Browsing by discipline "Matematiikan opettajan koulutus"

Tutkielmassa tarkastelen avoimia matemaattisia tehtäviä sekä matematiikan opettamista ja arviointia peruskoulun yläluokilla avoimia tehtäviä käyttämällä. Tehtävä on avoin, kun sen alku- tai lopputilanne ei ole tarkasti määritelty. Ratkaisija joutuu tekemään prosessin aikana valintoja saadakseen tehtävän ratkaistua. Avoimella ongelmatehtävällä voi olla useita oikeita ratkaisuja. Tutkielman alussa kerron avoimista tehtävistä ja esittelen erilaisia avoimia tehtävätyyppejä. Seuraavaksi esittelen oppimiskäsitysten teoriaa ja perustelen avoimien ongelmien käyttöä peruskoulun matematiikan opetuksen osana. Avoimen ongelman ratkaisija käyttää hyväkseen aiemmin oppimaansa tietoa ja kokemuksiaan samantyyppisistä ongelmista. Ratkaisut ovat tekijän näkökulmasta ainutlaatuisia. Avoimet ongelmat mahdollistavat oivaltamisen hetkiä, ja niiden tekeminen tukee oppijan matemaattista minäkuvaa ja kokemusta hyväksynnästä. Neljäs luku sisältää teoriaa ja pohdintaa ongelmanratkaisun ja avoimilla ongelmilla opettamisen keinoista sekä ohjeita avoimien tehtävien laatimiseen. Ongelmanratkaisu on käytännön taito, jossa kehittyminen vaatii runsasta harjoittelua. Opettajan rooli monimutkaistuu avointa ongelmanratkaisua opetettaessa, koska oikeita ratkaisuja ja ratkaisukeinoja on useita. Opetustilanteista tulee vähemmän ennustettavia. Lisäksi kerron opetuskokemuksistani avoimien ongelmien parissa. Lopuksi pohdin oppimisen arviointia muun muassa avoimien ongelmien näkökulmasta ja Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 huomioiden. Kuvailen myös joitakin tutkielman aiheeseen liittyviä haasteita.

Alkuluvuista on tiedetty tuhansia vuosia, ja jo antiikin aikaan onnistuttiin todistamaan, että alkulukuja on ääretön määrä. Alkulukukaksonen on puolestaan käsitteenä uudempi. Vain osa alkuluvuista on alkukulukukaksosia, mutta alkulukukaksosten lukumäärää ei ole onnistuttu vielä määrittämään. Alkulukukaksosten käänteislukujen summan tiedetään suppenevan ja tämän todistus esitetään tässä työssä. Johdannon ja alkulukujen lyhyen historian jälkeen perehdytään lukuteorian perusteisiin. Ensimmäiseksi käsitellään kokonaislukujen jaollisuutta ja niiden hajottamista alkutekijöihin. Tämän jälkeen todistetaan alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys ja se, että alkulukuja on ääretön määrä. Lisäksi määritellään suurin yhteinen tekijä, pienin yhteinen jaettava, sekä kongruenssi ja todistetaan muutamia kongruenssiin liittyviä apulauseita. Kongruenssin käsittelyn jälkeen esitellään ja todistetaan Kiinalainen jäännöslause. Käsitteiden määrittelyn jälkeen tutustutaan Brunin seulaan ja todistetaan sen yksinkertaisin muoto. Tämän lisäksi esitellään kaksi lemmaa, jotka käsittelevät korkeintaan annettua lukua olevien kokonaislukujen (jotka totetuttavat määrätyn kongruenssin) lukumäärää. Tästä siirrytään todistamaan Mertensin kaava. Viimeinen osa työstä käsittelee kahta alkulukukaksosiin liittyvää lausetta. Ensimmäisessä todistetaan yläraja sellaisten alkulukukaksosten lukumäärälle, jotka eivät ole annettua lukua suurempia. Jälkimmäisessä lauseessa todistetaan alkulukukaksosten käänteislukujen summien suppeneminen.

