Browsing by discipline "Teaching of Mathematics"

Tässä tutkielmassa käsitellään kuution kahdentaminen ja kulman kolmijako, jotka ovat geometrian konstruktio-ongelmia. Kuution kahdentamisessa tulee muodostaa kuutio, jonka tilavuus on kaksinkertainen annettuun kuutioon verrattuna. Kulman kolmijaossa tulee mielivaltainen kulma jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Molemmat ongelmat ovat osoittautuneet mahdottomiksi harpin ja viivaimen avulla. Jos kuitenkin sallitaan käyttää muita matemaattisesti tarkkoja välineitä ongelmat saadaan ratkaistua. Kuution kahdentamisen ja kulman kolmijaon tutkimisessa lähdetään liikkeelle geometrisen konstruoinnin sääntöjen määrittelemisestä. Toisessa luvussa käydään läpi yksityiskohtaisesti perustuloksia harpin ja viivaimen käytöstä. Näiden tulosten avulla määritellään peruskonstruktiot ja luvun konstruoituvuus. Koska tutkittavien ongelmien mahdottomuuden osoittaminen vaatii algebran kuntateorian tuloksia, määritellään kolmannessa luvussa geometrisen konstruktion tuloksia algebran näkökulmasta. Näiden avulla saadaan määriteltyä välttämätön ja riittävä ehto luvun konstruoitumiselle. Neljäs luku käsittelee työn oleellisimmat tulokset eli todistukset kuution kahdentamisen ja kulman kolmijaon mahdottomuuteen. Ennen todistuksia käydään läpi tärkeimmät kohdat historiasta antiikin Kreikan ajalta 1800–luvulle, jolloin ongelmat saatiin osoitettua mahdottomiksi. Lisäksi historiaosuudessa käsitellään seuraavassa luvussa esiteltävien laajennettujen konstruktioiden historiaa. Kuution kahdentamisen mahdottomuuden todistuksessa osoitetaan, ettei lukua kuutiojuuri 2 voida konstruoida. Mielivaltaisen kulman kolmijaon mahdottomuuden osoittamiseksi riittää löytää yksi kulma, jota ei voida kolmijakaa. Tässä tapauksessa tutkimme 60° kulmaa, jolloin konstruoituvaksi luvuksi muodostuu cos(20°). Viimeinen luku käsittelee laajennettuja konstruktioita, joissa sallitaan perinteisten harpin ja viivaimen lisäksi muiden välineiden ja menetelmien käyttö. Luvussa esitellään useita konstruktioita, joissa käydään läpi niiden käyttö konstruktio-ongelmissa ja todistukset niiden toimivuudesta. Luultavasti kaikkein klassisin menetelmä on neusis-konstruktio, jossa viivaimeen voidaan tehdä merkintöjä. Muut esiteltävät konstruktiot ovat merkittäviä niiden historian tai konstruktioiden yksinkertaisuuden takia.

