Browsing by department "Department of Mathematics and Statistics"

Tutkielmassa tarkastelen avoimia matemaattisia tehtäviä sekä matematiikan opettamista ja arviointia peruskoulun yläluokilla avoimia tehtäviä käyttämällä. Tehtävä on avoin, kun sen alku- tai lopputilanne ei ole tarkasti määritelty. Ratkaisija joutuu tekemään prosessin aikana valintoja saadakseen tehtävän ratkaistua. Avoimella ongelmatehtävällä voi olla useita oikeita ratkaisuja. Tutkielman alussa kerron avoimista tehtävistä ja esittelen erilaisia avoimia tehtävätyyppejä. Seuraavaksi esittelen oppimiskäsitysten teoriaa ja perustelen avoimien ongelmien käyttöä peruskoulun matematiikan opetuksen osana. Avoimen ongelman ratkaisija käyttää hyväkseen aiemmin oppimaansa tietoa ja kokemuksiaan samantyyppisistä ongelmista. Ratkaisut ovat tekijän näkökulmasta ainutlaatuisia. Avoimet ongelmat mahdollistavat oivaltamisen hetkiä, ja niiden tekeminen tukee oppijan matemaattista minäkuvaa ja kokemusta hyväksynnästä. Neljäs luku sisältää teoriaa ja pohdintaa ongelmanratkaisun ja avoimilla ongelmilla opettamisen keinoista sekä ohjeita avoimien tehtävien laatimiseen. Ongelmanratkaisu on käytännön taito, jossa kehittyminen vaatii runsasta harjoittelua. Opettajan rooli monimutkaistuu avointa ongelmanratkaisua opetettaessa, koska oikeita ratkaisuja ja ratkaisukeinoja on useita. Opetustilanteista tulee vähemmän ennustettavia. Lisäksi kerron opetuskokemuksistani avoimien ongelmien parissa. Lopuksi pohdin oppimisen arviointia muun muassa avoimien ongelmien näkökulmasta ja Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 huomioiden. Kuvailen myös joitakin tutkielman aiheeseen liittyviä haasteita.

Background. DNA microarrays measure the expression levels of tens of thousands of genes simultaneously. Some differentially expressed genes may be useful as markers for the diagnosis of diseases. Available statistical tests examine genes individually, which causes challenges due to multiple testing and variance estimation. In this Master's thesis, Bayesian confirmatory factor analysis (CFA) is proposed as a novel approach for the detection of differential gene expression. Methods. The factor scores represent summary measures that combine the expression levels from biological samples under the same condition. Differential gene expression is assessed by utilizing their distributional assumptions. A mean-field variational Bayesian approximation is employed for computationally fast estimation. Results. Its estimation performance is equal to Gibbs sampling. Point estimation errors of model parameters decrease with increasing number of variables. However, mean centering of the data matrix and standardization of factor scores resulted in an inflation of the false positive rate. Conclusion. Avoiding mean centering and revision of the CFA model is required so that location parameters of factor score distributions can be estimated. The utility of CFA for the detection of differential gene expression needs also to be confirmed by a comparison with different statistical procedures to benchmark its false positive rate and statistical power.

I avhandlingen definieras cellulära homologigrupper för cellkomplex, och med hjälp av dessa beräknas homologigrupperna för ett antal topologiska rum. Med cellkomplex menar man topologiska rum som byggs upp stegvis genom att börja med en diskret mängd punkter och sedan fästa n-celler ̄ B n till någon del av komplexet som finns från tidigare. Homologigrupper innebär att man associerar en algebraisk invariant, närmare sagt en abelsk grupp med ett topologiskt rum. För att kunna definiera de cellulära homologigrupperna definieras först de singulära homologigrupperna för godtyckliga topologiska rum, varefter de s.k. homologiaxiomen, även kända som Eilenberg–Steenrod-axiomen, presenteras. Med hjälp av homologiaxiomen beräknas de singulära homologigrupperna för enhetssfären S^n, och med hjälp av detta resultat samt med gradberäkningar av avbildningar från enhetssfären till sig själv konstrueras sedan de cellulära homologigrupperna för cellkomplex. Därefter bevisas det faktum att de singulära och cellulära homologigrupperna är isomorfa för alla cellkomplex. Utgående från dessa resultat kan man relativt enkelt beräkna homologigrupperna för många topologiska rum genom att ge rummet en cellstruktur och sedan beräkna rummets cellulära homologigrupper. För att demonstrera hur metoderna som presenterats i avhandlingen kan användas beräknas homologigrupperna för ett antal rum, bl.a. cylindern S^1 × I, torusen S^n × S^n och det reella projektiva n-rummet RP^n. I avhandlingen demonstreras även hur kunskapen om homologigrupperna för sfären S^n kan användas för att bevisa ett antal klassiska topologiska resultat, bl.a. Brouwers fixpunktsats samt det faktum att de Euklidiska rummen R^n och R^m är homeomorfa om och endast om n = m.

