Browsing by discipline "Teaching of Mathematics"

3D-tulostamisella on potentiaalia muuttaa tavaroiden valmistamista merkittävällä tavalla. Mallintaminen parantaa kaikentasoisten oppijoiden ymmärrystä vaikeista, absrakteista asioista ja muuttaa matematiikan monimutkaisia käsitteitä helposti sisällytettäviksi esineiksi. Oppijat arvostavat itse tekemistä ja 3D-tulostaminen on yksi helpoimmista tavoista luoda monimutkaisia esineitä. 3D-tulostaminen vaatii aina tietokoneella luodun kolmiulotteisen mallin, joka voidaan luoda itse tai se voidaan ladata jonkun muun valmiiksi tekemänä. Itse mallien tekemiseen löytyy useita erilaisia ohjelmia, joista monet helppokäyttöiset ovat oppimiskäyttöön ilmaisia. Tietokoneen, jolla mallinnusta tehdään, ei tarvitse olla erityisen suuri laskenteholtaan, ja normaalit kotitietokoneet käyvät ongelmitta. Tärkein hankittava osa on itse 3D-tulostin, joita saa normaalin paperitulostimen kokoisesta aina auton kokoisiin laitteisiin. Kotikäyttöiset mahtuvat hyvin luokkahuoneisiin tai tarvikevarastoon. Tulostimien hinnat ovat viimein tulleet tarpeeksi mataliksi, jotta niiden hankkiminen koulun käyttöön on mahdollista. Työn tarkoituksena on esitellä 3D-tulostin opetusvälineenä ja löytää käyttötarkoituksia ja perusteita sen käytölle. Työn ohessa toteutettiin vapaaehtoisryhmälle 7-luokkalaisia kokeilu, jossa katsottiin miten he kykenevät omaksumaan 3D-mallinnuksen perusteet ja ymmärtävät suunnitellessaan tulevaa tulostamista. Oppilaat käyttivät opetustuokion ajan mallinnusohjelmaa ja heiltä samaan aikaan kysyttiin mielipiteitä ja ajatuksia 3D-mallinnuksen ja tulostamisen käyttämisestä opetuksessa. Oppilaat toivoivat, että oppitunneilla otettaisiin käyttöön 3D-tulostin. Vaikka kysymykset esitettiin nimenomaan matematiikan opetuksen näkökulmasta, esittivät oppilaat ideoita myös muiden kouluaineiden opetukseen. Opetuksessa tekniikkaa voidaan käyttää joko siten, että oppijat käyttävät sitä aktiivisesti jonkin matemaattisen ilmiön oppimiseksi, tai vaihtoehtoisesti opettaja voi käyttää sitä esimerkkikappaleiden tekemiseen. 3D-tulostamisen suuria hyötyjä on se, että sillä voidaan tuottaa laitteen asettamissa rajoissa hyvinkin monimutkaisen muotoisia kappaleita. Esimerkkeinä tällaisista opettajan esimerkkimalleista tutkielmasta löytyy esimerkiksi kolmion pyörähdyskappaleita ja kuution erilaisten lävistäjien havainnollistamiseksi tehty malli. Johtopäätöksenä päädyttiin siihen, että 3-ulotteinen tulostaminen sopii opetuksessa parhaiten opettajan oppimateriaalin tuottamiseen. Oppilaskäytössä laite toimisi parhaiten lähinnä vapaavalintaisissa matematiikan kursseissa. Myös matematiikan oppiminen voisi hyötyä selvästi kolmiulotteisen ajattelun parantumisen muodossa, mutta matematiikan tunneilla ei ole tarpeeksi ylimääräistä aikaa. Paras yhdistelmä voitaisiinkin saada sillä, että koulun teknisten töiden tai kuvaamataidon opettaja opettaisi omiin tunteihinsa liittyen laitteen käyttöä, jolloin matematiikan oppitunneilla kyettäisiin hyödyntämään 3D-tulostamista ilman siihen liittyvää turhan suurta ajallista panostamista.