Tässä tutkielmassa käydään läpi alakoulussa esiintyviä jakolaskuvaikeuksia. Jakolasku on yksi neljästä peruslaskutoimituksesta ja monien mielestä niistä haastavin. Jakolaskujen aiheuttamat vaikeudet saattavat hankaloittaa koulutaivalta, sillä monet matematiikan asiat pohjautuvat jakolaskuun. Jakolaskuosaaminen koostuu monista asioista. Esimerkiksi osatakseen jakolaskut koululaisen täytyy ymmärtää jakolaskuun liittyvät termit sekä sisältö- ja ositusjakolaskut. Lasten ja nuorten matematiikan osaamisen taustalla on paljon lapsuudessa opittuja matematiikan taitoja. Osa näistä taidoista ihmisellä on jo syntyessään. Jakolaskuunkin liittyy paljon matematiikan taitoja, jotka lapset oppivat arjessa tapahtuvien jakotilanteiden avulla. Esimerkiksi keksien tai karkkien jakaminen kavereiden tai sisarusten kesken opettaa lapsille varhaista jakolaskutaitoa. Koulussa opeteltava jakolasku pohjautuukin lapsuudessa tutuksi tulleeseen 'yksi sinulle, yksi minulle' -tyyppiseen jakamiseen. Kuudesluokkalaisilla koululaisilla on tutkimusten mukaan paljon jakolaskuihin liittyviä vaikeuksia. Myös tekemässäni seminaarityössäni havaittiin paljon virhekäsityksiä kuudesluokkalaisilla. Yksi mahdollinen syy virhekäsitysten syntyyn saattaa olla nykymuotoisessa koulumatematiikassa. Tutkielmassa pohditaan mahdollisia tapoja muuttaa nykyistä jakolaskuopetusta, jotta virhekäsityksiä ei syntyisi niin paljon. Tutkielmassa pohditaan muun muassa jakojäännöksen hyödyllisyyttä, sisältöjakoa sekä erilaisia jakolaskun symboleita. Jakojäännös aiheuttaa koululaisille paljon ongelmia, sillä se on erillinen aihe. Jakojäännöstä käytetään vain muutaman kouluvuoden ajan, jonka jälkeen se korvataan murto- tai desimaaliluvuilla. Tutkielman yksi tarkoitus onkin ehdollistaa jakojäännöksen asema koulumatematiikassa. Murtolukuihin panostamalla sekä arkielämän esimerkkejä käyttäen jakojäännös käsite olisi mahdollista korvata. Laskujen vastaukset voisi ilmaista alusta alkaen sekalukujen avulla. Jakolaskujen ja samalla murtolukujen opetusta tukemaan tutkielmaan on sisällytetty muutama avoin tehtävä, joiden avulla matematiikan tunneille saadaan hieman erilaista puuhaa. Tutkielmassa on kielentämistä hyödyntäviä tehtäviä, joissa oppilaat pääsevät keskustelemaan erilaisista jakolaskutehtävistä vertaistensa kanssa ja vahvistamaan näin jakolaskuosaamistaan. Kielentäminen on hyvä tapa saada oppilaan ajattelua ja osaamista näkyviin. Jotta jakojäännöksestä voitaisiin luopua, täytyy koululaisten hallita murtoluvut jo melko varhain. Murtolukuihin tutustumiseen tutkielma tarjoaa leikin, jonka avulla lapset pääsevät oppimaan murtolukujen suuruussuhteita.

Heronin kolmio on kolmio, jonka sivujen pituudet, pinta-ala ja korkeus ovat rationaalilukuja. Heronin kolmioita on ääretön määrä. Niitä on selvitetty monella eri tavalla. Heronin kolmio saadaan yhdistämällä kaksi Pythagoraan kolmiota tai supistamalla kolmiosta, joka on muodostunut kahdesta Pythagoraan kolmiosta. Tämä on yksi niistä monista ominaisuuksista, jotka Heronin kolmioista tiedetään. Käsitteen ympäriltä löytyy paljon mielenkiintoisia erikoistapauksia: Heronin kolmio voidaan esittää hilamuodossa. Heronin kolmioista osa on Heronin superkolmioita. Heronin kolmiolla voi olla kaksi rationaalista keskijanaa. Heronin kolmio voi olla niin sanotusti hajotettavissa. Puhutaan myös alkeellisista Heronin kolmioista. Tutkimusmenetelmänä olen käyttänyt kirjallisuusselvitystä. Tutkimukseni pohjautuu siis kirjallisiin lähteisiin. Lähteenä olen käyttänyt kolmea kirjaa ja useita artikkeleita. Aiheesta löytyy niin tuoreita kuin vanhempiakin tutkimustuloksia; Euler, Brahmagupta ja Charmichael ovat tutkineet Heronin kolmioita jo varhain historiassa, kun taas esimerkiksi William H. Richardson ja Paul Yiu ovat kirjoittaneet aiheesta artikkeleissaan 2000-luvulla. Tutkielmassani selvitän Heronin kolmioihin liittyvää teoriaa. Pyrin selventämään asioita lukijalle myös esimerkkien, kuvien ja taulukoiden avulla. Käsite itsessään on yksinkertainen, mutta sen ympäriltä löytyy paljon tutkittavaa.