The goal of this thesis is to introduce the isoperimetric inequality and various quantitative isoperimetric inequalities. The thesis has two parts. The first one is an overview of the isoperimetric inequality in R^n and some of the known quantitative isoperimetric inequalities. In the first chapter we introduce the isoperimetric inequality and show some possible methods of proving the isoperimetric inequality in R^n for both n=2 and n≥3. In the second chapter we discuss some known quantitative isoperimetric inequalities as well as their proofs. The second part of the thesis is a paper. In this paper we prove a Bonnnesen type inequality for so called s-John domains, s>1, in R^n. We show that the methods that have been applied to John domains in the literature, suitably modified, can be applied to s-John domains. Our result is new and gives a family of Bonnesen type inequalities depending on the parameter s>1.

Useissa Euroopan ja Aasian maissa sekä Pohjois-Amerikassa vakuutusyhtiöt käyttävät ajoneuvovakuutusten hinnoittelussa kokemuksen antamaa tietoa vakuutetun ajotaidoista ja ajokäyttäytymisestä niin sanotun a priori hinnoittelun ohella. A priori hinnoittelulla tarkoitetaan vakuutuksen myöntöhetkellä tiedossa olevien ominaisuuksien perusteella tehtyä riskiluokitusta. Riskiluokkien sisäistä heterogeenisyyttä pyritään korjaamaan ajan kuluessa – tiedon karttuessa – niin sanotulla a posteriori hinnoittelulla. Käytäntö rankaisee kuljettajia, jotka ovat vastuussa yhdestä tai useammasta vahingosta edellisen tai edellisten vakuutuskausien aikana lisämaksulla eli bonusmenetyksellä. Vahinkovapaita kuljettajia sen sijaan palkitaan alennuksilla eli bonuksilla. Tutkielman alussa käydään läpi perusteita kaksivaiheiselle hinnoittelulle ja esitetään a priori hinnoittelu lyhyesti. Bonusjärjestelmät koostuvat kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä. Peruslogiikan mukaisesti vahingottomien vuosien jälkeen päätyy alhaisempiin eli parempiin bonusluokkiin ja nautitaan bonuksista eli alhaisemmasta vakuutusmaksusta. Sen sijaan ilmoitettujen vahinkojen seurauksena vakuutettu siirtyy bonussäännöstön mukaisesti ylempään eli huonompaan bonusluokkaan ja häntä rankaistaan bonusmenetyksillä eli korkeammalla vakuutusmaksulla. Seuraavan kauden bonusluokka määräytyy kuluvan kauden bonusluokan ja sattuneiden vahinkojen lukumäärän perusteella. Näin ollen bonusjärjestelmää voidaan kuvata Markovin ketjun avulla. Eri vakuutusyhtiöillä ja eri maissa on käytössä hyvin erilaisia bonusjärjestelmiä. Bonusluokkien määrä, aloitusluokka ja siirtymissäännöt vaihtelevat. Tutkielmassa on esitetty kaksi erilaista käytettävissä olevaa bonusjärjestelmää, joista toinen on Suomessa yleisesti käytetty. Tämän lisäksi esimerkeissä on käytetty hyvin yksinkertaistettuja järjestelmiä, joiden tarkoituksena on kuvata esitetyn teorian tuomista käytäntöön ennemmin helposti luettavin laskuesimerkein kuin todellista tilannetta havainnoiden. Bonusjärjestelmissä lähdetään oletuksesta, että ajan kuluessa bonusjärjestelmä saavuttaa tasapainotilan. Jokainen vakuutettu saavuttaa tasapainoluokan, joka vastaa hänen vuosittaista vahinkofrekvenssiä. Vakuutettu hakeutuu tämän 'oikean' bonusluokan ympärille. Perusajatuksen mukaisesti hyvät kuljettajat asettuvat ajan kuluessa alhaisiin eli hyviin bonusluokkiin ja suuren riskin kuljettajat sitä vastoin korkeampiin bonusluokkiin. Vakuutusyhtiön vakuutusten hinnoittelussa tärkein tehtävä on vakuutusmaksun muodostaminen siten, että se on mahdollisimman lähellä 'oikeaa' hintaa. Jokaiselle bonustasolle tulee laskea suhdeluku, joka kertoo kunkin vakuutetun osuuden oman riskiluokan a priori vakuutusmaksusta. Tutkielman lopussa tämä suhdeluku määritellään tilanteessa, jossa a priori hinnoittelu on käytössä. Tämän lisäksi pohditaan vaikutuksia, jos a priori hinnoittelusta luovuttaisiin kokonaan ja käytössä olisi vain kokemukseen perustuva a posteriori hinnoittelu. Tässä pyrkimyksenä on miettiä vaihtoehtoa hyvien kuljettajien kaksinkertaiselle palkitsemiselle ja huonojen kuljettajien kaksinkertaiselle rankaisemiselle. Tämän pohdinnan tarpeellisuus ja sen oikeellisuus on eettinen kysymys, johon tutkielmassa halutaan ainoastaan antaa matemaattiset työkalut. Viimeiseksi tutkielmassa käydään yksinkertaistetulla esimerkillä läpi hinnoittelun kaari a priori hinnoittelusta a posteriori hinnoitteluun. Vaikka käytössä on todellinen erään suomalaisen vakuutusyhtiön portfolio, on esimerkin tulokset yksinkertaistuksen vuoksi varsin kevyet. Voidaan kuitenkin nähdä, että perusoletus hyvien kuljettajien päätymisestä parempiin bonusluokkiin ja suuremman riskin kuljettajien huonompiin pätee tässäkin.