Internet mahdollistaa helpon materiaalin jakamisen, ihmisten välisen kommunikoinnin ja uutisten tarjoamisen. Tästä huolimatta tällä hetkellä, ei ole olemassa yhtään suomalaisille aineenopettajille tarkoitettua valtion rahoittamaa ja Opetushallituksen tai opetus- ja kulttuuriministeriön hallinnoimaa internet-sivustoa, joka sisältäisi muun muassa opetusalan uutisia, kommunikointityökaluja ja mahdollisuuden materiaalin jakamiseen ja vastaanottamiseen. Ennen tällaisen sivun toteuttamisen harkitsemista on mielekästä tutkia, mitä mieltä aineenopettajat ovat edellä mainituista ominaisuuksista ja sisällöistä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tutkia helsinkiläisten aineenopettajien mielipidettä liittyen erilaisiin heille tarkoitetun sivuston sisältöihin ja ominaisuuksiin. Tutkitut ominaisuudet ja sisällöt liittyivät opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin. Tutkimus toteutettiin kvantitatiivisen internet-pohjaisen kyselylomakkeen avulla. Lomake toteutettiin Helsingin yliopiston E-lomake-palvelun avulla ja lomakkeen teknisen ja rakenteen suunnittelun pohjana käytettiin Tampereen yliopiston yhteiskuntatieteellisen tietoarkiston KvantiMOTV-sivuston ohjeita. Tutkimus lähetettiin helsinkiläisille aineenopettajille sähköpostilla. Osoitteet kerättiin Helsingin kaupungin opetusviraston kouluhaku-sivun avulla. Lomakkeet lähetettiin vain suomenkielisten yläkoulujen ja yhtenäiskoulujen opettajille. Sähköposteja ei epähuomiossa lähetetty kaikille lukioiden opettajille, vaan ne lähetettiin vain yhtenäiskoulujen yhteydessä olevien lukioiden opettajille. Kyselylomakkeen tärkein osio oli 4-portaisella Likert-asteikolla toteutettu 21-kohtainen väittämäkokoelma. Väittämäkokoelman tarkoitus oli selvittää kuuluvatko niissä mainitut ennalta määritetyt sisällöt ja ominaisuudet heidän mielestään aineenopettajille tarkoitetulle internet-sivustolle. Väittämät jakautuivat opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin liittyviin teemoihin. Tutkimukseen vastasi 239 helsinkiläistä aineenopettajaa, joista 229 henkilön vastaukset hyväksyttiin mukaan tulosten analysointiin. Kyselyyn vastanneista 67% oli naisia. Vastaajista 41% opetti ainakin lukiossa, ja 59% pelkästään peruskoulussa. Kyselyn tuloksien perusteella helsinkiläiset aineenopettajat arvostivat erityisesti materiaaliin liittyviä ominaisuuksia ja sisältöjä. Kommunikaatioon liittyvistä ominaisuuksista vastaajat arvostivat vertaistuen antamisen ja saamisen mahdollistavaa ominaisuutta ja verkostoitumisen mahdollistavaa ominaisuutta. Lisäksi mahdollisuus kommentoida ja kehittää muiden opettajien tekemää opetus-materiaalia oli vastaajien mielestä tärkeä aineenopettajien internet-sivuston potentiaalinen sisältö. Kyselyn otos oli kohtalaisen pieni, eikä kaikilla helsinkiläisillä aineenopettajilla ollut mahdollista vastata siihen. Tuloksia ei voi siis varauksetta yleistää koskemaan kaikkia helsinkiläisiä aineenopettajia. Lisäksi kyselyyn vastanneiden täytyi käyttää internetiä, mikä saattoi vaikuttaa kyselyn otokseen helsinkiläisistä aineenopettajista.