Integraalilaskenta on yksi matematiikan kulmakivistä. Lukiossa sitä opetetaan osana pitkää matematiikkaa, jossa sille on varattu oma yksittäinen kurssinsa. Tutkielman Luvussa 1 tutustutaan alkuun, miten integraalilaskenta esiintyy lukion opetussuunnitelman perusteissa, jonka jälkeen Luvussa 2 esitellään lyhyesti erilaisia oppimiskäsityksiä. Edelleen Luvussa 3 tarkastellaan opetussuunnitelman perusteissa esiintyvien keskeisten käsitteiden määritelmiä ja niihin liittyvää teoriaa. Tutkielman päätarkoitus on analysoida lukion pitkän matematiikan oppikirjasarjoja integraalilaskennan osalta. Luvussa 4 tutkitaankin toisaalta kirjasarjojen eroavaisuuksia ja toisaalta suhdetta opetussuunnitelman perusteisiin ja Luvussa 3 annettuihin keskeisiin käsitteisiin. Lopuksi Luvussa 5 tehdään lyhyt yhteenveto. Integraalilaskenta rakentuu kahden peruskäsitteen, integraalifunktion eli määräämättömän integraalin ja määrätyn integraalin eli Riemannin integraalin varaan. Integraalifunktioita etsittäessä eli integroitaessa määritetään ne funktiot, joiden derivaattafunktio tarkasteltavalla reaalilukuvälillä tunnetaan. Määrätty integraali puolestaan on lähtöisin pyrkimyksestä määrittää epänegatiivisen, jatkuvan funktion käyrän kaaren ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala suljetulla reaalilukuvälillä. Tällaista aluetta voidaan arvioida suorakulmioilla jakamalla tarkasteltava väli osaväleihin ja valitsemalla kultakin osaväliltä sitten mielivaltainen piste, jossa lasketaan funktion arvo. Kun nyt ensin lasketaan osavälin ja edellä saadun funktion arvon tulo jokaisella osavälillä ja sitten summataan näin saadut tulot yhteen, niin saadaan erään suorakulmioista koostuvan monikulmion pinta-ala. Kun sitten kasvatetaan osavälien lukumäärää siten, että samalla pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa, niin havaitaan geometrisesti, että saadaan mielivaltaisen tarkasti edellä tarkasteltavan funktion ja x-akselin välistä aluetta myötäilevän monikulmion pinta-ala. Jos vastaavaan raja-arvoon päädytään millä tahansa jaolla, jossa pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa ja mielivaltaisella jonolla, jossa funktion arvot lasketaan, niin sanotaan, että funktio on integroituva ja edellä saatu raja-arvo on funktion Riemannin integraali yli tarkasteltavan välin. Määritelmä annetaan usein suljetulla välillä rajoitetulle funktiolle. Määritelmä voidaan antaa yhtäpitävästi niin sanottujen ala- ja yläsummien avulla, kuten tutkielman Luvussa 3 tehdään. Analyysin peruslause kertoo, että suljetulla välillä jatkuvan funktion Riemannin integraali on yhtä suuri kuin tarkasteltavan funktion jonkin integraalifunktion välin loppu- ja alkupisteessä saamien arvojen erotus. Edellä saadut käsitteet esiintyvät myös lukion integraalilaskennassa. Oppikirjasarjat käsittelevät määräämätöntä integraalia kutakuinkin samalla tavalla kuin yllä, mutta määrätyn integraalin esittelyssä on eroja: esimerkiksi kirjasarjat Pitkä matematiikka ja Laudatur antavat määrätyn integraalin määritelmän Analyysin peruslauseena, kun taas Matematiikan taito, Pyramidi ja Lukion Calculus käyttävät yllä kuvatun kaltaista lähestymistapaa. Kirjasarjoissa on muutenkin paljon eroavaisuuksia: esimerkiksi Matematiikan taito ja Pyramidi ovat muita huomattavasti teoreettisempia ja käyttävät paljon enemmän yliopistomatematiikan kaltaista notaatiota. Kaikki kirjasarjat vastaavat kuitenkin opetussuunnitelman perusteissa asetettuihin oppimistavoitteisiin ja keskeisiin sisältöihin.