Ylioppilastutkintolautakunta päätyi laskinohjetta uudistaessaan sallimaan kevään 2012 matematiikan ylioppilaskokeessa ensimmäistä kertaa myös niin kutsuttujen CAS-laskinten käytön. Tämä uudistus johti tilanteeseen, jossa osa pitkän matematiikan kokeen tehtävistä oli mahdollista ratkaista pelkästään laskimen avulla. Matematiikan opettajat ovat ilmaisseet huolensa laskinten käytön tuomista haasteista ja uhkista matematiikan opiskelulle ja opetukselle lukiossa sekä myös matematiikan tulevaisuudelle oppiaineena. Tässä tutkielmassa perehdytään teknisten apuvälineiden, erityisesti CAS-laskinten, käytön vaikutuksiin matematiikan opiskelussa sekä opettajien näkemyksiin ja odotuksiin siitä, miten laskimet tulevat muuttamaan lukion matematiikan opetusta ja ylioppilaskoetta. Matematiikan opettajien keskuudessa on herännyt kriittinen keskustelu uusien apuvälineiden käytöstä ja erityisesti CAS-laskinten antamasta edusta pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa. Tässä tutkielmassa käydään läpi kevään 2013 pitkän matematiikan kokeen tehtäviä, ja pohditaan millaisen edun CAS-laskinta käyttävä ylioppilaskokelas saa sellaiseen opiskelijatoveriinsa verrattuna, jolla on käytössään tavallinen graafinen laskin ja taulukkokirja. Tehtävien ratkaisuja lähestytään konstruktivistisen oppimiskäsityksen ja -ratkaisuprosessin näkökulmasta. Ratkaisujen lopuksi pohditaan tulevatko ylioppilaskokelaan taidot mitatuksi tehtävän tarkoittamalla tavalla, jos kokelaalla on käytössään uusimmat tekniset apuvälineet. Lisäksi tutkielmassa esitellään mahdollisuuksia hyödyntää CAS-laskinta pitkän matematiikan opetuksen apuvälineenä ja tehdään katsaus saatavilla oleviin matematiikan ohjelmistoihin. Tutkielmassa käydään läpi myös Matemaattisten aineiden opettajien liiton keväällä 2012 tekemän CAS-laskimia koskevan kyselytutkimuksen tuloksia pohjustuksena laskimista käytävälle keskustelulle. Tutkielman tuloksena todettiin, että opettajakunta on jossain määrin kahtiajakautunut suhteessa teknisten apuvälineiden, erityisesti CAS-laskinten, käyttöön matematiikan opetuksen tukena. Yleinen vallitseva mielipide opettajien keskuudessa oli, että ainakin ylioppilaskokeen tehtäviä täytyy miettiä uudelleen, jos CAS-laskinten käyttö aiotaan sallia myös jatkossa. Jopa koko matematiikan kokeen uudistamista ehdotettiin. Tätä näkemystä tukevat myös tässä tutkielmassa pitkän matematiikan tehtävien ratkaisuista saadut kokemukset. Osa kokeen tehtävistä menetti jossain määrin merkityksensä, kun niiden ratkaisemiseen käytettiin apuvälineenä CAS-laskinta. Tutkielmassa havaittiin, että on silti mahdollista luoda myös sellaisia koetehtäviä, jotka edelleen mittaavat ylioppilaskokelaan matemaattisia taitoja luotettavasti.

Coxeterin ryhmät ovat ryhmiä, joille voidaan antaa esitys G=<s_1, ... s_d: s2_i=1, (s_i s_j)^m_{ij}=1> missä m_{ij}ЄZ. Tämän pro gradun tehtävänä on näyttää, että kyseisen rajoitetun esityksen ryhmiä on rajallinen määrä sekä esittää niiden luokittelu. Luokitteluun tarvittavia työkaluja ovat Coxeterin graafit ja matriisit. Pro gradussa muistutetaan tarpeellisista lineaarialgebran määritelmistä sekä annetaan taustatietoa positiividefiniitti ja positiivisemidefiniitti matriiseista. Lisäksi käydään läpi ryhmäteorian taustoja ja erityisesti ryhmien esittämistä generaattoreiden ja relaatioiden avulla. Taustatietojen jälkeen määritellään Coxeterin graafit muutamien esimerkkien kera ja selitetään miten matriisi voidaan johtaa Coxeterin graafin esityksestä. Työssä näytetään, että kaikki listatut Coxeterin graafit ovat joko positiividefiniittejä tai positiivisemidefiniittejä sekä todistetaan, että ne ovat ainoat positiividefiniitti ja -semidefiniitti graafit. Luokittelu loppuu siihen. Lopuksi pro gradussa annetaan yleisempi kuvaus rajallisten heijastusten ryhmistä (finite reflection groups).

