Browsing by department "Department of Mathematics and Statistics"

Speech is the most common form of human communication. An understanding of the speech production mechanism and the perception of speech is therefore an important topic when studying human communication. This understanding is also of great importance both in medical treatment regarding a patient's voice and in human-computer interaction via speech. In this thesis we will present a model for digital speech called the source-filter model. In this model speech is represented with two independent components, the glottal excitation signal and the vocal tract filter. The glottal excitation signal models the airflow created at the vocal folds, which works as the source for the created speech sound. The vocal tract filter describes how the airflow is filtered as it travels through the vocal tract, creating the sound radiated to the surrounding space from the lips, which we recognize as speech. We will also present two different parametrized models for the glottal excitation signal, the Rosenberg-Klatt model (RK-model) and the Liljencrants-Fant model (LF-model). The RK-model is quite simple, being parametrized with only one parameter in addition to the fundamental frequency of the signal, while the LF-model is more complex, taking in four parameters to define the shape of the signal. A transfer function for vocal tract filter is also derived from a simplified model of the vocal tract. Additionally, relevant parts of the theory of signal processing are presented before the presentation of the source-filter model. A relatively new model for glottal inverse filtering (GIF), called the Markov chain Monte Carlo method for glottal inverse filtering (MCMC-GIF) is also presented in this thesis. Glottal inverse filtering is a technique for estimating the glottal excitation signal from a recorded speech sample. It is a widely used technique for example in phoniatrics, when inspecting the condition of a patient's vocal folds. In practice the aim is to separate the measured signal into the glottal excitation signal and the vocal tract filter. The first method for solving glottal inverse filtering was proposed in the 1950s and since then many different methods have been proposed, but so far none of the methods have been able to yield robust estimates for the glottal excitation signal from recordings with a high fundamental frequency, such as women's and children's voices. Recently, using synthetic vowels, MCMC-GIF has been shown to produce better estimates for these kind of signals compared to other state of the art methods. The MCMC-GIF method requires an initial estimate for the vocal tract filter. This is obtained from the measurements with the iterative adaptive inverse filtering (IAIF) method. A synthetic vowel is then created with the RK-model and the vocal tract filter, and compared to the measurements. The MCMC method is then used to adjust the RK excitation parameter and the parameters for the vocal tract filter to minimize the error between the synthetic vowel and the measurements, and ultimately receive a new estimate for the vocal tract filter. The filter can then be used to calculate the glottal excitation signal from the measurements. We will explain this process in detail, and give numerical examples of the results of the MCMC-GIF method compared against the IAIF method.

Tutkielmassa käydään läpi Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia, ja tutkitaan niiden yhteyttä analyyttiseen Poincarén epäyhtälöön. Tämän lisäksi tutkitaan erilaisia yhdesti yhtenäisiä, rajoitettuja alueita, joissa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Dirichletin avaruus on niiden rajoitetussa alueessa määriteltyjen analyyttisten funktioiden joukko, joiden derivaattafunktion L2 normi kyseisen alueen yli on äärellinen, ja Bergmanin avaruus on niiden analyyttisten funktioiden joukko, joiden L2 normi vastaavan alueen yli on äärellinen. Tutkielman alussa annetaan karakterisaatio sille, milloin Dirichletin avaruus on Bergmanin avaruuden osajoukko yhdesti yhtenäisissä, rajoitetuissa alueissa. Käyttämällä suljetun kuvaajan teoreemaa, ja funktionaalianalyysin perustuloksia, todistetaan, että Dirichletin avaruuden sisältyminen Bergmanin avaruuteen rajoitetussa alueessa on ekvivalenttia sen kanssa, että kyseisessä alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tämän tuloksen avulla todistetaan, että rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tästä edetään määrittelemällä paloittain tähtimäinen alue, ja todistamalla, että siinä pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tutkielmassa etsitään myös kompleksitason origokeskisen kiekon analyyttiselle Poincarén epäyhtälölle konkreettinen vakio. Seuraavaksi esitetään kompleksitason rajoitettu, yhdesti yhtenäinen alue, jossa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Konstruktiossa hyödynnetään kompleksianalyysin ja analyyttisen geometrian perusideoita. Tätä aluetta muokkaamalla löydetään yhdesti yhtenäinen, rajoitettu alue, jossa pätee analyyttinen Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta jos epäyhtälössä korvataan vasemmanpuoleisen funktion L2-normi oleellisella supremum-normilla, niin epäyhtälö ei enää päde. Tutkielman lopuksi esitetään erityisen yksinkertainen konstruktio spiraalimaisesta, rajoitetusta alueesta, jossa analyyttinen Poincarén epäyhtälö ei päde.