Tutkimuksen tavoitteena oli selvittää, kuinka matematiikan opintonsa aloittava pääaineopiskelijat osaavat ratkaista Turun ammattikorkeakoulun suunnitteleman alkutestin tehtäviä, millaisia virheitä opiskelijat tekevät ja miten varmoja opiskelijat ovat omasta osaamisestaan. Lisäksi tavoitteena oli selvittää, miten sukupuoli tai lukiomenestys vaikuttaa vastausvarmuuteen. Aiemmat tutkimuksen osoittavat, että ero osaamisessa sukupuolten välillä ei ole ollut suuri, mutta miehet ovat olleet itsevarmempia. Tutkimus toteutettiin kyselytutkimuksena syksyllä 2012 matematiikan opintoihin orientoivalla viikolla ennen varsinaisia yliopisto-opintoja ja tutkimuksen näyte koostui 124 matematiikan opiskelijasta. Testissä kysyttiin taustatietona opiskelijan aikaisemmista opinnoista, jonka lisäksi piti ratkaista 20 erilaista lukiotason tehtävää. Matematiikan opiskelijat menestyivät testissä yleisesti hyvin, mutta heikommin kuin teknillisen korkeakoulun opiskelijat, kun he tekivät saman testin vuonna 2002. Miehet ja naiset olivat keskimäärin melko samalla tasolla, mutta miehet olivat keskimäärin varmempia osaamisestaan. Aikaisempi lukiomenestys myös vaikutti vastausvarmuuteen siten, että ylioppilaskirjoituksissa arvosanan L saaneet olivat keskimäärin varmempia vastauksistaan kuin arvosanan E tai M saaneet. Myös lukion päättötodistuksesta arvosanan 10 olivat varmempia vastauksistaan kuin arvosanan 9, 8 tai 7. Kun opiskelijoiden yksittäisiä vastauksia tarkasteli, löytyi niistä monia mielenkiintoisia ja yllättäviä virheitä. Peruslaskutehtävissä oli monilla L:n opiskelijoilla ongelmia eikä trigonometria ollut monella hallussa. Ylioppilaskirjoituksissa sallittujen apuneuvojen käyttö näkyi opiskelijoiden osaamattomuudessa nyt, kun niitä ei ollut lupa käyttää.

Tässä Pro-gradu työssäni käsittelen ammatillisen matematiikan opettamisen haasteita Logistiikan opiskelijoille. He tähtäävät yhdistelmäajoneuvon kuljettajan pätevyyteen ja opetus on 3 vuotinen.Toisen asteen opiskelijat ovat se osa nuorisoa, joka ei koe teoriapainotteisen opetuksen sopivan heille tai eivät ole sopeutuneet suomen koulujärjestelmään. Mukana on suuri joukko erityisopiskelijoita, jotka ovat saaneet tämän leiman jo peruskoulussa. Erityisopiskelijoiden osuus opettamissani ryhmissä on ollut yli 40%. Tämä sisältö perustuu omakohtaisiin havaintoihin ja uusien opetusmenetelmien käyttöönottoon. Toiminnallisuus, pelillisyys, sulautuva oppiminen, työssäoppiminen ja ryhmän merkitys oppimisessa ovat tärkeimpiä kiinnostuksen kohteita. Tavoitteenani on löytää tälle kohderyhmälle soveltuva tapa hankkia ammattiin tarvittavat matemaattiset taidot. Oppiminen on yksilöllinen prosessi ja ison ryhmän keskellä oppija voi jäädä jalkoihin ja siksi ryhmän merkitys korostuu. Oppimisympäristön valinta on osoittautunut myös tärkeäksi motivaation ja jaksamisen kannalta.Yhteiskunta muuttuu ja digitalisoituu vauhdilla. Tieto ei ole enää kirjoissa vaan internetissä. Perinteinen luokka voi tänään olla virtuaalinen. Oppiminen on jatkuva yksilöllinen prosessi ja me opettajat olemme siinä hetken ohjaamassa oikean tiedon äärelle. Tehtävänä on kasvattaa tulevaisuuden kansalaisia tämän päivän keinoin. Ammatillisen koulutuksen tavoitteena on antaa opiskelijoille valmiuksia selvitä työelämän haasteista. Matematiikassa tämä tarkoittaa kykyä soveltaa matematiikkaa työelämässä esille tuleviin haasteisiin. Se voi olla kykyä annostella lääkkeitä, muokata keittiön reseptejä, tai kuorman painon laskemista.Eri ammateissa syntyy inhimillisten virheiden vuoksi vaaratilanteita, jotka