Tämä pro-gradu -tutkielma käsittelee differentiaaliyhtälöitä sekä niiden opetusta lukion soveltavalla kurssilla. Tutkielma aloitetaan kertaamalla differentiaaliyhtälön määritelmä sekä harjoittelemalla yhtälöiden nimeämistä. Differentiaaliyhtälöihin liittyvät käsitteet kuten kertaluku, lineaarisuus ja ratkaisuparvi sekä tavallinen- ja normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö käydään läpi. Ensimmäisessä kappaleessa tutustutaan myös differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen yleisesti sekä ratkaisun olemassaoloon ja yksikäsitteisyyteen. Kolmannessa ja neljännessä kappaleessa syvennytään ensimmäisen sekä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälötyyppeihin sekä niiden ratkaisemiseen. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöinä tarkastellaan separoituvaa, autonomista, lineaarista ja eksaktia differentiaaliyhtälöä. Tarkastellaan myös lineaarisen differentiaaliyhtälön kahta eri tyyppiä, homogeenista ja epähomogeenista yhtälöä. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöinä tarkastellaan ensimmäiseen kertalukuun palautuvia yhtälöitä, lineaarista, vakiokertoimista sekä Eulerin differentiaaliyhtälöä. Tämän lisäksi tarkastellaan differentiaaliyhtälösysteemejä ja lineearisten differentiaaliyhtälösysteemien ratkaisemista sekä differentiaaliyhtälöiden sovelluksia eri luonnontieteiden alueisiin. Viimeisessä kappaleessa keskitytään differentiaaliyhtälöiden käsittelyyn lukion soveltavalla kurssilla sekä kurssin tavoitteisiin.

Eksponenttifunktiota käsitellään lukiomatematiikassa kaikille reaaliluvuille määriteltynä funktiona, vaikka matemaattisesti se kyetään määrittelemään vain rationaaliluvuille. Irrationaalilukuja vastaavien arvojen olemassaolo perustellaan ainoastaan kuvaajan perusteella. Tutkimustehtävänä on laatia pitkän matematiikan pohjalta opetuskokonaisuus esimerkiksi syventävälle kurssille, jossa käsitellään eksponenttifunktiota rakentamalla se pala palalta kaikille reaaliluvuille. Opetuskokonaisuuden sisällöt perustuvat eksponenttifunktion määritelmälle, jossa se määritellään integraalina määritellyn logaritmifunktion kautta. Kyseinen määritelmä esitetään tutkielmassa yksityiskohtaisesti. Ensimmäinen tutkimuskysymys koskee sitä, mitä määritelmästä tulisi ottaa opetuskokonaisuuden sisällöiksi ja minkälaiset tavoitteet näihin sisältöihin asetetaan. Toinen tutkimuskysymys on, kuinka tavoitteiden mukainen ymmärrys mahdollisesti saavutetaan. Tärkeimpänä työkaluna tutkimuskysymysten vastausten muodostamisessa on matemaattisten käsitteiden oppimista koskeva APOS – teoria. Työssä muodostetaan APOS – teorian mukainen malli eksponenttifunktiokäsitteen muodostuksesta tutkimuskysymysten pohtimisen avuksi. Se käsittelee eksponenttifunktion ymmärtämistä lähtien eksponenttifunktioon sisältyvästä lukujonosta aina eksponenttifunktion ymmärtämiseen siten, että käsittää eksponenttifunktion kaikille reaaliluvuille määriteltynä funktiona. Opetuskokonaisuuden tavoitteena on ymmärtää juoni määritelmästä, mikä edellyttää eksponenttifunktion ymmärtämistä objektina työssä tehdyn APOS -jäsennelmän perusteella. Eksponenttifunktio esiintyy määritelmässä objektina laskutoimituksissa, sekä funktiojoukkona. Opetuskokonaisuus sisältää ohjeistetun harjoituksen, jossa rakennetaan eksponenttifunktio GeoGebralla. Opetuskokonaisuus sisältää myös johdannon, jonka tavoitteena on ymmärtää eksponenttifunktio prosessina. Johdannossa esitellään eksponenttifunktion historiallista kehitystä. Erityisesti tutkitaan eksponentti- ja logaritmifunktion ominaisuutta samaistaa kertolasku ja yhteenlasku.