Mathematics teaching has been an active field of research and development at the Department of Mathematics and Systems Analysis at Aalto University. This research has been motivated by a desire to increase the number of students that pass compulsory basic mathematics courses without compromising on standards. The courses aim to provide the engineering students with the mathematical skills needed in their degree programmes so it is essential that a proper foundation is laid. Since 2006, a web-based automated assessment system called STACK has been used on basic mathematics courses for supplementary exercises to aid learning at Aalto University. In this thesis, computer-aided mathematics teaching and, in particular, automated assessment are studied to investigate what effect attempting to solve online exercises has on mathematical proficiency. This is done by using a Granger causality test. For this, the first two of three basic courses are examined. The concepts relating to learning and computer-aided mathematics teaching as well as the developments, including Mumie, made at Aalto University are first presented. Then, the statistical methodology, the theoretical framework and the test procedure for Granger causality are described. The courses and data, which was collected from STACK and used to quantify mathematical proficiency for the Granger causality test, are then reviewed. Finally, the results and implications are presented. The Granger causality tests show that there exists a Granger-causal relationship such that mathematical proficiency affects the desire to attempt to solve exercises. This holds for both of the interpretations used for quantifying mathematical profiency and all variations of the penalty deducted for incorrect attempts. The results imply that the exercises are too difficult for the students and that students tend to give up quickly. Thus, the Granger causality tests produced statistically significant results to back up what teachers have always known: students are discouraged by failure, but encouraged by success. The results provide teachers with valuable information about the students' abilities and enable teachers to alter the teaching accordingly to better support the students' learning.

Eksponenttifunktiota käsitellään lukiomatematiikassa kaikille reaaliluvuille määriteltynä funktiona, vaikka matemaattisesti se kyetään määrittelemään vain rationaaliluvuille. Irrationaalilukuja vastaavien arvojen olemassaolo perustellaan ainoastaan kuvaajan perusteella. Tutkimustehtävänä on laatia pitkän matematiikan pohjalta opetuskokonaisuus esimerkiksi syventävälle kurssille, jossa käsitellään eksponenttifunktiota rakentamalla se pala palalta kaikille reaaliluvuille. Opetuskokonaisuuden sisällöt perustuvat eksponenttifunktion määritelmälle, jossa se määritellään integraalina määritellyn logaritmifunktion kautta. Kyseinen määritelmä esitetään tutkielmassa yksityiskohtaisesti. Ensimmäinen tutkimuskysymys koskee sitä, mitä määritelmästä tulisi ottaa opetuskokonaisuuden sisällöiksi ja minkälaiset tavoitteet näihin sisältöihin asetetaan. Toinen tutkimuskysymys on, kuinka tavoitteiden mukainen ymmärrys mahdollisesti saavutetaan. Tärkeimpänä työkaluna tutkimuskysymysten vastausten muodostamisessa on matemaattisten käsitteiden oppimista koskeva APOS – teoria. Työssä muodostetaan APOS – teorian mukainen malli eksponenttifunktiokäsitteen muodostuksesta tutkimuskysymysten pohtimisen avuksi. Se käsittelee eksponenttifunktion ymmärtämistä lähtien eksponenttifunktioon sisältyvästä lukujonosta aina eksponenttifunktion ymmärtämiseen siten, että käsittää eksponenttifunktion kaikille reaaliluvuille määriteltynä funktiona. Opetuskokonaisuuden tavoitteena on ymmärtää juoni määritelmästä, mikä edellyttää eksponenttifunktion ymmärtämistä objektina työssä tehdyn APOS -jäsennelmän perusteella. Eksponenttifunktio esiintyy määritelmässä objektina laskutoimituksissa, sekä funktiojoukkona. Opetuskokonaisuus sisältää ohjeistetun harjoituksen, jossa rakennetaan eksponenttifunktio GeoGebralla. Opetuskokonaisuus sisältää myös johdannon, jonka tavoitteena on ymmärtää eksponenttifunktio prosessina. Johdannossa esitellään eksponenttifunktion historiallista kehitystä. Erityisesti tutkitaan eksponentti- ja logaritmifunktion ominaisuutta samaistaa kertolasku ja yhteenlasku.