Tämän työn päämäärä on kehitellä Lp−estimointi tekniikoita, soveltaa niitä mallioperaattoreiden tutkimiseen, ja edelleen, siirtää näiden mallioperaattoreiden rajoittuneisuus ominaisuuksia bilineaariselle Calderón-Zygmund -operaattorille. Tämä siirtäminen tehdään olettamalla tunnetuksi Bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin esityslause satunnaistettujen mallioperaattoreiden summana. Oletamme tunnetuksi hieman interpolointi ja maksimaalifunktioiden teoriaa. Aloitamme esittelemällä hyödyllisiä peruskäsitteitä, mm. neliöfunktion, sen kautta Lp -avaruuksien karakterisaation, ja Haarin kannan. Kappaleissa kaksi ja kolme määrittelemme mallioperattorit: shiftit ja paratulot ja todistamme niitä koskevia vahvoja estimaatteja Lp -avaruuksissa, kun p > 1. Tarkoituksemme on interpoloida vahvoja estimaatteja quasi-Banach alueelle, siis kun p < 1, ja tätä varten todistamme heikkoja päätepiste estimaatteja. Neljäs kappale on omistettu interpolointitekniikan esittelemiselle, joka mahdollistaa edellämainitun interpoloinnin. Viidennessä ja viimeisessä kappaleessa määrittelemme bilineaarisen Calderó-Zygmund operaattorin, kokoamme yhteen aikaisemmin kehitetyn teorian tuloksia ja vedämme näistä tuloksista lyhyehkönä korollaarina bilineaarisen Calderón-Zygmund -operaattorin rajoittuneisuuden.

Vakuutusten hinnoittelussa ongelmaksi muodostuu vakuutusmaksun oikean tason löytyminen huomioiden vakuutetun sekä yhtiön intressit. Työssä ongelmaa lähestytään credibility-teorian avulla ja ratkaisuna tähän ongelmaan esitetään Bühlmann-Straub-malli. Vakuutusmaksu koostuu useasta eri osasta, tässä tutkielmassa kiinnostukseen kohteena on riskimaksu. Riskimaksu on se osa vakuutusmaksua, joka kohdistuu suoraan korvauksiin. Aluksi riskimaksu määritetään yhdelle vakuutetulle, nojautuen vakuutetun omaan vakuutushistoriaan. Esitetään myös kollektiivin riskimaksu, jossa huomioidaan se tosiasia että vakuutettu kuuluu joukkoon samankaltaisia vakuutettuja. Todellisuudessa riskimaksu on kuitenkin yhdistelmä näistä kahdesta ominaisuudesta. Esitetään credibility-teoriaa hyödyntäen riskimaksulle estimaattori, joka yhdistää vakuutetun oman vahinkohistorian ja sen tosiasian, että vakuutettu kuuluu tiettyyn heterogeeniseen kollektiiviin. Löydetään kertoimet painottamaan näitä ominaisuuksia ja riskimaksulle saadaan sopiva estimaattori, jota kutsutaan credibility-estimaattoriksi ja tämän avulla saatua riskimaksua credibility-maksuksi. Laajennetaan credibility-maksun käsite esitettäväksi L^2- avaruudessa. Tässä yleisessä mallissa ei aiemmin määriteltyjä todennäköisyysjakaumia määritellä tarkasti ja esitetään tärkeitä tuloksia itse Bühlmann-Straub-mallin määrittämistä varten. Lopuksi päästään päälauseeseen. Bühlmann-Straub-malli on laajennus tutkielmassa aiemmin esitetyistä malleista. Mallissa esitetään credibility-estimaattori sekä homogeeninen credibility-estimaattori ja jälkimmäisen avulla credibility-maksu. Tässä laajennetussa mallissa määritelty credibility-maksu ottaa huomioon koko yhtiön koko vakuutuskannan. Esitetään myös malliin liittyviä tunnuslukuja.