Tutkielman aiheena on ollut tutkia onko mahdollista tuottaa sellainen interaktiivinen verkkosivu lukion pitkän matematiikan 7. kurssille (Derivaatta), missä teorian lisäksi opiskelija pystyy tekemään kurssiin liittyviä tehtäviä ja saada niistä automaattista palautetta. Sivustolta vaadittavia ominaisuuksia ovat matemaattisen tekstin editori tehtävien tekemiseen sekä piirto-ja animaatio-ohjelma matematiikan havainnollistamiseen. Sivustoa varten käytiin läpi useita jo olemassa olevia ohjelmia, joiden perusteella matemaattisen tekstin editori päätettiin tehdä itse ja piirto-ohjelmaksi valittiin Geogebra-ohjelma. Geogebra on suunniteltu matemaattiseksi havainnollistamisvälineeksi, jolla on helppo luoda matematiikan ongelmia visualisoivia kuvia ja animaatioita. Lisäksi se on helppo upottaa internet-sivustolle. Matemaattista tekstiä tuottavaa editoria varten päädyttiin luomaan oma MathML-kieleen perustuva tekstieditori, jolla voi kirjoittaa matemaattista tekstiä internetsivuilla. Sivusto pitää sisällään teoriaosuudet raja-arvosta, jatkuvuudesta sekä derivaatasta ja pitää sisällään 30 näihin liittyvää tehtävää. Jokaisesta tehtävästä on kolme eri versiota, joista käyttäjälle arvotaan satunnaisesti yksi. Käyttäjä tekee tehtävän matemattiikkaeditoriin, jonka vastauksen ohjelma tarkistaa. Kun tehtävä saadaan suoritettua hyväksytysti, saa käyttäjä pisteen. Editori on selainkohtainen, joten selain muistaa jälkikäteenkin mitkä tehtävät käyttäjä on tehnyt. Käyttäjä voi myös tallentaa tekemänsä ratkaisut selaimen omaan muistiin myöhempää tarkastelua varten. Tutkimuksen tuloksena saatiin, että Derivaatta-kurssia varten on mahdollista tuottaa kokonainen sivusto, jonka avulla koko kurssin suorittaminen verkossa on mahdollista. Tutkielman sivusto ei käsitä koko kurssia, mutta kun siihen lisätään koko kurssin teoria ja tehtävät sekä niiden tarkistukseen tarvittava ohjelmisto (esim. STACK), kokeet, keskustelualueen sekä oppilaiden hallintaan liittyvät sivut on verkkokurssin läpikäyntiin tarvittava kokonaisuus olemassa. Tämän lisäksi sivustoa varten laadittu matematiikkaeditori ja tehtävät mahdollistavat opiskelijoiden harjoittelun tietokoneella tapahtuvaan matematiikan kirjoittamiseen, jota vuonna 2019 suoritettava sähköinen matematiikan ylioppilaskirjoitus vaatii.

