttikorjattu bilineaarinen interpolaatio hyvä valinta. Jos käsiteltävät kuvat ovat pieniä sekä halutaan, että kuvassa on mahdollisimman vähän värihäiriöitä, tällöin puolestaan homogeeniohjautuva demosaicing-algoritmi on toimiva valinta.

Tutkielmassa käydään läpi Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia, ja tutkitaan niiden yhteyttä analyyttiseen Poincarén epäyhtälöön. Tämän lisäksi tutkitaan erilaisia yhdesti yhtenäisiä, rajoitettuja alueita, joissa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Dirichletin avaruus on niiden rajoitetussa alueessa määriteltyjen analyyttisten funktioiden joukko, joiden derivaattafunktion L2 normi kyseisen alueen yli on äärellinen, ja Bergmanin avaruus on niiden analyyttisten funktioiden joukko, joiden L2 normi vastaavan alueen yli on äärellinen. Tutkielman alussa annetaan karakterisaatio sille, milloin Dirichletin avaruus on Bergmanin avaruuden osajoukko yhdesti yhtenäisissä, rajoitetuissa alueissa. Käyttämällä suljetun kuvaajan teoreemaa, ja funktionaalianalyysin perustuloksia, todistetaan, että Dirichletin avaruuden sisältyminen Bergmanin avaruuteen rajoitetussa alueessa on ekvivalenttia sen kanssa, että kyseisessä alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tämän tuloksen avulla todistetaan, että rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tästä edetään määrittelemällä paloittain tähtimäinen alue, ja todistamalla, että siinä pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tutkielmassa etsitään myös kompleksitason origokeskisen kiekon analyyttiselle Poincarén epäyhtälölle konkreettinen vakio. Seuraavaksi esitetään kompleksitason rajoitettu, yhdesti yhtenäinen alue, jossa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Konstruktiossa hyödynnetään kompleksianalyysin ja analyyttisen geometrian perusideoita. Tätä aluetta muokkaamalla löydetään yhdesti yhtenäinen, rajoitettu alue, jossa pätee analyyttinen Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta jos epäyhtälössä korvataan vasemmanpuoleisen funktion L2-normi oleellisella supremum-normilla, niin epäyhtälö ei enää päde. Tutkielman lopuksi esitetään erityisen yksinkertainen konstruktio spiraalimaisesta, rajoitetusta alueesta, jossa analyyttinen Poincarén epäyhtälö ei päde.

Elliptisillä osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on tärkeä rooli eri ilmiöiden mallinnuksessa. Klassisesti ajatellen ilmiötä mallintavan differentiaaliyhtälön ratkaisun on vaadittu olevan klassisesti derivoituva. Tästä vaatimuksesta voidaan kuitenkin luopua. Ratkaisun kasite yleistetään Lp-avaruuksien, tarkemmin Sobolev-avaruuksien, teorioiden avulla. Yleistetylle ratkaisulle käytetään nimitystä heikko ratkaisu. Luvussa 1 käsitellään Sobolev-avaruudet, jotka tarjoavat pohjan heikkojen ratkaisujen käsitteelle. Painopiste Sobolev-avaruuksien teoriassa on upotuslauseissa, joilla osoitetaan elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön määrittävän operaattorin spektri diskreetiksi. Lisäksi upotuslauseita voi käyttää osoittamaan heikon ratkaisun klassinen derivoituvuus tietyissä tapauksissa. Luvussa 2 esitellään miten elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisun käsite saadaan yleistettyä. Sen jälkeen osoitetaan Hilbert-avaruuksien teorian avulla, että heikkoja ratkaisuja on olemassa. Lopuksi tutkitaan heikkojen ratkaisujen säännöllisyyttä ja klassista derivoituvuutta riippuen annetun osttaisdifferentiaaliyhtälöprobleeman alkuasetelmista.