Tämä pro gradu -työ käsittelee toisen asteen elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä sekä näiden ominaisarvo-ongelmia. Työssä määrittelemme aluksi Sobolev-avaruudet, joissa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuja on luonnollista tutkia. Käymme läpi Sobolev-avaruuksien perusominaisuuksia ja todistamme muun muassa, että Sobolev-avaruus W^{k,p} on Banach-avaruus. Luvun 2 lopuksi esitellään kompaktit upotukset ja kompaktit operaattorit sekä näihin liittyviä tunnettuja lauseita ja tuloksia, joista tärkeimmät ovat Rellich-Kondrachovin upotuslause sekä Fredholmin alternatiivi. Luvussa 3 tarkastellaan elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä yleisesti. Määrittelemme yhtälön heikot ratkaisut ja todistamme heikon ja vahvan maksimiperiaatteen elliptiselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Tämän jälkeen tutkimme, millaisilla ehdoilla yhtälöllä on olemassa ratkaisuja ja milloin ratkaisu on yksikäsitteinen. Yksikäsitteisyystodistuksissa hyödynnetään Lax-Milgramin teoriaa. Todistettuamme ratkaisujen olemassaoloa käsittelevän Lauseen 3.50 saamme syyn tutkia differentiaalioperaattorin spektriä, ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita. Työn tärkeimmät tulokset ovat Luvussa 4, jossa todistetaan sekä symmetrisen että ei-symmetrisen operaattorin ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita koskevia tuloksia.

Kryptografia, eli tiedon salaus, on nopeasti kehittyvä ala, joka on läsnä ihmisten päivittäisessä toiminnassa. Perinteisen tiedon salauksen lisäksi kryptografian avulla voidaan toteuttaa monipuolisia toiminnallisuuksia, kuten digitaaliset allekirjoitukset ja avaimenvaihto. Nämä toiminnallisuudet on mahdollista toteuttaa julkisen avaimen kryptografian avulla. Elliptiset käyrät ovat kuutiollisia tasokäyriä, joiden pisteiden välille voidaan määritellä yhteenlaskuoperaatio. Näin ollen elliptisen käyrän pisteet muodostavat Abelin ryhmän, joten niitä on mahdollista käyttää diskreetin logaritmin ongelmaan perustuvissa kryptosysteemeissä, eli julkisen avaimen kryptosysteemeissä. Elliptisten käyrien kryptografisten algoritmien suojaustaso perustuu elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaan, jonka yleiselle muodolle ei olla löydetty subeksponentiaalista ratkaisua. Näin ollen elliptisten käyrien kryptografialla on mahdollista saavuttaa vastaava suojaustaso lyhyemmillä avaimilla, verrattuna muihin julkisen avaimen kryptografian metodeihin. Tutkielman ensimmäisessä osassa perehdytään elliptisten käyrien teoriaan keskittyen tärkeimpiin teemoihin kryptografian kannalta. Luvussa esitetään yhteenlasku elliptisen käyrän pisteille ja johdetaan ryhmälait. Erityisesti käsitellään kryptografiassa käytettäviä äärellisissä kunnissa määriteltyjä elliptisiä käyriä, joita on kaksi yleisintä luokkaa: alkulukukunnissa ja binäärikunnissa määritellyt käyrät. Tutkielman toisen osan keskiössä on kryptografia; julkisen avaimen kryptografia ja erityisesti elliptisen käyrän kryptografia ovat keskiössä. Luvussa tarkastellaan elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaa ja elliptisen käyrän rakenteeseen liittyviä tuloksia. Tutkielman lopussa esitetään algoritmit kullekin julkisen avaimen kryptografian avulla toteutettavalle toiminnallisuudelle käyttäen elliptisten käyrien kryptografian algoritmeja. Avaimenvaihdosta käytetään esimerkkinä elliptisen käyrän Diffie-Hellman avaimenvaihtoa ja digitaalisesta allekirjoituksesta elliptisen käyrän digitaalista allekirjoitusalgoritmia. Salaus ja purku menetelmänä esitellään elliptisen käyrän integroitu salaus -skeema.