Tämä tutkielma käsittelee itseisarvoa, valuaatiota ja täydellisiä metrisiä avaruuksia. Pohjatietona oletetaan algebran perustiedot, esimerkiksi Algebra I -kurssi. Tutkielmassa perehdytään ensin itseisarvon määritelmään. Luvussa 2 määritellään myös valuaatio ja katsotaan mitä erilaisia itseisarvoja on mahdollista löytää rationaalilukujen kunnalle. Tutustutaan myös p-adiseen valuaatioon, jonka avulla määritellään p-adinen itseisarvo. Luvussa 2 todistetaan Ostrowskin lause eli että kaikki epätriviaalit itseisarvot ovat ekvivalentteja joko p-adisen itseisarvon tai tavallisen itseisarvon kanssa. Luvussa 3 määritellään metriikka yleisesti sekä itseisarvon määrittelemä metriikka. Metriikan avulla määritellään metrinen avaruus ja Cauchyn jonot. Luvussa 3 myös tutustutaan hieman jonojen suppenemiseen, erityisesti niihin ominaisuuksiin joita tarvitaan tutkielman edetessä. Tässä luvussa myös tarkastellaan epäarkhimedisesta metriikasta johtuvaa kahta ominaisuutta: kaikki kolmiot ovat tasakylkisiä ja jokainen avoimen kuulan piste on sen keskipiste. Luvussa 4 määritellään mikä on metrisen avaruuden täydellistymä. Lopussa esimerkkinä täydellistämme rationaalilukujen joukon reaalilukujen joukoksi. Luvussa 5 otetaan lukua 6 varten katsaus lukuteoriaan. Määritellään kongruenssi, koherentti jono ja osoitetaan, että ratkaisuja on mahdollista laajentaa koherentteihin jonoihin. Luvussa 6 osoitetaan, että rationaalilukujen joukko ei ole täydellinen p-adisen itseisarvon suhteen. Tämän jälkeen konstruoidaan p-adisten lukujen joukko täydellistämällä rationaalilukujen joukko. Luvussa 6 myös laajennamme p-adisen itseisarvon ja valuaation p-adisten lukujen joukolle. Lopuksi osoitetaan, että saatu p-adisten lukujen joukko on täydellinen.

Työ on oppi- tai lisämateriaali lukion pitkän matematiikan opiskelijoille. Työssä opiskelija tutustutetaan kompleksilukujen perusteisiin lähtien peruslaskutoimituksista, sekä hieman formaaliin matematiikkaan pedagogista otetta kuitenkaan unohtamatta. Johdanto käsittelee kompleksilukujen historiaa tiivistetysti Paul J. Nahinin kirjan 'An Imaginary Tale' pohjalta, samalla esitellen myös suomalaisen Lars Ahlforsin. Seuraavissa luvuissa 2-9 määritellään kompleksilukuihin liittyviä peruskäsitteitä, kuten imaginaariyksikkö, laskutoimitukset, liittoluku, itseisarvo, napakoordinaatit ja binomiyhtälö, lukua 4 lukuunottamatta, jossa selitetään hieman sanastoa, kuten aksiooma, lause ja määritelmä. Viimeinen luku — 10 Kompleksifunktiot — johdattelee muutamista reaalilukujen aksioomista lähtien joitain jatkuviin kuvauksiin liittyviä ominaisuuksia, kuten 'Weierstrassin-min-max' lauseen laajennos kompleksilukuihin eli, että suljetun joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on suljettu. Viimeisen luvun viimeisenä osiona on todistaa Algebran peruslause käyttäen aiemmin opittuja tietoja ja apulauseita. Jokaiseen lukuun — lukuja 1 ja 4 lukuunottamatta — on liitetty esimerkkejä määritelmien ja lauseiden rinnalle. Näiden kirjo ja vaikeustaso on yksinkertaisista sovellustehtävistä todistuksiin. Esimerkkien rinnalle on usein myös liitetty havainnollistavia kuvia kuvateksteineen. Näiden lukujen, paitsi viimeisen, lopussa on myös aina 'Tehtäviä' -osio, jossa on opiskelijalle suunnattuja tehtäviä yksinkertaisista sovelluksista todistustehtäviin. Bloomin taksonomiassa tehtävät kulkisivat sovelluksesta ('laske') analysoinnin ('pohdi' tai 'tutki') kautta syntetisointiin ('todista' tai 'osoita'). Hieman 'hankalampiin' todistustehtäviin on liitetty vihjeitä tai ohjeita, joiden avulla opiskelijan on helpompi lähteä liikkeelle.