In analysis of structural information for transmembrane (TM) proteins it is ideal to work with a three-dimensional (3D) structure. This is not always possible as determining an accurate 3D structure can be challenging and expensive as pursuing one can take large amounts of time. Sequence analysis is often used as a surrogate to determine a subset of information regarding secondary and tertiary protein structure given the primary structure (an amino acid sequence). Using Equilibrative Nucleoside Transporter member 1 (ENT1) as a model, the objective of predicting secondary and tertiary structure given primary structure is attempted through computational (in silico) methods. The in silico methods include the use of a pipeline of programs spanning both custom made and ready built software. A set of 2034 homologous protein sequences are first obtained from the initial human ENT1 (hENT1) sequence through a BLASTp. This sequence information is then processed to acquire information on variation, conservation, and hydrophobicity through topology prediction, hydropathic moment plots and variation moment plots. Comparing these results with data acquired from Glycerol-3-Phosphate Transporter (GlpT), a protein with a known 3D structure of 3.3 Angstrom resolution is done to assess evidence of evolutionary origin. This in turn allows estimation on the reliability of predictions to be made on aspects of the secondary and tertiary structure for hENT1. The results show that within predicted TM alpha helical regions that there is some level of correlation between the variation of the amino acids within the alpha helical TM region and its orientation towards the membrane. This can be further refined by gathering statistics on other known proteins with a 3D structure for their relationships in TM regions to hydrophobicity and variability. This will aid in secondary and tertiary structure predictions of other TM proteins given further refinement and additional data. In addition, the sequence conservation information obtained should prove to be robust and allow for a large number of sequences to be analyzed to determine conservation of amino acids given a reference protein. Ideally this information will provide aid in determining interesting amino acids for experiments to be done on hENT1.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan Cantorin joukkoa ja sen soveltamista muutamiin matemaattisiin tarkoituksiin. Cantorin joukon määrittelyssä otetaan huomioon sen monet topologiset ominaisuudet. Tarkoituksena on muotoilla Cantorin joukkoon liittyvät matemaattiset erikoisuudet mahdollisimman ymmärrettävällä tavalla matematiikkaa vain vähän opiskelleelle. Cantorin joukko on hämmentänyt matemaatikkoja sen ensimmäisestä esiintymisestä lähtien. Joukko muodostetaan vaiheittain poistamalla yksikkövälistä [0, 1] avoimia kolmanneksia. Prosessin ensimmäisessä vaiheessa välistä [0, 1] poistetaan väli (1/3, 2/3). Seuraavassa vaiheessa kahdesta välistä [0, 1/3] ja [2/3, 1] poistetaan jälleen niiden keskimmäiset kolmannekset eli välit (1/9, 2/9) ja (7/9, 8/9). Kun tätä prosessia jatketaan loputtomasti, välistä [0, 1] lopulta jäljelle jäävät pisteet muodostavat Cantorin joukon. Cantorin joukkoon kuuluvat ainakin kaikkien poistettujen välien päätepisteet. Yhtenä joukon erikoisuutena on kuitenkin se, että siihen kuuluu vielä ylinumeroituvasti ääretön määrä pisteitä, jotka eivät ole poistettujen välien päätepisteitä. Tämän seurauksena myös Cantorin joukko on siis ylinumeroituvasti ääretön. Topologiset ominaisuudet ovat Cantorin joukolla myös erikoisia. Voidaan osoittaa, että joukolla ei ole sisäpisteitä eli pisteitä, joilla olisi jokin Cantorin joukkoon kuuluva ympäristö. Lisäksi voidaan osoittaa, että jokainen Cantorin joukon piste on kasautumispiste eli piste, jonka jokaisessa ympäristössä on jokin toinen Cantorin joukon piste. Pirunporrasfunktionakin tunnetun Cantorin funktion lähtö- ja maalijoukko on yksikköväli [0, 1] eli gamma : [0, 1] -> [0, 1]. Funktion määrittely aloitetaan kuitenkin usein Cantorin joukon avulla. Nimen pirunporrasfunktio on saanut portaikkoa muistuttavasta kuvaajastaan. Vaikka gamma muistuttaa portaikkoa ja ensisilmäyksellä vaikuttaa katkonaiselta, niin se on kuitenkin jatkuva ja jopa tasaisesti jatkuva. Viimeisenä asiana tässä tutkielmassa esitetään lyhyesti Cantorin joukkoon liittyvä Lebesguen käyrä. Lebesguen käyrää sanotaan avaruuden täyttäväksi käyräksi, koska se kulkee jokaisen maalijoukkonsa, tässä tapauksessa yksikköneliön [0; 1] x [0; 1], pisteen kautta.