Kryptografia, eli tiedon salaus, on nopeasti kehittyvä ala, joka on läsnä ihmisten päivittäisessä toiminnassa. Perinteisen tiedon salauksen lisäksi kryptografian avulla voidaan toteuttaa monipuolisia toiminnallisuuksia, kuten digitaaliset allekirjoitukset ja avaimenvaihto. Nämä toiminnallisuudet on mahdollista toteuttaa julkisen avaimen kryptografian avulla. Elliptiset käyrät ovat kuutiollisia tasokäyriä, joiden pisteiden välille voidaan määritellä yhteenlaskuoperaatio. Näin ollen elliptisen käyrän pisteet muodostavat Abelin ryhmän, joten niitä on mahdollista käyttää diskreetin logaritmin ongelmaan perustuvissa kryptosysteemeissä, eli julkisen avaimen kryptosysteemeissä. Elliptisten käyrien kryptografisten algoritmien suojaustaso perustuu elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaan, jonka yleiselle muodolle ei olla löydetty subeksponentiaalista ratkaisua. Näin ollen elliptisten käyrien kryptografialla on mahdollista saavuttaa vastaava suojaustaso lyhyemmillä avaimilla, verrattuna muihin julkisen avaimen kryptografian metodeihin. Tutkielman ensimmäisessä osassa perehdytään elliptisten käyrien teoriaan keskittyen tärkeimpiin teemoihin kryptografian kannalta. Luvussa esitetään yhteenlasku elliptisen käyrän pisteille ja johdetaan ryhmälait. Erityisesti käsitellään kryptografiassa käytettäviä äärellisissä kunnissa määriteltyjä elliptisiä käyriä, joita on kaksi yleisintä luokkaa: alkulukukunnissa ja binäärikunnissa määritellyt käyrät. Tutkielman toisen osan keskiössä on kryptografia; julkisen avaimen kryptografia ja erityisesti elliptisen käyrän kryptografia ovat keskiössä. Luvussa tarkastellaan elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaa ja elliptisen käyrän rakenteeseen liittyviä tuloksia. Tutkielman lopussa esitetään algoritmit kullekin julkisen avaimen kryptografian avulla toteutettavalle toiminnallisuudelle käyttäen elliptisten käyrien kryptografian algoritmeja. Avaimenvaihdosta käytetään esimerkkinä elliptisen käyrän Diffie-Hellman avaimenvaihtoa ja digitaalisesta allekirjoituksesta elliptisen käyrän digitaalista allekirjoitusalgoritmia. Salaus ja purku menetelmänä esitellään elliptisen käyrän integroitu salaus -skeema.