voivat aikaansaada korvaamattomia seurauksia inhimillisten kärsimysten tai taloudellisten menetysten muodossa.Tutkimustietoa logistiikan alan virheistä kerätään satunnaisesti ja tiedossani ei ole yhtään tutkimusta, joka kohdistuisi juuri logistiikan laskuvirheisiin. Toisaalta sairaanhoidossa on runsaasti tutkimuksia, joilla pyritään ymmärtämään laskutaidon merkitystä riskien eliminoinnissa. Sairaanhoidossa lääkkeet ja niiden annostelu sisältää monia riskejä ja keskeisintä riskien hallinnassa on henkilöstön osaaminen eli laskutaito. Miksi osa nuorista ei menesty koulussa? Mitkä syyt ovat huonon menestyksen takana? Voiko koulujärjestelmä saada aikaan syrjäytymistä ja motivaation laskua? Mitä voisimme tehdä toisin? Yhteiskunta muuttuu ja sen yksi isoimmista ilmiöistä on sosiaalisen median rooli arjessa. Erityisesti nuoret ovat ottaneet sosiaalisen median omakseen. Tietotekniikka antaa monia mahdollisuuksia havainnollistaa opetettavaa asiaa. Opetettava asia voidaan pukea useaan eri pakettiin. Pelit, verkko-tehtävät, simulaattorit, taulukkolaskenta ja oppimisympäristöt ovat esimerkkejä tietotekniikan antamista mahdollisuuksista rikastaa luokassa tapahtuvaa oppimista. Ammatillinen matematiikka antaa hyvän lähtökohdan kohdistaa opetusta ammattiin liittyviin laskentatehtäviin. Haasteena on kuitenkin ammattien runsaus. Matematiikan opettajan on vaikea löytää valmiita eri ammatteihin nivoutuvia tehtäviä. Ratkaisuna tähän on yhteistyö ammatillisten opettajien kanssa. Heiltä saa tietoa eri ammatteihin liittyvistä 'kipukohdista' eli ammattiin liittyvistä riskeistä, joihin ennakoinnilla ja valmistautumisella voidaan vaikuttaa.

Matemaattisten taitojen mittarina toimivat usein erilaiset tehtävät ja harjoitukset. Anna Karenina -periaatteen mukaisesti oikeat vastaukset eivät ole mielenkiintoisia, ne ovat kaikki samanlaisia. Sen sijaan väärä vastaus avaa mahdollisuuden oppimiselle, jos se osataan tulkita oikein. Opiskelijan käsitteenmuodostus ja taidot paljastuvat virheissä. Sähköiset oppimateriaalit mahdollistavat oppimateriaaleja, joita on ollut mahdoton tuottaa painetussa muodossa. Niiden avulla on mahdollista luoda vuorovaikutteisia aineistoja, jotka reagoivat opiskelijan toimintaan. Myös tehtävien automaattinen tarkastaminen ja henkilökohtainen palaute on mahdollista. Tällainen oppimisympäristö on Stack, josta on pitkät kokemukset Aalto-yliopiston insinöörimatematiikan opetuksessa. Sähköisten oppimisympäristöjen keräämää tietoa voidaan käyttää oppimisen analysointiin. Esimerkiksi virheluokittelua voidaan automatisoida. Tällöin luokittelumallin tulee olla luotettava. Jos mallin mukainen luokittelu ei onnistu ihmiseltä, ei kone suoriudu siitä sen paremmin. Tutkielmassa käsitellään lääkelaskennan opetukseen laaditun 4 Cs -mallin mukaan tehtyä virheluokittelumallia, jossa virheet jaetaan neljään luokkaan: 1) laskuvirhe, 2) yksikkömuunnosvirhe, 3) käsitteellinen virhe ja 4) virhettä ei voida luokitella. Tämän mallin luotettavuutta selvitetään antamalla luokittelijoiden käyttää sitä opiskelijoiden lääkelaskentakokeissa tuottamiin virheisiin. Luokitteluja analysoidaan k-means-klusterointialgoritmilla ja osoittautuu, että ne ovat lähellä toisiaan. Lisäksi luokittelu on stabiili, se toimii johdonmukaisesti vaikka käytössä olisi vain osa datasta. Näin ollen pedagoginen malli 4 Cs on mahdollinen perusta virheluokittelulle, joka voidaan toteuttaa esimerkiksi Stackin avulla. Tosin tässä on paljon haasteita, ja lisää tutkimusta ja kehitystä tarvitaan tämän kaltaisen tekoälyjärjestelmän rakentamiseksi.