Tämä Pro gradu -tutkielma käsittelee ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausetta. Lause tullaan todistamaan topologian avulla. Tutkielman ensimmäinen ja toinen luku käsittelee topologisia peruskäsitteitä. Aluksi määritellään jono ja metrinen avaruus, jonka jälkeen tarkastellaan erilaisia jonoja kuten Cauchyn jonoja ja funktiojonoja. Eritysti ollaan kiinnostuneita suppenevista jonoista, sillä niillä on monia matemaattisesti mielenkiintoisia ominaisuuksia. Toisen luvun loppupuolella tutustutaan tutkielman kannalta tärkeään käsitteeseen täydellisyys. Täydellisyys on siinä mielessä tärkeä käsite, että sen avulla voidaan keskittää tarkastelu kaikkiin suppeneviin Cauchyn jonoihin. Kolmannessa luvussa tutustutaan käsitteeseen kiintopiste ja ennen kaikkea tarkastellaan Banachin kiintopistelausetta. Työssä esitettävä todistus lauseelle on melko suoraviivainen lasku. Lause itsessään on kuitenkin kovin mielenkiintoinen, sillä se takaa tietyn tyyppisille funktioille ratkaisun. Tutkielman kruununa on neljännessä luvussa esitettävä todistus ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseelle. Todistuksen ideana on muokata differentiaaliyhtälöä siten, että voidaan hyödyntää Banachin kiintopistelausetta. Kun ratkaisun olemassaoloa tarkasteleva lause on saatu todistettua, tutkielmassa esitellään muutamia tapauksia, joissa olemassaololauseen antamaa tietoa on päästy hyödyntämään.

Tutkielma koostuu epäeuklidista geometriaa käsittelevästä oppimateriaalista. Vaatimustasoltaan materiaali sopii lukiolaisille ja sen on tarkoitus syventää lukion pakollisen geometrian kurssin tietoja. Oppimateriaalia voisi hyödyntää syventävänä materiaalina pakollisen kurssin yhteydessä, jonka pääpaino on enemmän pinta-alojen, tilavuuksien ja kulmien laskemisessa. Materiaalissa lähdetään liikkeelle matemaattisesta todistamisesta ja geometrian peruskäsitteistä, joiden jälkeen edetään Eukleideen aksioomiin ja hyperboliseen sekä elliptiseen geometriaan. Materiaali sisältää myös eritasoisia tehtäviä ratkaisuineen opiskelua tukemaan. Epäeuklidisilla geometrioilla on ollut suuri merkitys muun muassa Albert Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian synnyssä. Lisäksi epäeuklidisilla geometrioilla on myös runsaasti käytännön sovelluksia. Materiaali täydentää opetussuunnitelman yleisiä tavoitteita opettamalla ymmärtämään matemaattisen tiedon loogista, aksioomiin perustuvaa rakennetta. David Tall painottaa matematiikan opiskelussa henkisen ja fyysisen maailman yhteyttä. Epäeuklidisen geometrian opiskelu täydentää opiskelijan ilmenevää fyysistä kolmiulotteista maailmaa ja sen lainalaisuuksia niiltä osin, joilta kaksiulotteinen Euklidinen tasogeometria ei niitä selitä. Koulussa opiskeltava geometria perustuu Eukleides Aleksandrialaisen (n. 300 eKr.) teoksessa Alkeet julkaisemiin viiteen aksioomaan. Viidettä aksioomaa eli paralleeliaksioomaa yritettiin kahden tuhannen vuoden ajan todistaa riippumattomaksi muista aksioomista. Todistusyritykset eivät onnistuneet, mutta ne loivat pohjan epäeuklidisten geometrioiden kehittymiselle. Paralleeliaksiooma tunnetaan nykyään John Playfairin mukaan muodossa 'Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee tarkalleen yksi tämän suoran suuntainen suora.' Epäeuklidisissa geometrioissa paralleeliaksiooma korvataan sen negaatiolla. Hyperbolisessa geometriassa yhdensuuntaisia suoria voidaan muodostaa enemmän kuin yksi. Elliptisessä geometriassa yhdensuuntaisia suoria ei sen sijaan ole lainkaan. Muutkin Euklidisen geometrian teoriat poikkeavat epäeuklidisissa geometrioissa. Hyperbolisessa geometriassa kolmion kulmien summa on aina alle 180 astetta ja elliptisessä geometriassa aina yli 180 astetta. Kummassakaan geometriassa ei lisäksi ole pelkästään yhdenmuotoisia kolmioita, vaan jokainen yhdenmuotoinen kolmio on myös yhtenevä.