Derivaatta sisältyy kohtalaisen isoon osaan matematiikan opiskelua sekä lukiossa että yliopistossa. Derivaatan osaamista ja derivaattakäsityksiä onkin tutkittu vuosien varrella melko paljon. Tämän tutkimuksen tavoitteena on kuvata aineenopettajaopiskelijoiden derivaattakäsityksiä ja analysoida heidän käsitteellisiä mielikuvia derivaatasta. Tutkimuksessa haluttiin saada vastauksia siihen, mihin David Tallin teorian mukaisesta matematiikan kolmesta maailmasta opiskelijoiden derivaattakäsitykset sijoittuvat, miten heidän käsityksensä liikkuvat maailmojen välillä. Lisäksi selvitettiin mitkä Thurstonin seitsemästä derivaatan luokittelusta ilmenivät opiskelijoiden vastauksissa sekä käyttivätkö opiskelijat formaaleja vai informaaleja argumentoinnin keinoja vastauksissaan. Aineisto kerättiin Helsingin yliopiston kurssilla Johdatus matematiikan opetukseen, johon osallistuivat kaikki vuonna 2016 aloittaneet matematiikan aineenopetta jaopiskelijat. Paperisessa kyselylomakkeessa pyydettiin esitietoja sekä vastaukset neljään derivaattaa koskevaan tehtävään. Aineisto luokiteltiin ja analysoitiin laadullisin menetelmin. Tutkimusmetodina käytettiin teorialähtöistä sisällönanalyysiä. Suurin osa opiskelijoiden vastauksista sijoittuivat matematiikan kolmesta maailmasta visuaalisiin representaatioihin sekä havaintoihin perustuvaan ilmenevään maailmaan ja toisaalta matematiikan teoriaan perustuva formaali maailma jättäytyi vastauksissa hyvin vähäiselle. Myös symbolisiin proseduureihin perustuva symbolinen maailma ilmeni vastauksissa yllättävän vähän. Thurstonin luokittelusta geometrinen tapa ajatella derivaatta oli tutkittavalla ryhmällä yleisin. Tämä ei ollut yllättävää, sillä suurin osa vastauksista sijoittui muutenkin ilmenevään maailmaan. Tutkimuksen tulokset vastasivat pitkälti aikaisempien tutkimuksien tuloksia derivaattakäsityksistä. Monella opiskelijalla esimerkiksi sekoittuivat käsitteet derivaattafunktio ja funktio sekä käsitteet funktion ääriarvo ja ääriarvokohta. Lisäksi osa opiskelijoista ajatteli funktion jatkuvuuden olevan riittävä ehto derivoituvuudelle. Tutkimuksen tuloksissa näkyi myös, että opiskelijat liittävät funktion kasvavuuden vahvasti derivaattaan. Näyttäisi siis, että tutkittavilla opiskelijoilla ei ole kovinkaan eheä derivaattakäsitys. Tämä tutkimuksen perusteella voidaan ehdottaa muutoksia derivaatan opetukseen sekä lukiossa, että yliopistossa. Yliopisto-opettajien olisi hyvä tiedostaa, että hyvilläkin opiskelijoilla voi olla puutteita matematiikan peruskäsitteiden kanssa. Lisäksi opiskelijat eivät välttämättä pysty liikkumaan sujuvasti matematiikan kolmen eri maailman välillä. Siksi lukiossa ja yliopistossa derivaatan käsitteen opettamiseen tulisi sisällyttää erilaisia lähestymistapoja ja representaatioita. Tällöin voidaan edistää opiskelijan eheän derivaattakäsityksen muodostumista.

Tutkimuksen ensimmäisen osan tarkoituksena oli selvittää erilaisia eriyttämisen tapoja ja käytänteitä, sekä eriyttämisen vaikuttavuutta. Lähteinä käytettiin aikaisempaa tutkimusta ja kirjallisuutta eriyttämisestä. Eriyttämisellä tarkoitetaan kaikkeen opetukseen kuuluvia keinoja huomioida oppilaiden ja opetusryhmien erilaiset tarpeet. Eriyttämisellä pyritään luomaan kaikille oppilaille tasa-arvoiset mahdollisuudet kehittää itseään ja oppia uutta. Opetusta voidaan eriyttää opetettavan sisällön valinnan, syvyyden ja laajuuden suhteen, opetusjärjestelyjen ja käytetyn ajan suhteen, opetusmenetelmien, työtapojen ja materiaalin suhteen, sekä arvioinnin ja palautteen antamisen muotojen suhteen. Lahjakkaiden eriyttämistä käsiteltiin myös erikseen: kuinka heidän opetustaan voi rikastuttaa luokkahuoneessa ja mitä mahdollisuuksia on lahjakkaiden koulun ulkopuoliseen eriyttämiseen. Tutkimuksen toisessa osassa tarkoituksena oli idea-tasolla antaa esimerkkejä seitsemännen luokan alun, lukuja ja laskutoimituksia jakson, opetuksen eriyttämiseen. Opetusta on hyvä muokata pienin askelin, ideat opittuaan ja omaksuttuaan eriyttämistä on helpompi soveltaa myös jatkossa. Käytäntö näyttää kullekin oppilaalle ja opetusryhmälle parhaiten toimivat eriyttämisen tavat. Eriyttämisen suunnittelussa korostuu jatkuvan arvioinnin merkitys sekä ydinasioiden tunnistaminen. Eriyttäminen on opetuksen väline, ei päätarkoitus. Opetusta eriyttämällä voidaan nostaa oppimismotivaatiota, vaikuttaa positiivisesti työrauhaan sekä suoda kaikille oppilaille oppimisen ilo. Opettajan positiivinen asenne eriyttämiseen vaikuttaa kokemukseen eriyttämisen haasteellisuudesta, myönteisellä asenteella eriyttämistä ei koeta liian haastavaksi. Opetuksen eriyttämisen tarpeen arvioimisen ja suunnittelun avuksi voi hyödyntää eriyttämisen laatukriteeristöä (Rock et al, liitteenä).