Tutkielman tarkoituksena on tutkia aritmeettista derivaattaa. Aritmeettinen derivaatta on määritelty vasta muutamia kymmeniä vuosia sitten, vaikka sen alkuperä saattaa hyvinkin olla kaukana historiassa. Luvun aritmeettinen derivaatta perustuu luvun alkutekijöihin jakoon. Alun perin aritmeettisessa derivaatassa on ollut kyse juuri luonnollisten lukujen ominaisuuksista ja jaosta alkutekijöihin. Tekijöihin jaon avulla voidaan selvittää yksiselitteinen muoto derivaatan lausekkeelle ja laajentaa tätä koskemaan myös negatiivisia kokonaislukuja. Myöhemmin käsitettä on laajennettu koskemaan sekä rationaalilukuja, että joitain irrationaalilukuja. Tutkielman alussa esitellään yleisiä määritelmiä, joita käytetään myöhemmin hyväksi. Tämän jälkeen määritellään aritmeettinen derivaatta luonnollisilla luvuilla käyttäen hyväksi Leibnizin sääntöä tulon derivaatalle. Määrittelyn jälkeen tutkitaan aritmeettisen derivaatan ominaisuuksia. Luvussa tutkitaan myös osamäärän derivaattaa sekä laajennetaan määritelmä negatiivisille kokonaisluvuille. Seuraavassa luvussa on tarkoitus laajentaa aritmeettisen derivaatan määritelmää koskemaa myös rationaalilukuja. Luvussa löydetään yleinen laskukaava aritmeettisen derivaatan laskemiselle sekä pohditaan myös muutamien raja-arvojen olemassaoloa. Määritelmän laajennusta jatketaan logaritmin derivaattaan, potenssien derivaattaan sekä myös joidenkin irrationaalilukujen derivaattaan. Viimeisissä luvuissa keskitytään aritmeettisen derivaatan soveltamiseen. Ensin tutkitaan eräitä differentiaaliyhtälöitä ja keskitytään lähinnä ratkaisuiden lukumäärien selvittämiseen. Lopuksi esitellään kaksi käsitettä: Sophie Germainin alkuluku ja Cunninghamin ketju. Näiden kahden ominaisuuksia valotetaan hieman aritmeettisen derivaatan avulla. Viimeisenä tutkielmassa esitellään vielä muutama avoin tutkimusongelma.

Arviointia on tutkittu jo melko paljon, mutta tutkimuksia, joissa käsitellään oppilaiden mielipiteitä erilaisista arviointitavoista on melko vähän. Uusi opetussuunnitelma korostaa oppilaan aktiivista roolia, joten tutkimuksessa ollaan kiinnostuneita oppilaiden mielipiteestä. Tutkimuksen tavoitteena on selvittää kumman arviointitavan, kokeettoman vai kokeellisen, oppilaat valitsisivat ja mistä syistä. Lähinnä tutkielmassa pyritään selvittämään vaikuttaako oppilaiden valintaan oppilaan oppimisen lähestymistapa, aiempi arvosana, sukupuoli tai se kummassa oppilas kuvittelee saavansa paremman arvosanan tai oppivan paremmin. Tutkimusaineisto kerättiin Lappeenrantalaisessa koulussa sähköisenä kyselytutkimuksena. Tutkimukseen osallistui kaksi eri yhdeksäsluokkaa ja kaiken kaikkiaan 56 oppilasta. Tutkimuksesta saatujen tulosten perusteella suurin osa oppilaista valitsi mieluiten kokeettoman arvioinnin. Lisäksi oppilaan sukupuolella tai aiemmalla koulumenestyksellä ei ole merkittävää vaikutusta oppilaan valintaan. Tärkeimpänä tekijänä oppilaan arviointitavan valintaan on perinteisen kokeen aiheuttama koejännitys, joka näkyy sekä matematiikassa hyvin että heikosti suoriutuvilla oppilailla. Toinen tekijä, joka tämän tutkimuksen perusteella näyttää vaikuttavan oppilaan arviointitavan valintaan on se, kummasta oppilas kuvittelee saavansa paremman arvosanan.