The research question in this thesis concerns how well can epileptic seizures be detected using a single triaxial accelerometer attached to the wrist. This work was done in collaboration with Vivago Oy, who provided the watch that is capable of recording accelerometer data, and HUS, the Hospital District of Helsinki and Uusimaa. HUS provided the real world epilepsy datasets consisting of several days worth of data recorded by several epilepsy patients. The research problem was divided into three subproblems: feature extraction, sensor fusion, and activity classification. For feature extraction, the original accelerometer signal is divided into 5s long windows and discrete cosine transform (DCT) is applied to each axis so that periodic components are detected, also removing the effect of gravity vector and compressing the signal. Next, the DCT features of each axis are combined and principal component analysis (PCA) is applied, further compressing the signal. At this step the PCA theorem is also proven. After DCT and PCA steps, the need to consider for different orientations of the accelerometer is effectively eliminated. The last step is the classification of the signal into a seizure or non-seizure by using a support vector machine (SVM) classifier on the features produced by PCA. The combined model is referred to as the DPS model (DCT-PCA-SVM). The experiments were run on two kinds of datasets: artificial datasets recorded by three test subjects and the epilepsy datasets. The principal reason for recording artificial datasets was that the labeling of the seizures in the epilepsy dataset was practically impossible to match to the accelerometer data, rendering the supervised training phase for any model impossible. The artificial datasets were created so that one test subject produced the training set, recording data of ordinary daily activities and labeling these activities as non seizures, and then imitating a seizure and labeling this as a seizure. The second test subject recorded the daily activities, including potential false positives such as brushing teeth and washing hands, and imitating a seizure several times during this period. This validation set was then used for fine-tuning the DPS model parameters so that all of the seizures were detected along with as few false positives as possible. Third test subject recorded the test set, including 13 imitated seizures, to test the DPS model's ability to generalize on new and previously unseen data. The conclusion is that for the artificial test set, 12 out of 13, or 92%, of seizures were detected along with a reasonably low number of false positives. For the epilepsy dataset the results are inconclusive, due to not being able to utilize any part of it as a training set, but there are reasonable indications that at least some real seizures were detected. In order to verify the results, the DPS model would need to be trained on a larger and better labeled real world epilepsy dataset.

Tutkimuksen ensimmäisen osan tarkoituksena oli selvittää erilaisia eriyttämisen tapoja ja käytänteitä, sekä eriyttämisen vaikuttavuutta. Lähteinä käytettiin aikaisempaa tutkimusta ja kirjallisuutta eriyttämisestä. Eriyttämisellä tarkoitetaan kaikkeen opetukseen kuuluvia keinoja huomioida oppilaiden ja opetusryhmien erilaiset tarpeet. Eriyttämisellä pyritään luomaan kaikille oppilaille tasa-arvoiset mahdollisuudet kehittää itseään ja oppia uutta. Opetusta voidaan eriyttää opetettavan sisällön valinnan, syvyyden ja laajuuden suhteen, opetusjärjestelyjen ja käytetyn ajan suhteen, opetusmenetelmien, työtapojen ja materiaalin suhteen, sekä arvioinnin ja palautteen antamisen muotojen suhteen. Lahjakkaiden eriyttämistä käsiteltiin myös erikseen: kuinka heidän opetustaan voi rikastuttaa luokkahuoneessa ja mitä mahdollisuuksia on lahjakkaiden koulun ulkopuoliseen eriyttämiseen. Tutkimuksen toisessa osassa tarkoituksena oli idea-tasolla antaa esimerkkejä seitsemännen luokan alun, lukuja ja laskutoimituksia jakson, opetuksen eriyttämiseen. Opetusta on hyvä muokata pienin askelin, ideat opittuaan ja omaksuttuaan eriyttämistä on helpompi soveltaa myös jatkossa. Käytäntö näyttää kullekin oppilaalle ja opetusryhmälle parhaiten toimivat eriyttämisen tavat. Eriyttämisen suunnittelussa korostuu jatkuvan arvioinnin merkitys sekä ydinasioiden tunnistaminen. Eriyttäminen on opetuksen väline, ei päätarkoitus. Opetusta eriyttämällä voidaan nostaa oppimismotivaatiota, vaikuttaa positiivisesti työrauhaan sekä suoda kaikille oppilaille oppimisen ilo. Opettajan positiivinen asenne eriyttämiseen vaikuttaa kokemukseen eriyttämisen haasteellisuudesta, myönteisellä asenteella eriyttämistä ei koeta liian haastavaksi. Opetuksen eriyttämisen tarpeen arvioimisen ja suunnittelun avuksi voi hyödyntää eriyttämisen laatukriteeristöä (Rock et al, liitteenä).