Tutkielmassa perehdytään Fermat’n pieneen lauseeseen ja sen todistuksiin. Fermat’n pientä lausetta tarkastellaan myös alkulukutestauksen näkökulmasta. Loppupuolella määritellään Eulerin φ-funktio ja esitetään Eulerin lause. Eulerin lauseen käytännöllisyyttä tarkastellaan jakojäännösten selvittämisessä. Tutkielman johdanto on pieni katsaus Pierre de Fermat’n ja Leonhard Eulerin elämään. Johdannossa käsitellään myös Fermat’n pienen lauseen sekä Eulerin lauseen historiaa. Tutkielmassa on käytetty useita lukuteoreettisia käsitteitä, jotka määritellään heti johdannon jälkeen luvussa Tutkielmassa käytettyjä määritelmiä. Tutkielma esittää Fermat’n pienen lauseen kolmessa eri muodossa, jotka kaikki ovat keskenään ekvivalentteja. Lauseen käyttöä havainnollistetaan myös muutamalla esimerkillä. Luvussa Fermat’n pienen lauseen todistuksia kyseinen lause todistetaan ensin suoraviivaisesti ja sen jälkeen induktiolla. Lopuksi lausetta havainnollistetaan kuvitellun helminauhan avulla. Tutkielma osoittaa, että Fermat’n pieni lause toteutuu millä tahansa alkuluvulla p. Fermat’n pienen lauseen toteutuminen jollain luvulla ei kuitenkaan yksin riitä osoittamaan lukua alkuluvuksi. Otsikon Pseudoalkuluvut alla käsitellään lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, mutta joilla Fermat’n pieni lause toteutuu. Jotta voitaisiin varmistua, että luku on alkuluku, E. Lucas kehitti 1800-luvun loppupuolella alkulukutestin, joka hyödyntää Fermat’n pientä lausetta. Testi on esitetty, todistettu ja sitä on havainnollistettu esimerkein kohdassa Lucas-Lehmer alkulukutesti. Testin todistukseen vaaditaan muutamia aputuloksia, jotka on esitetty ennen varsinaista testiä. Tutkielma määrittelee Eulerin φ-funktion ja havainnollistaa sen käyttöä esimerkillä. Tämän jälkeen tutkielmassa johdetaan kaava, jonka avulla φ-funktion arvon voi kätevästi laskea. Kaavan johtamista varten on todistettu muutama aputulos. Kaavan käytöstä on esimerkki. Tutkielmassa käsitellään Eulerin lause. Heti määritelmän jälkeen Eulerin lauseella ratkaistaan jakojäännöksiä. Sitten Eulerin lause todistetaan ensin induktion ja binomikaavan avulla ja sitten redusoidun jäännösluokkasysteemin avulla. Ennen kumpaakin todistusta esitellään ja todistetaan todistuksissa käytettäviä aputuloksia. Lopuksi tutkielma käsittelee suurten potenssien jakojäännösten ratkaisemista Eulerin lauseen ja binäärijärjestelmän avulla.