Tutkielmassa tarkastelen avoimia matemaattisia tehtäviä sekä matematiikan opettamista ja arviointia peruskoulun yläluokilla avoimia tehtäviä käyttämällä. Tehtävä on avoin, kun sen alku- tai lopputilanne ei ole tarkasti määritelty. Ratkaisija joutuu tekemään prosessin aikana valintoja saadakseen tehtävän ratkaistua. Avoimella ongelmatehtävällä voi olla useita oikeita ratkaisuja. Tutkielman alussa kerron avoimista tehtävistä ja esittelen erilaisia avoimia tehtävätyyppejä. Seuraavaksi esittelen oppimiskäsitysten teoriaa ja perustelen avoimien ongelmien käyttöä peruskoulun matematiikan opetuksen osana. Avoimen ongelman ratkaisija käyttää hyväkseen aiemmin oppimaansa tietoa ja kokemuksiaan samantyyppisistä ongelmista. Ratkaisut ovat tekijän näkökulmasta ainutlaatuisia. Avoimet ongelmat mahdollistavat oivaltamisen hetkiä, ja niiden tekeminen tukee oppijan matemaattista minäkuvaa ja kokemusta hyväksynnästä. Neljäs luku sisältää teoriaa ja pohdintaa ongelmanratkaisun ja avoimilla ongelmilla opettamisen keinoista sekä ohjeita avoimien tehtävien laatimiseen. Ongelmanratkaisu on käytännön taito, jossa kehittyminen vaatii runsasta harjoittelua. Opettajan rooli monimutkaistuu avointa ongelmanratkaisua opetettaessa, koska oikeita ratkaisuja ja ratkaisukeinoja on useita. Opetustilanteista tulee vähemmän ennustettavia. Lisäksi kerron opetuskokemuksistani avoimien ongelmien parissa. Lopuksi pohdin oppimisen arviointia muun muassa avoimien ongelmien näkökulmasta ja Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 huomioiden. Kuvailen myös joitakin tutkielman aiheeseen liittyviä haasteita.

Alkuluvuista on tiedetty tuhansia vuosia, ja jo antiikin aikaan onnistuttiin todistamaan, että alkulukuja on ääretön määrä. Alkulukukaksonen on puolestaan käsitteenä uudempi. Vain osa alkuluvuista on alkukulukukaksosia, mutta alkulukukaksosten lukumäärää ei ole onnistuttu vielä määrittämään. Alkulukukaksosten käänteislukujen summan tiedetään suppenevan ja tämän todistus esitetään tässä työssä. Johdannon ja alkulukujen lyhyen historian jälkeen perehdytään lukuteorian perusteisiin. Ensimmäiseksi käsitellään kokonaislukujen jaollisuutta ja niiden hajottamista alkutekijöihin. Tämän jälkeen todistetaan alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys ja se, että alkulukuja on ääretön määrä. Lisäksi määritellään suurin yhteinen tekijä, pienin yhteinen jaettava, sekä kongruenssi ja todistetaan muutamia kongruenssiin liittyviä apulauseita. Kongruenssin käsittelyn jälkeen esitellään ja todistetaan Kiinalainen jäännöslause. Käsitteiden määrittelyn jälkeen tutustutaan Brunin seulaan ja todistetaan sen yksinkertaisin muoto. Tämän lisäksi esitellään kaksi lemmaa, jotka käsittelevät korkeintaan annettua lukua olevien kokonaislukujen (jotka totetuttavat määrätyn kongruenssin) lukumäärää. Tästä siirrytään todistamaan Mertensin kaava. Viimeinen osa työstä käsittelee kahta alkulukukaksosiin liittyvää lausetta. Ensimmäisessä todistetaan yläraja sellaisten alkulukukaksosten lukumäärälle, jotka eivät ole annettua lukua suurempia. Jälkimmäisessä lauseessa todistetaan alkulukukaksosten käänteislukujen summien suppeneminen.