Tämän pro gradu -tutkielman aiheena on joukkojen ositus. Tutkielmassa käydään läpi kolmet erilaiset luvut, joiden avulla joukkojen osituksia voidaan laskea. Nämä luvut ovat Stirlingin toiset luvut, Bellin luvut sekä Catalanin luvut. Tutkielma on rakennettu siten, että jokainen näistä luvuista esitellään omassa luvussaan. Jokaisessa luvussa esitellään ensimmäisenä hiukan henkilöhistoriaa kyseisten lukujen keksijästä. Tämän jälkeen käydään läpi lukujen määritelmä ja joitakin havainnollistavia esimerkkejä. Seuraavaksi määritellään joitakin rekursiokaavoja kyseisille luvuilla ja muodostetaan generoiva funktio. Lisäksi Bellin ja Catalanin luvuille muodostetaan myös Bellin kolmio ja Catalanin kolmio. Catalanin luvuista esitellään vielä lopuksi joitakin mielenkiintoisia sovelluksia. Tutkielman ymmärtäminen edellyttää perustietoja kombinatoriikasta. Joitakin kombinatoriikan perusteita kerrataan luvussa kaksi. Luvussa kolme käsitellään Stirlingin toisia lukuja. Stirlingin toisia lukuja merkitään S(n,k), missä n ilmaisee joukon alkioiden lukumäärää ja k kertoo kuinka moniosaisia osituksia halutaan. Stirlingin toiset luvut kertovat, kuinka monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa k epätyhjäksi osajoukoksi. Luvussa neljä käsitellään Bellin lukuja. Bellin luvut on mahdollista ilmaista Stirlingin toisten lukujen summana ja ne kertovat, kuinka monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa, kun lasketaan mukaan kaikkien mahdollisten erikokoisten ositusten lukumäärä. Bellin lukuja merkitään Bn, jossa n ilmaisee jälleen joukon alkioiden lukumäärää. Luvussa viisi käsittellään Catalanin lukuja. Catalanin lukuja merkitään Cn ja ne ilmaisevat matemattiisissa ongelmissa ratkaisujen lukumäärää. Tässä tutkielmassa pääpaino Catalanin luvuissa onkin niiden sovelluksissa.

Tutkielmassa tarkastellaan Albert Lautmanin kirjoituksia matematiikasta ja filosofiasta, sekä erityisesti niiden soveltamista yleisesti tieteellisen tiedon muodostuksessa. Lautman poikkesi monista 1800 -luvun ja 1900 -luvun taitteen matemaatikosta siinä, että häntä ei erityisemmin kiinnostanut matematiikan perusteiden etsiminen, vaan enemmänkin ne ajatuksen vaiheet, joilla näitä perusteita tai matematiikkaa yleisesti tehdään. Tutkielman historiallinen viitekehys on rikas, sillä uutta matematiikkaa tehtiin Lautmanin aikana enemmän kuin koskaan. Mm. George Boole, Gottlob Frege, Bertrand Russell ja Ludwig Witgenstein pyrkivät matematiikan perusteiden kyseenalaistamisella luomaan uutta, mahdollisimman alkukantaisiin aksioomeihin perustuvaa matematiikkaa. Tämä työ synnytti useita uusia matematiikan filosofian koulukuntia, kuten logisismin, intuitionismin ja formalismin. Näiden uusien koulukuntien sijaan Lautman pitäytyi omaperäisessä tulkinnassaan antiikin Kreikan platonismista, jonka mukaan matemaattiset abstraktit objektit, kuten luvut, ovat olemassa ihmisistä tai kielestä riippumatta. Matemaattisen teorian todellinen kehitys tapahtuu enemmänkin ilmentymänä kuin puhtaana järkeilynä tukien tiettyjä abstrakteja ideoita, jotka ovat vallitsevia matematiikan suhteen. Tämä ilmentymä voi tulla matematiikan ulkopuolelta, vaikka lopputuloksena olisi kuitenkin puhtaasti matemaattinen teoria. Lautmanin mukaan matemaattinen tutkimus ei koostu yksittäisen sisällyttämisestä yleiseen, vaan aineellisen tiedon edistymisen ehtoihin verrattavissa olevien kokonaisuuden osien erottamisesta eli dissosioitumisesta. Logiikan yritys rakentaa koko matematiikka pienestä määrästä alustavia periaatteita osoittautui mahdottomaksi. Tämän sijaan Lautman esitti David Hilbertin ohjelman mielessä kahden vastakkaisen matematiikan, jossa matematiikka jaetaan lokaaliin ja globaaliin osaan. Lokaali tutkimus kohdistuu yksittäiseen todellisuuden elementtiin, josta se pyrkii määrittämään spesifisyyttään. Sitten, askel askeleelta, se muodostaa tarpeeksi vahvoja yhtäläisyyksiä näiden eri elementtien välille synnyttäen näin kokonaisuuden idean. Globaali tutkimus taas pyrkii kuvaamaan kokonaisuutta riippumatta niistä elementeistä, joista se koostuu, näin määrittäen matemaattisia entiteettejä vain niiden funktionaalisten ominaisuuksien pohjalta. Joissain tapauksissa lokaali matematiikka antaa syvemmän ymmärtämyksen globaalista matematiikasta, mutta se ei tee näistä eriarvoisia, vaan yksinkertaisesti täysin eri asioita. Vaikka Lautmanin työt jäivät hänen teloituksestaan johtuen pahasti kesken, niin hänellä oli suuri vaikutus ranskalaisen filosofian kehitykseen ja sitä kautta myös pedagogian kehitykseen. Rikas aineisto ansaitsi ja ansaitsee edelleen tulla tutkituksi.