Ylioppilastutkintolautakunta päätyi laskinohjetta uudistaessaan sallimaan kevään 2012 matematiikan ylioppilaskokeessa ensimmäistä kertaa myös niin kutsuttujen CAS-laskinten käytön. Tämä uudistus johti tilanteeseen, jossa osa pitkän matematiikan kokeen tehtävistä oli mahdollista ratkaista pelkästään laskimen avulla. Matematiikan opettajat ovat ilmaisseet huolensa laskinten käytön tuomista haasteista ja uhkista matematiikan opiskelulle ja opetukselle lukiossa sekä myös matematiikan tulevaisuudelle oppiaineena. Tässä tutkielmassa perehdytään teknisten apuvälineiden, erityisesti CAS-laskinten, käytön vaikutuksiin matematiikan opiskelussa sekä opettajien näkemyksiin ja odotuksiin siitä, miten laskimet tulevat muuttamaan lukion matematiikan opetusta ja ylioppilaskoetta. Matematiikan opettajien keskuudessa on herännyt kriittinen keskustelu uusien apuvälineiden käytöstä ja erityisesti CAS-laskinten antamasta edusta pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa. Tässä tutkielmassa käydään läpi kevään 2013 pitkän matematiikan kokeen tehtäviä, ja pohditaan millaisen edun CAS-laskinta käyttävä ylioppilaskokelas saa sellaiseen opiskelijatoveriinsa verrattuna, jolla on käytössään tavallinen graafinen laskin ja taulukkokirja. Tehtävien ratkaisuja lähestytään konstruktivistisen oppimiskäsityksen ja -ratkaisuprosessin näkökulmasta. Ratkaisujen lopuksi pohditaan tulevatko ylioppilaskokelaan taidot mitatuksi tehtävän tarkoittamalla tavalla, jos kokelaalla on käytössään uusimmat tekniset apuvälineet. Lisäksi tutkielmassa esitellään mahdollisuuksia hyödyntää CAS-laskinta pitkän matematiikan opetuksen apuvälineenä ja tehdään katsaus saatavilla oleviin matematiikan ohjelmistoihin. Tutkielmassa käydään läpi myös Matemaattisten aineiden opettajien liiton keväällä 2012 tekemän CAS-laskimia koskevan kyselytutkimuksen tuloksia pohjustuksena laskimista käytävälle keskustelulle. Tutkielman tuloksena todettiin, että opettajakunta on jossain määrin kahtiajakautunut suhteessa teknisten apuvälineiden, erityisesti CAS-laskinten, käyttöön matematiikan opetuksen tukena. Yleinen vallitseva mielipide opettajien keskuudessa oli, että ainakin ylioppilaskokeen tehtäviä täytyy miettiä uudelleen, jos CAS-laskinten käyttö aiotaan sallia myös jatkossa. Jopa koko matematiikan kokeen uudistamista ehdotettiin. Tätä näkemystä tukevat myös tässä tutkielmassa pitkän matematiikan tehtävien ratkaisuista saadut kokemukset. Osa kokeen tehtävistä menetti jossain määrin merkityksensä, kun niiden ratkaisemiseen käytettiin apuvälineenä CAS-laskinta. Tutkielmassa havaittiin, että on silti mahdollista luoda myös sellaisia koetehtäviä, jotka edelleen mittaavat ylioppilaskokelaan matemaattisia taitoja luotettavasti.