Ryhmäteorian eräänä päämääränä voidaan pitää äärellisten ryhmien löytämistä. Tässä tutkielmassa esittelen kaikki ryhmät aina kertalukuun 15 asti. Lisäksi osoitan, ettei muita korkeintaan kertalukua 15 olevia ryhmiä ole mahdollista löytyä. Algebran näkökulmasta ryhmät ovat samoja, jos niissä on täsmälleen samanlainen rakenne, vaikka niissä olisikin eri alkiot. Tällöin sanotaan, että ryhmät ovat isomorfisia keskenään. Tutkielman sisältö voidaan jakaa kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa esittelen algebran keskeisimmät käsitteet, joitain esimerkkejä sekä hyödyllisiä lauseita ja korollaareja. Määränpääni saavuttamisen kannalta merkittävimmät lauseet, Lagrangen lauseen ja Sylowin lauseet, olen esittänyt omissa luvuissaan. Lagrangen lauseen mukaan aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Toisaalta tästä seuraa, että myös ryhmän alkion kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Tämän lauseen avulla voidaan päätellä, millaisia alkioita ryhmät voivat sisältää. Sylowin lauseet puolestaan kertovat millaisia aliryhmiä ryhmät sisältävät. Peter Sylow osoitti, että jokaista ryhmän kertaluvun tekijää kohti, joka on jokin alkuluvun potenssi, löytyy aliryhmä, jonka kertaluku on tämä alkuluvun potenssi. Sylowin lauseiden avulla voidaan päätellä esimerkiksi näiden aliryhmien lukumääriä. Diedriryhmät olen käsitellyt omassa luvussa, jossa esittelen myös symmetrisen ryhmän käsitteen. Tutkielman toinen puolisko keskittyy korkeintaan kertalukua 15 olevien ryhmien löytämiseen. Samalla tavalla käyttäytyvät kertaluvut on käsitelty samassa luvussa. Esimerkiksi kaikki ryhmät, joiden kertaluku on jokin alkuluku, ovat syklisiä eli yhden alkionsa virittämiä. Ryhmät joiden kertaluku on jonkin alkuluvun toinen potenssi käyttäytyvät keskenään samoin, kuten myös ryhmät, joiden kertaluku on 2p, kun p on jokin lukua kaksi suurempi alkuluku. Vaihdannaiset eli Abelin ryhmät voidaan löytää kaikkien kertalukujen tapauksessa helposti tutkielman ensimmäisessä osassa esittelemieni tulosten avulla. Epävaihdannaisten ryhmien tarkastelu on huomattavasti monimutkaisempaa. Tällaisten ryhmien aliryhmille ja alkioille voidaan löytää joitain ehtoja esimerkiksi Lagrangen lauseen ja Sylowien lauseiden avulla. Näin päästään usein käsiksi ryhmän virittäjäalkioihin ja sitä kautta johonkin konkreettiseen ryhmään. Tutkielman viimeisessä luvussa on vielä koottuna taulukkoon kaikki korkeintaan kertalukua 15 olevat ryhmät.